二元一次方程组-应用题中上学案-无答案

二元一次方程组应用题

一、教学目标：

知识与技能：

1．能通过画示意图的方法分析较复杂的实际问题的数量关系，列出二元一次方程组解决问题。

2．加强学生列方程组的技能训练，形成解决实际问题的一般性策略。

过程与方法：

进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，在列方程组的建模过程中，强化方程的模型思想，培养学生列方程组解决现实问题的意识和能力。

情感、态度与价值观：使学生在数学活动中感受探索的乐趣，获得成功的喜悦，并培养学生良好的学习习惯和严谨、负责的科学态度，鼓励学生合作交流，培养学生的团队精神。

二、教学梳理

情境一 《一千零一夜》中有这样一段文字：有一群鸽子，其中一部分在树止欢歌，另一部分在地上觅食，树止的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的；若从树止飞下去一只，则树止、树下的鸽子主一样多。”你知道树止、树下各有多少只鸽子吗？

思考：你能解决这个问题吗？用什么方法？用二元一次方程组解决问题.。

情境二  小明和小亮做游戏 ，小明在一个加数的后面多写了上0，得到的和为242；小亮在另一个加数后面多写了一个 0 ，得到的和为341.原来的两个数分别为多少？

你能用方程组解决这个问题吗？

   用二元一次方程组解决生活实际问题

1.国庆长假期间,某旅行社接待一日游和三日游的旅客共2200人,收旅游费200万元,其中一日游每人收费200元,三日游每人收1500元.该旅行社的一日游和三日游旅客各有多少人?

想一想  如何设未知数?表达实际问题的两个相等关系是什么?

     两个相等关系分别为：一日游旅客人数+三日游旅客人数=2200

      一日游总收费+三日游总收费=总收入200万

归纳  列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是怎样的？

1、“设”：弄清题意和题目中的数量关系，用字母表示题目中的两个未知数；

2、“列”：找出能够表达应用题全部含义的两个相等关系，根据这两个相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；

3、“解”：解这个方程组，求出未知数的值；

4、“验”：检验这个解是否正确，并看它是否符合题意；

5、“答”：与设前后呼应，写出答案，包括单位名称；

注意  （1）题目中给出的量单位不统一，解题时应化为统一单位.

      （2）解二元一次方程组的过程不再展开.

交流 1.“找”两个相等关系:

           5节1号电池的质量+6节5号电池的质量=500克;

           3节1号电池的质量+4节5号电池的量=310克.

 2.“设”、“列”、“解、“验”“答”.

三、典例精讲：

题型一：行程问题

例1、A、B两地相距80 km，一艘船从A地出发，顺水航行4h到B地;而从B地出发，逆水航行5h到A地.已知船顺水航行的速度为船在静水中航行的速度与水流速度的和，逆水航行的速度为船在静水中航行的速度与水流速度的差，求船在静水中的速度和水流速度.

练习.某校组织学生乘汽车去自然保护区野营，先以60km/h的速度走平路，后又以30km/h的速度爬坡，共用了6.5h；返回时，汽车以40km/h的速度下坡，又以50km/h的速度走平路，共用了6h.

请你根据以上信息，就该汽车行驶的“路程”或“时间”，提出一个用二元一次方程组解决的问题，并写出解答过程。

题型二;工程问题

例2：:某市准备对一段长120 m的河道进行清淤疏通，若甲工程队先用4天单独完成其中一部分河道的疏通任务，则余下的任务由乙工程队单独完成需要9天;若甲工程队单独工作8天，则余下的任务由乙工程队单独完成需要3天.设甲工程队平均每天疏通河道m，乙工程队平均每天疏通河道m，则的值为(    )

A.20                 B.15             C.10               D.5

练习.某项工程,如果由甲、乙两队承包,225天完成,需180000元;由乙、丙两队承包,334天完成,需付150000元;由甲、丙两队承包,267天完成，需付160000元。现在工程由一个队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪个队承包费用最少?

题型三：商品销售利润问题

例3、某商店将巧克力包装成方形、圆形礼盒出售，且每盒方形礼盒的价钱相同，每盒圆形礼盒的价钱相同．阿郁原先想购买3盒方形礼盒和7盒圆形礼盒，但他身上的钱会不足240元，如果改成购买7盒方形礼盒和3盒形礼盒，他身上的钱会剩下240元．若阿郁最后购买10盒方形礼盒，则他身上的钱会剩下多少元？（　　）

A．360          B．480             C．600             D．720

练习1. 夏季来临，某超市试销A、B两种型号的风扇，两周内共销售30台，销售收入5300元，A型风扇每台200元，B型风扇每台150元，问A、B两种型号的风扇分别销售了多少台？若设A型风扇销售了x台，B型风扇销售了y台，则根据题意列出方程组为（　　）

A．    B．  C． D．

练习2、某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表：

（注：获利 = 售价 — 进价）求该商场购进A、B两种商品各多少件；
 

题型四;银行储蓄问题

例4、小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用，在银行同时用两种方式共存了4000元钱.第一种，一年期整存整取，共反复存了3次，每次存款数都相同，这种存款银行利率为年息2.25%；第二种，三年期整存整取，这种存款银行年利率为2.70%.三年后同时取出共得利息303.75元(不计利息税)，问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元？
 

