2023版步步高新高考人教A版一轮复习讲义第八章 §8.8　抛物线

§8.8　抛物线 考试要求　1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程.2.掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.了解抛物线的简单应用． 知识梳理 1．抛物线的概念 把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程和简单几何性质 常用结论 抛物线焦点弦的几个常用结论 设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)x1x2＝eq \f(p2,4)，y1y2＝－p2； (2)若A在第一象限，B在第四象限，则|AF|＝eq \f(p,1－cos α)，|BF|＝eq \f(p,1＋cos α)，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2α)(α为弦AB的倾斜角)； (3)eq \f(1,|FA|)＋eq \f(1,|FB|)＝eq \f(2,p)； (4)以弦AB为直径的圆与准线相切； (5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切； (6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上； (7)通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p. 思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线．(　×　) (2)方程y＝4x2表示焦点在x轴上的抛物线，焦点坐标是(1,0)．(　×　) (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(　×　) (4)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线相切．(　×　) 教材改编题 1．抛物线y＝2x2的准线方程为(　　) A．y＝－eq \f(1,8) B．y＝－eq \f(1,4) C．y＝－eq \f(1,2) D．y＝－1 答案　A 解析　由y＝2x2，得x2＝eq \f(1,2)y，故抛物线y＝2x2的准线方程为y＝－eq \f(1,8). 2．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于(　　) A．9 B．8 C．7 D．6 答案　B 解析　抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得， |PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1 ＝x1＋x2＋2＝8. 3．已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是________． 答案　y2＝±4eq \r(2)x 解析　由已知可知双曲线的焦点为 (－eq \r(2)，0)，(eq \r(2)，0)． 设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，则eq \f(p,2)＝eq \r(2)， 所以p＝2eq \r(2)，所以抛物线方程为y2＝±4eq \r(2)x. 题型一　抛物线的定义和标准方程 命题点1　定义及应用 例1　(1)(2020·全国Ⅰ)已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p等于(　　) A．2 B．3 C．6 D．9 答案　C 解析　设A(x，y)，由抛物线的定义知，点A到准线的距离为12，即x＋eq \f(p,2)＝12. 又因为点A到y轴的距离为9，即x＝9， 所以9＋eq \f(p,2)＝12，解得p＝6. (2)已知点M(20,40)，抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F.若对于抛物线上的一点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p的值等于________． 答案　42或22 解析　当点M(20,40)位于抛物线内时，如图①，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为D， ①　　　　　　　　② 则|PF|＝|PD|， |PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|. 当点M，P，D三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小． 由最小值为41，得20＋eq \f(p,2)＝41，解得p＝42. 当点M(20,40)位于抛物线外时，如图②，当点P，M，F三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小． 由最小值为41，得eq \r(402＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(20－\f(p,2)))2)＝41， 解得p＝22或p＝58. 当p＝58时，y2＝116x，点M(20,40)在抛物线内，故舍去． 综上，p＝42或p＝22. 思维升华　“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解．“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径． 