数学必修 第一册1.4 随机事件的运算当堂达标检测题

随机事件的运算

中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，“甲夺得冠军”为事件A，“乙夺得冠军”为事件B.

[问题]　那么“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”用事件A与B如何表示？

知识点　随机事件的运算

1．交事件(积事件)

2．并事件(和事件)

3．互斥事件

4．对立事件

1．如果A与B相互对立，则A与B互斥，但反之不成立．

2．(A)＋(B)表示的是A与B的和，实际意义是：A发生且B不发生，或者A不发生且B发生，换句话说就是A与B中恰有一个发生．

同数的加、减、乘、除混合运算一样，事件的混合运算也有优先级，我们规定：求积运算的优先级高于求和运算，因此(A)＋(B)可简写为A＋B.　　　　

1．一枚骰子掷一次，记事件A＝{出现的点数为2}，事件C＝{出现的点数为偶数}，事件D＝{出现的点数小于3}，则事件A，C，D有什么关系？

提示：A＝C∩D.

2．命题“事件A与B为互斥事件”与命题“事件A与B为对立事件”有什么关系？(指充分性与必要性)

提示：根据互斥事件和对立事件的概念可知，“事件A与B为互斥事件”是“事件A与B为对立事件”的必要不充分条件．

1．从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是(　　)

A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”

B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”

C．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”

D．“至少有一个黑球”与“都是红球”

解析：选C　A中的两个事件能同时发生，故不互斥；同样，B中两个事件也可同时发生，故不互斥；D中两个事件是对立的，故选C.

2．掷一颗骰子，统计正面向上的点数．记“出现5点”＝A，“出现3点”＝B，“出现1点”＝C，则“出现奇数点”这一事件可表示为________．事件A∪B与事件C是否互为对立事件，________(填“是”或“否”).

答案：A∪B∪C　否

3．有甲、乙两台机床，记“甲正常工作”＝A，“乙正常工作”＝B，则AB表示________，“甲不能正常工作”可记为________．

答案：“甲、乙同时正常工作”　

[例1]　(链接教科书第191页练习1题)某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件？如果是，再判断它们是不是对立事件：

(1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”；

(2)“至少有1名男生”与“全是男生”；

(3)“至少有1名男生”与“全是女生”；

(4)“至少有1名男生”与“至少有1名女生”．

[解]　从3名男生和2名女生中任选2人有如下三种结果：2名男生，2名女生，1男1女．

(1)“恰有1名男生”指1男1女，与“恰有2名男生”不能同时发生，它们是互斥事件；但是当选取的结果是2名女生时，该两事件都不发生，所以它们不是对立事件．

(2)“至少1名男生”包括2名男生和1男1女两种结果，与事件“全是男生”可能同时发生，所以它们不是互斥事件．

(3)“至少1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥，由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．

(4)“至少有1名女生”包括1男1女与2名女生两种结果，当选出的是1男1女时，“至少有一名男生”与“至少一名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．

判断事件间关系的方法

(1)要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立其发生的条件都是一样的；

(2)考虑事件间的结果是否有交事件，可考虑利用Venn图分析，对较难判断关系的，也可列出全部结果，再进行分析．　　　　

[跟踪训练]

判断下列给出的每对事件，是否为互斥事件，是否互为对立事件，并说明理由．

从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张)中，任取1张．

(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；

(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；

(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．

解：(1)是互斥事件，不是对立事件．

理由是从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．

(2)既是互斥事件，又是对立事件．

理由是从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．

(3)不是互斥事件，也不是对立事件．

理由是从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然也不可能是对立事件．

[例2]　(链接教科书第190页例5)从某大学数学系图书室中任选一本书．设A＝{数学书}；B＝{中文版的书}；C＝{2020年后出版的书}．问：

(1)A∩B∩表示什么事件？

(2)在什么条件下有A∩B∩C＝A?

[解]　(1)A∩B∩＝{2020年或2020年前出版的中文版的数学书}．

(2)在“图书室中所有数学书都是2020年后出版的且为中文版”的条件下才有A∩B∩C＝A.

[母题探究]

1．(变设问)本例条件不变，⊆B表示什么意思？

解：⊆B表示2020年或2020年前出版的书全是中文版的．

2．(变设问)本例条件不变，如果＝B，那么是否意味着图书室中所有的数学书都不是中文版的？

解：是．＝B意味着图书室中的非数学书都是中文版的，而且所有的中文版的书都不是数学书．

事件运算应注意的2个问题

(1)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析；

(2)在一些比较简单的题目中，需要判断事件之间的关系时，可以根据常识来判断．但如果遇到比较复杂的题目，就得严格按照事件之间关系的定义来推理．　　　　

[跟踪训练]

1．抛掷一枚质地均匀的骰子，事件E＝“向上的点数为1”，事件F＝“向上的点数为5”，事件G＝“向上的点数为1或5”，则有(　　)

A．E⊆F　　　　　　　　 B．G⊆F

C．E∪F＝G    D．E∩F＝G

解析：选C　根据事件之间的关系，知事件G发生当且仅当事件E发生或事件F发生，所以E∪F＝G，故选C.

