必修 第一册3.1 函数同步训练题

这是一份必修 第一册3.1 函数同步训练题，共6页。

1．若函数y＝sin 2x的图象向左平移eq \f(π,4)个单位长度得到y＝f(x)的图象，则( )
A．f(x)＝cs 2x B．f(x)＝sin 2x
C．f(x)＝－cs 2x D．f(x)＝－sin 2x
解析：选A 依题意得f(x)＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))＝cs 2x.故选A.
2．函数y＝cs x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝cs ωx，则ω的值为( )
A．2 B．eq \f(1,2)
C．4 D.eq \f(1,4)
解析：选B 由题意可知得到图象的解析式为y＝cs eq \f(1,2)x，所以ω＝eq \f(1,2).
3．将函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))的图象上所有点的横坐标缩短为原来的eq \f(1,2)(纵坐标不变)，再将所得函数的图象向左平移eq \f(π,3)个单位长度，则最终所得函数图象对应的解析式为( )
A．y＝cseq \f(1,2)x B．y＝sin 2x
C．y＝sineq \f(1,2)x D．y＝cs 2x
解析：选D 函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))的图象上所有点的横坐标缩短为原来的eq \f(1,2)(纵坐标不变)，得到y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))的图象，再将所得函数的图象向左平移eq \f(π,3)个单位长度，得到y＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))－\f(π,6)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))＝cs 2x的图象．
4．已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,4)))(x∈R，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数f(x)的图象，只需将函数g(x)＝sin ωx的图象( )
A．向左平移eq \f(π,8)个单位长度
B．向右平移eq \f(π,8)个单位长度
C．向左平移eq \f(π,4)个单位长度
D．向右平移eq \f(π,4)个单位长度
解析：选A 由f(x)的最小正周期是π，得ω＝2，即f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,8)))))，因此它的图象可由g(x)＝sin 2x的图象向左平移eq \f(π,8)个单位长度得到．故选A.
5．如果两个函数的图象经过平移后能够重合，那么这两个函数称为“和谐”函数．下列函数中与g(x)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))能构成“和谐”函数的是( )
A．f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))
B．f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))
C．f(x)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,4)))
D．f(x)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))＋2
解析：选D 将函数g(x)图象上的所有的点向上平移2个单位长度，即得到函数f(x)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))＋2的图象，故选D.
6．将y＝sin 2x的图象向左平移eq \f(π,3)个单位长度，得到的曲线对应的解析式为________．
解析：y＝sin 2xy＝sin 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3))).
答案：y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(2π,3)))
7．将函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))的图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标________(填“伸长”或“缩短”)为原来的________倍，将会得到函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))的图象．
解析：A＝3>1，故将函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的3倍，即可得到函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))的图象．
答案：伸长 3
8．已知函数f(x)＝Asin ωx(A>0，ω>0)的最小正周期为π，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为y＝g(x)．若geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝eq \r(2)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,8)))的值为________．
解析：∵f(x)的最小正周期为π，∴eq \f(2π,ω)＝π，∴ω＝2，∴f(x)＝Asin 2x.将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)＝Asin x．∵geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝eq \r(2)，∴geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝Asin eq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),2)A＝eq \r(2)，∴A＝2，∴f(x)＝2sin 2x.∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,8)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(3π,8)))＝2sin eq \f(3π,4)＝2×eq \f(\r(2),2)＝eq \r(2).
答案：eq \r(2)
9．已知函数y＝f(x)的图象上的每一点的纵坐标扩大到原来的4倍，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x轴向左平移eq \f(π,2)个单位，这样得到的曲线和y＝2sin x的图象相同，求函数y＝f(x)的解析式．
解：y＝2sin x的图象
y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,2)))的图象
即f(x)＝－eq \f(1,2)cs 2x.
10．已知函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))，将函数f(x)图象上点的横坐标伸长为原来的4倍，再向右平移eq \f(π,3)个单位长度后得到函数g(x)的图象．
(1)画出函数g(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(11π,3)))上的大致图象；
(2)求函数f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))上的单调递减区间．
解：(1)将函数f(x)的图象的横坐标伸长为原来的4倍，得到y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,6)))的图象，
再向右平移eq \f(π,3)个单位长度后，得到g(x)＝2sineq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\b\lc\((\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))))－eq \f(π,6)]＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,3)))的图象，列表如下：
故函数g(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(11π,3)))上的大致图象如图所示．
(2)令eq \f(π,2)＋2kπ≤2x－eq \f(π,6)≤eq \f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)，
得eq \f(π,3)＋kπ≤x≤eq \f(5π,6)＋kπ(k∈Z)，令k＝0，得eq \f(π,3)≤x≤eq \f(5π,6)，令k＝1，得eq \f(4π,3)≤x≤eq \f(11π,6)，
故函数f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))上的单调递减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(5π,6)))和eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(4π,3)，\f(3π,2))).