命题点2　求标准方程 例2　(1)设抛物线y2＝2px的焦点在直线2x＋3y－8＝0上，则该抛物线的准线方程为(　　) A．x＝－4 B．x＝－3 C．x＝－2 D．x＝－1 答案　A 解析　直线2x＋3y－8＝0与x轴的交点为(4,0)，∴抛物线y2＝2px的焦点为(4,0)，∴准线方程为x＝－4. (2)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，点A是抛物线C上一点，AD⊥l，交l于D.若|AF|＝4，∠DAF＝60°，则抛物线C的方程为(　　) A．y2＝8x B．y2＝4x C．y2＝2x D．y2＝x 答案　B 解析　根据抛物线的定义可得|AD|＝|AF|＝4， 又∠DAF＝60°， 所以|AD|－p＝|AF|cos 60°＝eq \f(1,2)|AF|， 所以4－p＝2，解得p＝2， 所以抛物线C的方程为y2＝4x. 教师备选 1．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，M，N是抛物线上两个不同的点．若|MF|＋|NF|＝5，则线段MN的中点到y轴的距离为(　　) A．3 B.eq \f(3,2) C．5 D.eq \f(5,2) 答案　B 解析　由题意知抛物线的准线方程为x＝－1，分别过点M，N作准线的垂线，垂足为M′，N′(图略)， 根据抛物线的定义得|MF|＝|MM′|， |NF|＝|NN′|， 所以|MF|＋|NF|＝|MM′|＋|NN′|， 所以线段MN的中点到准线的距离为 eq \f(1,2)(|MF|＋|NF|)＝eq \f(5,2)，所以线段MN的中点到y轴的距离为eq \f(5,2)－1＝eq \f(3,2). 2．(2022·济南模拟)已知抛物线x2＝2py(p>0)，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点(点A在第一象限)．若直线AB的斜率为eq \f(\r(3),3)，点A的纵坐标为eq \f(3,2)，则p的值为(　　) A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,2) C．1 D．2 答案　C 解析　由题意得，抛物线x2＝2py(p>0)的焦点在y轴上， 准线方程为y＝－eq \f(p,2)， 设A(xA，yA)， 则|AF|＝yA＋eq \f(p,2)＝eq \f(3,2)＋eq \f(p,2)， 设直线AB的倾斜角为α， 则tan α＝eq \f(\r(3),3)， 因为α∈[0，π)，所以α＝eq \f(π,6)， 所以|AF|＝eq \f(yA－\f(p,2),sin α)＝eq \f(\f(3,2)－\f(p,2),sin α)＝eq \f(3－p,2sin α) ＝eq \f(3－p,2×\f(1,2))＝3－p， 所以3－p＝eq \f(3,2)＋eq \f(p,2)，解得p＝1. 思维升华　求抛物线的标准方程的方法 (1)定义法； (2)待定系数法：当焦点位置不确定时，分情况讨论． 跟踪训练1　(1)设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l，P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q.则线段FQ的垂直平分线(　　) A．经过点O B．经过点P C．平行于直线OP D．垂直于直线OP 答案　B 解析　连接PF(图略)，由题意及抛物线的定义可知|PQ|＝|FP|，则△QPF为等腰三角形，故线段FQ的垂直平分线经过点P. (2)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，直角三角形的三条边长分别称为“勾”“股”“弦”．设点F是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，l是该抛物线的准线，过抛物线上一点A作准线的垂线，垂足为B，直线AF交准线l于点C，若Rt△ABC的“勾”|AB|＝3，“股”|CB|＝3eq \r(3)，则抛物线的方程为 (　　) A．y2＝2x B．y2＝3x C．y2＝4x D．y2＝6x 答案　B 解析　如图，|AB|＝3，|BC|＝3eq \r(3)， 则|AC|＝eq \r(32＋3\r(3)2)＝6， 设直线l与x轴交于点H， 由|AB|＝|AF|＝3，|AC|＝6，可知点F为AC的中点， 所以|FH|＝eq \f(1,2)|AB|＝eq \f(3,2)， 又|FH|＝p，所以p＝eq \f(3,2)， 所以抛物线的方程为y2＝3x. 题型二　抛物线的几何性质 例3　(1)(2021·新高考全国Ⅱ)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点到直线y＝x＋1的距离为eq \r(2)，则p等于(　　) A．1 B．2 C．2eq \r(2) D．4 答案　B 解析　抛物线的焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，其到直线x－y＋1＝0的距离d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)－0＋1)),\r(1＋1))＝eq \r(2)， 解得p＝2(p＝－6舍去)． (2)(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l的斜率为eq \r(3)且经过点F，与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线C的准线交于点D.若|AF|＝8，则以下结论正确的是(　　) A．p＝4 B.eq \o(DF,\s\up6(→))＝eq \o(FA,\s\up6(→)) C．|BD|＝2|BF| D．