广西钦州钦州港区六校联考2022年中考数学模拟精编试卷含解析
展开2021-2022中考数学模拟试卷
考生须知:
1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)
1.如图,在平行四边形ABCD中,AE:EB=1:2,E为AB上一点,AC与DE相交于点F, S△AEF=3,则S△FCD为( )
A.6 B.9 C.12 D.27
2.若关于x的方程=3的解为正数,则m的取值范围是( )
A.m< B.m<且m≠
C.m>﹣ D.m>﹣且m≠﹣
3.如图,已知正五边形内接于,连结,则的度数是( )
A. B. C. D.
4.如图,⊙O的半径OC与弦AB交于点D,连结OA,AC,CB,BO,则下列条件中,无法判断四边形OACB为菱形的是( )
A.∠DAC=∠DBC=30° B.OA∥BC,OB∥AC C.AB与OC互相垂直 D.AB与OC互相平分
5.如图,在中, ,将折叠,使点落在边上的点处, 为折痕,若,则的值为( )
A. B. C. D.
6.如图是由长方体和圆柱组成的几何体,它的俯视图是( )
A. B. C. D.
7.如图所示,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,对角线AC、BD相交于点O,过点O作OE垂直AC交AD于点E,则DE的长是( )
A.5 B. C. D.
8.如图,在五边形ABCDE中,∠A+∠B+∠E=300°,DP,CP分别平分∠EDC、∠BCD,则∠P的度数是( )
A.60° B.65° C.55° D.50°
9.下列几何体是棱锥的是( )
A. B. C. D.
10.已知3x+y=6,则xy的最大值为( )
A.2 B.3 C.4 D.6
二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)
11.二次根式中,x的取值范围是 .
12.PA、PB分别切⊙O于点A、B,∠PAB=60°,点C在⊙O上,则∠ACB的度数为_____.
13.如图,在矩形ABCD中,AD=3,将矩形ABCD绕点A逆时针旋转,得到矩形AEFG,点B的对应点E落在CD上,且DE=EF,则AB的长为_____.
14.分解因式:a3﹣a=_____.
15.已知y与x的函数满足下列条件:①它的图象经过(1,1)点;②当时,y随x的增大而减小.写出一个符合条件的函数:__________.
16.一个正多边形的每个内角等于,则它的边数是____.
17.如图,在平面直角坐标系xOy中,直线l:y=x-与x轴交于点B1,以OB1为边长作等边三角形A1OB1,过点A1作A1B2平行于x轴,交直线l于点B2,以A1B2为边长作等边三角形A2A1B2,过点A2作A2B3平行于x轴,交直线l于点B3,以A2B3为边长作等边三角形A3A2B3,…,按此规律进行下去,则点A3的横坐标为______;点A2018的横坐标为______.
三、解答题(共7小题,满分69分)
18.(10分)某电器商场销售甲、乙两种品牌空调,已知每台乙种品牌空调的进价比每台甲种品牌空调的进价高20%,用7200元购进的乙种品牌空调数量比用3000元购进的甲种品牌空调数量多2台. 求甲、乙两种品牌空调的进货价; 该商场拟用不超过16000元购进甲、乙两种品牌空调共10台进行销售,其中甲种品牌空调的售价为2500元/台,乙种品牌空调的售价为3500元/台.请您帮该商场设计一种进货方案,使得在售完这10台空调后获利最大,并求出最大利润.
19.(5分)甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米,先到终点的人原地休息.已知甲先出发4分钟,在整个步行过程中,甲、乙两人间的距离y(米)与甲出发的时间x(分)之间的关系如图中折线OA-AB-BC-CD所示.
(1)求线段AB的表达式,并写出自变量x的取值范围;
(2)求乙的步行速度;
(3)求乙比甲早几分钟到达终点?
20.(8分)如图,直线与双曲线相交于、两点.
(1) ,点坐标为 .
(2)在轴上找一点,在轴上找一点,使的值最小,求出点两点坐标
21.(10分)抛物线y=﹣x2+bx+c(b,c均是常数)经过点O(0,0),A(4,4),与x轴的另一交点为点B,且抛物线对称轴与线段OA交于点P.
(1)求该抛物线的解析式和顶点坐标;
(2)过点P作x轴的平行线l,若点Q是直线上的动点,连接QB.
①若点O关于直线QB的对称点为点C,当点C恰好在直线l上时,求点Q的坐标;
②若点O关于直线QB的对称点为点D,当线段AD的长最短时,求点Q的坐标(直接写出答案即可).
