2021-2022学年北京市海淀区清华附中上地学校九年级（下）周测数学试卷（3月份）（含解析）

2021-2022学年北京市海淀区清华附中上地学校九年级（下）周测数学试卷（3月份）

副标题

一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）

1. 如图，在中，，如果，，那么等于

A.
B.
C.
D.

2. 实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是

A.  B.  C.  D.

3. 广阔无垠的太空中有无数颗恒星，其中离太阳系最近的一颗恒星称为“比邻星”，它距离太阳系约光年．光年是天文学中一种计量天体时空距离的长度单位，光年约为    千米，则“比邻星”距离太阳系约为

A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米

4. 点，是反比例函数图象上的两点，那么，的大小关系是

A.  B.  C.  D. 不能确定

5. 如果，那么代数式的值为

A.  B.  C.  D.

6. 如图，点在的边上，如果添加一个条件后可以得到∽，那么以下添加的条件中，不正确的是

A.  B.
C.  D.

7. 三名快递员某天的工作情况如图所示，其中点，，的横、纵坐标分别表示甲、乙、丙三名快递员上午派送快递所用的时间和件数；点，，的横、纵坐标分别表示甲、乙、丙三名快递员下午派送快递所用的时间和件数．有如下三个结论：
   上午派送快递所用时间最短的是甲；
   下午派送快递件数最多的是丙；
   在这一天中派送快递总件数最多的是乙．
   上述结论中，所有正确结论的序号是

A.  B.  C.  D.

8. 西游记的故事家喻户晓，特别是书中的孙悟空嫉恶如仇斩妖除魔大快人心在一次降妖过程中，孙悟空念动咒语将一片树叶放大后射向妖魔假如这个过程可以看成是在平面直角坐标系中的一次无旋转的变换，设变化前树叶尖部点坐标为，在咒语中变化后得到对应点为则变化后树叶的面积变为原来的

A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍

二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）

9. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
10. 分解因式：______．
11. 如图，在中，，两点分别在，边上，，如果，，那么______．
     

12. 如图，在平面直角坐标系中，第一象限内的点与点在同一个反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，那么矩形的面积等于______．
     

13. 如图，是的直径，、为上的点，若，则______
    
    
     

14. 某学习小组做抛掷一枚纪念币的实验，整理同学们获得的实验数据，如下表．

下面有三个推断：
在用频率估计概率时，用实验次时的频率一定比用实验次时的频率更准确；
如果再次做此实验，仍按上表抛掷的次数统计数据，那么在数据表中，“正面向上”的频率有更大的可能仍会在附近摆动；
通过上述实验的结果，可以推断这枚纪念币有很大的可能性不是质地均匀的．
其中正确的是______．

15. 年月热播的专题片辉煌中国--圆梦工程展示的中国桥、中国路等超级工程展现了中国现代化进程中的伟大成就，大家纷纷点赞“厉害了，我的国”片中提到我国已成为拥有斜拉桥最多的国家，世界前十座斜拉桥中，中国占七座，其中苏通长江大桥如图所示主桥的主跨长度在世界斜拉桥中排在前列．在图的主桥示意图中，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，大桥主跨的中点为，最长的斜拉索长，记与大桥主梁所夹的锐角为，那么用的长和的三角函数表示主跨长的表达式应为______．

16. 如图，的半径为，，两点在上，点在内，，如果，那么的长为______．
     

三、解答题（本大题共12小题，共76.0分）

17. 计算
    
    
    
    
    
    
     
18. 已知是关于的方程的一个根，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
19. 如图，，与的交点为，．
    求证：∽；
    如果，，求，的长．
     

20. 下面是小明设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．
    已知：直线及直线外一点．
    
    求作：直线，使．
    作法：如图，
    在直线上取一点，以点为圆心，长为半径画半圆，交直线于，两点；
    连接，以为圆心，长为半径画弧，交半圆于点；
    作直线．
    所以直线就是所求作的直线．
    根据小明设计的尺规作图过程，
    使用直尺和圆规，补全图形；保留作图痕迹
    完成下面的证明．
    证明：连接，．
    ，
    ______ ．
    ______ 填推理的依据．
    ______ 填推理的依据．
    
    
    
    
    
    
     
21. 关于的一元二次方程，其中．
    求证：方程有两个不相等的实数根；
    当时，求该方程的根．
    
    
    
    
    
    
     
22. 在中，，将绕点逆时针旋转度得到，，两点的对应点分别为点，，，所在直线交于点．
    当旋转到图位置时，______用的代数式表示，的度数为______；
    当时，在图中画出，并求此时点到直线的距离．