|BF|＝4 答案　ABC 解析　如图所示，分别过点A，B作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为点E，M，连接EF.设抛物线C的准线交x轴于点P，则|PF|＝p.因为直线l的斜率为eq \r(3)，所以其倾斜角为60°. 因为AE∥x轴，所以∠EAF＝60°， 由抛物线的定义可知，|AE|＝|AF|， 则△AEF为等边三角形， 所以∠EFP＝∠AEF＝60°， 则∠PEF＝30°， 所以|AF|＝|EF|＝2|PF|＝2p＝8，得p＝4， 故A正确； 因为|AE|＝|EF|＝2|PF|，且PF∥AE， 所以F为AD的中点，则eq \o(DF,\s\up6(→))＝eq \o(FA,\s\up6(→))，故B正确； 因为∠DAE＝60°，所以∠ADE＝30°， 所以|BD|＝2|BM|＝2|BF|，故C正确； 因为|BD|＝2|BF|， 所以|BF|＝eq \f(1,3)|DF|＝eq \f(1,3)|AF|＝eq \f(8,3)，故D错误． 教师备选 1．抛物线y2＝2px(p>0)准线上的点A与抛物线上的点B关于原点O对称，线段AB的垂直平分线OM与抛物线交于点M，若直线MB经过点N(4,0)，则抛物线的焦点坐标是(　　) A．(4,0) B．(2,0) C．(1,0) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0)) 答案　C 解析　设点B(x1，y1)，M(x2，y2)， 则点A(－x1，－y1)，可得－x1＝－eq \f(p,2)， 则x1＝eq \f(p,2)， 设直线MB的方程为x＝my＋4， 联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝my＋4，,y2＝2px，))可得y2－2mpy－8p＝0， 所以y1y2＝－8p， 由题意可知，eq \o(OB,\s\up6(→))·eq \o(OM,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝eq \f(y\o\al(2,1)y\o\al(2,2),4p2)＋y1y2 ＝eq \f(64p2,4p2)－8p＝16－8p＝0，解得p＝2. 因此，抛物线的焦点为(1,0)． 2．(多选)(2022·唐山模拟)抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线r：y2＝x，O为坐标原点，一束平行于x轴的光线l1从点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(41,16)，1))射入，经过r上的点A(x1，y1)反射后，再经r上另一点B(x2，y2)反射后，沿直线l2射出，经过点Q，则(　　) A．y1y2＝－1 B．|AB|＝eq \f(25,16) C．PB平分∠ABQ D．延长AO交直线x＝－eq \f(1,4)于点C，则C，B，Q三点共线 答案　BCD 解析　设抛物线的焦点为F， 则Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0)). 因为Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(41,16)，1))， 且l1∥x轴， 故A(1,1)， 故直线AF：y＝eq \f(1－0,1－\f(1,4))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,4)))＝eq \f(4,3)x－eq \f(1,3). 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝\f(4,3)x－\f(1,3)，,y2＝x))可得y2－eq \f(3,4)y－eq \f(1,4)＝0， 故y1y2＝－eq \f(1,4)，故A错误； 又y1＝1，故y2＝－eq \f(1,4)， 故Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)，－\f(1,4)))， 故|AB|＝1＋eq \f(1,16)＋eq \f(1,2)＝eq \f(25,16)，故B正确； 直线AO：y＝x，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝x，,x＝－\f(1,4))) 可得Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，－\f(1,4)))，故yC＝y2， 所以C，B，Q三点共线，故D正确； 因为|AP|＝eq \f(41,16)－1＝eq \f(25,16)＝|AB|， 故△APB为等腰三角形，故∠ABP＝∠APB， 而l1∥l2，故∠PBQ＝∠APB， 即∠ABP＝∠PBQ， 故PB平分∠ABQ，故C正确． 思维升华　应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性． 跟踪训练2　(1)(2021·新高考全国Ⅰ)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为________． 答案　x＝－eq \f(3,2) 解析　方法一　(解直角三角形法)由题易得|OF|＝eq \f(p,2)，|PF|＝p，∠OPF＝∠PQF， 所以tan∠OPF＝tan∠PQF， 所以eq \f(|OF|,|PF|)＝eq \f(|PF|,|FQ|)，即eq \f(\f(p,2),p)＝eq \f(p,6)， 解得p＝3，所以C的准线方程为x＝－eq \f(3,2). 