[B级 综合运用]
11．为了得到函数g(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(π,3)))的图象，只需将函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))图象上所有的点( )
A．横坐标缩短到原来的eq \f(2,3)
B．横坐标伸长到原来的eq \f(3,2)倍
C．横坐标缩短到原来的eq \f(2,3)，再向右平移eq \f(π,12)个单位长度
D．横坐标伸长到原来的eq \f(3,2)倍，再向右平移eq \f(π,12)个单位长度
解析：选A 由题可得f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)－\f(π,3)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))，故只需将其图象上所有点的横坐标缩短到原来的eq \f(2,3)，即可得到函数g(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(π,3)))的图象．故选A.
12．(多选)已知曲线C1：y＝sin x，C2：y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，下列说法中正确的是( )
A．把C1向左平移eq \f(π,3)个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的2倍，得到C2
B．把C1向左平移eq \f(π,3)个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的eq \f(1,2)倍，得到C2
C．把C1上所有点的横坐标变为原来的eq \f(1,2)倍，再向左平移eq \f(π,3)个单位长度，得到C2
D．把C1上所有点的横坐标变为原来的eq \f(1,2)倍，再向左平移eq \f(π,6)个单位长度，得到C2
解析：选BD 由函数y＝sin x的图象向左平移eq \f(π,3)个单位长度，得到y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))，再将所有点的横坐标变为原来的eq \f(1,2)倍，得到y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，故A错误，B正确．
由函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标变为原来的eq \f(1,2)倍，得到y＝sin 2x，再向左平移eq \f(π,6)个单位长度，得到y＝sin 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，故C错误，D正确．
13．给出下列六种图象变换的方法：
①图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)；
②图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍；
③图象向右平移eq \f(π,3)个单位长度；
④图象向左平移eq \f(π,3)个单位长度；
⑤图象向右平移eq \f(2π,3)个单位长度；
⑥图象向左平移eq \f(2π,3)个单位长度．
请用上述变换中的两种变换，将函数y＝sin x的图象变换为函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,3)))的图象，那么这两种变换正确的标号是________．(按变换先后顺序填上一种你认为正确的标号即可)
解析：y＝sin x的图象eq \(――→,\s\up7(④))y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))的图象eq \(――→,\s\up7(②))y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,3)))的图象，或y＝sin x的图象eq \(――→,\s\up7(②))y＝sin eq \f(x,2)的图象eq \(――→,\s\up7(⑥))y＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(2π,3)))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,3)))的图象．
答案：④②或②⑥
14．设f(x)＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＋eq \r(3).
(1)求f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的最大值和最小值；
(2)把y＝f(x)的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移eq \f(2π,3)个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)的单调减区间．
解：(1)当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，2x－eq \f(π,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(2π,3))).
当x＝0时，函数f(x)有最小值，
f(x)min＝f(0)＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))＋eq \r(3)＝－eq \r(3)；
当x＝eq \f(5π,12)时，函数f(x)有最大值，
f(x)max＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)))＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(5π,12)－\f(π,3)))＋eq \r(3)＝4＋eq \r(3).
(2)把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))＋eq \r(3)的图象，再把得到的图象向左平移eq \f(2π,3)个单位长度，得到y＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))＋eq \r(3)的图象，
所以g(x)＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))＋eq \r(3).
由2kπ＋eq \f(π,2)≤x＋eq \f(π,3)≤2kπ＋eq \f(3π,2)，k∈Z，得2kπ＋eq \f(π,6)≤x≤2kπ＋eq \f(7π,6)，k∈Z.
所以g(x)的单调减区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,6)，2kπ＋\f(7π,6)))(k∈Z)．
[C级 拓展探究]
15．已知函数f(x)＝2sin ωx，其中常数ω＞0.
(1)若y＝f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(2π,3)))上单调递增，求ω的取值范围；
(2)令ω＝2，将函数y＝f(x)的图象向左平移eq \f(π,6)个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，区间[a，b](a，b∈R且a＜b)满足：y＝g(x)在[a，b]上至少含有30个对称中心，在所有满足上述条件的[a，b]中，求b－a的最小值．
解：(1)因为ω＞0，
根据题意有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)ω≥－\f(π,2)，,\f(2π,3)ω≤\f(π,2)))⇒0＜ω≤eq \f(3,4).
所以ω的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3,4))).
(2)由f(x)＝2sin 2x可得，g(x)＝2sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))))＋1＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＋1，
g(x)＝0⇒sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＝－eq \f(1,2)⇒x＝kπ－eq \f(π,4)或x＝kπ－eq \f(7,12)π，k∈Z，
即g(x)的对称中心间隔依次为eq \f(π,3)和eq \f(2π,3)，
故若y＝g(x)在[a，b]上至少含有30个对称中心，
则b－a的最小值为14×eq \f(2π,3)＋15×eq \f(π,3)＝eq \f(43π,3).eq \f(1,2)x－eq \f(π,3)
－eq \f(π,2)
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
x
－eq \f(π,3)
eq \f(2π,3)
eq \f(5π,3)
eq \f(8π,3)
eq \f(11π,3)
g(x)
－2
0
2
0
－2