2022届宁夏石嘴山市第三中学高三上学期期末考试数学（理）试题含解析

2022届宁夏石嘴山市第三中学高三上学期期末考试

数学（理）试题

一、单选题

1．已知，则复数的虚部是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据复数除法运算整理可得，由虚部定义可得结果.

【详解】由题意得：，的虚部为.

故选：D.

2．已知集合，，若，则实数a的值是（       ）

A．1 B． C．1或 D．以上答案都不对

【答案】D

【分析】由，转化为NM，分和 两种情况讨论求解.

【详解】已知集合，，

因为，

所以NM，

当时，，符合题意；

当时，，

则，解得，

综上：实数a的值是0或1或-1

故选：D

【点睛】本题主要考查集合的基本运算和集合的基本关系的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于基础题.

3．已知命题﹔命题﹐，则下列命题中为真命题的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意得命题是假命题，命题是真命题，再依次判断即可.

【详解】解：当，，命题是假命题；

命题﹐是真命题，

所以，，是假命题，是真命题

故选：B

4．已知，其中且，则（       ）

A．0 B．4 C．2 D．

【答案】C

【分析】令，，由可得是奇函数，从而利用奇函数的性质即可求解.

【详解】解：令，，，

则，即，

所以是奇函数，

所以．

故选：C.

5．如图，正方体中，，，，分别为，，，的中点，则直线，所成角的大小为

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】通过做平行线，得到直线，所成角的大小，可转化为的夹角，三角形,三边均为正方体的面对角线，是等边三角形，进而得到结果.

【详解】

连接，根据，，，分别为，，，的中点，可得到是三角形的中位线，故得到同理可得到，进而直线，所成角的大小，可转化为的夹角，三角形,三边均为正方体的面对角线，是等边三角形，故得到的夹角为

故答案为C.

【点睛】这个题目考查了异面直线的夹角的求法，常见方法有：通过做平行线将异面直线转化为同一个平面的直线，进而将空间角转化为平面角.

6．已知的展开式中第4项与第6项的二项式系数相等，则的展开式的各项系数之和为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由已知条件解出n，令x＝1即可得到答案﹒

【详解】由题知，由组合数性质解得n＝8，

∴＝

令x＝1，得展开式各项系数之和为，

故选：A﹒

7．函数，其部分图像如图所示，下列说法正确的有（       ）

①；②；

③是函数的极值点；

④函数在区间上单调递增；

⑤函数的振幅为1．

A．①②④ B．②③④ C．①②⑤ D．③④⑤

【答案】C

【分析】根据函数的部分图像求出函数的解析式，即可判断①②⑤是否正确；若是函数的极值点则，可判断③是否正确；求出的单调增、减区间，即可验证④是否正确；

【详解】设的最小正周期为，根据函数的部分图像可知，，是函数的两个相邻的零点，

，，，故①正确；

根据函数的部分图像可知，,故⑤正确；

，，，，

将代入中，，

，，

，当时，，故②正确；

，若是函数的极值点则必有，而，

不是函数的极值点，故③错误；

由，得，

的单调递增区间为，

由得，，

的单调递减区间为，

在上单调递减，在上单调递增，

在上不单调，故④错误.

故选：C

8．任意向区间上投掷一个点，用表示该点的坐标，设事件，事件，则（       ）

A．0.25 B．0.125 C．0.5 D．0.625

【答案】C

【分析】由题意可得：，再根据几何概型的概率公式得到，（A），进而根据条件概率公式得到答案．

【详解】解：由题意可得：，

所以，

又因为（A），

所以，

故选：C.

9．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为，，此时气球的高是

，则河流的宽度BC等于（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】，，，

所以

.

故选C.

10．已知三棱锥的体积为2，是边长为2的等边三角形，且三棱锥的外接球的球心恰好是中点，则球的表面积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设点到平面的距离为，先根据体积求出，再求出即得球的半径，最后求球的表面积.