方法二　(应用射影定理法)由题易得|OF|＝eq \f(p,2)，|PF|＝p，|PF|2＝|OF|·|FQ|， 即p2＝eq \f(p,2)×6，解得p＝3或p＝0(舍去)， 所以C的准线方程为x＝－eq \f(3,2). (2)直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F(1,0)，且与C交于A，B两点，则p＝______，eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝________. 答案　2　1 解析　由eq \f(p,2)＝1，得p＝2. 当直线l的斜率不存在时，l：x＝1与y2＝4x 联立解得y＝±2，此时|AF|＝|BF|＝2， 所以eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)＝1； 当直线l的斜率存在时，设l：y＝k(x－1)，代入抛物线方程，得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1x2＝1， eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(|AF|＋|BF|,|AF||BF|) ＝eq \f(x1＋x2＋2,x1＋1x2＋1)＝eq \f(x1＋x2＋2,x1x2＋x1＋x2＋1) ＝eq \f(x1＋x2＋2,1＋x1＋x2＋1)＝1. 综上，eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝1. 题型三　直线与抛物线 例4　已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为eq \f(3,2)的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P. (1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程； (2)若eq \o(AP,\s\up6(→))＝3eq \o(PB,\s\up6(→))，求|AB|. 解　设直线l：y＝eq \f(3,2)x＋t， A(x1，y1)，B(x2，y2)． (1)由题设得Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，0))， 故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋eq \f(3,2). 又|AF|＋|BF|＝4，所以x1＋x2＝eq \f(5,2). 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝\f(3,2)x＋t，,y2＝3x，)) 可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0， 则x1＋x2＝－eq \f(12t－1,9). 从而－eq \f(12t－1,9)＝eq \f(5,2)，得t＝－eq \f(7,8). 所以l的方程为y＝eq \f(3,2)x－eq \f(7,8). (2)由eq \o(AP,\s\up6(→))＝3eq \o(PB,\s\up6(→))可得y1＝－3y2. 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝\f(3,2)x＋t，,y2＝3x，))可得y2－2y＋2t＝0， 所以y1＋y2＝2，从而－3y2＋y2＝2， 故y2＝－1，y1＝3. 代入C的方程得x1＝3，x2＝eq \f(1,3)， 即A(3,3)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，－1)). 故|AB|＝eq \f(4\r(13),3). 教师备选 如图，已知抛物线x2＝y，点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,4)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(9,4)))，抛物线上的点P(x，y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)0)中p的几何意义为抛物线的焦点到准线的距离， 由x2＝eq \f(1,2)y得p＝eq \f(1,4). 2．若抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点到准线的距离为2，过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝8，则弦AB的中点到y轴的距离为(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 答案　B 解析　因为抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点到准线的距离为2，所以p＝2，抛物线方程为y2＝4x.过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义得，焦点弦|AB|＝x1＋x2＋p，所以8＝x1＋x2＋2，则x1＋x2＝6，所以AB的中点到y轴的距离为 d＝eq \f(x1＋x2,2)＝eq \f(6,2)＝3. 3．(2022·桂林模拟)已知抛物线y＝eq \f(1,2)x2的焦点为F，准线为l，M在l上，线段MF与抛物线交于N点，若|MN|＝eq \r(2)|NF|，则|MF|等于(　　) A．2 B．3 C.eq \r(2) D.eq \r(3) 答案　C 解析　如图，过N作准线的垂线NH，垂足为H，设l与y轴的交点为K.根据抛物线的定义可知|NH|＝|NF|， 在Rt△NHM中，|MN|＝eq \r(2)|NH|， 则∠NMH＝45°. 在Rt△MFK中，∠FMK＝45°， 所以|MF|＝eq \r(2)|FK|.