22.(10分)如图,用红、蓝两种颜色随机地对A,B,C三个区域分别进行涂色,每个区域必须涂色并且只能涂一种颜色,请用列举法(画树状图或列表)求A,C两个区域所涂颜色不相同的概率.
23.(12分)某超市预测某饮料会畅销、先用1800元购进一批这种饮料,面市后果然供不应求,又用8100元购进这种饮料,第二批饮料的数量是第一批的3倍,但单价比第一批贵2元.第一批饮料进货单价多少元?若两次进饮料都按同一价格销售,两批全部售完后,获利不少于2700元,那么销售单价至少为多少元?
24.(14分)先化简,再求值:,其中.
参考答案
一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)
1、D
【解析】
先根据AE:EB=1:2得出AE:CD=1:3,再由相似三角形的判定定理得出△AEF∽△CDF,由相似三角形的性质即可得出结论.
【详解】
解:∵四边形ABCD是平行四边形,AE:EB=1:2,
∴AE:CD=1:3,
∵AB∥CD,
∴∠EAF=∠DCF,
∵∠DFC=∠AFE,
∴△AEF∽△CDF,
∵S△AEF=3,
∴==()2,
解得S△FCD=1.
故选D.
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定与性质,熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键.
2、B
【解析】
解:去分母得:x+m﹣3m=3x﹣9,
整理得:2x=﹣2m+9,解得:x=,
已知关于x的方程=3的解为正数,
所以﹣2m+9>0,解得m<,
当x=3时,x==3,解得:m=,
所以m的取值范围是:m<且m≠.
故答案选B.
3、C
【解析】
根据多边形内角和定理、正五边形的性质求出∠ABC、CD=CB,根据等腰三角形的性质求出∠CBD,计算即可.
【详解】
∵五边形为正五边形
∴
∵
∴
∴
故选:C.
【点睛】
本题考查的是正多边形和圆、多边形的内角和定理,掌握正多边形和圆的关系、多边形内角和等于(n-2)×180°是解题的关键.
4、C
【解析】
(1)∵∠DAC=∠DBC=30°,
∴∠AOC=∠BOC=60°,
又∵OA=OC=OB,
∴△AOC和△OBC都是等边三角形,
∴OA=AC=OC=BC=OB,
∴四边形OACB是菱形;即A选项中的条件可以判定四边形OACB是菱形;
(2)∵OA∥BC,OB∥AC,
∴四边形OACB是平行四边形,
又∵OA=OB,
∴四边形OACB是菱形,即B选项中的条件可以判定四边形OACB是菱形;
(3)由OC和AB互相垂直不能证明到四边形OACB是菱形,即C选项中的条件不能判定四边形OACB是菱形;
(4)∵AB与OC互相平分,
∴四边形OACB是平行四边形,
又∵OA=OB,
∴四边形OACB是菱形,即由D选项中的条件能够判定四边形OACB是菱形.
故选C.
5、B
【解析】
根据折叠的性质可知AE=DE=3,然后根据勾股定理求CD的长,然后利用正弦公式进行计算即可.
【详解】
解:由折叠性质可知:AE=DE=3
∴CE=AC-AE=4-3=1
在Rt△CED中,CD=
故选:B
【点睛】
本题考查折叠的性质,勾股定理解直角三角形及正弦的求法,掌握公式正确计算是本题的解题关键.
6、A
【解析】
分析:根据从上边看得到的图形是俯视图,可得答案.
详解:从上边看外面是正方形,里面是没有圆心的圆,
故选A.
点睛:本题考查了简单组合体的三视图,从上边看得到的图形是俯视图.
7、C
【解析】
先利用勾股定理求出AC的长,然后证明△AEO∽△ACD,根据相似三角形对应边成比例列式求解即可.
【详解】
∵AB=6,BC=8,
∴AC=10(勾股定理);
∴AO=AC=5,
∵EO⊥AC,
∴∠AOE=∠ADC=90°,
∵∠EAO=∠CAD,
∴△AEO∽△ACD,
∴,
即 ,
解得,AE=,
∴DE=8﹣=,
故选:C.
【点睛】
本题考查了矩形的性质,勾股定理,相似三角形对应边成比例的性质,根据相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键.
8、A
【解析】
试题分析:根据五边形的内角和等于540°,由∠A+∠B+∠E=300°,可求∠BCD+∠CDE的度数,再根据角平分线的定义可得∠PDC与∠PCD的角度和,进一步求得∠P的度数.
