数学选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理教学设计
展开空间向量基本定理
教学目标 | 1.掌握及其推论,理解空间任意一个向量可以用不共面的三个已知向量线性表示,而且这种表示是唯一的; 2.在简单问题中,会选择适当的基底来表示任一空间向量。 |
教学重难点 | 重点:空间向量的基本定理及其推论。 难点:空间向量的基本定理唯一性的理解。 |
教学过程 | |
一、创设情景 平面向量基本定理的内容及其理解 如果是同一平面内的两个不共线向量, 那么对于这一平面内的任一向量,有且只 有一对实数,使 二、建构数学 空间向量的基本定理 如果三个向量不共面,那么对空间任一向量,存在一个唯一的有序实数组,使 证明:(存在性)设不共面, 过点作 过点作直线平行于,交平面于点; 在平面内,过点作直线,分别与直线相交于点,于是,存在三个实数,使 ∴ 所以 (唯一性)假设还存在使 ∴ ∴ 不妨设即 ∴ ∴共面此与已知矛盾 ∴该表达式唯一 综上两方面,原命题成立 由此定理, 若三向量不共面,那么空间的任一向量都可由线性表示,我们把{}叫做空间的一个基底,叫做基向量。 空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底 如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直,那么这个基底叫做正交基底,特别地,当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时,称这个基底为单位正交基底,通常用表示。 推论:设是不共面的四点,则对空间任一点,都存在唯一的三个有序实数,使 三、数学运用 如图,在正方体中,,点E是AB与OD的交点,M是OD/与CE的交点,试分别用向量表示和 解:
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