2021年黑龙江省各市中考数学真题汇编——专题4二次函数

这是一份2021年黑龙江省各市中考数学真题汇编——专题4二次函数，共30页。试卷主要包含了综合与探究等内容，欢迎下载使用。

2021年黑龙江各市中考数学真题汇编——专题4二次函数
一．选择题（共3小题）
1．（2021•牡丹江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为（1，n），与x轴的一个交点B（3，0），与y轴的交点在（0，﹣3）和（0，﹣2）之间．下列结论中：①abc＞0；②﹣2＜b＜−53；③（a+c）2﹣b2＝0；④2c﹣a＜2n，则正确的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2021•大庆）已知函数y＝ax2﹣（a+1）x+1，则下列说法不正确的个数是（　　）
①若该函数图象与x轴只有一个交点，则a＝1；
②方程ax2﹣（a+1）x+1＝0至少有一个整数根；
③若1a＜x＜1，则y＝ax2﹣（a+1）x+1的函数值都是负数；
④不存在实数a，使得ax2﹣（a+1）x+1≤0对任意实数x都成立．
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（2021•齐齐哈尔）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，结合图象给出下列结论：
①a+b+c＝0；
②a﹣2b+c＜0；
③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1；
④若点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函数图象上，则y1＜y2＜y3；
⑤a﹣b＜m（am+b）（m为任意实数）．
其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共1小题）
4．（2021•牡丹江）将抛物线y＝x2﹣2x+3向左平移2个单位长度，所得抛物线为 　 　．
三．解答题（共8小题）
5．（2021•牡丹江）抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，0）和点C（0，3）．
（1）求此抛物线所对应的函数解析式，并直接写出顶点D的坐标；
（2）若过顶点D的直线将△ACD的面积分为1：2两部分，并与x轴交于点Q，则点Q的坐标为 　 　．
注：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标（−b2a，4ac−b24a）

6．（2021•哈尔滨）在平面直角坐标系中，点O为坐标系的原点，抛物线y＝ax2+bx经过A（10，0），B（52，6）两点，直线y＝2x﹣4与x轴交于点C，与y轴交于点D，点P为直线y＝2x﹣4上的一个动点，连接PA．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，当点P在第一象限时，设点P的横坐标为t，△APC的面积为S，求S关于t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）如图2，在（2）的条件下，点E在y轴的正半轴上，且OE＝OD，连接CE，当直线BP交x轴正半轴于点L，交y轴于点V时，过点P作PG∥CE交x轴于点G，过点G作y轴的平行线交线段VL于点F，连接CF，过点G作GQ∥CF交线段VL于点Q，∠CFG的平分线交x轴于点M，过点M作MH∥CF交FG于点H，过点H作HR⊥CF于点R，若FR+MH＝GQ，求点P的坐标．

7．（2021•黑龙江）已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，P为第二象限内抛物线上一点．
（1）求抛物线的解析式，并写出顶点坐标；
（2）如图，连接PB，PO，PC，BC．OP交BC于点D，当S△CPD：S△BPD＝1：2时，求出点D的坐标．

8．（2021•大庆）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于原点O和点A，且其顶点B关于x轴的对称点坐标为（2，1）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）抛物线的对称轴上存在定点F，使得抛物线y＝ax2+bx+c上的任意一点G到定点F的距离与点G到直线y＝﹣2的距离总相等．
①证明上述结论并求出点F的坐标；
②过点F的直线l与抛物线y＝ax2+bx+c交于M，N两点．
证明：当直线l绕点F旋转时，1MF+1NF是定值，并求出该定值；
（3）点C（3，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQBC周长最小，直接写出P，Q的坐标．

9．（2021•黑龙江）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，顶点为点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点Q在射线ED上，若以点P、Q、E为顶点的三角形与△BOC相似，请直接写出点P的坐标．

10．（2021•齐齐哈尔）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，OA＝1，对称轴为直线x＝2，点D为此抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上C、D两点之间的距离是 　 　；
（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求△BCE面积的最大值；
（4）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．

11．（2021•黑龙江）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，顶点为点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△BOC的面积．

12．（2021•绥化）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）与x轴交于点A（﹣5，0），点B（1，0）（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，连接BD．直线y=−12x−52经过点A，且与y轴交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点N是抛物线上的一点，当△BDN是以DN为腰的等腰三角形时，求点N的坐标；
（3）点F为线段AE上的一点，点G为线段OA上的一点，连接FG，并延长FG与线段BD交于点H（点H在第一象限），当∠EFG＝3∠BAE且HG＝2FG时，求出点F的坐标．


