高中数学讲义微专题55 数列中的不等关系学案

www.ks5u.com第55炼 数列中的不等关系

一、基础知识：

1、在数列中涉及到的不等关系通常与数列的最值有关，而要求的数列中的最值项，要依靠数列的单调性，所以判断数列的单调性往往是此类问题的入手点

2、如何判断数列的单调性：

（1）函数角度：从通项公式入手，将其视为关于的函数，然后通过函数的单调性来判断数列的单调性。由于 ，所以如果需要用到导数，首先要构造一个与通项公式形式相同，但定义域为 的函数，得到函数的单调性后再结合得到数列的单调性

（2）相邻项比较：在通项公式不便于直接分析单调性时，可考虑进行相邻项的比较得出数列的单调性，通常的手段就是作差（与0比较，从而转化为判断符号问题）或作商（与1比较，但要求是正项数列）

3、用数列的眼光去看待有特征的一列数：在解数列题目时，不要狭隘的认为只有题目中的是数列，实质上只要是有规律的一排数，都可以视为数列，都可以运用数列的知识来进行处理。比如：含的表达式就可以看作是一个数列的通项公式；某数列的前项和也可看做数列等等。

4、对于某数列的前项和，在判断其单调性时可以考虑从解析式出发，用函数的观点解决。也可以考虑相邻项比较。在相邻项比较的过程中可发现：，所以的增减由所加项的符号确定。进而把问题转化成为判断的符号问题

二、典型例题

例1：已知数列，前项和满足

（1）求的通项公式   

（2）设，若数列是单调递减数列，求实数的取值范围 

解：（1）

时，

当时，符合上式

（2）思路：由（1）可得：，由已知为单调递减数列可得对均成立，所以代入通项公式得到关于的不等式，即只需，构造函数或者数列求出的最大值即可

解：

是递减数列  ，

即

只需

① 构造函数：设

则

所以在单调递增，在单调递减

 时，

即   

② 构造数列：设数列的通项公式

时，，即

当时，

所以的最大项为

例2：已知等差数列中，，记数列的前项和为，若，对任意的恒成立，则整数的最小值是（    ）

A.                 B.              C.               D.

思路：若恒成立，，要找，则需先确定的通项公式得到：，所以，发现无法直接求和，很难变为简单的表达式，所以考虑将视为一个数列，通过相邻项比较寻找其单调性：

，进而单调递减，，所以，从而

答案：B

例3：已知数列满足，若为等比数列，且

（1）求

（2）设，记数列的前项和为

① 求

② 求正整数，使得对于，均有

解：（1）

      或（舍）

（2）①

② 思路：实质是求取到最大值的项，考虑分析的单调性，从解析式上很难通过函数的单调性判断，从而考虑相邻项比较。对于而言，的增减受符号的影响，所以将问题转化为判断的符号。可估计出当取得值较大时，会由正项变为负项。所以只要寻找到正负的分界点即可

解：

当时，可验证，从而可得

设，则

当时，递减

时，  

时，均有

例4：已知数列的前项和为且，数列满足：，，其前项和为

（1）求

（2）令，记的前项和为，对，均有，求的最小值

解：（1）

为公差是的等差数列

  时，

符合上式  

   为等差数列

设前项和为      

（2）思路：依题意可得：，可求出，从而，若最小，则应最接近的最大最小值（或是临界值），所以问题转化成为求的范围，可分析其单调性。单调递增。所以最小值为，而当时，，所以无限接近，故的取值范围为中的离散点，从而求出的最小值

解：

设，可知递增

，当时，

若最小，则  

例5、数列的前项和，数列满足

（1）求数列的通项公式

（2）求证：当时，数列为等比数列

（3）在（2）的条件下，设数列的前项和为，若数列中只有最小，求的取值范围

解：（1）

符合上式

（2）

考虑

即  

数列为等比数列

（3）思路：由（2）可求得通项公式，但不知其单调性，但可以先考虑必要条件以缩小的取值范围。若要最小，则最起码要比小，从而先求出满足的必要条件（也许最后结果是其子集），在这个范围内可判定为递增数列，从而能保证最小

由（2）可得：是公比为的等比数列

若要最小，则必然要即

则，所以为递增数列

，符合最小的条件

所以

小炼有话说：在求参数范围时如果不能一次准确列出参数所满足的条件，可先写出其必要条件适当缩小其取值范围，往往会给解题带来新的突破口

例6：（2014，文登市二模）各项均为正数的数列 ，其前项和为，满足 ，且

（1）求数列的通项公式

（2）若，令，设数列的前项和为，试比较与的大小

解：（1）

（舍）或

是公比为2的等比数列

，解得：

（2）思路：由（1）可得，进而可求出，比较大小只需两式作差，再进行化简通分可得。利用函数或构造数列判断出的符号即可

解：  

设   ，可得

为减函数 

例7：（2014，湖南模拟）已知各项都为正数的数列的前项和为，且对任意的，都有（其中，且为常数），记数列的前项和为

（1） 求数列的通项公式及

（2）当时，将数列的前项抽去其中一项后，剩下三项按原来的顺序恰为等比数列的前项，记的前项和为 ，若存在，使得对任意，总有恒成立，求实数的取值范围

解：（1）  ①

        ②

①②可得：

   即

为公差是的等差数列

在令得：解得：

（2）思路：本小问实质是在数列背景下的多元恒成立问题，先求的表达式。由已知可得：时，，要解决，首先要解出等比数列的通项公式。时，，进而 显然抽去的应为，所以，得到， ，所以要处理的恒成立不等式为：。 再利用最值逐步消元即可

