2022年普通高中学业水平模拟试卷九（含答案）

2022年普通高中学业水平模拟试卷九

一、选择题

1.已知全集，且，则（     ）

A.       B.        C.       D.

2.如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cosα的值为(　 　)

A.        B.－         C.        D.－

3.对于函数y=f(x)，以下说法正确的有 (  )

①y是x的函数

②对于不同的x，y的值也不同

③f(a)表示当x=a时函数f(x)的值，是一个常量

④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来

A．1个  B．2个  C．3个  D．4个

4.设y=f(x)是一次函数，若f(0)=1，且f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，则f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)等于(　　)

A．n(2n＋3)        B．n(n＋4)      C．2n(2n＋3)       D．2n(n＋4)

5.在△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB.若=a，=b，|a|=1，|b|=2，则=(　　).

A.a＋b         B.a＋b        C.a＋b         D.a＋b                           

6.已知2sin α－cos α=0，则sin2α－2sin αcos α的值为(　　)

A.－         B.－       C.         D.

7.已知双曲线9y2－m2x2=1(m＞0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则m=(　　)

A.1         B.2        C.3         D.4

8.设a=，b=，c=ln，则(　　)

A.c＜a＜b         B.c＜b＜a       C.a＜b＜c         D.b＜a＜c

9.已知命题p：|x＋1|>2；命题q：x≤a，且¬p是¬q的充分不必要条件，

则a的取值范围是(　　)

A.(－∞，－3)   B.(－∞，－3]    C.(－∞，1)    D.(－∞，1]

10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，且满足sin B(1＋2cos C)=2sin Acos C＋cos Asin C，则下列等式成立的是(　　)

A．a=2b            B．b=2a            C．A=2B            D．B=2A

11.若<<0，则下列不等式：①a＋b<ab；②|a|>|b|；③a<b中，正确的不等式的个数有(　　)

A.0个       B.1个       C.2个       D.3个

12.若函数f(x)=2sin ωx(0<ω<1)在区间上的最大值为1，则ω=(　　)

A.             B.            C.             D.

13.如图所示，动点P在正方体ABCDA1B1C1D1的体对角线BD1上.过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体的表面相交于M，N两点.设BP=x，MN=y，则函数y=f(x)的图象大致是( 　)

14.函数f(x)=x＋(x<0)的值域为(　　)

A．(-∞，0)         B．(-∞，-2]       C．[2，＋∞)    D．(-∞，＋∞)

15.α是第四象限的角，cos α=，则sin(20kπ-α)=(　　)

A.           B.-             C.            D.-

16.命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是(　　)

A.所有不能被2整除的整数都是偶数

B.所有能被2整除的整数都不是偶数

C.存在一个不能被2整除的整数是偶数

D.存在一个能被2整除的整数不是偶数

17.设函数f(x)=，若f(a)<1，则实数a的取值范围是(　 　)

A.(－∞，－3)        B.(1，＋∞)

C.(－3,1)        D.(－∞，－3)∪(1，＋∞)

18.若sin(α＋β)=，sin(α- β)=，则的值为(　　)

A.5         B.- 1        C.6         D.

19.方程y=表示的曲线是(　　)

A.一条射线                              B.一个圆         C.两条射线                              D.半个圆

20.将三角函数向左平移个单位后，得到的函数解析式为（     ）

A.      B.      C.sin2x       D.cos2x

21.已知函数f(x)=，则下列区间不是递减区间的是(      )

A.(0，+∞)         B.(-∞，0)        C.(-∞，0)∪(0，+∞)      D.(1，+∞)

22.已知两个不同的平面α，β和两条不重合的直线m，n，有下列四个命题：

①若m∥n，m⊥α，则n⊥α；

②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；

③若m，n与α所成的角相等，则m∥n；

④若m∥α，α∩β=n，则m∥n.

其中正确命题的个数是(　　)

A.1       B.2           C.3       D.4

23.下列各式中，值为的是(　　)

A.sin 15°cos 15°         B.cos2- sin2

C.         D.

24.若复数z=a2－1＋(a＋1)i(a∈R)是纯虚数，则的虚部为(　 　)

A.－        B.－i        C.        D.i

25.点M(x0，y0)是圆x2＋y2=a2(a＞0)内不为圆心的一点，则直线x0x＋y0y=a2与该圆的位置关系是(　　).

A.相切　   　　B.相交          C.相离          D.相切或相交

26.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为(     )

 A.18         B.24             C.32             D. 36

27.双曲线两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为(　　)

A.2            B.          C.           D.