而|FK|＝1， 所以|MF|＝eq \r(2). 4.中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的非凡智慧．一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2 m时，水面宽8 m．若水面下降1 m，则水面宽度为(　　) A．2eq \r(6) m B．4eq \r(6) m C．4eq \r(2) m D．12 m 答案　B 解析　由题意，以拱桥顶点为原点，建立平面直角坐标系， 设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)， 由题意知，抛物线经过点A(－4，－2)和点B(4，－2)， 代入抛物线方程解得p＝4， 所以抛物线方程为x2＝－8y， 水面下降1米，即y＝－3，解得x1＝2eq \r(6)，x2＝－2eq \r(6)， 所以此时水面宽度d＝2x1＝4eq \r(6). 5．(多选)(2022·广州模拟)已知点O为坐标原点，直线y＝x－1与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，则(　　) A．|AB|＝8 B．OA⊥OB C．△AOB的面积为2eq \r(2) D．线段AB的中点到直线x＝0的距离为2 答案　AC 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 抛物线C：y2＝4x，则p＝2，焦点为(1,0)， 则直线y＝x－1过焦点． 联立方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝x－1，,y2＝4x，))消去y得x2－6x＋1＝0， 则x1＋x2＝6，x1x2＝1， y1y2＝(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝－4， 所以|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8 ，故A正确； 由eq \o(OA,\s\up6(→))·eq \o(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝1－4＝－3≠0， 所以OA与OB不垂直，故B错误； 原点到直线y＝x－1的距离为d＝eq \f(|1|,\r(2))＝eq \f(1,\r(2)) ， 所以△AOB的面积为S＝eq \f(1,2)×d×|AB|＝eq \f(1,2)×eq \f(1,\r(2))×8＝2eq \r(2) ，故C正确； 因为线段AB的中点到直线x＝0的距离为eq \f(x1＋x2,2)＝eq \f(6,2)＝3，故D错误． 6．(多选)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为4，直线l过点F且与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若M(m，2)是线段AB的中点，则下列结论正确的是(　　) A．p＝4 B．抛物线方程为y2＝16x C．直线l的方程为y＝2x－4 D．|AB|＝10 答案　ACD 解析　由焦点F到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知p＝4，故A正确； 则抛物线方程为y2＝8x，故B错误； 焦点F(2,0)， 则yeq \o\al(2,1)＝8x1，yeq \o\al(2,2)＝8x2， 若M(m，2)是线段AB的中点， 则y1＋y2＝4， ∴yeq \o\al(2,1)－yeq \o\al(2,2)＝8x1－8x2， 即eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(8,y1＋y2)＝eq \f(8,4)＝2， ∴直线l的方程为y＝2x－4，故C正确； 又由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y2＝8x，,y＝2x－4，))可得x2－6x＋4＝0， ∴x1＋x2＝6， ∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋4＝10，故D正确． 7．(2021·北京)已知抛物线C：y2＝4x，焦点为F，点M为抛物线C上的点，且|FM|＝6，则M的横坐标是________，作MN⊥x轴于N，则S△FMN＝________. 答案　5　4eq \r(5) 解析　因为抛物线的方程为y2＝4x，故p＝2且F(1,0)， 因为|MF|＝6，所以xM＋eq \f(p,2)＝6，解得xM＝5，故yM＝±2eq \r(5)，所以S△FMN＝eq \f(1,2)×(5－1)×2eq \r(5)＝4eq \r(5). 8．(2020·新高考全国Ⅰ)斜率为eq \r(3)的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|＝________. 答案　eq \f(16,3) 解析　如图，由题意得，抛物线的焦点为F(1,0)， 设直线AB的方程为y＝eq \r(3)(x－1)． 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝\r(3)x－1，,y2＝4x，)) 得3x2－10x＋3＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝eq \f(10,3)， 所以|AB|＝x1＋x2＋2＝eq \f(16,3). 9．过抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2. (1)求抛物线C的方程； (2)若抛物线C上存在点M(－2，y0)，使得MA⊥MB，求直线l的方程． 