高中数学4.4* 数学归纳法评课ppt课件

这是一份高中数学4.4* 数学归纳法评课ppt课件，共33页。PPT课件主要包含了问题2，不完全归纳法，问题情境一，结论一定可靠，结论不一定可靠，归纳法，问题导入，情景探究，合作探究，数学语言等内容，欢迎下载使用。

问题 1:袋中有5个小球，如何证明它们都是绿色的？
：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法
考察全体对象,得到一般结论的推理方法
考察部分对象,得到一般结论的推理方法
归纳法分为完全归纳法 和 不完全归纳法
思考：归纳法有什么优点和缺点？
优点：可以帮助我们从一些具体事 例中发现一般规律
缺点：仅根据有限的特殊事例归纳 得到的结论有时是不正确的
在使用归纳法探究数学命题时，必须对任何可能的情况进行论证后，才能判别命题正确与否。
思考1：与正整数n有关的数学命题能否通过一一验证的办法来加以证明呢？
思考2：如果一个数学命题与正整数n有关,我们能否找到一种既简单又有效的证明方法呢？
在数列的学习过程中,我们已经用归纳的方法得出了一些结论,例如等差数列{an}的通项公式an = a1 +(n-1)d等,但并没有给出严格的数学证明.那么,对于这类与正整数n有关的命题,我们怎样证明它对每一个正整数n都成立呢?本节我们就来介绍一种重要的证明方法—数学归纳法.
我们先从多米诺骨牌游戏说起.码放骨牌时,要保证任意相邻的两块骨牌,若前一块骨牌倒下,则一定导致后块骨牌倒下.这样,只要推倒第1块骨牌,就可导致第2块骨牌倒下；而第2块骨牌倒下,就可导致第3块骨牌倒下；…….总之,不论有多少块骨牌,都能全部倒下.
思考1：在这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？
使所有多米诺骨牌全部倒下的条件有两个：
(1)第一块骨牌倒下；
(2)任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下.
思考2：你认为条件(2)的作用是什么？如何用数学语言描述它？
条件(2)实际上是给出了一个递推关系.
结论：无论有多少块骨牌，只要保证条件(1)(2)出来，那么所有的骨牌都能倒下.
假设ak=1成立,若证出ak+1=1成立
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)归纳奠基：证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立；
(2)归纳递推：以“当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当__________时命题也成立”．
这种证明方法称为数学归纳法．
思考：1、数学归纳法的第一步n0的初始值是否一定为1?
答：不一定．如证明n边形的内角和为(n－2)·180°，第一个值n0＝3.
2、第二步是个命题，前面是条件，后面是结论。第二步我们就是证明这个命 题是正确的。
4、数学归纳法是完全归纳法的一种。
用数学归纳法证明一个与正整数有关命题的步骤：
（1）证明当取第一个值n0（例如n0=1或2）时结论正确；
（2）假设当n=k(k∈N*,且k≥ n0 )时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确.
据（1）和（2）可知命题对于从n0开始的所有正整数n都正确.
口诀：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.
练习1．用数学归纳法证明1＋2＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，在验证n＝1成立时，左边所得的代数式是(　　)A．1　　　　　　　　　　B．1＋3C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4[答案]　C[解析]　当n＝1时，2n＋1＝2×1＋1＝3，所以左边为1＋2＋3.故应选C.
思考1：试问等式2+4+6+…+2n＝n2+n+1成立吗？某同学用数学归纳法给出了如下的证明，请问该同学得到的结论正确吗？
解:设n＝k时成立，即
这就是说，n＝k+1时也成立
2+4+6+…+2k＝k2+k+1
则当n=k+1时 2+4+6+…+2k+2(k+1) ＝k2+k+1+2k+2＝(k+1)2+(k+1)+1
所以等式对任何n∈N*都成立
事实上，当n＝1时，左边＝2，右边＝3。左边≠右边，等式不成立
该同学在没有证明当n=1时，等式是否成立的前提下，就断言等式对任何n∈N*都成立，为时尚早。
证明：①当n=1时，左边＝
②假设n=k时，等式成立，
这就是说，当n=k+1时，等式也成立
根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N＊都成立
第二步的证明没有在假设条件下进行，因此不符合数学归纳法的证明要求
反思：1、因此，用数学归纳法证明命题的两个步骤，缺一不可。第一步是递推的基础，第二步是递推的依据。缺了第一步递推失去基础；缺了第二步，递推失去依据，因此无法递推下去。 2、第二步是个命题，前面是条件后面是结论。我们只需证明这个命题是正确的就行。 3、当n=1时成立。假设当n=k时成立，那推出当n=k+2时也成立，请问这个命题对哪些自然数成立？如果推出当n=k+3时也成立，那请问这个命题对哪些自然数成立？
反思：此题不必用数学归纳法来证明，直接综合法证明，过程很简单。
(2)假设n=k时,11k+2+122k+1能被133整除,
=1111k+2+122  122k+1 =11 (11k+2+122k+1)11122k+1+122122k+1 = 1111(11k+2+122k+1)+ 122k+1(14411)=11(11k+2+122k+1)+ 122k+1133.
例3.证明:对任意正整数n,数11n+2+122n+1是133的倍数.
证明:(1)当n=1时,11n+2+122n+1=113+123=23133, ∴23133能被133整除,即n=1时命题成立.
那么11(k+1)+2+122(k+1)+1
由归纳假设知11k+2+122k+1及122k+1133都能被133整除,∴11(k+1)+2+122(k+1)+1能被133整除, 即n=k+1时命题也成立.
例3.证明:对任意自然数n,数11n+2+122n+1是133的倍数.
根据(1)和(2),可知命题对任何nN﹡都成立.
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备课笔记 今天（）备选择性必修第二册《第四章 数列》第一节《4.1数列的概念》，想起两个人。一我高中政治老师林端强老师，此课指导思想是马克思主义物质与意识或实践与理论的辩证关系。现在这些知识百度搜索就有，但林老师是我的引路人，谢谢林老师了。我高中毕业26、27年了，但他教的我都记得。 二山东省滕州市第一中学邢启强老师。我在他制作的课件的基础上再加工完善。我把自己新制作的课件定价为2元供人下载。这引出一个问题，我有没有侵犯邢启强老师的著作版权。我不懂法律，所以不知，但找到一个理由表明我不侵权。 邢老师的课件是我生产产品的原材料，我买来原材料再加工成新品出售，这是普遍正当的产品生产方式。相当于苹果公司有自己一套手机设计理念、技术，再买来配件，组合加工成苹果手机。我的做法跟苹果公司设计苹果手机谋取利润一样。 但我觉得我要索取到邢启强老师的微信号，把我加工成的课件传给他，让他也在我基础上再进步，共同推动我国高中数学教育发展。我们俩相互学习、相互支持，共同进步。