解:∵五边形的内角和等于540°,∠A+∠B+∠E=300°,
∴∠BCD+∠CDE=540°﹣300°=240°,
∵∠BCD、∠CDE的平分线在五边形内相交于点O,
∴∠PDC+∠PCD=(∠BCD+∠CDE)=120°,
∴∠P=180°﹣120°=60°.
故选A.
考点:多边形内角与外角;三角形内角和定理.
9、D
【解析】
分析:根据棱锥的概念判断即可.
A是三棱柱,错误;
B是圆柱,错误;
C是圆锥,错误;
D是四棱锥,正确.
故选D.
点睛:本题考查了立体图形的识别,关键是根据棱锥的概念判断.
10、B
【解析】
根据已知方程得到y=-1x+6,将其代入所求的代数式后得到:xy=-1x2+6x,利用配方法求该式的最值.
【详解】
解:∵1x+y=6,
∴y=-1x+6,
∴xy=-1x2+6x=-1(x-1)2+1.
∵(x-1)2≥0,
∴-1(x-1)2+1≤1,即xy的最大值为1.
故选B.
【点睛】
考查了二次函数的最值,解题时,利用配方法和非负数的性质求得xy的最大值.
二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)
11、.
【解析】
根据二次根式被开方数必须是非负数的条件,要使在实数范围内有意义,必须.
12、60°或120°.
【解析】
连接OA、OB,根据切线的性质得出∠OAP的度数,∠OBP的度数;再根据四边形的内角和是360°,求出∠AOB的度数,有圆周角定理或圆内接四边形的性质,求出∠ACB的度数即可.
【详解】
解:连接OA、OB.
∵PA,PB分别切⊙O于点A,B,
∴OA⊥PA,OB⊥PB;
∴∠PAO=∠PBO=90°;
又∵∠APB=60°,
∴在四边形AOBP中,∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣60°=120°,
∴
即当C在D处时,∠ACB=60°.
在四边形ADBC中,∠ACB=180°﹣∠ADB=180°﹣60°=120°.
于是∠ACB的度数为60°或120°,
故答案为60°或120°.
【点睛】
本题考查的是切线的性质定理,圆内接四边形的性质,是一道基础题.
13、3
【解析】
【分析】根据旋转的性质知AB=AE,在直角三角形ADE中根据勾股定理求得AE长即可得.
【详解】∵四边形ABCD是矩形,∴∠D=90°,BC=AD=3,
∵将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AEFG,
∴EF=BC=3,AE=AB,
∵DE=EF,
∴AD=DE=3,
∴AE==3,
∴AB=3,
故答案为3.
【点睛】本题考查矩形的性质和旋转的性质,熟知旋转前后哪些线段是相等的是解题的关键.
14、a(a+1)(a﹣1)
【解析】
解:a3﹣a=a(a2﹣1)=a(a+1)(a﹣1).故答案为:a(a+1)(a﹣1).
15、y=-x+2(答案不唯一)
【解析】
①图象经过(1,1)点;②当x>1时.y随x的增大而减小,这个函数解析式为 y=-x+2,
故答案为y=-x+2(答案不唯一).
16、十二
【解析】
首先根据内角度数计算出外角度数,再用外角和360°除以外角度数即可.
【详解】
∵一个正多边形的每个内角为150°,
∴它的外角为30°,
360°÷30°=12,
故答案为十二.
【点睛】
此题主要考查了多边形的内角与外角,关键是掌握内角与外角互为邻补角.
17、
【解析】
利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点B1的坐标,根据等边三角形的性质可求出点A1的坐标,同理可得出点B2、A2、A3的坐标,根据点An坐标的变化即可得出结论.
【详解】
当y=0时,有x-=0,
解得:x=1,
∴点B1的坐标为(1,0),
∵A1OB1为等边三角形,
∴点A1的坐标为(,).
当y=时.有x-=,
解得:x=,
∴点B2的坐标为(,),
∵A2A1B2为等边三角形,
∴点A2的坐标为(,).
同理,可求出点A3的坐标为(,),点A2018的坐标为(,).
故答案为;.
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等边三角形的性质以及规律型中点的坐标,根据一次函数图象上点的坐标特征结合等边三角形的性质找出点An横坐标的变化是解题的关键.
三、解答题(共7小题,满分69分)
18、(1)甲种品牌的进价为1500元,乙种品牌空调的进价为1800元;(2)当购进甲种品牌空调7台,乙种品牌空调3台时,售完后利润最大,最大为12100元
【解析】
(1)设甲种品牌空调的进货价为x元/台,则乙种品牌空调的进货价为1.2x元/台,根据数量=总价÷单价可得出关于x的分式方程,解之并检验后即可得出结论;
(2)设购进甲种品牌空调a台,所获得的利润为y元,则购进乙种品牌空调(10-a)台,根据总价=单价×数量结合总价不超过16000 元,即可得出关于a的一元一次不等式,解之即可得出a的取值范围,再由总利润=单台利润×购进数量即可得出y关于a的函数关系式,利用一次函数的性质即可解决最值问题.
