重庆市巴蜀中学2022届高三下学期高考适应性月考（八）数学试题（解析版）

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巴蜀中学2022届高考适应性月考卷（八）

数 学

注意事项：

1.答题前、考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.

2. 每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效

3. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回，满分150分，考试用时120分钟.

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小既给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】求出集合，利用交集和补集的定义可求得结果.

【详解】因为，则或，

因此，.

故选：B.

2. 已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数，，则由观测的数据得到的线性回归方程可能为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据变量正相关排除AB，再利用线性回归方程过点判断CD即可.

【详解】因为变量x与y正相关，所以，故排除AB；

又线性回归方程过点，代入CD检验，可知C正确，D错误.

故选：C

3. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用三角函数的图象变换可得出，结合诱导公式化简可得出函数的解析式.

【详解】由题意可知，将函数的图象向左平移个单位长度，可得到函数的图象，

则.

故选：B.

4. 已知O为坐标原点，直线上存在一点P，使得，则k的取值范围为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意得坐标原点到直线距离，利用点到直线的距离公式即可求解.

【详解】点到直线的距离为

，

由题意得坐标原点到直线距离，，

所以，解得

所以k的取值范围为.

故选：C.

5. 如图甲所示，古代中国太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有眼，阴鱼的头部有个阳殿，表示万物都在相互转化，互相涉透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律.其平面图形记为图乙中的正八边形ABCDEFGH，其中，则以下结论错误的是（　　）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，写出需要点的坐标，然后利用向量加法的坐标运算、向量的数量积坐标运算及向量的坐标运算即可求解.

【详解】由题意可知，建立如图所示的平面直角坐标系，

因为正八边形ABCDEFGH，

所以

作，则,

因为，所以，

所以，同理可得其余各点坐标，

，

对于A ，，故A正确；

对于B ，，故B正确；

对于C，，，

所以，故C正确；

对于D ,，，

，故D不正确.

故选：D

6. 已知正实数a，b满足，则的最小值是（　　）

A. 2 B.  C.  D. 6

【答案】B

【解析】

【分析】根据变形得，进而转化为，

用凑配方式得出，再利用基本不等式即可求解.

【详解】由，得，

所以，

当且仅当，即取等号.

故选：B.

7. 从编号分别为1、2、3、4、5、6、7的七个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，则至少有两个小球编号相邻的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先用组合数算出基本事件的总数，再用排异法求出任意两个小球编号都不相邻的事件的个数，进而得出

至少有两个小球编号相邻的事件的个数，然后用古典概型的计算公式即可求解.

【详解】随机取出三个小球共有种情况，任意两个小球编号都不相邻的基本事件有：

共有10种，故所求概率为.

故选：A.

8. 已知点，若曲线上存在点P满，则下列选项一定正确的是（　　）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据双曲线的定义知，点在双曲线的右支上，求得双曲线的方程为和渐近线方程为，转化为曲线与双曲线相交，得到，即可求解.

【详解】由题意，点且，

根据双曲线的定义知，点在双曲线的右支上，且，所以，

所以双曲线的方程为，其渐近线方程为，

又点在曲线，即，即点在曲线，

若曲线上存在点满，

即曲线与双曲线相交，所以，即.

故选：D.

二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每个给出的四个选项中，有多项是满足要求的，全部选对得5分，部分选对得2分）

9. 设，β为两个平面，下列选项中是“”的充分条件的是（　　）

A. 异面直线a，b满足∥，∥

B. α内有两条相交直线与平面β均无交点

C. α，β与直线l都垂直

D. α内有无数个点到β的距离相等

【答案】BC

【解析】

【分析】AD选项可举出反例，BC选项可以通过，面面平行的判定及线面垂直的性质进行证明.

【详解】A选项，如图，直线BC为a，直线EF为b，平面ADHE为，平面CDHG为β，满足∥，∥，而，β为相交平面，A错误；

B选项，设α内两条相交直线为均与平面β无交点，即∥β，n∥β，又，且为相交直线，故α∥β，B正确；

C选项，α，β与直线l都垂直，不妨设l与α内有两条相交直线均垂直，则在平面β内存在相交直线与l都垂直，且m∥a，n∥b，因为α，所以m∥α，同理可知n∥α，由于为相交直线，故可知α∥β，C正确；

D选项，α内有无数个点到β的距离相等，这无数个点可能来自于同一条直线，此时不能推导出α∥β，D错误.

故选：BC

10. 已知，其中为锐角，则以下命题正确的是（　　）

A.  B.

C.  D.

【答案】AB

【解析】

【分析】利用凑角的方式，将角看成整体，但要注意角的范围，

根据同角三角函数的关系，两角和差的余弦公式及解方程即可求解.

【详解】因为，，

所以，故A正确；

因为，

所以

所以

，故B正确；

，

，

由得，，解得；故C不正确；

由得，，解得；

，故D不正确.

