北师大数学七下期末复习阶梯训练： 概率初步（优生加练）含解析

  概率初步（优生加练）

一、单选题

1．如图是一个4×4的方格，若在这个方格内投掷飞镖，则飞镖恰好落在阴影部分的概率是（　　） 

A． B． C． D．

2．某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如下统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为（　　） 

A．0.95 B．0.90 C．0.85 D．0.80

3．下列说法正确的是（　　） 

①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②“在学校运动场上，抛出的篮球会下落”是必然事件；③直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；④角是轴对称图形．

A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②③④

4．下列事件中，是必然事件的是（　　） 

A．车辆随机到达一个路口，遇到红灯

B．任意掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上

C．400人中有两个人的生日在同一天

D．打开电视机，它正在播动画片

5．下列说法正确的是（　　） 

A．“短跑运动员1秒跑完100米”是随机事件

B．“将油滴入水中，油会浮在水面”是不可能事件

C．“随意翻到一本书的某页，页码是奇数”是必然事件

D．“画一个三角形，其内角和一定等于180°”是必然事件

6．在一个不透明的布袋中装有若干个只有颜色不同的小球，如果袋中红球个，黄球个，从袋子中随机摸出一个球，摸出黄球的可能性（　　）

A． B． C． D．

7．下列说法正确的是（　　）

A．购买一张体育彩票必中奖，是不可能事件

B．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为1

C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是必然事件

D．任意画一个三角形，其内角和是180°的概率为1

8．不透明的袋子里有50张2022年北京冬奥会宣传卡片，每张卡片正面印有会徽吉祥物冰墩墩、吉祥物雪容融三种图案中的一种，卡片背面完全相同且不透明．印有冰墩墩的卡片共有n张，若从袋子里随机摸出1张卡片，印有冰图案的概率是，则n=（　　）

A．25 B．10 C．5 D．1

9．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和3个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到黄球的频率是，则估计盒子中红球的个数大约是(　　）

A．20个 B．16个 C．15个 D．12个

10．如图，小亮有一个卡片藏在9块瓷砖中的某一块下面（每块瓷砖除图案外其它均相同），那么卡片藏在瓷砖 下的概率为（　　） 

A． B． C． D．

二、填空题

11．一个质地均匀的骰子，其六面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，投掷一次，朝上的面的数字小于3的概率为 　     　.

12．如图，一飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色三角形区域的概率是　     　．

13．“四时花竞巧，九子粽争新”，端午节吃粽子是我国的传统习俗．小佩的妈妈准备了形状大小一样的豆沙粽3个、红枣粽4个、腊肉粽2个，板栗粽3个，其中腊肉粽是咸粽，其它粽是甜粽．小佩随机选一个，选到咸粽的概率是 　     　．

14．在一个不透明的袋子中装有白色和红色的球共20个，这些球除颜色外都相同．每次搅拌均匀后，从袋子中随机摸出一个球，记下球的颜色再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出白球的频率稳定在0.4附近，则估计袋子中的红球的个数为　     　．

15．在一个不透明的袋中装有1个红球，2个白球和4个黄球，每个球除颜色外都相同，将球搅匀

（1）从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为 　     　；摸到白球的概率为 　     　；摸到黄球的概率为 　     　；

（2）若要使得摸到红球的概率是 ，则还要往袋子里添放多 　     　个红球．

16．植树节过后，历下区园林绿化管理局为了考察树苗的成活率，于是进行了现场统计，表中记录了树苗的成活情况，则由此估计这种树苗成活的概率约为　     　（结果精确到0.1）