【详解】
(1)由(1)设甲种品牌的进价为x元,则乙种品牌空调的进价为(1+20%)x元,
由题意,得 ,
解得x=1500,
经检验,x=1500是原分式方程的解,
乙种品牌空调的进价为(1+20%)×1500=1800(元).
答:甲种品牌的进价为1500元,乙种品牌空调的进价为1800元;
(2)设购进甲种品牌空调a台,则购进乙种品牌空调(10-a)台,
由题意,得1500a+1800(10-a)≤16000,
解得 ≤a,
设利润为w,则w=(2500-1500)a+(3500-1800)(10-a)=-700a+17000,
因为-700<0,
则w随a的增大而减少,
当a=7时,w最大,最大为12100元.
答:当购进甲种品牌空调7台,乙种品牌空调3台时,售完后利润最大,最大为12100元.
【点睛】
本题考查了一次函数的应用、分式方程的应用以及一元一次不等式的应用,解题的关键是:(1)根据数量=总价÷单价列出关于x的分式方程;(2)根据总利润=单台利润×购进数量找出y关于a的函数关系式.
19、(1);(2)80米/分;(3)6分钟
【解析】
(1)根据图示,设线段AB的表达式为:y=kx+b,把把(4,240),(16,0)代入得到关于k,b的二元一次方程组,解之,即可得到答案,
(2)根据线段OA,求出甲的速度,根据图示可知:乙在点B处追上甲,根据速度=路程÷时间,计算求值即可,
(3)根据图示,求出二者相遇时与出发点的距离,进而求出与终点的距离,结合(2)的结果,分别计算出相遇后,到达终点甲和乙所用的时间,二者的时间差即可所求答案.
【详解】
(1)根据题意得:
设线段AB的表达式为:y=kx+b (4≤x≤16),
把(4,240),(16,0)代入得:
,
解得:,
即线段AB的表达式为:y= -20x+320 (4≤x≤16),
(2)又线段OA可知:甲的速度为:=60(米/分),
乙的步行速度为:=80(米/分),
答:乙的步行速度为80米/分,
(3)在B处甲乙相遇时,与出发点的距离为:240+(16-4)×60=960(米),
与终点的距离为:2400-960=1440(米),
相遇后,到达终点甲所用的时间为:=24(分),
相遇后,到达终点乙所用的时间为:=18(分),
24-18=6(分),
答:乙比甲早6分钟到达终点.
【点睛】
本题考查了一次函数的应用,正确掌握分析函数图象是解题的关键.
20、 (1),;(1),.
【解析】
(1)由点A在一次函数图象上,将A(-1,a)代入y=x+4,求出a的值,得到点A的坐标,再由点A的坐标利用待定系数法求出反比例函数解析式,联立两函数解析式成方程组,解方程组即可求出点B坐标;
(1)作点A关于y轴的对称点A′,作点B作关于x轴的对称点B′,连接A′B′,交x轴于点P,交y轴于点Q,连接PB、QA.利用待定系数法求出直线A′B′的解析式,进而求出P、Q两点坐标.
【详解】
解:(1)把点A(-1,a)代入一次函数y=x+4,
得:a=-1+4,解得:a=3,
∴点A的坐标为(-1,3).
把点A(-1,3)代入反比例函数y=,
得:k=-3,
∴反比例函数的表达式y=-.
联立两个函数关系式成方程组得:
解得: 或
∴点B的坐标为(-3,1).
故答案为3,(-3,1);
(1)作点A关于y轴的对称点A′,作点B作关于x轴的对称点B′,连接A′B′,交x轴于点P,交y轴于点Q,连接PB、QA,如图所示.
∵点B、B′关于x轴对称,点B的坐标为(-3,1),
∴点B′的坐标为(-3,-1),PB=PB′,
∵点A、A′关于y轴对称,点A的坐标为(-1,3),
∴点A′的坐标为(1,3),QA=QA′,
∴BP+PQ+QA=B′P+PQ+QA′=A′B′,值最小.
设直线A′B′的解析式为y=mx+n,
把A′,B′两点代入得:
解得:
∴直线A′B′的解析式为y=x+1.
令y=0,则x+1=0,解得:x=-1,点P的坐标为(-1,0),
令x=0,则y=1,点Q的坐标为(0,1).