故选：AB.

11. 能被7整除，则整数a的值可以是（　　）

A. 4 B. 6 C. 11 D. 13

【答案】BD

【解析】

【分析】将化成，问题转化为能被7整除，再利用二项式定理计算推理作答.

【详解】依题意，

显然能被7整除，因此能被7整除，当且仅当能被7整除，

而，又能被7整除，

从而得能被7整除，则整数a的值可以是6或13.

故选：BD

12. 如图甲，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，点M是AD上靠近A的四等分点. 现将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于P，连接PB，如图乙所示，则下列说法正确的是（    ）

A. PB//平面EFM

B.

C. 平面EFM与平面BFDE所成角的余弦值为

D. 点P到平面BFDE的距离为

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据线面平行的判定可判断A，证明PD⊥平面PEF可判断B，由∠MGD是二面角的平面角，利用余弦定理可判断C，根据点P，M到面的距离的关系求解可判断D.

【详解】如图，连接BD与EF相交于G;

PB//平面EFM，故A正确；

由PD⊥PE，PD⊥PF，知PD⊥平面PEF，平面PEF=P，故PD与PB不垂直，故B错误;

平面EFM与平面BFDE所成角即为∠MGD，在△MGD中，，，由余弦定理得，故C正确；

由知，作，则点到平面BFDE的距离等于点M到平面BFDE的距离的，又，故D正确.

故选：ACD

三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）

13. 设复数，是共轭复数，且，则=___________.

【答案】

【解析】

【分析】设复数，进而得出共轭复数，根据复数相等求出，

再利用复数的摸公式即可求解.

【详解】设,则，

因为，所以

即，解得，

所以，

所以.

故答案为：.

14. 函数的值域为___________.

【答案】

【解析】

【分析】利用函数的单调性分别求出在上、在上函数值集合，再求并集作答.

【详解】依题意，在上单调递减，则当时，，

在上单调递增，则当时，，

所以函数的值域为.

故答案为：

15. 已知P为抛物线上任意一点，则点P到y轴的距离与点P到直线的距离之和的最小值为___________.

【答案】

【解析】

【分析】将点P到y轴的距离与点P到直线的距离之和转化为点P到准线的距离与点P到直线的距离之和，再借助抛物线定义求解作答.

【详解】抛物线的焦点，准线，抛物线上的点P到y轴的距离等于它到准线距离减去1的差，

由抛物线定义知，，令点P到直线的距离为，

于是得点P到y轴的距离与点P到直线的距离之和为，

过P作于M，连PF，MF，过点F作于Q，交抛物线于点，如图，

显然，，当点P与点不重合时，有：

，

则当点P是过焦点F作直线l的垂线与抛物线交点时，点P到y轴的距离与点P到直线的距离之和取得最小值，

此最小值为.

故答案为：

16. 设，[x]表示不超过x的最大整数，设正项数列{}满足），设数列{bn}的前n项和为，且，则[]=___________.

【答案】5

【解析】

【分析】由的关系可推出{}为等差数列，求出通项公式代入，利用放缩法及裂项相消法可求出的范围，即可得解.

【详解】由可得，

两式相减得： ，

化简得，又由正项数列{}可知，，

所以 ，

又，解得

所以{}是以4为首项，4为公差的等差数列，

故，

，

，

又，

，

, .
故答案为：5

四、解答题（本大题共6个小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 如图，在中，点在线段上，且，.

（1）若是正三角形，求的长；

（2）若，，求的值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用余弦定理可求得的长；

（2）利用两角差的正弦公式可求得的值，利用正弦定理可求得的长，可得出的长，再利用三角形的面积公式及可求得结果.

【小问1详解】

解：因，，

由余弦定理可得.

【小问2详解】

解：因为，则为锐角，则，

则，

由正弦定理得，则，

因此，.

18. 美国职业篮球联赛（NBA联赛）分为常规赛和季后赛，常规赛共82场比赛，以全明星假期为界，分为前半赛季和后半赛季，东、西部排名前8的球队进入季后赛，季后赛共四轮，最后一轮总决赛采用七场四胜制（“七场四胜制”是指在七场比赛中先胜四场者获得比赛胜利，胜者成为本赛季的总冠军）.下表是A队在常规赛的前80场比赛中的比赛结果记录表

（1）根据表中信息完成列联表，并判断是否有95%的把握认为比赛的“主客场”与“胜负”之间有关？

（2）已知A队与B队在季后赛的总决赛中相遇，假设每场比赛结果相互独立，A队每场比赛获胜的概率等于A队常规赛前80场比赛获胜的频率，求总决赛五场结束的概率.

附∶

【答案】（1）见解析    （2）

【解析】

【分析】（1）根据题设信息填写列联表，计算进行独立性检验；

（2）总决赛五场结束意味着前场中队（或队）胜3场败1场，第五场队（或队）获胜，再由概率公式计算即可

【小问1详解】

列联表如下表所示：

故有95%的把握认为比赛的“主客场”与“胜负”之间有关.