三、解答题

17．甲、乙两位同学做抛骰子（均匀正方体形状）实验，他们共抛了60次，出现向上点数的次数如表：

（1）计算出现向上点数为6的频率．

（2）丙说：“如果抛600次，那么出现向上点数为6的次数一定是100次．”请判断丙的说法是否正确并说明理由．

（3）如果甲乙两同学各抛一枚骰子，求出现向上点数之和为3的倍数的概率．

18．某批乒乓球的质量检验结果如下：

（1）画出这批乒乓球“优等品”频率的折线统计图；

（2）这批乒乓球“优等品”的概率的估计值是多少？

（3）从这批乒乓球中选择5个黄球、13个黑球、22个红球，它们除颜色外都相同，将它们放入一个不透明的袋中．

①求从袋中摸出一个球是黄球的概率；

②现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后使从袋中摸出一个是黄球的概率不小于，问至少取出了多少个黑球？

四、综合题

19．一个不透明的袋子里有红、黄、白三种颜色的球共50个，它们除了颜色不同外都相同；其中黄球的个数比白球个数少5个，已知从袋子里随机摸出一个球是红球的概率是 . 

（1）求袋子里红球的个数；

（2）求从袋子里随机摸出一球是白球的概率；

（3）从袋子里取出5个球（不是红球）后，求从袋子里剩余的球中随机摸出一球是红球的概率.

20．在一个不透明的口袋中有4个球，它们除颜色外都相同，其中红球3个，黑球1个.

（1）从口袋中随机摸出2个球，则下列事件：①摸到2个黑球；②摸到1个黑球，1个红球；③摸到的2个球中至少有1个是红球.随机事件是　     　，必然事件是　     　 ，不可能事件是　     　.（填番号）

（2）从口袋中随机摸出1球，求摸到红球的概率是多少？

21．请将下列事件发生的概率标在图中.

（1）抛出的篮球会下落；

（2）从装有3个红球、7个白球的口袋中取一个球，恰好是红球（这些球除颜色外完全相同）；

（3）掷一枚质地均匀的硬币，硬币落下后正面朝上.

22．一个袋中装有4个红球，6个白球，8个黑球，每个球除颜色外其余完全相同.

（1）求从袋中随机摸出一个球是白球的概率；

（2）从袋中摸出6个白球和 个红球，再从剩下的球中摸出一个球. 

①若事件“再摸出的球是红球”为不可能事件，求 的值；

②若事件“再摸出的球是黑球”为随机事件，求这个事件的概率.

23．在一个不透明的口袋中放入3个红球和7个白球，它们除颜色外完全相同.

（1）求从口袋中随机摸出一个球是红球的概率；

（2）现从口袋中取出若干个白球，并放入相同数量的红球，充分摇匀后，要使从口袋中随机摸出一个球是红球的概率是 ，问取出了多少个白球？ 

24．已有两根长度分别为 和 的线段，同时，在一旁有7根长度不等的线段，这些线段的长度分别与相应的卡片正面上标注的线段长一致.这7张卡片的背面完全相同，卡片正面上分别标注了 、 、 、 、 、 、 .把这7张卡片背面朝上，从中随机抽取一张卡片，以卡片上标注的数据对应的线段作为第三条线段的长度，回答以下问题： 

（1）判断事件“从中抽取的长度能够与 和 组成等边三角形”是什么事件，并写出其发生的概率； 

（2）求抽取出的卡片上标注的数据对应的线段能够与 和 的线段组成等腰三角形的概率； 

（3）小兰和小英打算以取出一张卡片上标注的数据对应的线段能够与 和 组成三角形的周长的奇偶性作为游戏规则.三角形周长为奇数小兰胜，三角形周长为偶数小英胜，请问游戏公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请重新设计一个公平的规则. 