23. 在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点双曲线与直线交于，两点，其中点的纵坐标大于点的纵坐标
    求点的坐标；
    当点的横坐标为时，求的值；
    连接，记的面积为若，结合函数图象，直接写出的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
24. 如图，线段长为，以为顶点，为一边的满足锐角的顶点落在的另一边上，且满足求的高及边的长，并结合你的计算过程画出高及边．图中提供的单位长度供补全图形使用
     

25. 如图，是半圆的直径，过圆心作的垂线，与弦的延长线交于点，点在上，．
    求证：是半圆的切线；
    若，，求半圆的半径．
     

26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线．
    当时，
    求抛物线的对称轴，并用含的式子表示顶点的纵坐标；
    若点，都在抛物线上，且，则的取值范围是______；
    已知点，将点向右平移个单位长度，得到点当时，若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
27. 如图，在中，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，是边上的一动点，连接交于点，连接．
    求证：；
    点在边上，且，连接交于点．
    判断与的位置关系，并证明你的结论；
    连接若，请直接写出线段长度的最小值．
    
    
    
    
    
    
     
28. 在平面直角坐标系中，对于两个点，和图形，如果在图形上存在点，可以重合使得，那么称点与点是图形的一对平衡点．
    如图，已知点，；
    设点与线段上一点的距离为，则的最小值是______ ，最大值是______ ；
    在，，这三个点中，与点是线段的一对平衡点的是______ ；
    如图，已知的半径为，点的坐标为若点在第一象限，且点与点是的一对平衡点，求的取值范围；
    如图，已知点，以点为圆心，长为半径画弧交的正半轴于点点其中是坐标平面内一个动点，且，是以点为圆心，半径为的圆，若上的任意两个点都是的一对平衡点，直接写出的取值范围．

答案和解析

1.【答案】

【解析】

解：在中，，，，
．
故选：．
直接利用锐角三角函数关系得出的值．
此题主要考查了锐角三角函数关系，正确把握定义是解题关键．
 

2.【答案】

【解析】

本题考查实数与数轴的关系，关键是根据实数在数轴上的位置判断字母的正负性，根据实数在数轴上离原点的距离判断绝对值的大小．
根据数轴的特点：判断、、正负性，然后比较大小即可．
解：根据数轴的性质可知：，且；
所以，，错误；正确；
故选：．
 

3.【答案】

【解析】

解：依题意得：光年．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】

【解析】

解：，是反比例函数图象上的两点，
，，
．
故选：．
根据反比例函数图象上点的坐标特征，把点和点坐标代入反比例函数解析式可计算出，，从而可判断它们的大小．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值，即；双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称．
 

5.【答案】

【解析】

解：



，
，
，
原式，
故选：．
根据分式的加法和乘法可以化简题目中的式子，然后根据，即可求得所求式子的值．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
 

6.【答案】

【解析】

解：、当时，又，∽，故此选项错误；
B、当时，又，∽，故此选项错误；
C、当即时，又，∽，故此选项错误；
D、无法得到∽，故此选项正确．
故选：．
分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．
此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键．
 

7.【答案】

【解析】

解：从图可知以下信息：
上午送时间最短的是甲，正确；
下午送件最多的是乙，不正确；
一天中甲送了件，乙送了件，正确；
故选：．
从图中根据的信息依次统计，即可求解；
本题考查坐标与点，统计的知识；能够从图中获取信心，针对性的统计是求解的关键．
 

8.【答案】

【解析】

分析
树叶端点变为，可拆分为两次变换所得，第一次是位似变换，第二次是平移变换．平移变换可决定树叶最终的位置，而面积只与位似变换有关，所以只需考虑位似变换即可得答案．
本题主要考查几何变换类型，解题的关键是根据对应点的坐标判断出其几何变换类型．
详解
解：由点经过变换后得到的对应点为为知，
此树叶所作的变换是位似变换和平移变换，变换的位似比为：，
则原树叶的面积与变换后的树叶的面积比为：，
故选D．
 

9.【答案】

【解析】

解：根据题意得，
解得．
故答案为：．
根据被开方数大于等于列式进行计算即可求解．
本题考查了二次根式有意义的条件，知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
 

10.【答案】

【解析】

【分析】
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．原式提取，再利用平方差公式分解即可．
【解答】
解：原式，
故答案为：  

11.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．由，推出，可得，由此即可解决问题．
【解答】
解：，
，
，
，
故答案为．  