2．(多选)一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品．从这批产品中任意抽取5件，现给出以下四个事件：

事件A：恰有一件次品；事件B：至少有两件次品；

事件C：至少有一件次品；事件D：至多有一件次品．

则以下结论正确的是(　　)

A．A∪B＝C　　　　 B．D∪B是必然事件

C．A∩B＝C    D．A∩D＝C

解析：选AB　事件A∪B：至少有一件次品，即事件C，所以A正确；事件D∪B：至少有两件次品或至多有一件次品，包括了所有情况，所以B正确；事件A∩B＝∅，C不正确；事件A∩D：恰有一件次品，即事件A，所以D不正确．

事件关系的判断与集合形式表示

2019年4月23日，作为全国第三批启动高考综合改革试点的8个省市，河北、辽宁、江苏、福建、湖北、湖南、广东、重庆23日相继发布了本省份高考综合改革实施方案，明确从2018年秋季入学的高中一年级学生开始实施．

根据公布的实施方案，8个省市将采用“3＋1＋2”模式：“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有学生必考；“1”为首选科目，考生须在高中学业水平考试的物理、历史科目中选择一科；“2”为再选科目，考生可在化学、生物、思想政治、地理4个科目中选择两科．

[问题探究]

1．小李从物理、历史中选择1门，再在思想政治、地理、化学、生物中选择2门，请写出试验的样本空间，并说出样本点的个数．

提示：试验的样本点可用(x，y，z)表示，其中从物理、历史中选择1门，结果用x表示；从思想政治、地理、化学、生物中选择2门，结果用y，z表示．

该试验的样本空间Ω＝{(物理，思想政治，地理)，(物理，思想政治，化学)，(物理，思想政治，生物)，(物理，地理，化学)，(物理，地理，生物)，(物理，化学，生物)，(历史，思想政治，地理)，(历史，思想政治，化学)，(历史，思想政治，生物)，(历史，地理，化学)，(历史，地理，生物)，(历史，化学，生物)}，样本点的个数为12.

2．小李从物理、历史中选择1门，再在思想政治、地理、化学、生物中选择2门，若记事件A为“小李物理必选”；事件B为“小李生物必选”，用集合表示这两个事件，并判断事件A与事件B是不是互斥事件，是不是对立事件．

提示：A＝{(物理，思想政治，地理)，(物理，思想政治，化学)，(物理，思想政治，生物)，(物理，地理，化学)，(物理，地理，生物)，(物理，化学，生物)}，

B＝{(物理，思想政治，生物)，(物理，地理，生物)，(物理，化学，生物)，(历史，思想政治，生物)，(历史，地理，生物)，(历史，化学，生物)}．

则事件A，B中含有相同的样本点(物理，思想政治，生物)，(物理，地理，生物)，(物理，化学，生物)，

所以事件A与事件B不是互斥事件，也不是对立事件．

3．在第2小题的条件下，用集合的形式表示事件A∪B和事件∩，并说明事件A∪B和事件∩的关系．

提示：由第2问可知，事件A∪B＝{(物理，思想政治，地理)，(物理，思想政治，化学)，(物理，思想政治，生物)，(物理，地理，化学)，(物理，地理，生物)，(物理，化学，生物)，(历史，思想政治，生物)，(历史，地理，生物)，(历史，化学，生物)}，

事件∩＝{(历史，思想政治，地理)，(历史，思想政治，化学)，(历史，地理，化学)}，

所以事件A∪B和事件∩既是互斥事件，也是对立事件．

[迁移应用]

有一个正方体的玩具，六个面标注了数字1，2，3，4，5，6，甲、乙两位学生进行如下游戏：甲先抛掷一次，记下正方体朝上的数字为a，再由乙抛掷一次，记下正方体朝上的数字为b，若|a－b|≤1，就称甲、乙两人“默契配合”，则甲、乙两人“默契配合”的样本点为________________．

答案：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，5)，(6，6)

1．一个人连续射击三次，事件“至少有一次击中目标”的对立事件是(　　)

A．至多有一次击中目标　　 B．三次都击不中目标

C．三次都击中目标    D．只有一次击中目标

解析：选B　一个人连续射击三次，事件“至少有一次击中目标”的对立事件是“三次都击不中目标”．故选B.

2.给出事件A与B的关系示意图，如图所示，则(　　)

A．A⊆B

B．A⊇B

C．A与B互斥

D．A与B互为对立事件

解析：选C　由互斥事件的定义可知，C正确．故选C.

3．抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则(　　)

A．A⊆B

B．A＝B

C．A∪B表示向上的点数是1或2或3

D．AB表示向上的点数是1或2或3

解析：选C　由题意可知A＝{1，2}，B＝{2，3}，则A∩B＝{2}，A∪B＝{1，2，3}，所以A∪B表示向上的点数是1或2或3.故选C.

4．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，事件E＝{向上的点数为偶数}，F＝{向上的点数为质数}，则E∩F＝______．

解析：E＝{向上的点数为偶数}＝{2，4，6}，

F＝{向上的点数为质数}＝{2，3，5}，

∴E∩F＝{向上的点数为2}．

答案：{向上的点数为2}

5．盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．

问：(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？

(2)事件C与A的交事件是什么事件？

(3)设事件E＝{3个红球}，事件F＝{3个球中至少有1个白球}，那么事件C与B，E是什么运算关系？C与F的交事件是什么？

解：(1)对于事件D，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球，故D＝A∪B.

(2)对于事件C，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球或3个均为红球，故C∩A＝A.

(3)由事件C包括的可能结果有1个红球2个白球，2个红球1个白球，3个红球三种情况，故B⊆C，E⊆C，而事件F包括的可能结果有1个白球2个红球，2个白球1个红球，3个白球，所以C∩F＝{1个红球2个白球，2个红球1个白球}＝D.