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2022年江西省新余市中考数学一模试卷（Word版 含解析）
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这是一份2022年江西省新余市中考数学一模试卷（Word版 含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2022年江西省新余市中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）
1．﹣2022的倒数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣2022 D．2022
2．2020年初，新型冠状病毒引发肺炎疫情．一方有难，八方支援，危难时刻，全国多家医院纷纷选派医护人员驰援武汉．下面是四家医院标志的图案部分，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．2a（3a﹣1）＝6a2﹣1
C．（3a2）2＝6a4 D．x3+x3＝2x3
4．如图，OP∥QR∥ST，则下列各式中正确的是（ ）
A．∠1+∠2+∠3＝180° B．∠1+∠2﹣∠3＝90°
C．∠1﹣∠2+∠3＝90° D．∠2+∠3﹣∠1＝180°
5．如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于（﹣1，0），（3，0）两点，则下列判断中，错误的是（ ）
A．图象的对称轴是直线x＝1
B．当x＞2时，y随x的增大而减小
C．当﹣1＜x＜1时，y＜0
D．一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根是﹣1和3
6．如图，正方形ABCD中，AB＝6，将△ADE沿AE对折至△AEF，延长EF交BC于点G，G刚好是BC边的中点，则ED的长是（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．因式分解：1﹣x2＝ ．
8．2021年10月11日，联合国《生物多样性公约》缔约方大会第十五次会议（COP15）在昆明正式拉开帷幕．在多彩的生物界，科学家发现世界上最小的开花结果植物是澳洲的出水浮萍，其质量仅有0.000000076克，0.000000076用科学记数法表示是 ．
9．若方程x2﹣2x﹣3＝0两根为α、β，则α2+β2＝ ．
10．已知圆锥的母线长为5，侧面积为20π，则这个圆锥的底面圆的半径为 ．
11．如图所示的正方体木块的棱长为3cm，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图②所示的几何体，一只蚂蚁沿着图②中的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为 cm．
12．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E是BC的中点，点F在AB上，FB＝2，P是矩形上一动点．若点P从点F出发，沿F→A→D→C的路线运动，当∠FPE＝30°时，FP的长为 ．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）（1）计算：|﹣2|﹣3tan60°+（2）0+；
（2）解方程：．
14．（6分）以下是圆圆解不等式组的解答过程：
解：由①，得2+x＞﹣1，
所以x＞﹣3．
由②，得1﹣x＞2，
所以﹣x＞1，
所以x＞﹣1．
所以原不等式组的解集是x＞﹣1．
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
15．（6分）为纪念建国70周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有：《我爱你，中国》，《歌唱祖国》，《我和我的祖国》（分别用字母A，B，C依次表示这三首歌曲）．比赛时，将A，B，C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，八（1）班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由八（2）班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比赛．