25．如图，现有一个均匀的转盘被平均分成六等份，分别标有 这六个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字（当指针恰好指在分界线上时，不记，重转）． 

（1）转动转盘，转出的数字大于3的概率是多少；

（2）现有两张分别写有3和4的卡片，要随机转动转盘，转盘停止后记下转出的数字，与两张卡片上的数字分别作为三条线段的长度．

①这三条线段能构成三角形的概率是多少？

②这三条线段能构成等腰三角形的概率是多少？（注：要求写出各种可能情况）

答案解析部分

【解析】【解答】解：如图：正方形的面积为4×4＝16，阴影部分占5份，飞镖落在阴影区域的概率是 ；

故答案为：C．

【分析】本题要理解等可能事件的概率，注意飞镖落到每个方格的概率都是相同的

【解析】【解答】解：这种树苗成活的频率稳定在0.9，成活的概率估计值约是0.90．

故答案为：B．

【分析】先求出这种树苗成活的频率稳定在0.9，再求概率即可。

【解析】【解答】 ①两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故①说法错误；
②“在学校运动场上，抛出的篮球会下落”是必然事件，故②说法正确；
③直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；故③说法正确；
④角是轴对称图形，故④说法正确；

故答案为：D.

【分析】根据平行线的性质、必然事件、垂线段最短、轴对称图形的定义逐一进行分析即可.

【解析】【解答】解：A. 车辆随机到达一个路口，有可能遇到红灯，也有可能遇不到红灯，故原选项是随机事件，不合题意；

B. 任意掷一枚质地均匀的硬币，有可能正面朝上，也有可能反面朝上，故原选项是随机事件，不合题意；

C. 400人中有两个以上的人的生日在同一天，是必然事件，符合题意；

D. 打开电视机，它有可能在播动画片，也有可能不播动画片，故原选项是随机事件，不合题意．

故答案为：C

【分析】根据必然事件、随机事件的概念逐项判断即可求解。

【解析】【解答】A、“短跑运动员1秒跑完100米”是不可能事件，所以错误；
B、“将油滴入水中，油会浮在水面”是必然事件，所以错误；
C、“随意翻到一本书的某页，页码是奇数”是随机事件，所以错误；
D、“画一个三角形，其内角和一定等于180°”是必然事件，正确。

故答案为：选D

【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可。

【解析】【解答】设袋中球的个数为x个，根据题意得：，

由此可知P可能是   ，

故答案选C．

【分析】根据概率的公式可得。

【解析】【解答】解：A.购买一张体育彩票必中奖，是随机事件，故不符合题意；

B.掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为0.5，故不符合题意；

C.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，故不符合题意；

D.任意画一个三角形，其内角和是180°的概率为1，符合题意；

故答案为：D．

【分析】根据不可能事件、必然事件和概率公式逐项判断即可。

【解析】【解答】解：由题意得，，

解得   ．

故答案为：B．

【分析】根据概率公式列出方程  ，求出n的值即可。

【解析】【解答】解：设红球有x个，根据题意得，

3：（3+x）＝1：5，

解得x＝12，

经检验：x＝12是原分式方程的解，

所以估计盒子中红球的个数大约有12个.

故答案为：D.

【分析】设红球有x个，根据频率估计概率的知识结合概率公式可得：3:(3+x)＝0.2=1:5，求解即可.

【解析】【解答】解：由图知，瓷砖 共有3块，所有瓷砖共有9块，

则卡片藏在瓷砖 下的概率为 ，

故答案为：C．

【分析】利用概率公式求解即可。

【解析】【解答】 共6个数字，其中小于3的数有2个

投掷一次，朝上的面的数字小于3的概率为 .

故答案为：

【分析】找出小于3的数字的个数，然后根据概率公式进行计算.