解　(1)抛物线C：x2＝2py(p>0)的准线方程为y＝－eq \f(p,2)，焦点为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2))). ∵当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2， ∴1＋eq \f(p,2)＝2，解得p＝2， ∴抛物线C的方程为x2＝4y. (2)∵点M(－2，y0)在抛物线C上， ∴y0＝eq \f(－22,4)＝1. 又F(0,1)，∴设直线l的方程为y＝kx＋1. 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,x2＝4y，)) 得x2－4kx－4＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4， eq \o(MA,\s\up6(→))＝(x1＋2，y1－1)， eq \o(MB,\s\up6(→))＝(x2＋2，y2－1)． ∵MA⊥MB， ∴eq \o(MA,\s\up6(→))·eq \o(MB,\s\up6(→))＝0， ∴(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－1)(y2－1)＝0， ∴－4＋8k＋4－4k2＝0，解得k＝2或k＝0. 当k＝0时，l过点M(舍去)，∴k＝2， ∴直线l的方程为y＝2x＋1. 10．(2022·沈阳模拟)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，其焦点到准线的距离为2，直线l与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线l1，l2，且l1与l2交于点M. (1)求p的值； (2)若l1⊥l2，求△MAB面积的最小值． 解　(1)由题意知，抛物线焦点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))， 准线方程为y＝－eq \f(p,2)， 焦点到准线的距离为2，即p＝2. (2)由(1)知抛物线的方程为x2＝4y， 即y＝eq \f(1,4)x2，所以y′＝eq \f(1,2)x， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， l1：y－eq \f(x\o\al(2,1),4)＝eq \f(x1,2)(x－x1)， l2：y－eq \f(x\o\al(2,2),4)＝eq \f(x2,2)(x－x2)， 由于l1⊥l2，所以eq \f(x1,2)·eq \f(x2,2)＝－1， 即x1x2＝－4. 设直线l的方程为y＝kx＋m，与抛物线方程联立， 得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,x2＝4y，)) 所以x2－4kx－4m＝0，Δ＝16k2＋16m>0， x1＋x2＝4k，x1x2＝－4m＝－4，所以m＝1， 即l：y＝kx＋1. 联立方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝\f(x1,2)x－\f(x\o\al(2,1),4)，,y＝\f(x2,2)x－\f(x\o\al(2,2),4)，)) 得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2k，,y＝－1，))即M(2k，－1)． M点到直线l的距离d＝eq \f(|k·2k＋1＋1|,\r(1＋k2))＝eq \f(2|k2＋1|,\r(1＋k2))， |AB|＝eq \r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2]) ＝4(1＋k2)， 所以S＝eq \f(1,2)×4(1＋k2)×eq \f(2|k2＋1|,\r(1＋k2)) , 当k＝0时，△MAB的面积取得最小值4. 11．设F为抛物线y2＝2x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为△ABC的重心，则|eq \o(FA,\s\up6(→))|＋|eq \o(FB,\s\up6(→))|＋|eq \o(FC,\s\up6(→))|的值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　C 解析　由题意可知，点F的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))， 又F为△ABC的重心，故eq \f(xA＋xB＋xC,3)＝eq \f(1,2)， 即xA＋xB＋xC＝eq \f(3,2). 又由抛物线的定义可知|eq \o(FA,\s\up6(→))|＋|eq \o(FB,\s\up6(→))|＋|eq \o(FC,\s\up6(→))|＝xA＋xB＋xC＋eq \f(3,2)＝eq \f(3,2)＋eq \f(3,2)＝3. 12．(多选)(2022·潍坊模拟)已知抛物线x2＝eq \f(1,2)y的焦点为F，M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线上两点，则下列结论正确的是(　　) A．点F的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，0)) B．若直线MN过点F，则x1x2＝－eq \f(1,16) C．若eq \o(MF,\s\up6(→))＝λeq \o(NF,\s\up6(→))，则|MN|的最小值为eq \f(1,2) D．