（1）八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是 ；
（2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率．
16．（6分）如图，已知多边形ABCDEF中，AB＝AF＝DC＝DE，BC＝EF，∠ABC＝∠BCD，∠BAF＝∠CDE．请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图．
（1）在图①中，画出一个以BC为边的矩形；
（2）在图②中，若多边形ABCDEF是正六边形，试在AF上画出点M，使得AM＝AF．
17．（6分）某市教育局为了解该市八年级学生参加社会实践活动情况，随机抽查了某区部分八年级学生第一学期参加社会实践活动的天数，并用得到的数据绘制了两幅统计图，下面给出了两幅不完整的统计图（如图）：
请根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）求出a的值，并补全条形图：
（2）请直接写出在这次抽样调查中，众数是 天，中位数是 天；
（3）如果该区共有八年级学生3000人，请你估计“活动时间不少于7天“的学生有多少人？
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y＝（n为常数，且n≠0）的图象在第二象限交于点C．CD⊥x轴，垂足为D，若OB＝2OA＝3OD＝12．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）记两函数图象的另一个交点为E，求△CDE的面积；
（3）直接写出不等式kx+b≤的解集．
19．（8分）如图，一辆摩拜单车放在水平的地面上，车把头下方A处与坐垫下方B处在平行于地面的水平线上，A、B之间的距离约为49cm，现测得AC、BC与AB的夹角分别为45°与68°，若点C到地面的距离CD为28cm，坐垫中轴E处与点B的距离BE为4cm，求点E到地面的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，cot68°≈0.40）
20．（8分）某学校在开展“学习雷锋精神，争做时代标杆”的征文活动中，计划对获得一、二等奖的学生分别奖励一支钢笔，一本笔记本．已知购买3支钢笔和2本笔记本共52元，购买5支钢笔和4本笔记本共92元．
（1）钢笔和笔记本的单价分别为多少元？
（2）经与文具店协商，购买钢笔超过30支时，每增加1支，单价降低0.1元；超过50支，均按购买50支的单价出售，笔记本一律按原价销售．学校计划奖励一、二等奖学生共计100人，其中一等奖的人数不少于30人，且不超过60人，这次奖励一等奖学生多少人时，购买奖品总金额最少，最少为多少元？
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上的一点，以AD为直径的⊙O交BC于点E，交AC于点F，过点C作CG⊥AB于点G，交AE于点H，过点E的弦EP交AB于点Q（EP不是直径），点Q为弦EP的中点，连结BP，BP恰好为⊙O的切线．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求证：AE平分∠CAB；
（3）若AQ＝10，EQ＝5，＝，求四边形CHQE的面积．
22．（9分）综合与实践
如图1，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为E，GF⊥CD，垂足为F．
【证明与推断】
（1）①四边形CEGF的形状是 ；
②的值为 ；
【探究与证明】
（2）在图1的基础上，将正方形CEGF绕点C按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图2所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；
【拓展与运用】
（3）如图3，在（2）的条件下，正方形CEGF在旋转过程中，当B、E、F三点共线时，探究AG和GE的位置关系，并说明理由．
六、（本大题共1小题，共12分）