2021年黑龙江各市中考数学真题汇编——专题4二次函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共3小题）
1．（2021•牡丹江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为（1，n），与x轴的一个交点B（3，0），与y轴的交点在（0，﹣3）和（0，﹣2）之间．下列结论中：①abc＞0；②﹣2＜b＜−53；③（a+c）2﹣b2＝0；④2c﹣a＜2n，则正确的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：①∵函数图象开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴在y轴右侧，a与b异号，
∴b＜0，
∵函数图象与y轴交负半轴，
∴c＜0，故abc＞0，正确
②∵顶点坐标（1，n），对称轴x=−b2a=1，
∴b＝﹣2a＜0，a=−b2，
∴B点（3，0）关于对称轴x＝1对称点为（﹣1，0），
∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，得c=32b，
∵﹣3＜c＜﹣2，
∴﹣3＜32b＜−2，
∴﹣2＜b＜−43，错误．
③当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，（a+c）2﹣b2＝（a+b+c）（a﹣b+c）＝0，正确．
④当x＝1，时，y＝a+b+c＝n，
∵a=−b2，c=32b，
∴n＝2b，
∴2c﹣a=72b，
∵b＜0，
∴72b＞4b，即2c﹣a＞2n，错误．
故选：B．
2．（2021•大庆）已知函数y＝ax2﹣（a+1）x+1，则下列说法不正确的个数是（　　）
①若该函数图象与x轴只有一个交点，则a＝1；
②方程ax2﹣（a+1）x+1＝0至少有一个整数根；
③若1a＜x＜1，则y＝ax2﹣（a+1）x+1的函数值都是负数；
④不存在实数a，使得ax2﹣（a+1）x+1≤0对任意实数x都成立．
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：①当a＝0时，y＝﹣x+1，此时函数图象与x轴交点为（1，0），故①错误；
②当a＝0时，﹣x+1＝0，解得x＝1；
当a≠0时，ax2﹣（a+1）x+1＝（x﹣1）（ax﹣1）＝0，
解得x＝1或x=1a，
故②正确；
③当a＞0时，函数图象开口向上，若1a＜x＜1，则y＜0；
当a＜0时，函数图象开口向下，若1a＜x＜1，则y＞0；
故③错误；
④当a≠0时，y＝ax2﹣（a+1）x+1，Δ＝（a﹣1）2≥0，
此时ax2﹣（a+1）x+1≤0函数与x至少有一个交点，
不能使ax2﹣（a+1）x+1≤0对任意实数x都成立；
当a＝0时，﹣x+1≤0，不能使ax2﹣（a+1）x+1≤0对任意实数x都成立；
故④正确；
故选：C．
3．（2021•齐齐哈尔）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，结合图象给出下列结论：
①a+b+c＝0；
②a﹣2b+c＜0；
③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1；
④若点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函数图象上，则y1＜y2＜y3；
⑤a﹣b＜m（am+b）（m为任意实数）．
其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），
∴a+b+c＝0，
故①正确；
②∵抛物线的对称轴为直线x=−b2a=−1，
∴b＝2a，
∵抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，
∴a＞0，c＜0，
∴a﹣2b+c＝c﹣3a＜0，
故②正确；
③由对称得：抛物线与x轴的另一交点为（﹣3，0），
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1，
故③正确；
④∵对称轴为直线x＝﹣1，且开口向上，
∴离对称轴越近，y值越小，
∵|﹣4+1|＝3，||﹣2+1|＝1，|3+1|＝4，
∵点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函数图象上，
∴y2＜y1＜y3，
故④不正确；
⑤∵x＝﹣1时，y有最小值，
∴a﹣b+c≤am2+bm+c（m为任意实数），
∴a﹣b≤m（am+b），
故⑤不正确．
所以正确的结论有①②③，共3个．
故选：C．
二．填空题（共1小题）
4．（2021•牡丹江）将抛物线y＝x2﹣2x+3向左平移2个单位长度，所得抛物线为 　y＝（x+1）2+2　．
【解答】解：将抛物线y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2向左平移2个单位长度得到解析式：y＝（x+1）2+2，
故答案为：y＝（x+1）2+2．
三．解答题（共8小题）
5．（2021•牡丹江）抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，0）和点C（0，3）．
（1）求此抛物线所对应的函数解析式，并直接写出顶点D的坐标；
（2）若过顶点D的直线将△ACD的面积分为1：2两部分，并与x轴交于点Q，则点Q的坐标为 　Q1（−73，0），Q2（﹣1，0）　．
注：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标（−b2a，4ac−b24a）