【详解】设点到平面的距离为，因为是中点，

所以到平面的距离为，

三棱锥的体积，解得，

作平面，垂足为的外心，所以，且，

所以在中，，此为球的半径，

．

故选：A

【点睛】本题考查球的表面积，考查球的内接几何体的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．

11．已知M，N分别是曲线上的两个动点，P为直线上的一个动点，则的最小值为

A． B． C．2 D．3

【答案】D

【分析】求出圆心关于的对称点为，则的最小值是．

【详解】解：圆的圆心，半径为 ，圆，圆心，半径为，

圆心关于的对称点为，

解得故

．

故选．

【点睛】本题考查圆的方程，考查点线对称，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．

12．已知函数，若，且的最大值为3，则的值为（       ）

A．-1 B．1 C．0 D．2

【答案】C

【分析】当时，，求导函数，分析导函数的符号，得出函数的单调性，作出图象，当时，不符题意.当时， 利用导函数的几何意义可求得答案.

【详解】解：因为函数，当时，，则，令，解得，

当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，

如下如图，当时，，则，且，不符.

如下如图，当时，，要使得取得最大值，则，，不妨设直线为曲线在处的切线，则，，，所以，，所以，，

故选：C.

二、填空题

13．在等比数列中，成等差数列，则______.

【答案】

【解析】根据等差中项的性质得出，由等比数列的性质得出，从而得出，再由，即可得出答案.

【详解】设等比数列的公比为

因为成等差数列，所以

所以，则，即

解得

故答案为：

【点睛】本题主要考查了等比数列基本量的计算，涉及了等差数列的性质，属于中档题.

14．已知，向量，的夹角为120°，，，若，则______.

【答案】

【分析】先通过定积分的运算求出m，进而通过平面向量数量积的运算求得答案.

【详解】由题意，，所以，于是.

故答案为：.

15．在锐角中，，，的面积为，__________．

【答案】2

【详解】分析：先可得出，再由面积公式：得出AB，再由∠A的余弦定理即可求出BC.

详解：由题得，，,故答案为2.

点睛：考查余弦定理、三角形的面积公式的应用，对公式的灵活运用和审题仔细是解题关键.

16．如图正方体的棱长为4，点M是棱的中点，点P在面内（包含边界），且，则下列四个命题中：

①点的轨迹的长度为

②存在，使得

③直线与平面所成角的正弦值最大为

④沿线段的轨迹将正方体切割成两部分，挖去体积较小部分，剩余部分几何体的表面积为

其中正确命题的序号是___________.

【答案】①④

【分析】取的中点，求得的值，确定点的轨迹，建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，设，由此利用圆的周长公式、空间向量的数量积的公式，和柱体和锥体的面积公式，分别对四个选项逐一分析，即可求解.

【详解】取的中点，则平面，又由平面，所以，

因为，所以，

所以点的轨迹是以为圆心，半径为2的圆位于正方形内部的部分，

如图（1）所示，

以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，如图（2）所示，

则，

设，

对于①中，点的轨迹长度为，所以①正确；

对于②中，，

所以，所以②不正确；

对于③中，取平面的法向量为，

则，当且仅当时取等号，

所以直线与平面所成角的正弦值最大为，所以③不正确；

对于④中，如图（1）所示，挖去部分为半圆锥，原正方体的表面积为，

挖去部分面积为，

新增加部分面积为，

所以新几何体的表面积为，所以④正确.

故答案为：①④

三、解答题

17．在等差数列中，，其前n项和为，各项均为正数的等比数列中，，且满足，．

（1）求数列与的通项公式；

（2）若数列的前n项和为，证明：．

【答案】（1），；（2）证明见解析 .

【分析】（1）设数列的公差为d，的公比为q，可得，解得q，d即可；

（2）由（1）得．可得，即可证明．

【详解】解：（1）设数列的公差为d，的公比为q，

因为，，，所以，

解答，（负值舍去），

故，；

（2）证明：由（1）得，

所以．

所以数列的前n项和为，

所以．

18．如图，是以为直径的半圆上异于的点，矩形所在的平面垂直于半圆所在的平面，且，

（1）求证：平面平面；

（2）若的长度为，求二面角的正弦值．

【答案】（1）见解析；（2）

【分析】（1）推导出平面，，，从而平面，由此能够证得结论；（2）连结，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的正弦值．

【详解】（1）证明：平面平面，两平面交线为，平面，

平面

平面       

是直角              平面

平面       平面平面

（2）如图，连结，以点为坐标原点，在平面中，过作的垂线为轴，所在的直线为轴，在平面中，过作的垂线为轴，建立空间直角坐标系

的长度为       

则：，，，，

，，

设平面的一个法向量为

则：，令，解得：，

平面的一个法向量：

二面角的正弦值为

【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

19．已知三个内角所对的边分别为

(1)若，求的面积；

(2)设线段的中点为，若，求外接圆半径的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题知，进而根据余弦定理，结合已知得，，再根据三角形面积公式计算即可；

（2）在中由余弦定理得，进而在中，，再根据正弦定理求解即可.

