三角形的中位线（中下）学案（无答案）

三角形的中位线

一．教学目标

1．探索并掌握三角形的中位线的概念、性质。

2．会利用三角形中位线的性质解决有关问题。

3．经历探索三角形中位线性质的探索过程，发展学生观察能力及抽象思维能力。

二．知识梳理

1.学习新知

①剪一个三角形记为△ABC；

②分别取AB、AC的中点D、E，连接DE；

③沿DE将△ABC剪成两部分，将△ADE绕点E旋转180°，得四边形BCFD，如图

④四边形BCFD是平行四边形吗？请说明理由。

⑤还有什么发现？

三角形中位线的概念：

连接三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线 

三角形中位线的性质:

 三角形的中位线平行与第三边，并且等于它的一半

2．说一说三角形的中线与三角形的中位线的区别。

3．根据图中的条件，回答问题。

（1）如图（a），已知D、E分别为AB和AC的中点，DE=5，求BC的长。

（2）如图（b），D、E、F分别为AB、AC、BC的中点，AC=8，∠C=70°，求DF的长和∠EDF的度数。

（3）如图（c ）,若△DEF的周长为10cm，求△ABC的周长； 若△ABC的面积等于20cm，求△DEF的面积。

（a）                          (c)                     (c)

三．典例精讲

题型一：求线段的长

1、如图，△ABC中，已知AB=8，∠C=90°，∠A=30°，DE是中位线，则DE的长为（　　）

A．4 B．3 C． D．2

变式：2、如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，AC=12，F是DE上一点，连接AF，CF，DF=1．若∠AFC=90°，则BC的长度为（　　）

   A．12  B．13  C．14  D．15

例2、如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对下列各值：

①线段MN的长；②△PAB的周长；③△PMN的面积；④直线MN，AB之间的距离；⑤∠APB的大小．

其中会随点P的移动而变化的是（　　）

A．②③ B．②⑤ C．①③④ D．④⑤

变式：1、如图，在矩形ABCD中，P、R分别是BC和DC上的点，E、F分别是AP和RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动，而点R不动时，下列结论正确的是（　　）

A．线段EF的长逐渐增长

B．线段EF的长逐渐减小

C．线段EF的长始终不变

D．线段EF的长与点P的位置有关

题型二：证明线段的倍分问题

例1、如图，DE是△ABC的中位线，求证：DE∥BC，且DE=BC．

变式：1、如图，已知△ABC，AD平分∠BAC交BC于点D，BC的中点为M，ME∥AD，交BA的延长线于点E，交AC于点F．

（1）求证：AE=AF；

（2）求证：BE=（AB+AC）．

例2、如图，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点．当BD、AC满足什么条件时，四边形EFGH是正方形．

题型三：构造三角形的中位线

例1、已知：△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC，E为BC的中点，求证：AB=2DE．

变式：1、在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD且AC=6、BD=8，E、F分别是边AB、CD的中点，求EF的长．

例2、如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点．

（1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：EF=（AC﹣AB）；

（2）如图2，写出线段AB、AC、EF的数量关系，并证明你的结论．

题型四：找规律的问题

题型四：找规律的问题

例1、如图，在△A1B1C1中，已知A1B1=7，B1C1=4，A1C1=5，依次连接△A1B1C1三边中点，得△A2B2C2，再依次连接△A2B2C2的三边中点得△A3B3C3，…，则△A5B5C5的周长为　　．

变式：1、如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的周长为1，则第n个矩形的周长为（　　）

 B． C． D．

2、如图，在△ABC中，BC=1，点P1，M1分别是AB，AC边的中点，点P2，M2分别是AP1，AM1的中点，点P3，M3分别是AP2，AM2的中点，按这样的规律下去，PnMn的长为　　（n为正整数）．

四．课堂练习

1．△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的中点，若BC=8，则DE=（    ）

A．5          B．4           C．3          D．2

2．三角形的三条中位线长分别为3cm，4cm，6cm，则原三角形的周长为(     )

A．24cm        B．26cm         C．34cm        D．52cm

3．△ABC中，点D、E分别是AB、AC中点，∠A=50°，∠ADE=60°，那么∠C=(    )

A．50°     B．60°      C．70°    D．80°

4．如图，在△ABC中，AB=6，AC=10，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点；

则四边形ADEF的周长为（    ） 

A．8       B．10      C．12       D．16

5．如图，在四边形ABCD 中，AB=CD，M、N、P分别AD、BC、BD的中点，若∠MPN=130°，则∠NMP=（    ）

A．25°      B．30°      C．35°      D．50°

6．在四边形ABCD中，AC=6cm，BD=8cm，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的周长为（    ）

A．14       B．16        C．18        D．20

第4题图                     第5题图                 第6题图

7．如图，矩形ABCD中，点P从点B出发沿BC向点C运动，E、F分别是AP、PC的中点，则EF的长度（    ）

A．逐渐增大      B．逐渐减小      C．不变      D．无法确定

8．如图，已知矩形ABCD中，R，P分别是DC、BC上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当P在BC上从B向C移动而R不动时，那么线段EF的长（    ）

A．逐渐增大      B．逐渐减小         C．不改变         D．不能确定

9．已知：如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH一定是（  A  ）

A．平行四边形       B．矩形        C．正方形       D．菱形

第7题图                   第8题图                    第9题图

10．如图，四边形各边中点及对角线中点共六个点中，任取四个点连成四边形中，最多可以有（    ）个平行四边形；

A．2       B．3      C．4      D．5

11．△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，若DE＝4，AD＝3，AE＝2，则△ABC的周长为______；

12．在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，四边形EFGH的周长为30，则AC+BD=        ；

13．已知：如图，在△ABC中，点D为BC上一点，CA=CD，CF平分∠ACB，交AD于点F，点E为AB的中点．若EF=2，则BD=________；

14．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点；若AC+BD=24cm，△OAB的周长是18cm，则EF的长为________cm；

15．如图，BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线，AD⊥BD于D，

AE⊥CE于E，延长AD交BC的延长线于F，连接DE，设BC=a，AC=b，AB=c，

（a＜b＜c）；给出以下结论正确的有_____________；

①CF=c﹣a；②AE=（a+b）；③DE=（a+b﹣c）；④DF=（b+c﹣a）；

第13题图               第14题图                   第15题图

16．如图，在四边形ABCD中，AD=BC，E、F、G分别是AB、CD、AC的中点；

求证：△EFG是等腰三角形；

17．已知：如图，△ABC中，D是BC边的中点，AE平分∠BAC，BE⊥AE于E点，

若AB＝5，AC＝7，求ED的长；

18．已知：如图，在□ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，FC与BE交于G；

求证：GF＝GC；

19．已知：如图，E为□ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE＝DC，连结AE分别交BC、BD于点F、G，连结AC交BD于O，连结OF．

求证：AB＝2OF．

20．△ABC的中线BD、CE相交于O，F，G分别是BO、CO的中点；

求证：EF∥DG，且EF=DG；

21、如图1，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME=∠CNE（不需证明）．                                         

（温馨提示：在图1中，连接BD，取BD的中点H，连接HE、HF，根据三角形中位线定理，证明HE=HF，从而∠1=∠2，再利用平行线性质，可证得∠BME=∠CNE．）                                         

问题一：如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF，分别交DC、AB于点M、N，判断△OMN的形状，请直接写出结论；                                         

问题二：如图3，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC上，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC=60°，连接GD，判断△AGD的形状并证明．