【解答】解：（1）把点A（﹣3，0）和点C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c得：−9−3b+c=0c=3，
解得：b=−2c=3，
∴y＝﹣x2﹣2x+3，
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴顶点D（﹣1，4）．
（2）取线段AC的三等分点E、F，连接DE、DF交x轴于点Q1、Q2，则：
S△DAE：S△DEC＝1：2，S△DAF：S△DFC＝2：1，
∵点A（﹣3，0），点C（0，3），
∴E（﹣2，1），F（﹣1，2），
∴DF⊥x轴于点Q2，
∴Q2（﹣1，0），
设直线DE的解析式为：y＝kx+b（k≠0），
把点D（﹣1，4），E（﹣2，1）代入，得：−k+b=4−2k+b=1，
解得：k=3b=7，
∴直线DE的表达式为：y＝3x+7，
当y＝0时，x=−73，
∴Q1（−73，0）．
故答案为：Q1（−73，0），Q2（﹣1，0）．

6．（2021•哈尔滨）在平面直角坐标系中，点O为坐标系的原点，抛物线y＝ax2+bx经过A（10，0），B（52，6）两点，直线y＝2x﹣4与x轴交于点C，与y轴交于点D，点P为直线y＝2x﹣4上的一个动点，连接PA．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，当点P在第一象限时，设点P的横坐标为t，△APC的面积为S，求S关于t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）如图2，在（2）的条件下，点E在y轴的正半轴上，且OE＝OD，连接CE，当直线BP交x轴正半轴于点L，交y轴于点V时，过点P作PG∥CE交x轴于点G，过点G作y轴的平行线交线段VL于点F，连接CF，过点G作GQ∥CF交线段VL于点Q，∠CFG的平分线交x轴于点M，过点M作MH∥CF交FG于点H，过点H作HR⊥CF于点R，若FR+MH＝GQ，求点P的坐标．

【解答】解：（1）把A（10，0），B（52，6）代入y＝ax2+bx，得到100a+10b=0254a+52b=6，
解得a=−825b=165，
∴抛物线的解析式为y=−825x2+165x．

（2）∵直线y＝2x﹣4与x轴交于点C，与y轴交于点D，
∴C（2，0），D（0，﹣4），
∵A（10，0），
∴OA＝10，OC＝2，
∴AC＝8，
由题意P（t，2t﹣4），
∴S=12•PT•AC=12×8×（2t﹣4）＝8t﹣16．

（3）如图2中，过点P作PT⊥CG于T，交CF于W，过点F作FJ⊥MH交MH的延长线于J，连接JQ．

∵PT⊥CG，
∴∠PTC＝∠ODC＝90°，
∴OD∥PT，
∴∠ODC＝∠CPT，
∴tan∠CPT＝tan∠ODC=OCOD=24=12，
∵HR⊥RF，FJ⊥MJ，MH∥CF，
∴RH⊥MJ，
∴∠FRH＝∠RHJ＝∠FJH＝90°，
∴四边形RFJH是矩形，
∴RF＝HJ，
∵RF+HM＝MH+HJ＝MJ＝GQ，MJ∥GQ，
∴四边形MJQG是平行四边形，
∴JQ＝GM，∠JQG＝∠GMJ，
∵MF平分∠CFG，
∴∠CFM＝∠MFG，
∵CF∥MH，
∴∠FMH＝∠CFM，
∴∠FMH＝∠MFH，
∴FH＝HM，
∵∠MGH＝∠FJH＝90°，∠MHG＝∠FHJ，
∴△MHG≌△FHJ（AAS），
∴MG＝FJ＝JQ，∠GMH＝∠HFJ，
∴∠JFQ＝∠JQF，∠GFJ＝∠GQJ，
∴∠GFQ＝∠GQF，
∵CF∥GQ，PT∥FG，
∴∠WPF＝∠GFQ，∠WFP＝∠GQF，
∴∠WPF＝∠WFP，
∴WP＝WF，
∵D，E关于x轴对称，
∴∠ECO＝∠DCO＝∠PCG，
∵EC∥PG，
∴∠PGC＝∠ECO，
∴∠PCG＝∠PGC，
∴PC＝PG，
∵PT⊥CG，
∴CT＝TG，
∵WT∥FG，
∴CW＝WF，
∴WP＝WC＝WF，
∴∠CPF＝90°，
∴∠LCP+∠PLC＝90°，
∵∠ODC+∠OCD＝90°，∠OCD＝∠LCP，
∴∠PLC＝∠ODC，
∴tan∠PLC＝tan∠ODC=12，
∵B（52，6），
∴OL=52+12=292，
∴L（292，0），
∴直线PB的解析式为y=−12x+294，
由y=2x−4y=−12x+294，解得x=92y=5，
∴P（92，5）．
7．（2021•黑龙江）已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，P为第二象限内抛物线上一点．
（1）求抛物线的解析式，并写出顶点坐标；
（2）如图，连接PB，PO，PC，BC．OP交BC于点D，当S△CPD：S△BPD＝1：2时，求出点D的坐标．