12.【答案】

【解析】

【分析】
此题考查反比例函数系数的几何意义，反比例函数的图象和性质，矩形的性质的有关知识，关键是根据点的坐标可得出的值．根据点的坐标可得出的值，进而得出矩形的面积．
【解答】
解：设点在反比例函数的图象上，可得：，
解得：，
因为第一象限内的点与点在同一个反比例函数的图象上，
所以矩形的面积等于，
故答案为．  

13.【答案】

【解析】

解：为直径，
，
，
，
在圆内接四边形中，
．
故答案是：．
为直径，，求出的度数，然后根据圆内接四边形的性质求出的度数．
本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
 

14.【答案】

【解析】

解：在用频率估计概率时，用实验次时的频率一定比用实验次时的频率更准确，错误；
如果再次做此实验，仍按上表抛掷的次数统计数据，那么在数据表中，“正面向上”的频率有更大的可能仍会在附近摆动，正确；
通过上述实验的结果，可以推断这枚纪念币有很大的可能性不是质地均匀的，正确，
故答案为：．
根据图表和各个小题的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题．
本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，利用数形结合的思想解答．
 

15.【答案】

【解析】

解：由题意可得，
，
故答案为：．
根据题意和特殊角的三角函数可以解答本题．
本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用特殊角的三角函数解答．
 

16.【答案】

【解析】

解：如图，连接，作交的延长线于，作交的延长线于则四边形是矩形．

，
、、、四点共圆，
，
，设，，
在中，，
解得负根已经舍弃，
，，
，，
，，
∽，
，
，
，
．
故答案为
如图，连接，作交的延长线于，作交的延长线于则四边形是矩形．想办法求出、即可解决问题；
本题考查点与圆的位置关系，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形，特殊四边形解决问题．
 

17.【答案】

解：原式

．
 

【解析】

先分别计算绝对值、二次根式、三角函数值、零指数幂，然后算加减法．
本题考查了实数的运算，熟练掌握绝对值、二次根式、三角函数值、零指数幂的运算是解题的关键．
 

18.【答案】

解：是关于的方程的一个根，
．
．
．
 

【解析】

把代入方程可得到关于的方程，可求得，然后整体代入求值．
本题主要考查一元二次方程的解，把方程的解代入方程得到关于的新方程是解题的关键．另外，要学会用整体思想解题。
 

19.【答案】

证明：，，
∽；
∽，
，
，
，，
，
，
∽，
，
．
 

【解析】

此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的判定证明∽，∽．
根据相似三角形的判定证明即可；
利用相似三角形的性质解答即可．
 

20.【答案】

  等弧所对的圆周角相等  内错角相等两直线平行
 

【解析】

解：图形如图所示：

理由：连接，．
，
．
等弧所对的圆周角相等．
内错角相等两直线平行．
故答案为：，等弧所对的圆周角相等，内错角相等两直线平行．
根据要求画出图形即可．
根据平行线的判定方法解决问题即可．
本题考查作图复杂作图，平行线的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

21.【答案】

解：依题意可知，，
，
．
方程有两个不相等的实数根．
当时，方程为．
解得，．
 

【解析】

利用一元二次方程根的判别式就可以证明结论；
把代入原方程即可得到结论．
本题考查了一元二次方程的解及根的情况与判别式的关系：
方程有两个不相等的实数根；
方程有两个相等的实数根；
方程没有实数根．
 

22.【答案】

   
如图，为所作，与相交于，
绕点逆时针旋转度得到，
而，，
点与点重合，，，
为等腰直角三角形，
，
而平分，
，
，
即此时点到直线的距离为．
 

【解析】

【试题解析】

解：绕点逆时针旋转度得到，如图，
，，，
而，
；
，，
，，
，
．
故答案为；；
见答案
【分析】
如图，利用旋转的性质得，，，则；再利用等腰三角形的性质和三角形内角和得到，所以．
如图，为所作，与相交于，利用旋转的性质得点与点重合，，，则为等腰直角三角形，所以，再证明，然后根据等腰直角三角形的性质求出的长即可．
本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰直角三角形的性质和旋转的性质．

23.【答案】

解：直线：与轴交于点


一次函数解析式为：
直线与轴交于点为
点的坐标为；
双曲线与直线交于，两点
点在直线上
当点的横坐标为时，
点的坐标为

的值为
或．
 

【解析】

【分析】
本题主要涉及一次函数与反比例函数相交的知识点．根据交点既在一次函数上又在反比例函数上，即可解决问题．
有点的坐标，可求出直线的解析式，再由解析式求出点坐标．
把点的横坐标代入直线解析式即可求得点的纵坐标，然后把点代入反比例函数解析式即可得值．
根据的面积为的取值范围求点的横坐标取值，然后把横坐标代入直线解析式，即可求得点纵坐标的取值范围，进而求得的取值范围．
【解答】
解：见答案；
见答案；
如图：当时，

