第24讲-矩阵行列式-【高考培优直通车】2022年高三数学大一轮复习精品讲义（上海专用）

第24讲-矩阵行列式（解析版）

                                                                        教学内容

1.如图所示，在中，，在线段上，设，，，则的最小值为          ．

【答案】

【解析】，因为、、三点共线，所以，所以.

2.如图：在三角形中，，，则            ．

【答案】

【解析】

3. 在中，动点满足，则点轨迹一定通过的（    ） 

A.  外心                 B.内心                C.重心                 D.  垂心

【答案】A

【解析】

，所以点在边的中垂线上，所以点轨迹通过的外心 .  

知识点一：矩阵

知识梳理

（一）矩阵的概念

1. 矩阵：矩形数表；

  叫做行列矩阵，简记为阶矩阵

2. 矩阵的元素：矩阵中的每一个数；

3. 系数矩阵：由方程组的系数组成的矩阵；

   增广矩阵：由方程组的系数和常数项组成的矩阵；

已知方程组，则它的系数矩阵为；增广矩阵为。

4. 方阵：行数和列数相等的矩阵；（若一个方阵有行（列），那么该方阵叫做阶方矩阵）；

5. 行向量：矩阵的每一行构成的一组数表；

  列向量：矩阵的每一列构成的一组数表；

若矩阵，则矩阵的行向量为，；列向量为，，。

6. 单位矩阵：对角线元素为1，其余元素均为0的方阵。

（二）矩阵的运算

     矩阵的运算条件：

①矩阵相等的条件为行数和列数分别相等，对应元素相等；

②矩阵相加（减）的条件为两矩阵的行数和列数分别相等；

③矩阵相乘的条件为第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。

1、矩阵的加法

 （1）矩阵的和（差）：当两个矩阵的维数相同时，将它们各位置上的元素加（减）所得到的矩阵称为矩阵的和（差）,记作：

 （2）运算律:加法运算律：；加法结合律：

 2、数乘矩阵

（1）矩阵与实数的积

     设为任意实数，把矩阵的所有元素与相乘得到的矩阵叫做矩阵与实数的乘积矩阵.记作：

（2）运算律：（为实数）

     分配律：  ；

     结合律：

3、矩阵的乘积

（1）矩阵的乘积：

一般，设是阶矩阵，是阶矩阵，设为矩阵，如果矩阵中第行第列元素是矩阵第个行向量与矩阵的第个列向量的数量积，那么矩阵叫做与的乘积.记作：。

（2）运算律

   分配律：，

   结合律：，

注：交换律不成立，即

4、矩阵变换

在解方程组的过程中，方程组逐步会发生变化，相应的矩形数表也发生变化，因此，由方程组的变化，可理解矩阵的变换规则：  

  （1）互换矩阵的两行；

  （2）把某一行同乘（除）以一个非零的数；

  （3）某一行乘以一个非零的数，再加到另一行。

矩阵变换的意义：使方程组的系数矩阵变为单位矩阵的过程，就是解方程的过程。

   当系数矩阵变为单位矩阵，该方程组的增广矩阵的最后一个列向量就是方程组的解。

例题精讲

例1.已知矩阵且，求、的值及矩阵。

【答案】，，

【解析】由题意知：解得：，

又由解得：， 

例2. 设矩阵，若，则_____________．

【答案】

【解析】由题意知，，，解得，所以

例3.用矩阵变换的方法解方程组：

【答案】

【解析】

        即方程组的解为。

例4. 已知矩阵为单位矩阵，且，求的值。

【答案】

【解析】，.

例5. 已知二元一次方程组，若记，，，则该方程组存在唯一解的条件为__________.（用、、表示）．

【答案】、不平行

【解析】原方程可以看成方程，若、不平行，则由平面向量基本定理可知方程组存在唯一解.

例6.设阶方阵

.

任取中的一个元素，记为；划去所在的行和列，将剩下的元素按原来的位置关系组成阶方阵，任取中的一个元素，记为；划去所在的行和列，……，将最后剩下的一个元素记为.记，则_________.  

【答案】

【解析】不妨取，……

故

故，故答案为1.