【解析】【解答】解：由图可知，黑色区域为等腰直角三角形，腰长为 ，

黑色三角区的面积为： ，

飞镖游戏版的面积为： ，

击中黑色三角形区域的概率是： ．

故答案为： ．

【分析】先求出阴影部分的面积，再利用几何概率公式求解即可。

【解析】【解答】解：由题意可得：粽子总数为12个，其中2个为甜粽，

所以选到甜粽的概率为： = ，

故答案为： ．

【分析】由题意可得：粽子总数为12个，其中2个为甜粽，即可得出答案。

【解析】【解答】解：∵通过多次重复试验发现摸出白球的频率稳定在0.4附近，

∴从袋子中任意摸出1个球，是白球的概率约为0.4，

∴估计袋子中的红球的个数为20 =12（个）

故答案为：12

【分析】根据白球的频率稳定在0.4附近，可以得到红球的频率在0.6附近，再用20×0.6即可。

【解析】【解答】（1）袋子中小球共有1+2+4=7（个），
∴摸到红球的概率为；摸到白球的概率为；摸到黄球的概率为；
（2）设还要往袋子里添加x个红球，
由题意得，解得x=5，
经检验x=5是原方程的解，
∴还要往袋子里添加5个红球.
【分析】（1）先求出求的总个数，然后利用概率公式分别求解即可；
（2）设还要往袋子里添加x个红球，根据红球的个数：球的总个数=1:2，列出方程，求解即可.

【解析】【解答】根据表格数据可知：树苗移植成活的频率近似值为0.9，所以估计这种树苗移植成活的概率约为0.9.
【分析】用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率。

【解析】【分析】（1）直接利用概率公式求得概率即可；

（2）利用概率的意义分别分析后即可判断谁的说法正确；

（3）列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可．

【解析】【分析】（1）根据统计表中的数据，先描出各点，然后折线连结即可；

（2）根据频率估计概率，频率都在0.946左右波动，所以可以估计这批乒乓球“优等品”概率的估计值是0.946；

（3）①用黄球的个数除以球的总个数即可；

②设从袋中取出了x个黑球，根据搅拌均匀后使从袋中摸出一个是黄球的概率不小于​，列出不等式，解不等式即可．

【解析】【分析】（1）根据红、黄、白三种颜色球共有的个数乘以红球的概率即可；（2）设白球有x个，得出黄球有（x-5）个，根据题意列出方程，求出白球的个数，再除以总的球数即可；（3）先求出取走5个球后，还剩的球数，再根据红球的个数，除以还剩的球数即可.

【解析】【解答】解：（1）从口袋中随机摸出2个球，

则下列事件：①摸到2个黑球；②摸到1个黑球，1个红球；

③摸到的2个球中至少有1个是红球.

随机事件是②，必然事件是③，不可能事件是①.

故答案为：②、③、①；

【分析】（1）必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对条件S的必然事件；
不可能事件：在条件S下，一定不可能发生的事件，叫做相对条件S的不可能事件；
随机事件：随机事件是在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件，据此判断；
（2）利用红球的个数除以球的总数即可.

【解析】【分析】（1）抛出的篮球会落下，是必然事件，其概率为1，据此解答；
（2） 利用红球的个数除以球的总数可得概率，据此解答；
（3）硬币落下后正面朝上的概率为，据此解答.

【解析】【分析】（1）利用白球的个数除以球的总数即可；
（2）①由题意可得剩下的球中没有红球， 据此可得a的值；
②由题意可得a=3，然后根据黑球的个数除以球的总数即可.

【解析】【分析】（1）由题意可知一共有10个球，但红球有3个，再利用概率公式可求出从口袋中随机摸出一个球是红球的概率；
（2）设取走了x个白球，根据从口袋中随机摸出一个球是红球的概率是 ，建立关于x的方程，解方程求出x的值.

【解析】【分析】（1）利用等边三角形的三边相等，可作出判断，同时可得到此事件发生的概率.
（2）先求出能与4cm、5cm组成等腰三角形的情况数，再利用概率公式可求解.

（3）先列表，根据表中数据可得到所有的可能的结果数及周长为奇数或者为偶数 的情况数；然后利用概率公式分别求出周长为奇数和周长偶数的概率，再比较概率的大小，可得到游戏是否公平，然后重新设计一个公平的规则即可.

【解析】【分析】（1）利用概率公式求解即可；
（2）①根据题意先求出所有的情况数，再求出能构成三角形的情况数，最后利用概率公式求解即可；②先求出所有情况数，再求出能构成等腰三角形的情况数，最后利用概率公式求解即可。