题型五：生产中的配套问题

例5、现有190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整盒子，问用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？

练习：某工厂有工人60人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品，每人每天生产螺栓14个或螺母20个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套。

题型六：增长率问题

例6、某城市现有人口42万，估计一年后城镇人口增加0.8%，农村人口增加1.1%，这样全市人口增加1%，求这个城市的城镇人口与农村人口。

题型七：和差倍分问题

 例7、游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽。如果每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多1倍，你知道男孩与女孩各有多少人吗？

题型八：数字问题

例8、一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是23；这个两位数除以它的各位数字之和，商是5，余数是1，这个两位数是多少？

练习1：一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大5，如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9，求这个两位数？

练习2：某三位数，中间数字为0，其余两个数位上数字之和是9，如果百位数字减1，个位数字加1，则所得新三位数正好是原三位数各位数字的倒序排列，求原三位数。

题型九：浓度问题

例9、要配浓度是45%的盐水12千克，现有10%的盐水与85%的盐水，这两种盐水各需多少？

变式：一种35%的新农药，如稀释到1.75%时，治虫最有效。用多少千克浓度为35%的农药加水多少千克，才能配成1.75%的农药800千克？

题型十：几何问题

例10、用长48厘米的铁丝弯成一个矩形，若将此矩形的长边剪掉3厘米，补到较短边上去，则得到一个正方形，求正方形的面积比矩形面积大多少？

练习：一块矩形草坪的长比宽的2倍多10m，它的周长是132m，则长和宽分别为多少？

题型十一：年龄问题

例11、今年，小李的年龄是他爷爷的五分之一.小李发现，12年之后，他的年龄变成爷爷的三分之一.试求出今年小李的年龄.

练习.已知甲、乙两人今年的年龄之和为63，数年前，甲的年龄是乙的年龄的一半，乙恰是甲现在的年龄，求甲、乙两人今年的年龄。

题型十二：优化方案问题：
例12、某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元。
　　(1)若商场同时购进其中两种不同型号的电视机50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案；
　　(2)若商场销售一台甲、乙、丙电视机分别可获利150元、200元、250元，在以上的方案中，为使获利最多，你选择哪种进货方案？

练习：为拓宽学生视野，引导学生主动适应社会，促进书本知识和生活经验的深度融合，我市某中学决定组织部分班级去赤壁开展研学旅行活动，在参加此次活动的师生中，若每位老师带17个学生，还剩12个学生没人带；若每位老师带18个学生，就有一位老师少带4个学生．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示．

学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过3100元，为了安全，每辆客车上至少要有2名老师．

（1）参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人？

（2）既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有2名老师，可知租用客车总数为　8　辆；

（3）你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由．

题型十三：新定义问题

例13.对于任意实数a，b，定义关于“⊗”的一种运算如下：a⊗b=2a+b．例如3⊗4=2×3+4=10．

（1）求2⊗（﹣5）的值；

（2）若x⊗（﹣y）=2，且2y⊗x=﹣1，求x+y的值．

巩固练习

1.为了鼓励市民节约用电，某市对居民用电实行“阶梯收费”(总电费=第一阶梯电费+第二阶梯电费).规定:用电量不超过200度按第一阶梯电价收费，超过200度的部分按第二阶梯电价收费.如图是张磊家2017年9月和10月所交电费的收据，则该市规定的第一阶梯电价和第二阶梯电价分别为每度(    )

  A. 0. 5元、0. 6元                       B. 0. 4元、0. 5元

  C. 0. 3元、0. 4元                       D. 0. 6元、0. 7元

2. 若关于x、y的二元一次方程组，的解是，则关于a、b的二元一次方程组的解是　　．

3. 小光和小王玩“石头、剪子、布”游戏，规定：一局比赛后，胜者得3分，负者得﹣1分，平局两人都得0分，小光和小王都制订了自己的游戏策略，并且两人都不知道对方的策略．

小光的策略是：石头、剪子、布、石头、剪子、布、……

小王的策略是：剪子、随机、剪子、随机……（说明：随机指2石头、剪子、布中任意一个）

例如，某次游戏的前9局比赛中，两人当时的策略和得分情况如下表

已知在另一次游戏中，50局比赛后，小光总得分为﹣6分，则小王总得分为　    　分．

4.甲、乙两种糖果，售价分别为20元/千克和24元/千克，根据市场调查发现，将两种糖果按一定的比例混合后销售，取得了较好的销售效果。现在糖果的售价有了调整：甲种糖果的售价上涨了8%，乙种糖果的售价下跌了10%.若这种混合糖果的售价恰好保持不变，则甲、乙两种糖果的混合比例应为甲：乙=______.