28.已知平面向量a=(－2，m)，b=(1，)，且(a－b)⊥b，则实数m的值为(　　)

A.－2        B.2        C.4        D.6

29.长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3,4,5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为(　　)

A.25π              B.50π            C.125π                D.以上都不对

30.设x，y满足约束条件，则z=x－y的取值范围是(　　)

A.[－3，0]       B.[－3，2]    C.[0，2]         D.[0，3]

二、填空题

31.已知f(x)=则f［f(-1)］=_______________.

32.已知曲线f(x)= ，g(x)=过两曲线交点作两条曲线的切线，则曲线f(x)在交点处的切线方程为__________________．

33.如图所示，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________.

34.已知函数y=x3＋ax2＋bx＋27在x=-1处有极大值，在x=3处有极小值，则a=______，b=______.

三、解答题

35.已知数列{an}的前n项和Sn=1＋λan，其中λ≠0.

(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；

(2)若S5=，求λ.

36.已知过抛物线y2=4x的焦点F的弦长为36，求弦所在的直线的方程.

37.已知函数f(x)=1＋2sincos－2cos2，△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.

(1)求f(A)的取值范围；

(2)若A为锐角且f(A)=，2sinA=sinB＋sinC，△ABC的面积为，求b的值.

38.如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为矩形，PA⊥BD，PA=1，BC=2，PD=．

（1）证明：平面PAB⊥平面PAD，且PA⊥AC；

（2）若四棱锥P-ABCD的每个顶点都在球O的球面上，且球O的表面积为6π，

求三棱锥B-PCD的体积．

0.答案解析

1.C

2.答案为：D.

解析：因为点A的纵坐标yA=，且点A在第二象限，又因为圆O为单位圆，

所以A点横坐标xA=－，由三角函数的定义可得cosα=－.

3.B

4.答案为：A.

解析：由题意可设f(x)=kx＋1(k≠0)，则(4k＋1)2=(k＋1)×(13k＋1)，解得k=2，

f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)=(2×2＋1)＋(2×4＋1)＋…＋(2×2n＋1)

=2(2＋4＋…＋2n)＋n=n(2n＋3)．

5.答案为：B；

6.答案为：A；

解析：由已知2sin α－cos α=0得tan α=，所以sin2α－2sin αcos α

===－.故选A.

7.答案为：D

解析：由题意知双曲线的一个顶点为，一条渐近线的方程为mx－3y=0，

则顶点到渐近线的距离为=， 解得m=4.

8.答案为：B.

解析：因为a=＞＞b=＞0，c=ln＜ln 1=0，所以c＜b＜a，故选B.

9.答案为：A

解析：命题p：|x＋1|>2，即x<－3或x>1.∵¬p是¬q的充分不必要条件，

∴q是p的充分不必要条件，∴{x|x≤a}{x|x<－3或x>1}，∴a<－3.故选A.

10.答案为：A.

解析：因为A＋B＋C=π，sin B(1＋2cos C)=2sin Acos C＋cos Asin C，

所以sin(A＋C)＋2sin Bcos C=2sin Acos C＋cos Asin C，

所以2sin B cos C=sin Acos C.

又cos C≠0，所以2sin B=sin A，所以2b=a，故选A.

11.答案为：B

解析：由<<0，得a<0，b<0，故a＋b<0且ab>0，所以a＋b<ab，即①正确；

由<<0，得||>||，两边同乘|ab|，得|b|>|a|，故②错误；

由①②知|b|>|a|，a<0，b<0，那么a>b，即③错误，故选B.

12.答案为：C；

因为0<ω<1,0≤x≤，所以0≤ωx<，所以f(x)在区间上单调递增，

则f(x)max=f=2sin =1，即sin =.又0≤ωx<，

所以=，解得ω=，选C.

13.答案为：B；

解析：设正方体的棱长为1，显然，当P移动到体对角线BD1的中点E时，函数y=MN=AC=取得唯一的最大值，所以排除A、C；当P在BE上时，分别过M，N，P作底面的垂线，垂足分别为M1，N1，P1，则y=MN=M1N1=2BP1=2xcos∠D1BD=x，是一次函数，所以排除D，故选B.

14.答案为：B；

解析：f(x)=-≤-2 =-2，当且仅当-x=，即x=-1时，等号成立．

15.答案为：A；解析：由题意得sin α=-=-，∴sin(20kπ-α)=sin(-α)=-sin α=.

16.答案为：D；

解析：原命题是全称量词命题，其否定是：存在一个能被2整除的整数不是偶数.