【解答】解：（1）将点A（1，0）和点B（﹣3，0）代入函数解析式，
可得a+b+3=09a−3b+3=0，
解得：a=−1b=−2，
∴y＝﹣x2﹣2x+3，
又∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，4）；
（2）如图，过点D作DM⊥y轴，

由y＝﹣x2﹣2x+3，当x＝0时，y＝3，
∴C点坐标为（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，将B（﹣3，0），C（0，3）代入，
可得：−3k+b=0b=3，
解得：k=1b=3，
∴直线BC的解析式为y＝x+3，
∵S△CPD：S△BPD＝1：2，
∴CDBD=12，BDBC=23，
又∵DM⊥y轴，
∴DM∥OB，
∴OMOC=BDBC=23，
∴OM3=23，
解得：OM＝2，
在y＝x+3中，当y＝2时，x＝﹣1，
∴D点坐标为（﹣1，2）．
8．（2021•大庆）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于原点O和点A，且其顶点B关于x轴的对称点坐标为（2，1）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）抛物线的对称轴上存在定点F，使得抛物线y＝ax2+bx+c上的任意一点G到定点F的距离与点G到直线y＝﹣2的距离总相等．
①证明上述结论并求出点F的坐标；
②过点F的直线l与抛物线y＝ax2+bx+c交于M，N两点．
证明：当直线l绕点F旋转时，1MF+1NF是定值，并求出该定值；
（3）点C（3，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQBC周长最小，直接写出P，Q的坐标．

【解答】解：（1）∵顶点B关于x轴的对称点坐标为（2，1），
∴B（2，﹣1），
∴A（4，0），
将点O、点A、点B代入抛物线y＝ax2+bx+c，
得到c=04a+2b+c=−116a+4b+c=0，解得a=14b=−1c=0，
∴y=14x2﹣x；
（2）①设F（2，m），G（x，y），
∴G点到直线y＝﹣2的距离为|y+2|，
∴（y+2）2＝y2+4y+4，
∵y=14x2﹣x，
∴（y+2）2＝y2+4y+4＝y2+x2﹣4x+4＝y2+（x﹣2）2，
∴G到直线y＝﹣2的距离与点（2，0）和G点的距离相等，
∴抛物线上的任意一点G到定点F的距离与点G到直线y＝﹣2的距离总相等；
∵G到定点F的距离与点G到直线y＝﹣2的距离相等，
∴（x﹣2）2+(m−14x2+x)2=(14x2−x+2)2，
整理得，m（m−12x2+2x）＝0，
∵距离总相等，
∴m＝0，
∴F（2，0）；
②设过点F的直线解析式为y＝kx﹣2k，M（xM，yM），N（xN，yN），
联立y=kx−2ky=14x2−x，整理得x2﹣（4+4k）x+8k＝0，
∴xM+xN＝4+4k，xM•xN＝8k，
∴yM+yN＝4k2，yM•yN＝﹣4k2，
∵M到F点与M点到y＝﹣2的距离相等，N到F点与N点到y＝﹣2的距离相等，
∴1MF+1NF=12+yM+12+yN=4+yN+yM4+2(yN+yM)+yM⋅yN=4+4k24+2(4k2)−4k2=1，
∴1MF+1NF=1是定值；
（3）作B点关于y轴的对称点B'，作C点关于x轴的对称点C'，连接C'B'交x轴、y轴分别于点P、Q，
∵BQ＝B'Q，CP＝C'P，
∴四边形PQBC周长＝BQ+PQ+PC+BC＝B'Q+PQ+C'P+CB＝C'B'+CB，
∵点C（3，m）是该抛物线上的一点
∴C（3，−34），
∵B（2，﹣1），
∴B'（﹣2，﹣1），C'（3，34），
∴直线B'C'的解析为y=720x−310，
∴Q（0，−310），P（67，0）．