23．（12分）在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，……，按如图的方式放置．点A1，A2，A3，……，An和点C1，C2，C3，……，∁n分别落在直线y＝﹣x﹣1和x轴上．抛物线L1过点A1，B1，且顶点在直线y＝﹣x﹣1上，抛物线L2过点A2，B2，且顶点在直线y＝﹣x﹣1上，……，按此规律，抛物线Ln过点An，Bn，且顶点也在直线y＝﹣x﹣1上，其中抛物线L2交正方形A1B1C1O的边A1B1于点D1，抛物线L3交正方形A2B2C2C1的边A2B2于点D2（其中n≥2且n为正整数）．
（1）直接写出下列点的坐标：B1 ，B2 ；
（2）求抛物线L2，L3的解析式，并直接写出抛物线Ln的顶点坐标；
（3）设＝k1，＝k2，试判断k1与k2的数量关系并说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）
1．解：﹣2022的倒数是﹣．
故选：A．
2．解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
3．解：A、a2•a3＝a5，故不合题意；
B、2a（3a﹣1）＝6a2﹣2a，故不合题意；
C、（3a2）2＝9a4，故不合题意；
D、x3+x3＝2x3，故符合题意；
故选：D．
4．解：方法一、延长TS，
∵OP∥QR∥ST，
∴∠2＝∠4，
∵∠3与∠ESR互补，
∴∠ESR＝180°﹣∠3，
∵∠4是△FSR的外角，
∴∠FSR+∠1＝∠4，即180°﹣∠3+∠1＝∠2，
∴∠2+∠3﹣∠1＝180°．
方法二、∵OP∥QR∥ST，
∴∠2+∠PRQ＝180°，∠3＝∠1+∠PRQ，
∴∠2+∠3﹣∠1＝180°，
故选：D．
5．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于（﹣1，0），（3，0）两点，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，所以A选项不符合题意；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，
∴当x＞2时，y随x的增大而减小，所以B选项不符合题意；
∵抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于（﹣1，0），（3，0）两点，
∴当x＜﹣1或x＞3时，y＜0，所以C选项符合题意；
∵抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于（﹣1，0），（3，0）两点，
即x＝﹣1或x＝3时，y＝0，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根是﹣1和3，所以D选项不符合题意．
故选：C．
6．解：连接AG，由已知AD＝AF＝AB，且∠AFG＝∠ABG＝∠D＝90°，
∵AG＝AG，
∴△ABG≌△AFG （HL），
∴BG＝GF
∵AB＝BC＝CD＝DA＝6，G是BC的中点，
∴BG＝GF＝GC＝3，
设DE＝x，则EF＝x，EC＝6﹣x，
在Rt△ECG中，由勾股定理得：
（x+3）2＝32+（6﹣x）2，
解得x＝2，即DE＝2．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．解：∵1﹣x2＝（1﹣x）（1+x），
故答案为：（1﹣x）（1+x）．
8．解：0.000000076＝7.6×10﹣8．
故答案为：7.6×10﹣8．
9．解：根据根与系数的关系得到α+β＝2，αβ＝﹣3，
所以α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝22﹣2×（﹣3）＝10．
故答案为：10．
10．解：∵圆锥的母线长是5，侧面积是20π，
∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为：l＝＝＝8π，
∵锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长，
∴r＝＝＝4，
故答案为：4．
11．解：如图所示：
△BCD是等腰直角三角形，△ACD是等边三角形，
在Rt△BCD中，CD＝＝3cm，
∴BE＝CD＝cm，
在Rt△ACE中，AE＝＝cm，
∴从顶点A爬行到顶点B的最短距离为（+）cm．
故答案为： +．
12．解：如图，连接DF，AE，DE，取DF的中点O，连接OA、OE．以O为圆心OE的长度为半径，画⊙O交CD于P3．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠B＝90°，