巩固练习

1. 已知是增广矩阵为的二元一次方程组的解，则=________．

【答案】10

【解析】易得，所以

2. 已知关于的二元一次线性方程组的增广矩阵为，记，则此线性方程组有无穷多组解的充要条件是（    ）

. ．              . 两两平行．

. ．                        . 方向都相同．

【答案】B

【解析】原方程可以看成方程，若两两平行，则由平面向量基本定理可知方程组有无穷多组解.

3.在数列中，，若一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素，（）则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（      ）

【答案】A

【解析】，所以只需考虑有多少不同的取值，可能等于共18种不同的情况，故选A.

4.在行列矩阵中，记位于第行第列的数为。当时，_______．   

【答案】45

【解析】当时，主对角线的元素分别为1，3，5，7，9，2，4，6，8，故和为45.

知识点二：二阶行列式

知识梳理

1、二阶行列式的有关概念及求二元一次方程组的解法：

（1）二阶行列式

叫做二阶行列式，展开式为，这种方法称为对角线法则，其计算的结果叫做行列式的值，叫做行列式的元素。

（2）设二元一次方程组（*）    

（其中是未知数，是未知数的系数且不全为零，是常数项．）

用加减消元法解方程组（*）:

当时，方程组（*）有唯一解：，

引入记号  表示算式，即     ．

从而引出行列式的相关概念，包括行列式、二阶行列式、行列式的展开式、行列式的值、行列式的元素、对角线法则等．

记  ，  ，  ，

①则当  =时，方程组（*）有唯一解，

可用二阶行列式表示为．

②当D=0时, 无穷组解；

③当D=0时, 无解。

系数行列式也为二元一次方程组解的判别式。

例题精讲

例1. “”是“关于的二元一次方程组有唯一解”的（     ）

　A．必要不充分条件；             B．充分不必要条件；

    C．充要条件；                         D．既不充分也不必要条件．

【答案】A

【解析】关于的二元一次方程组有唯一解的充要条件是即且，所以是方程组有唯一解必要不充分条件.

例2.判断m取什么值时，下列关于x,y的线性方程组（1）有唯一解？（2）无解？（3）有无穷解？

【答案】（1）  （2）或3     （3）

【解析】，，所以当时方程组有唯一解，当或3时方程组无解，当时方程组有无穷解.

例3.无论为何值时，方程组恒有相同的解，求实数的值。

【答案】

【解析】，，，

1）若即时，则当时，方程组恒有相同的解；

2）若即时，方程组的解为，，

因为无论为何值时，方程组恒有相同的解，

令，则，，

令，则，，

显然当时，方程组恒有相同的解。

例4.函数的最小正周期       .

【答案】

【解析】，所以的最小正周期为

例5.行列式所有可能的值中，最小值为       ；

【答案】–6

【解析】当时行列式的值最小.

巩固练习

1.若关于的二元一次方程组有唯一一组解，则实数的取值范围是    .

【答案】

2.已知依次成等比数列，公比为q（1）求的值  （2）试就q的不同取值情况，讨论二元一次方程组何时无解，何时有无穷多解

【答案】（1）0   （2）无解时，    ；无穷多解时，

【解析】（1）因为依次成等比数列，所以（2）由（1）得.当时，，，此时方程组无穷多解.当时，，，所以方程组无解.

3. 若，求函数的最值．

【答案】

【解析】
 

知识点三： 三阶行列式

知识梳理

三阶行列式

（1）三阶行列式的展开方法：

①对角线方式展开

 =

②按某一行(或列)展开法

=

=-+

记  ，，

  ，，

  ， 。

称为元素的余子式，即将元素所在的第一行、第列划去后剩下的元素按原来顺序组成的二阶行列式（类似可以定义其它元素的余子式）；称为元素的代数余子式，（。

则三阶行列式就可以写成= =,

这就是说，一个三阶行列式可以表示为它的第一行的元素分别与它们的代数余子式乘积的和。上式称为三阶行列式按第一行展开的展开式。类似地，若将按别的行或列的元素整理，同样可得行列式按任一行(列)展开式。

【注意余子式与代数余子式的区别及代数余子式的符号判别方法】

（2）三元一次方程组的解法（类比二元一次方程组的解法推导）

对于三元一次方程组，其系数行列式，

（i）当时，方程组（*）有唯一解

（ii）当D=0时，方程组（*）无解，或者有无穷多解。

【需要注意与二次方程组的区别，已不能作为判断方程组有无穷解的依据】

例如：（1）   无解 

【其中，而方程组无解】

（2）   有无穷多解  ；

【,方程组有无穷多解】

（3）若的三点坐标依次为，则三角形面积公式是

特别地，三点共线.