9．（2021•黑龙江）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，顶点为点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点Q在射线ED上，若以点P、Q、E为顶点的三角形与△BOC相似，请直接写出点P的坐标．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点A（1，0），B（﹣3，0），
∴a+b+3=09a−3b+3=0，
解得a=−1b=−2，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）令x＝0，y＝3，
∴OC＝OB＝3，即△OBC是等腰直角三角形，
∵抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3，
∴抛物线对称轴为：x＝﹣1，
∵EN∥y轴，
∴△BEN∽△BCO，
∴BNBO=ENCO，
∴23=EN3，
∴EN＝2，
①若△PQE∽△OBC，如图所示，过点P作PH⊥ED垂足为H，
∴∠PEH＝45°，
∴∠PHE＝90°，
∴∠HPE＝∠PEH＝45°，
∴PH＝HE，
∴设点P坐标（x，﹣x﹣1+2），
∴代入关系式得，﹣x﹣1+2＝﹣x2﹣2x+3，
整理得，x2+x﹣2＝0，
解得，x1＝﹣2，x2＝1（舍），
∴点P坐标为（﹣2，3），

②若△PEQ∽△OCB，如图所示，
设P（x，2），
代入关系式得，2＝﹣x2﹣2x+3，
整理得，x2+2x﹣1＝0，
解得，x1=−1−2，x2=−1+2（舍），
∴点P的坐标为（﹣1−2，2），

综上所述点P的坐标为（﹣1−2，2）或（﹣2，3）．
10．（2021•齐齐哈尔）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，OA＝1，对称轴为直线x＝2，点D为此抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上C、D两点之间的距离是 　22　；
（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求△BCE面积的最大值；
（4）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．

【解答】解：（1）∵OA＝1，
∴A（﹣1，0），
又∵对称轴为x＝2，
∴B（5，0），
将A，B代入解析式得：
0=a−2+c0=25a+10+c，
解得a=−12c=52，
∴y=−12x2+2x+52；
（2）由（1）得：C（0，52），D（2，92），
∴CD=(92−52)2+(2−0)2=22，
故答案为22；
（3）∵B（5，0），C（0，52），
∴直线BC的解析式为：y=−12x+52，
设E（x，−12x2+2x+52），
作EF∥y轴交BC于点F，
则F（x，−12x+52），
∴EF=−12x2+2x+52−（−12x+52）=−12x(x−5)，
∴S△BCE=12×(xB−xC)×EF=12×5×[−12x(x−5)]=−54x(x−5)，
当x=52时，S△BCE有最大值为12516；

（4）设P（2，y），Q（m，n），
由（1）知B（5，0），C（0，52），
若BC为矩形的对角线，
由中点坐标公式得：5+0=2+m0+52=y+n，
解得：m=3n=52−y，
又∵∠BPC＝90°，
∴PC2+PB2＝BC2，
即：22+(52−y)2+32+y2=52+(52)2，
解得y＝4或y=−32，
∴n=−32或n＝4，
∴Q（3，−32）或Q（3，4），
若BP为矩形得对角线，
由中点坐标公式得5+2=0+m0+y=52+n，
解得m=7n=y−52，
又∵∠BCP＝90°，
BC2+CP2＝BP2，
即：52+(52)2+22+(52−y)2=32+y2，
解得y=132，
∴Q（7，4），
若BQ为矩形的对角线，
由中点坐标公式得5+m=2+00+n=y+52，
解得：m=−3n=y+52，
又∵∠BCQ＝90°，
∴BC2+CQ2＝BQ2，
即：52+(52)2+m2+(52−n)2=(5−m)2+n2，
解得n=−72，
∴Q（﹣3，−72），
综上，点Q的坐标为（3，−32）或（3，4），或（7，4）或（﹣3，−72）．
11．（2021•黑龙江）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，顶点为点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△BOC的面积．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），
∴a+b+3=09a−3b+3=0，
解得a=−1b=−2，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）由（1）知，y＝﹣x2﹣2x+3，
∴点C的坐标为（0，3），
∴OC＝3，
∵点B的坐标为（﹣3，0），
∴OB＝3，
∵∠BOC＝90°，
∴△BOC的面积是OB⋅OC2=3×32=92．
12．（2021•绥化）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）与x轴交于点A（﹣5，0），点B（1，0）（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，连接BD．直线y=−12x−52经过点A，且与y轴交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点N是抛物线上的一点，当△BDN是以DN为腰的等腰三角形时，求点N的坐标；
（3）点F为线段AE上的一点，点G为线段OA上的一点，连接FG，并延长FG与线段BD交于点H（点H在第一象限），当∠EFG＝3∠BAE且HG＝2FG时，求出点F的坐标．