若|MF|＋|NF|＝eq \f(3,2)，则线段MN的中点P到x轴的距离为eq \f(5,8) 答案　BCD 解析　易知点F的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,8)))，选项A错误； 根据抛物线的性质知，MN过焦点F时， x1x2＝－p2＝－eq \f(1,16)，选项B正确； 若eq \o(MF,\s\up6(→))＝λeq \o(NF,\s\up6(→))，则MN过点F，则|MN|的最小值即抛物线通径的长，为2p，即eq \f(1,2)，选项C正确； 抛物线x2＝eq \f(1,2)y的焦点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,8)))， 准线方程为y＝－eq \f(1,8)， 过点M，N，P分别作准线的垂线MM′，NN′，PP′，垂足分别为M′，N′，P′(图略)， 所以|MM′|＝|MF|，|NN′|＝|NF|. 所以|MM′|＋|NN′|＝|MF|＋|NF|＝eq \f(3,2)， 所以线段|PP′|＝eq \f(|MM′|＋|NN′|,2)＝eq \f(3,4)， 所以线段MN的中点P到x轴的距离为|PP′|－eq \f(1,8)＝eq \f(3,4)－eq \f(1,8)＝eq \f(5,8)，选项D正确． 13．(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点P(1,1)，则下列结论正确的是(　　) A．点P到抛物线焦点的距离为eq \f(3,2) B．过点P作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q，则△OPQ的面积为eq \f(5,32) C．过点P与抛物线相切的直线方程为x－2y＋1＝0 D．过点P作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于M，N两点，则直线MN的斜率为定值 答案　BCD 解析　因为抛物线C：y2＝2px(p>0)过点P(1,1)， 所以p＝eq \f(1,2)， 所以抛物线方程为y2＝x， 焦点坐标为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0)). 对于A，|PF|＝1＋eq \f(1,4)＝eq \f(5,4)，错误； 对于B，kPF＝eq \f(4,3)， 所以lPF：y＝eq \f(4,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,4)))， 与y2＝x联立得4y2－3y－1＝0， 所以y1＋y2＝eq \f(3,4)，y1y2＝－eq \f(1,4)， 所以S△OPQ＝eq \f(1,2)|OF|·|y1－y2|＝eq \f(1,2)×eq \f(1,4)×eq \r(y1＋y22－4y1y2)＝eq \f(5,32)，正确； 对于C，依题意斜率存在，设直线方程为y－1＝k(x－1)，与y2＝x联立得ky2－y＋1－k＝0，Δ＝1－4k(1－k)＝0， 即4k2－4k＋1＝0，解得k＝eq \f(1,2)， 所以切线方程为x－2y＋1＝0，正确； 对于D，依题意斜率存在， 设lPM：y－1＝k(x－1)， 与y2＝x联立得ky2－y＋1－k＝0， 所以yM＋1＝eq \f(1,k)， 即yM＝eq \f(1,k)－1， 则xM＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k)－1))2， 所以点M eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k)－1))2，\f(1,k)－1))， 同理N eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,k)－1))2，－\f(1,k)－1))， 所以kMN＝eq \f(\f(1,k)－1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,k)－1)),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k)－1))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,k)－1))2) ＝eq \f(\f(2,k),\f(－4,k))＝－eq \f(1,2)，正确． 14．已知P为抛物线C：y＝x2上一动点，直线l：y＝2x－4与x轴，y轴交于M，N两点，点A(2，－4)，且eq \o(AP,\s\up6(→))＝λeq \o(AM,\s\up6(→))＋μeq \o(AN,\s\up6(→))，则λ＋μ的最小值为________． 答案　eq \f(7,4) 解析　由题意得M(2,0)，N(0，－4)， 设P(x，y)，由eq \o(AP,\s\up6(→))＝λeq \o(AM,\s\up6(→))＋μeq \o(AN,\s\up6(→)) 得(x－2，y＋4)＝λ(0,4)＋μ(－2,0)． 所以x－2＝－2μ，y＋4＝4λ. 因此λ＋μ＝eq \f(y＋4,4)－eq \f(x－2,2) ＝eq \f(x2,4)－eq \f(x,2)＋2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(1,2)))2＋eq \f(7,4)≥eq \f(7,4)， 故λ＋μ的最小值为eq \f(7,4). 15．(多选)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，以线段AB为直径的圆交y轴于M，N两点，设线段AB的中点为P，O为坐标原点，则下列说法中正确的是(　　) A.eq \o(OA,\s\up6(→))·eq \o(OB,\s\up6(→))＝－eq \f(3,4)p2 B．若|AF|·|BF|＝4p2，则直线AB的斜率为eq \r(3) C．