【小问2详解】

由题意可知，A队常规赛前80场比赛获胜的频率，即A队每场比赛获胜的概率为

总决赛五场结束意味着前场中队（或队）胜3场败1场，第五场队（或队）获胜.

即总决赛五场结束的概率为.

19. 已知数列的首项，.

（1）证明：数列是等比数列；

（2）求数列的前项和的最小值.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）由已知等式变形得出，结合等比数列的定义可证得结论成立；

（2）分析数列的单调性，确定的符号，由此可求得的最小值.

【小问1详解】

解：因为，则，且，

所以，数列是以为首项，为公比的等比数列.

【小问2详解】

解：由（1）知，，则.

所以，，

所以，，故数列为递增数列，

，，，，，，

故当时，；当时，.

所以，的最小值为.

20. 如图所示，在正三棱台中，O为BC的中点，M为的中点，平面ABC与平面所成角的余弦值为.

（1）证明：平面ABC⊥平面AOM；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）延长相交于点，则可得三棱锥为正三棱锥，可得延长也交于点，由等腰三角形的性质可得，，由线面垂直的判定可得平面，再由面面垂直的判定可证得结论，

（2）由（1）可知为平面与平面所成角，设，侧棱为，然后在中利用余弦定理列方程可求出，从而可得正三棱锥为正四面体，过作垂直于平面，则为与平面所成角，然后计算即可

【小问1详解】

延长相交于点，

因为棱台为正三棱台，

所以三棱锥为正三棱锥，

所以延长也交于点，

所以为等腰三角形，为的中点，

所以，

因为为正三角形，为的中点，

所以，

因为，所以平面，即平面，

因为平面，所以平面ABC⊥平面AOM；

【小问2详解】

如图，，

所以为平面与平面所成角，即平面与平面所成角，

设，侧棱为，所以，，

所以在中，，解得，

所以正三棱锥为正四面体，

所以与平面所成角，即为与平面所成角，

即与平面所成角，

过作垂直于平面，则为正的中心，

连接，则为与平面所成角，

因为，所以,

所以，

所以直线与平面所成角的正弦值为

21. 已知椭圆C∶经过点P（，），O为坐标原点，若直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，直线l与直线OM的斜率乘积为-.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若，求AOB面积的最大值.

【答案】（1）   

（2）3

【解析】

【分析】（1）根据椭圆经过点P（，），得到，再利用点差法，根据直线l与直线OM的斜率乘积为-，得到 求解；

（2）当轴时，易得，当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为，联立，根据，得到k，t的关系，再求得和点O到直线AB的距离为d，由求解.

【小问1详解】

解：因为椭圆经过点P（，），

所以，

设，因为直线l与椭圆C交于A，B两点，

所以，两式相减得，

因为线段AB的中点为M，且直线l与直线OM的斜率乘积为-，

所以 ，解得，

所以椭圆方程为：；

【小问2详解】

当轴时，点M在x轴上，且，

由，得，

所以，

当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为，

由，消去y得，

则，，

由，得，

因为，

点O到直线AB的距离为，

所以，

，

当且仅当，即时，等号成立，

综上 AOB面积的最大值是3.

22. 已知函数（为自然对数的底数）.

（1）求的极值；

（2）（i）证明∶与有相同的零点；

（ii）若恒成立，求整数a的最大值.

【答案】（1）的极小值为，无极大值；   

（2）（i）证明见解析，（ii）

【解析】

【分析】（1）根据导数法求函数的极值的步骤即可求解；

（2）（i）首先利用导数法判断函数，的单调性，然后利用

函数零点的存在性定理即可证明；

（ii）先将不等式恒成立等价转化为

在恒成立，然后利用导数法求函数

的最小值即可，进而能够求出整数a的最大值.

【小问1详解】

由题意可知，，

令，即，解得；

当时，，所以在单调的递增；

当时，，所以在单调的递减；

当时，取得极小值，无极大值；

【小问2详解】

（i）由知，

所以在上单调递增；

由知，

所以在上单调递增；

又，

故必存在唯一使得，

即有，

故，

所以与有相同的唯一零点；

（ii）由，得恒成立，

在恒成立，

令，，则

，

由（i）知单调递增且存在唯一零点；则

当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

故；

由（i）知；又，

故进一步确定；

故，

即，解得，又；

所以整数a的最大值为.

【点睛】求解不等式问题的关键：

适当变形，灵活转化，结合题设条件，有时需要对不等式进行“除法”变形，

从而分离参数，有时需要进行移项变形，可使不等式两边具有相同的结构特点；

构造函数，利用导数求解，若分离参数，则直接构造函数，并借助导数加以

求解，若转化为不等式两边具有相同的结构特点，则可根据该结构特点构造函数，并

借助导数加以求解.