【点睛】
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式、轴对称中的最短线路问题,解题的关键是:(1)联立两函数解析式成方程组,解方程组求出交点坐标;(1)根据轴对称的性质找出点P、Q的位置.本题属于基础题,难度适中,解决该题型题目时,联立解析式成方程组,解方程组求出交点坐标是关键.
21、(1)y=﹣(x﹣)2+;(,);(2)①(﹣,)或(,);②(0,);
【解析】
1)把0(0,0),A(4,4v3)的坐标代入
y=﹣x2+bx+c,转化为解方程组即可.
(2)先求出直线OA的解析式,点B坐标,抛物线的对称轴即可解决问题.
(3)①如图1中,点O关于直线BQ的对称点为点C,当点C恰好在直线l上时,首先证明四边形BOQC是菱形,设Q(m,),根据OQ=OB=5,可得方程,解方程即可解决问题.
②如图2中,由题意点D在以B为圆心5为半径的OB上运动,当A,D、B共线时,线段AD最小,设OD与BQ交于点H.先求出D、H两点坐标,再求出直线BH的解析式即可解决问题.
【详解】
(1)把O(0,0),A(4,4)的坐标代入y=﹣x2+bx+c,
得,
解得,
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+5x=﹣(x﹣)2+.
所以抛物线的顶点坐标为(,);
(2)①由题意B(5,0),A(4,4),
∴直线OA的解析式为y=x,AB==7,
∵抛物线的对称轴x=,
∴P(,).
如图1中,点O关于直线BQ的对称点为点C,当点C恰好在直线l上时,
∵QC∥OB,
∴∠CQB=∠QBO=∠QBC,
∴CQ=BC=OB=5,
∴四边形BOQC是平行四边形,
∵BO=BC,
∴四边形BOQC是菱形,
设Q(m,),
∴OQ=OB=5,
∴m2+()2=52,
∴m=±,
∴点Q坐标为(﹣,)或(,);
②如图2中,由题意点D在以B为圆心5为半径的⊙B上运动,当A、D、B共线时,线段AD最小,设OD与BQ交于点H.
∵AB=7,BD=5,
∴AD=2,D(,),
∵OH=HD,
∴H(,),
∴直线BH的解析式为y=﹣x+,
当y=时,x=0,
∴Q(0,).
【点睛】
本题二次函数与一次函数的关系、几何动态问题、最值问题、作辅助圆解决问题,难度较大,需积极思考,灵活应对.
22、.
【解析】
试题分析:先根据题意画出树状图或列表,由图表求得所有等可能的结果与A,C两个区域所涂颜色不相同的的情况,利用概率公式求出概率.
试题解析:解:画树状图如答图:
∵共有8种不同的涂色方法,其中A,C两个区域所涂颜色不相同的的情况有4种,
∴P(A,C两个区域所涂颜色不相同)=.
考点:1.画树状图或列表法;2.概率.
23、 (1)4元/瓶.(2) 销售单价至少为1元/瓶.
【解析】
(1)设第一批饮料进货单价为x元/瓶,则第二批饮料进货单价为(x+2)元/瓶,根据数量=总价÷单价结合第二批购进饮料的数量是第一批的3倍,即可得出关于x的分式方程,解之经检验后即可得出结论;
(2)由数量=总价÷单价可得出第一、二批购进饮料的数量,设销售单价为y元/瓶,根据利润=销售单价×销售数量﹣进货总价结合获利不少于2100元,即可得出关于y的一元一次不等式,解之取其最小值即可得出结论.
【详解】
(1)设第一批饮料进货单价为x元/瓶,则第二批饮料进货单价为(x+2)元/瓶,
依题意,得:=3×,
解得:x=4,
经检验,x=4是原方程的解,且符合题意.
答:第一批饮料进货单价是4元/瓶;
(2)由(1)可知:第一批购进该种饮料450瓶,第二批购进该种饮料1350瓶.
设销售单价为y元/瓶,
依题意,得:(450+1350)y﹣1800﹣8100≥2100,
解得:y≥1.
答:销售单价至少为1元/瓶.
【点睛】
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出二元一次方程组;(2)根据各数量之间的关系,正确列出一元一次不等式.
24、-1, -9.
【解析】
先去括号,再合并同类项;最后把x=-2代入即可.
【详解】
原式=,
当x=-2时,原式=-8-1=-9.
【点睛】
本题考查了整式的混合运算及化简求值,关键是先按运算顺序把整式化简,再把对应字母的值代入求整式的值.
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