17.答案为：C.

解析：当a<0时，不等式f(a)<1为()a－7<1，即()a<8，即()a<()－3，

因为0<<1，所以a>－3，此时－3<a<0；当a≥0时，

不等式f(a)<1为<1，所以0≤a<1.故a的取值范围是(－3,1)，故选C.

18.答案为：A；

解析：由题意知sin αcos β＋cos αsin β=，sin αcos β- cos αsin β=，

所以sin αcos β=，cos αsin β=，所以=5，即=5，故选A.

19.答案为：D

20.D.

21.答案为：C

22.答案为：B

解析：对于①，若m∥n，m⊥α，则n⊥α，故该命题为真命题；对于②，若m⊥α，m⊥β，则α∥β，故该命题为真命题；对于③，若m，n与α所成的角相等，则m与n可能平行、相交或异面，故该命题为假命题；对于④，若m∥α，α∩β=n，则m与n的位置关系不确定，故该命题为假命题.故选答案为：B.

23.答案为：B；

解析：A.sin 15°cos 15°=sin 30°=.B.cos2 - sin2=cos =.

C.=tan 60°=.D. =cos 15°=.故选B.

24.答案为：A.

解析：由题意得所以a=1，

所以===－i，

根据虚部的概念，可得的虚部为－.

25.答案为：C.

26.D

27.答案为：C；

解析：双曲线为等轴双曲线，两条渐近线方程为y=±x，即=1，e==.

28.答案为：B

解析：∵a=(－2，m)，b=(1，)，∴a－b=(－2，m)－(1，)=(－3，m－).

由(a－b)⊥b，得(a－b)·b=0，即(－3，m－)·(1，)=－3＋m－3=m－6=0，

解得m=2　.故选B.

29.答案为：B；

解析：外接球的直径2R=长方体的体对角线=(a、b、c分别是长、宽、高).

30.答案为：B；

解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，

作出直线l0：y=x，平移直线l0，当直线z=x－y过点A(2，0)时，z取得最大值2，

当直线z=x－y过点B(0，3)时，z取得最小值－3，所以z=x－y的取值范围是[－3，2].

一、填空题

31.答案为：π；

32.答案为：x－2y＋1=0；

解析：由得∴两曲线的交点坐标为(1,1)．

由f(x)= ，得f′(x)=li =li =，

∴y=f(x)在点(1,1)处的切线方程为y－1=(x－1)．即x－2y＋1=0.

33.答案为：0.18

解析：由题意知，==0.18.∵S正=1，∴S阴=0.18.

34.答案为：-3，-9；解析：由题意y′=3x2＋2ax＋b=0的两根为-1和3，∴由根与系数的关系得，

-1＋3=-，-1×3=，∴a=-3，b=-9.

二、解答题

35.解：(1)证明：由题意得a1=S1=1＋λa1，

故λ≠1，a1=，故a1≠0.

由Sn=1＋λan，Sn＋1=1＋λan＋1得an＋1=λan＋1－λan，

即an＋1(λ－1)=λan.

由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以=.

因此{an}是首项为，公比为的等比数列，

于是an=()n－1.

(2)由(1)得Sn=1－()n.

由S5=得1－()5=，即()5=.

解得λ=－1.

36.解：∵抛物线y2=4x的焦点为F(1,0)，

∴过焦点F，垂直于x轴的弦长为4＜36.

∴弦所在直线斜率存在，

由题意可设弦所在的直线的斜率为k，且与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点.

∴设直线方程为y=k(x－1).

由消去y，整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2=0，

∴x1＋x2=.∴|AB|=|AF|＋|BF|=x1＋x2＋2=＋2.

又|AB|=36，∴＋2=36.∴k=±.

故所求直线的方程为y=x－1或y=－x－1.

37.解：(1)f(x)=sinx－cosx=2sin（x－），∴f(A)=2sin（A－），

由题意知，0<A<π，则A－∈(－，)，∴sin（A－）∈(- ，1]，

故f(A)的取值范围为(－1,2].

(2)由题意知，sin（A－）=，

∵A为锐角，即A∈（0，），∴A－∈(－，)，

∴A－=，即A=.

由正、余弦定理及三角形的面积公式，

得解得b=.

38.解：（1）证明：因为底面为矩形，

所以，则，所以．

又在矩形中，，，所以平面．

因为平面，所以平面平面．

因为，，所以平面．

又平面，所以．

（2）根据已知条件可知，球的球心为侧棱的中点，

则球的半径，

所以球的表面积为，解得，

所以．