，
，
，
，
；
当时，

，
，
，
，
，
；
或．  

24.【答案】

解：如图，作于点，
在中，，，
，
，，
在中，，，
，
，，
作图，以点为圆心，为半径作弧与射线交于点，连接即可．
 

【解析】

此题是解直角三角形，主要考查了基本作图，勾股定理，锐角三角函数，解本题的关键是求出和先利用直角作出，再用勾股定理求出，再用锐角三角函数求出，，即可得出结论．
 

25.【答案】

解：连接，

是半圆的直径，是半圆的弦，
，
点在弦的延长线上，
，
，
，
，
，
，
即：，
，
点在半圆上，
是半圆的切线；
解：如图，

在中，，
设，则，根据勾股定理得，，
，
，
，
是半圆的直径，
，
，
，
，
在中，，
，
设，则，根据勾股定理得，，
，
舍或，
，
在中，，
，
，
．
 

【解析】

此题主要考查了切线的判定，同角的余角相等，勾股定理，圆的性质，锐角三角形函数的定义的有关知识，解本题的关键是判断出．
利用同角的余角相等判断出，进而判断出，即可得出结论；
先求出，再利用同角的余角相等判断出即可得出结论．
 

26.【答案】

，
抛物线为．
，
抛物线的对称轴为直线．
当线时，，
顶点的纵坐标为：．
或．
抛物线的对称轴为直线，开口向上，
到的距离为，
点，都在抛物线上，且，则的取值范围是或，
故答案为：或．
点，向右平移个单位长度，得到点．



点的坐标为，
，
抛物线为．
当抛物线经过点时，，解得；
当抛物线经过点时，，解得；
当抛物线的顶点在线段上时，，解得．
结合图象可知，的取值范围是或或．
故答案为：或或．
 

【解析】

本题考查二次函数图象与系数的关系，以及二次函数的对称性和抛物线与线段交点个数的问题，属于中等难度的题目．
把代入抛物线解析式，利用，求出对称轴，然后把顶点横坐标代入，即可用含的式子表示出顶点的纵坐标；
利用抛物线的对称性，及开口向上，可知离对称轴越远，函数值越大，从而可解；
把代入，再分抛物线经过点，抛物线经过点，抛物线的顶点在线段上，三种情况分类讨论，得出相应的值，从而得结论．
 

27.【答案】

证明：如图中，

，，
，
线段绕点逆时针旋转得到线段，
，，
，
，
≌，
．

解：结论：．
理由：如图中，连接．

，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，，，
≌，
，
，，，
≌，
，
，
，
，
，
．

如图中，取的中点，连接，．

，，
，
在中，，
，
，
的最小值为．
 

【解析】

证明≌即可解决问题．
首先证明四边形是正方形，再证明即可解决问题．
如图中，取的中点，连接，理由三角形的三边关系解决问题即可．
本题属于几何变换综合题，考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考压轴题．
 

28.【答案】

【解析】

解：由题意知：，，则的最小值是，最大值是；
根据平衡点的定义，点与点是线段的一对平衡点，
故答案为，，；

如图中，

由题意点到的最近距离是，最远距离是，
点与点是的一对平衡点，此时需要满足到的最大距离是，即，可得，
同理：当到的最小距离为是时，，此时，
综上所述，满足条件的的值为；

点在以为圆心为半径的上半圆上运动，
以为圆心为半径的圆刚好与弧相切，此时要想弧上任意两点都是圆的平衡点需要满足，，
如图中，当时，作于．

则，解得：舍去，
如图中，当时，同法可得，，

在两者中间时，，，观察图象可知：满足条件的的值为．
观察图象的最小值是长，最大值是长，由勾股定理得出结果；由题意知；
如图，可得，解得此时，，解得，可求出范围；
由点在以为圆心为半径的上半圆上运动，推出以为圆心为半径的圆刚好与弧相切，此时要想弧上任意两点都是圆的平衡点，需要满足，，分两种情形分别求出的值即可判断．
本题属于圆综合题，考查了点与点是图形的一对平衡点、两圆的位置关系、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是理解题意，学会取特殊点特殊位置解决问题，属于中考压轴题．