例题精讲

例1.在三阶行列式中，的代数余子式是_________,0的代数余子式是_____________.

【答案】

【解析】如果是求余子式或代数余子式，只需将行列式列出来，若是求余子式或代数余子式的值还需将行列式的值算出来.

例2.按要求计算下列行列式

（1）直接化简计算行列式D=的值；

（2）按照第一行展开；

（3）按照第一列展开。

【答案】（1）  （2）

（3）

例3.将用三阶行列式表示，可得          ．

【答案】

【解析】将余子式按照顺序排好，再加入相应的元素，注意代数余子式的正负

例4. 通过对课本知识的学习，我们知道，对于三元一次方程组，其中x，y，z是未知数，系数不全为零，当系数行列式D=0时，方程组无解或有无穷多解。

    以下是几位同学在D=0的条件下，类比二元一次方程组的解的情况，对三元一次方程组的解的情况的一些探索结论：

    结论一：当D=0，且时，方程组有无穷多解

    结论二：当D=0，且不为零时，方程组有无穷多解

    结论三：当D=0，且时，方程组无解。

    可惜的是这些结论都不正确，下面分别给出了一些反例，现在请你分析一下，这些给出的方程组分别是哪个错误结论的反例，并说出你的理由。

     （A）        （B）         （C）

【答案】（A）是结论一的反例，（B）是结论三的反例，（C）是结论二的反例

【解析】

（A）

             而方程组无解，是结论一的反例

 （B）

              而方程组无穷多解，是结论三的反例

 （C）

                  而方程无解，是结论二的反例

巩固练习

1.对于三阶行列式：“某一行元素全为零”是“”的          条件(说明充分性和必要性)

详解：

【答案】充分非必要

【解析】三阶行列式不妨设第二行元素全为零，则按第二行展开，得到行列式的值必为零，即充分性成立；反之，按第三行展开，则无论为何值，都有，但这个行列式中任意一行的元素均不为零，即必要性不成立，∴填“充分非必要”.

2.设，行列式中第行第列的代数余子式记作，

函数的反函数图像经过点，则__________

【答案】

【解析】，的反函数图像经过点，则经过，所以，所以.

 1.若增广矩阵为的线性方程组无解，则实数的值为        .

【答案】-1

【解析】当时方程组无解，符合题意

2.________________；

【答案】

【解析】

3.若矩阵满足：且，则这样的互不相等是矩阵共有           个.

【答案】8

【解析】共8种情况.

4.矩阵中每一行都构成公比为2的等比数列，

   第列各元素之和为，则          ．

【答案】

【解析】，

5.若表示阶矩阵中第行第列的元素，其中第行

的元素均为，第列的元素为，且（、）,则    .

【答案】

【解析】，所以，所以，所以.

6．下列以行列式表达的结果中，与相等的是（   ）．

A．           B．          C.           D.

【答案】C

【解析】

7.二元一次方程组存在唯一解的必要非充分条件是（    ）

    A．系数行列式              B．比例式

    C．向量不平行       D． 直线不平行

【答案】D

【解析】二元一次方程组存在唯一解则两直线必然不平行，而直线不平行，则两直线相交或重合，方程组有唯一解或无穷解。所以选D

8.不解方程组判断方程组的解的个数。

【答案】当即时，方程组有唯一解，

当即时，，，方程组无解。

【解析】，，

，

1）当即时，方程组有唯一解，

2）当即时，，，方程组无解。

9.已知数列的前项和.(1)求数列的通项公式；
(2)若，设，求数列的前项和及.

【答案】(1) (2) ,

【解析】 (1)
当时，
当时，，满足上式，∴；
(2) ，，
∴
∴

10.三阶行列式,元素的代数余子式为,,

(1) 求集合;

(2)函数的定义域为若求实数的取值范围.

【答案】(1) (2)

【解析】(1)、= 

(2)若则说明在上至少存在一个值,使不等式成立, 

即在上至少存在一个值,使成立, 

令则只需即可 

又

当时,从而 

由⑴知,

笔耕不辍