【解答】解：（1）将A（﹣5，0），B（1，0）代入抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）得：
25a−5b+5=0a+b+5=0，
解得：a=−1b=−4，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣4x+5；
（2）∵D（﹣2，9），B（1，0），点N是抛物线上的一点且△BDN是以DN为腰的等腰三角形，
∴此题有两种情形：
①当DN＝DB时，根据抛物线的对称性得：A与N重合，
∴N1（﹣5，0），
②方法一：当DN＝BN时（如图1），N在BD的垂直平分线上，
BD的垂直平分线交BD于I，交x轴于点Q，BD与y轴交点为K，
∵∠KBO+∠OKB＝90°，∠KBO+∠IQB＝90°，
∴∠OKB＝∠IQB，
在Rt△OKB中，sin∠OKB=1010，
∴sin∠IQB=BIBQ=1010，
∵I是BD的中点，BD＝310，
∴BI=3102，
∴BQ＝15，
∴Q（﹣14，0），I（−12，92）
设yQI＝kx+b，代入得：
−14k+b=0−12k+b=92，
解得：k=13b=143，
∴yQI=13x+143，
联立得：y=13x+143y=−x2−4x+5，
解得：x=−13±1816，
∴yQI=13x+143=13(−13±1816)+143=71±18118，
N2（−13−1816，71−18118），N3（−13+1816，71+18118），
方法二：如图2，
过点N作DS⊥NT交NT于点S，
设N（a，﹣a2﹣4a+5），D（﹣2，9），
∵DN＝DB，
∴DS2+SN2＝NT2+TB2，
∴（﹣2﹣a）2+（9+a2+4a﹣5）2＝（﹣a2﹣4a+5）2+（1﹣a）2，
（2+a）2﹣（1﹣a）2＝（a2+4a﹣5）2﹣（9+a2+4a﹣5）2，
（2+a+1﹣a）（2+a﹣1+a）＝（a2+4a﹣5+a2+4a+4）（a2+4a﹣5﹣a2﹣4a﹣4），
解得：a=−13±1816，
把a=−13±1816代入﹣a2﹣4a+5＝﹣（−13±1816）2﹣4（−13±1816）+5=71±18118，
∴N2（−13−1816，71−18118），N3（−13+1816，71+18118），
综上所述，N1（﹣5，0），N2（−13−1816，71−18118），N3（−13+1816，71+18118）；
（3）如图1，在AE上取一点F，作AF的垂直平分线交x轴于点M，连接MF，则AM＝MF，在AO上M点的右侧作FG＝MF，
∴∠FGM＝∠FMG，
∴∠EFG＝∠BAE+∠FGM＝∠BAE+∠FMG＝∠BAE+2∠BAE＝3∠BAE，
移动F点，当HG＝2FG时，点F为所求．
过点F作FP垂直于x轴于点P，过点H作HR垂直于x轴于点R，
∴△FPG∽△HRG，
∴PFHR=PGRG=FGGH=12，GR＝2PG，HR＝2PF，
设F（m，−12m−52），
则OP＝﹣m，PF=12m+52，
HR＝2PF＝m+5，
∵AP＝m+5，
∴AP＝2PF，
∵AM＝AP﹣MP＝2PF﹣MP，MF＝AM，
∴在Rt△PMF中，PM2+PF2＝MF2，PM2+PF2＝（2PF﹣MP）2，
∴PM=34PF=34×m+52=38m+158，
∴GP=38m+158，
∴GR＝2PG=34m+154，
∴PR＝3PG＝3PM，
∴AR＝AP+PR＝AP+3PM＝2PF+3×34PF=174PF=178m+858，
∴OR=178m+858−5=178m+458，
∴H（178m+458，m+5），
∵B（1，0），D（﹣2，9），
∴BD解析式为：yBD＝﹣3x+3，
把H代入上式并解得：m=−15159，
再把m=−15159代入y=−12x−52得：y=−7259，
∴F（−15159，−7259）．