若抛物线上存在一点E(2，t)到焦点F的距离等于3，则抛物线的方程为y2＝4x D．若点F到抛物线准线的距离为2，则sin∠PMN的最小值为eq \f(1,2) 答案　ACD 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 直线l的方程为x＝my＋eq \f(p,2)， 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝my＋\f(p,2)，,y2＝2px，))得y2－2pmy－p2＝0， 则y1＋y2＝2pm，y1y2＝－p2. 对于A，eq \o(OA,\s\up6(→))·eq \o(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝eq \f(y\o\al(2,1),2p)·eq \f(y\o\al(2,2),2p)＋y1y2＝eq \f(p2,4)－p2＝－eq \f(3,4)p2，故A正确； 对于B，根据抛物线的定义可知|AF|＝x1＋eq \f(p,2)， |BF|＝x2＋eq \f(p,2)， 故|AF|·|BF|＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋\f(p,2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(p,2))) ＝(my1＋p)(my2＋p) ＝m2y1y2＋pm(y1＋y2)＋p2 ＝－m2p2＋2p2m2＋p2＝p2(m2＋1)＝4p2， 所以m2＋1＝4，解得m＝±eq \r(3)， 所以直线l的斜率k＝eq \f(1,m)＝±eq \f(\r(3),3)，故B不正确； 对于C，由题意可知2＋eq \f(p,2)＝3，解得p＝2，则抛物线的方程为y2＝4x，故C正确； 对于D，由题意可知p＝2，所以y1＋y2＝4m. 易得sin∠PMN＝eq \f(d,r)，其中d是点P到y轴的距离，r为以AB为直径的圆的半径， 且d＝eq \f(x1＋x2,2)，r＝|PM|＝eq \f(|AB|,2)＝eq \f(x1＋x2＋2,2). 又x1＝my1＋1，x2＝my2＋1，且y1＋y2＝4m， 所以d＝2m2＋1，r＝2m2＋2， 所以sin∠PMN＝eq \f(d,r)＝eq \f(2m2＋1,2m2＋2)＝1－eq \f(1,2m2＋1)， 当m＝0时，sin∠PMN取得最小值eq \f(1,2)，故D正确． 16．已知曲线C：y＝eq \f(x2,2)，D为直线y＝－eq \f(1,2)上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B. (1)证明：直线AB过定点； (2)若以Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,2)))为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积． (1)证明　设Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t，－\f(1,2)))，A(x1，y1)， 则xeq \o\al(2,1)＝2y1. 因为y′＝x，所以切线DA的斜率为x1， 故eq \f(y1＋\f(1,2),x1－t)＝x1， 整理得2tx1－2y1＋1＝0. 设B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0. 故直线AB的方程为2tx－2y＋1＝0. 所以直线AB过定点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))). (2)解　由(1)得直线AB的方程为y＝tx＋eq \f(1,2). 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝tx＋\f(1,2)，,y＝\f(x2,2)，)) 可得x2－2tx－1＝0. 于是x1＋x2＝2t，x1x2＝－1， y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1， |AB|＝eq \r(1＋t2)|x1－x2| ＝eq \r(1＋t2)×eq \r(x1＋x22－4x1x2) ＝2(t2＋1)． 设d1，d2分别为点D，E到直线AB的距离， 则d1＝eq \r(t2＋1)，d2＝eq \f(2,\r(t2＋1)). 因此，四边形ADBE的面积 S＝eq \f(1,2)|AB|(d1＋d2)＝(t2＋3)eq \r(t2＋1). 设M为线段AB的中点，则Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t，t2＋\f(1,2))). 因为eq \o(EM,\s\up6(→))⊥eq \o(AB,\s\up6(→))，而eq \o(EM,\s\up6(→))＝(t，t2－2)，eq \o(AB,\s\up6(→))与向量(1，t)平行，所以t＋(t2－2)t＝0，解得t＝0或t＝±1. 当t＝0时，S＝3；当t＝±1时，S＝4eq \r(2). 因此，四边形ADBE的面积为3或4eq \r(2).标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图形范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R焦点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))准线方程x＝－eq \f(p,2)x＝eq \f(p,2)y＝－eq \f(p,2)y＝eq \f(p,2)对称轴x轴y轴顶点(0,0)离心率e＝1