【详解】(1)解：因为，所以，

因为，

所以，

因为，所以，

所以的面积为.

(2)解：因为线段的中点为，，，

所以在中，由，解得（舍），

所以在中，，即，

因为，所以，

所以由正弦定理得外接圆半经满足，

所以外接圆半径

20．某校积极响应习近平总书记关于共建学习型社会的号召，开展了“学党史，强信仰，跟党走”的主题学习活动.在一次“党史”知识竞赛活动中，给出了、、三道题，答对、、分别得2分、2分、4分，答错不得分.已知甲同学答对问题、、的概率分别为、、，乙同学答对问题、、的概率均为，甲、乙两位同学都需回答这三道题，且各题回答正确与否相互独立.

（1）求甲同学至少有一道题不能答对的概率；

（2）请结合统计的知识判断甲、乙两人在本次“党史”知识竞赛中，哪位同学得分高.

【答案】（1）；（2）乙同学的得分高

【分析】（1）设甲同学三道题都答对的事件为，进而得，再根据对立事件的概率即可得答案；

（2）分别计算甲乙同学的得分期望，再比较大小即可得答案.

【详解】解：（1）设甲同学三道题都答对的事件为，则，

所以甲同学至少有一道题不能答对的概率为.

（2）设甲同学本次竞赛中得分为，则的可能取值为分，

则，，

，

所以的概率分布列为：

所以（分）

设乙同学本次竞赛中得分为，由的可能取值为分

，，

，

所以的概率分布列为：

所以

由于，

所以乙同学的得分高.

21．已知函数

(1)若函数在点处的切线为，求的值；

(2)若，当时，恒成立，求实数的取值范围；

(3)求证：对于一切正整数，恒有．

【答案】(1)

(2)

(3)证明见解析

【分析】（1）根据导数的几何意义直接计算；

（2）构造函数，根据函数的单调性讨论时的取值范围；

（3）由（2）知，令时，，累加即可得.

【详解】(1)解：

又，；

(2)解：当时，，

恒成立即恒成立

令，

，设方程的两根为，

则，不妨设

若即时，在单调递减，单调递增，

，又，不成立，

若即时，在单调递增，

综上：

(3)解：由（2）知时，

令得

即

……

累加即可得.

【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．

22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线普通方程和的直角坐标方程；

（2）已知曲线的极坐标方程为，点是曲线与的交点，点是曲线与的交点，且，均异于原点，且，求的值.

【答案】（1），；（2）.

【分析】（1）消去参数可得的普通方程，由可得曲线的直角坐标方程；

（2）曲线的极坐标方程为，设，，则，求解即可

【详解】（1）由，

消去参数可得普通方程为，

，

由，

得曲线的直角坐标方程为；

（2）由（1）得曲线，由，

可得其极坐标方程为

由题意设，，

则.

，

，

，

.

23．已知函数f(x)＝|x＋3|－|x－2|.

(1)求不等式f(x)≥3的解集；

(2)若f(x)≥|a－4|有解，求a的取值范围．

【答案】（1）；（2）

【详解】试题分析：（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集（2）先根据绝对值三角不等式得f(x)最小值，再解绝对值不等式得a的取值范围．

试题解析：(1)f(x)＝|x＋3|－|x－2|≥3，

当x≥2时，有x＋3－(x－2)≥3，解得x≥2；

当x≤－3时，－x－3＋(x－2)≥3，解得x∈∅；

当－3<x<2时，有2x＋1≥3，解得1≤x<2.

综上，f(x)≥3的解集为{x|x≥1}．

(2)由绝对值不等式的性质可得，

||x＋3|－|x－2||≤|(x＋3)－(x－2)|＝5，

则有－5≤|x＋3|－|x－2|≤5.

若f(x)≥|a－4|有解，则|a－4|≤5，解得－1≤a≤9.

所以a的取值范围是[－1，9]．