5.用消元法解方程组 时，两位同学的解法如下：

（1）反思：上述两个解题过程中有无计算错误？若有误，请在错误处打“×”。   

（2）请选择一种你喜欢的方法，完成解答。   

6. 为响应市政府“创建国家森林城市”的号召，某小区计划购进A、B两种树苗共17棵．若购进1棵A种树苗与2棵B种树苗共需200元；购进2棵A种树苗与1棵B种树苗共需220元．

（1）求购进A种树苗和B种树苗每棵各多少元？

（2）若小区购进A、B两种树苗刚好用去1220元，问购进A、B两种树苗各多少棵？

（3）若购进B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请设计一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用？

7. （开放题）是否存在整数m，使关于x的方程2x+9=2﹣（m﹣2）x在整数范围内有解，你能找到几个m的值？你能求出相应的x的解吗？

8、一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成，如果1立方米木料可以做桌面50个，或做桌腿300条。现有5立方米的木料，那么用多少立方米木料做桌面，用多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好配成方桌？能配多少张方桌？

9.甲、乙、丙、丁四人一起到冷饮店去买红豆与奶油两种棒冰.四人购买的数量及总价如表所示.其中有一人把总价算错了，则此人是(    )

1. 甲                B.乙              C.丙               D.丁

10.小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下：

则12:00时看到的两位数是(   )
A. 24
B. 42
C. 51
D. 15

11.小林、小芳和小亮三人玩飞镖游戏，各投5支飞镖，规定在同一圆环内得分相同，中靶和得分情况如图，则小亮的得分是       .

12.如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的，另一根露出水面的长度是它的，两根铁棒长度之和为55 cm，此时木桶中水的深度是          cm.

13.如图1，在边长为的大正方形纸片中剪去一个边长为的小正方形，再将图中的阴影部分剪拼成一个长方形，如图2.这个拼成的长方形的长为30，宽为20.则图2中Ⅱ部分的面积是          .

图1                   图2

14.如图，三个天平的托盘中形状相同的物体质量相等。图(1)、图(2)所示的两个天平处于平衡状态，要使第三个天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置______个球。

15.江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等，如果用2台抽水机抽水，40分钟可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完。如果要在10分钟内抽完水，那么，至少需要抽水机___台。

16.某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景。甲种盆景由15朵红花、24朵黄花和25朵紫花搭配而成，乙种盆景由10朵红花和12朵黄花搭配而成，丙种盆景由10朵红花、18朵黄花和25朵紫花搭配而成。这些盆景一共用了2900朵红花，3750朵紫花，则黄花一共用了___朵。

17.有一个正在向上匀速移动的自动扶梯,旅客A从其顶端往下匀速行至其底端,共走了60级,B从其底端往上匀速行至其顶端,共走了30级(扶梯行驶,两人也在梯上行走,且每次只跨1级且A的速度(即单位时间所走的级数是B的速度的3倍,那么自动扶梯露在外面的级数是(　　)。

18.某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片(长方形的宽与正方形的边长相等)加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器.(加工时接缝材料不计)

  (1)如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片       张，正方形铁片       张;

  (2)现有长方形铁片2 014张，正方形铁片1 176张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那么加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个?

  (3)把长方体铁容器加盖可以加工成为铁盒.现用35张铁板做成与图1相同的长方形铁片和正方形铁片，已知每张铁板可做成3个长方形铁片或4个正方形铁片，也可以将一张铁板做成1个长方形铁片和2个正方形铁片.该如何充分利用这些铁板加工成铁盒，最多可以加工成多少个铁盒?

19.某农场去年计划生产玉米和小麦共200吨，采用新技术后，实际产量为225吨，其中玉米超产5%，小麦超产15%，该农场去年实际生产玉米、小麦各多少吨?

20.为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分.(水价计费=自来水销售费用+污水处理费用)

已知小王家2012年4月份用水20吨，缴水费66元;5月份用水25吨，缴水费91元.

(1)求的值;

(2)6月份小王家用水32吨，应缴水费多少元?

21.某校组织“大手拉小手，义卖献爱心”活动，购买了黑白两种颜色的文化衫共140件，进行手绘设计后出售，所获利润全部捐给山区困难孩子.每件文化衫的批发价和零售价如下表:

假设文化衫全部售出，共获利1 860元，求黑白两种文化衫各多少件?

22.某中学团委组织学生去儿童福利院慰问，准备购买15个甲种文具和20个乙种文具，共需885元；后翻阅商场海报发现，下周甲、乙两种文具进行促销活动，甲种文具打八折销售、乙种文具打九折，且打折后两种文具的销售单价相同。

(1)求甲、乙两种文具的原销售单价各为多少元?

(2)购买打折后的15个甲种文具和20个乙种文具，共可节省多少钱?

23.某汽车制造厂开发一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆. 由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人. 他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车.
(1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？
(2)如果工厂计划招聘一批新工人，人数要少于10人，且要使招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？

24、甲、乙、丙三人共解出100道数学题,每人都解出其中的60道题,将其中只有1人解出的题叫做难题,3人都解出的题叫做容易题,试问：难题多还是容易题多?(多的比少的)多几道题?

五、课后总结