∵BF＝2，BE＝2，AF＝4，AD＝4，
∴tan∠FEB＝tan∠ADF＝，
∴∠ADF＝∠FEB＝30°，
易知EF＝OF＝OD＝4，
∴△OEF是等边三角形，
∴∠EP1F＝∠FP2F＝∠FP3E＝30°，
∴FP1＝4，FP2＝8，FP3＝4，
故答案为4或8或4．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．解：（1）原式＝
＝．
（2）去分母得：x（x﹣2）﹣（x2﹣4）＝8，
解得：x＝﹣2．
检验：当x＝﹣2时，（x﹣2）（x+2）＝0，
∴x＝﹣2是原分式方程的增根，
∴原分式方程无解．
14．解：圆圆的解答过程有错误，
正确过程如下：由①得2+2x＞﹣1，
∴2x＞﹣3，
∴x＞﹣，
由②得1﹣x＜2，
∴﹣x＜1，
∴x＞﹣1，
∴不等式组的解集为x＞﹣1．
15．解：（1）因为有A，B，C3种等可能结果，
所以八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是；
故答案为．
（2）树状图如图所示：
共有9种可能，八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率＝＝．
16．解：
（1）图①中，即为以BC为边的矩形；
（2）在图②中，点M即为所求，使得AM＝AF．
17．解：（1）a＝1﹣（40%+20%+25%+5%）＝1﹣90%＝10%，
被抽查的学生人数：240÷40%＝600人，
8天的人数：600×10%＝60人，
补全统计图如图所示：
（2）参加社会实践活动5天的人数最多，
所以，众数是5天，
600人中，按照参加社会实践活动的天数从少到多排列，第300人和301人都是6天，
所以，中位数是6天．
故答案为5，6；
（3）3000×（25%+10%+5%）＝3000×40%＝1200（人）．
故“活动时间不少于7天“的学生有1200人．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．解：（1）由已知，OA＝6，OB＝12，OD＝4
∵CD⊥x轴
∴OB∥CD
∴△ABO∽△ACD
∴
∴
∴CD＝20
∴点C坐标为（﹣4，20）
∴n＝xy＝﹣80
∴反比例函数解析式为：y＝﹣
把点A（6，0），B（0，12）代入y＝kx+b得：
解得：
∴一次函数解析式为：y＝﹣2x+12
（2）当﹣＝﹣2x+12时，解得
x1＝10，x2＝﹣4
当x＝10时，y＝﹣8
∴点E坐标为（10，﹣8）
∴S△CDE＝S△CDA+S△EDA＝
（3）不等式kx+b≤，从函数图象上看，表示各个象限一次函数图象不高于反比例函数图象，
∴由图象得，不等式kx+b≤的解集﹣4≤x＜0或x≥10．
19．解：过点C作CH⊥AB于点H，过点E作EF垂直于AB延长线于点F，
设CH＝x，则AH＝CH＝x，BH＝CHcot68°＝0.4x，
由AB＝49知x+0.4x＝49，
解得：x＝35，
∵BE＝4，
∴EF＝BEsin68°＝3.72，
则点E到地面的距离为CH+CD+EF＝35+28+3.72≈66.7（cm），
答：点E到地面的距离约为66.7cm．
20．解：（1）设钢笔的单价是x元，笔记本的单价是y元，
由题意可得，，
解得，
答：钢笔的单价是12元，笔记本的单价是8元；
（2）设这次奖励一等奖学生有a人，购买奖品的总金额为w元，
当30≤a≤50时，w＝[12﹣（a﹣30）×0.1]a+8（100﹣a）＝﹣0.1a2+7a+800＝﹣0.1（a﹣35）2+922.5，
∴当a＝50时，w取得最小值，此时w＝900；
当50≤a≤60时，此时钢笔单价为：12﹣（50﹣30）×0.1＝10（元），
w＝10a+8（100﹣a）＝2a+800，
∴当a＝50时，w取得最小值，此时w＝900；
由上可得，这次奖励一等奖学生50人时，购买奖品总金额最少，最少为900元．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（1）证明：连接OE，OP，
∵AD为直径，点Q为弦EP的中点，
∴PE⊥AB，点Q为弦EP的中点，
∴AB垂直平分EP，
∴PB＝BE，
∵OE＝OP，OB＝OB，
∴△BEO≌△BPO（SSS），
∴∠BEO＝∠BPO，
∵BP为⊙O的切线，
∴∠BPO＝90°，
∴∠BEO＝90°，
∴OE⊥BC，
∴BC是⊙O的切线．
（2）证明：∵∠BEO＝∠ACB＝90°，