解：时，，进而

成公比为的等比数列，即的公比为，且

而由（1），当时，，所以恒成立的不等式为：

，所以

设 可得为递增函数

所以对任意的均成立

即

设   为减函数

小炼有话说：本题在处理恒成立问题时，两个阶段对变量量词的不同导致取最大还是最小值要明确区分。第一阶段是存在，也就是说只要有满足不等式即可，所以只要最小值比右边小，就意味着已经存在这样的；第二阶段是对任意的，不等式均要成立，所以只要最大值满足不等式，剩下的函数值也必然能满足不等式。

例8：已知数列的前项和，数列满足

（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式 

（2）设数列满足（为非零整数，），问是否存在整数，使得对任意，都有   

解：（1）

即

是公差为1的等差数列  在令得：

（2）思路：由（1）可得：

，所以

等同于，化简可得： ，而的奇偶将决定的符号，所以要进行分类讨论

解：由（1）可得：

则等价于：

当为奇数时，恒成立不等式为：

所以只需

当为偶数时，恒成立不等式为：

所以只需

例9：已知数列前项和为，且

（1）求的通项公式   

（2）设，若集合恰有个元素，则实数的取值范围  

解：（1）

（2）思路：由（1）所得通项公式可利用错位相减法求 ，进而得到，要读懂集合恰有4个元素的含义，根据描述的特点可知：集合中的元素应该为从大到小排前4项的序数，所以只需判断出的单调性，并结合单调性选出较大的前4项，便可确定的取值。

解：

 两式相减可得：

下面考虑的单调性

时，，即

时，，所以

而

从大到小排的前4项为：

例10：（2015，天元区校级模拟）已知数列满足

（1）当时，求数列的前项和

（2）若对任意，都有成立，求的取值范围

解：（1）  ①

  ②

①②可得：

中奇数项成等差数列，偶数项成等差数列，公差均为4

当时，

当为奇数时，

所以当为偶数时

为奇数时

（2）思路：考虑将不等式转化为的不等式，由（1）可得的奇数项，偶数项各为等差数列，所以只要通过分类讨论确定的奇偶，即可把均用表示，再求出范围即可

解：由（1）可得：的奇数项，偶数项各为等差数列，且公差为4

当为奇数时，

化简后可得：

所以只需

设

   解得：或

当为偶数时，同理：，

化简可得：即

设可得：

综上所述：或

三、历年好题精选

1、已知数列的前项和为，且

（1）若，求数列的前项和

（2）若，求证：数列是等比数列，并求其通项公式

（3）记，若对任意的恒成立，求实数的最大值

2、已知数列是首项的等比数列，其前项和中成等差数列

（1）求数列的通项公式

（2）设，若，求证：

3、已知数列满足：，且

（1）证明：数列为等比数列

（2）求数列的通项公式

（3）设（为非零整数），试确定的值，使得对任意，都有成立

4、已知数列中，（为非零常数），其前项和满足

（1）求数列的通项公式

（2）若，且，求的值

（3）是否存在实数，使得对任意正整数，数列中满足的最大项恰为第项？若存在，分别求出的取值范围；若不存在，请说明理由

5、（2016，无锡联考）数列的前项和为，且对一切正整数都有．

（1）求证：

（2）求数列的通项公式

（3）是否存在实数，使得不等式对一切正整数都成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由

6、已知函数，数列满足

（1）求的通项公式

（2）令，，若对一切成立，求最小正整数

7、（2016，贵阳一中四月考）已知数列的前项和为，，且，数列满足，对任意，都有

（1）求数列的通项公式

（2）令，若对任意的，不等式恒成立，试求实数的取值范围

8、设数列为数列的前项和，且

（1）求的通项公式

（2）设，数列的前项和，若存在整数，使得对任意的都有成立，求的最大值

习题答案：

1、解析：（1）

（2）由可知，代入可得：

时，

代入可得：

，即是公比为的等比数列

在中，令可得：

（3）可知为递减数列

为递增数列

即的最大值为

2、解析：（1）成等差数列

（2）由（1）可得：

    为递增数列

综上所述：

3、解：（1）

是公比为的等比数列

（2）当时，，即

当时，

是公差为的等差数列

即

（3）由（2）可得：

   恒成立不等式为：

当为奇数时，

当为偶数时，

4、解析：（1）由已知令，则，所以

   当时，

验证可知符合通项公式

（2）可得   

（3）由可得

若，则，不符题意，舍去

若，则

的最大项恰为第项

因为该不等式对任意均成立

解得：

5、解析：（1）   

即

（2）由（1）可知

，两式相减可得：

中奇数项，偶数项分别成公差是4的等差数列

中令

令可得：

综上所述可得：

（3）恒成立的不等式为：

设，由可知

为递减数列

解得：

6、解析：（1）由已知可得：

为首项是1，公差是的等差数列

（2）当时，

可验证当时，满足上式

所以对一切均成立

最小正整数为

7、解析：（1）

可得：

，验证时，符合上式

由可知为等比数列

（2）

故恒成立不等式为：

化简可得：。所以只需

设

8、解析：（1）

是公差为1的等差数列

在令得：

（2）由（1）可得：

设

为递增数列   

   即的最大值为