∴AC∥OE，
∴∠CAE＝∠OEA，
∵OA＝OE，
∴∠EAO＝∠AEO，
∴∠CAE＝∠EAO，
∴AE平分∠CAB；
（3）解：∵AD为的⊙O直径，点Q为弦EP的中点，
∴EP⊥AB，
∵CG⊥AB，
∴CG∥EP，
∵∠ACB＝∠BEO＝90°，
∴AC∥OE，
∴∠CAE＝∠AEO，
∵OA＝OE，
∴∠EAQ＝∠AEO，
∴∠CAE＝∠EAO，
∵∠ACE＝∠AQE＝90°，AE＝AE，
∴△ACE≌△AQE（AAS），
∴CE＝QE，
∵∠AEC+∠CAE＝∠EAQ+∠AHG＝90°，
∴∠CEH＝∠AHG，
∵∠AHG＝∠CHE，
∴∠CHE＝∠CEH，
∴CH＝CE，
∴CH＝EQ，
∴四边形CHQE是平行四边形，
∵CH＝CE，
∴四边形CHQE是菱形，
∵△ACE≌△AQE，
∴AQ＝AC＝10，
∵＝，
∴设HG＝x，AG＝2x，
∴QG＝10﹣2x，
∵HQ＝EQ＝5，
∴52＝x2+（10﹣2x）2，
∴x＝3或x＝5（不合题意舍去），
∴QG＝4，
∴四边形CHQE的面积＝CH•GQ＝5×4＝20．
22．解：（1）①正方形 ②．
理由：如图1中，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，∠BCA＝45°，
∵GE⊥BC、GF⊥CD，
∴∠CEG＝∠CFG＝∠ECF＝90°，
∴四边形CEGF是矩形，∠CGE＝∠ECG＝45°，
∴EG＝EC，
∴四边形CEGF是正方形，
∵AC＝BC，CG＝EC，
∴AG＝AC﹣CG＝（BC﹣EC）＝BE，
∴＝．
故答案为：正方形，．
（2）结论：AG＝BE，
理由：如图2中，连接CC．由旋转可得∠BCE＝∠AGG＝α，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，AB＝BC，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴，
由①得四边形GECF是正方形，
∴∠GEC＝∠ECF＝90°，GE＝EC，
∴△EGC为等腰直角三角形．
∴，
∴，
∴△ACG∽△BCE，
∴，
∴线段AG与BE之间的数量关系为AG＝BE；
（3）结论：AG⊥GE，
理由：如图3中，连接CG，
∵∠CEF＝45°，点B、E、F三点共线，
∴∠BEC＝135°．
∵△ACG∽△BCE，
∴∠AGC＝∠BEC＝135°．
∴∠AGF＝∠AGC+∠CGF＝135°+45°＝180°，
∴点A，G，F三点共线，
∴∠AGE＝∠AGF﹣∠EGF＝180°﹣90°＝90°，
∴AG⊥GE．
六、（本大题共1小题，共12分）
23．解：（1）∵A1在直线y＝﹣x﹣1上，
∴A1（0，﹣1），
∴A1B1＝OA1＝1，
∴B1（1，﹣1），
∴A2横坐标为1，且在直线y＝﹣x﹣1上，
∴A2（1，﹣2），
∴A2B2＝A2C1＝2，
∴B2（3，﹣2），
故答案为：（1，﹣1）；（3，﹣2）；
（2）对于直线y＝﹣x﹣1，设x＝0，可得y＝﹣1，
∴A1（0，﹣1），
∵四边形A1B1C1O是正方形，
∴C1（1，0），又点A2在直线y＝﹣x﹣1上，
∴A2（1，﹣2），
又∵B2（3，﹣2），
∴抛物线L2的对称轴为直线x＝2，
∴抛物线L2的顶点为（2，﹣3），
设抛物线L2的解析式为：y＝a（x﹣2）2﹣3，
∵L2过点B2（3，2），
∴2＝a×（3﹣2）2+3，解得a＝﹣1，
∴抛物线L2的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+3；
将x＝3代入y＝﹣x﹣1中，y＝﹣4，
∴A3（3，﹣4），
∵四边形A3B3C3C2是正方形，
∴A3B3＝4，
∴B3（7，﹣4），
∴抛物线L3的对称轴为直线x＝5，
把x＝5代入y＝﹣x﹣1，得y＝﹣6，
∴抛物线L3的顶点为（5，﹣6），
∴设抛物线L3的解析式为y＝a'（x﹣5）2﹣6，
将点B3（7，﹣4）代入，可得a'＝，
∴抛物线L3的解析式为y＝（x﹣5）2﹣6；
∵抛物线L1的顶点为（，﹣），
抛物线L2的顶点为（2，﹣3），
抛物线L3的顶点为（5，﹣6），
…
∴抛物线Ln的顶点坐标为（3×2n﹣2﹣1，﹣3×2n﹣2）；
（3）k1与k2的数量关系为k1＝k2，理由如下：
由（2）得L2的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+3，
当y＝1时，1＝﹣（x﹣2）2+3，解得x1＝2﹣，x2＝2+，
∵0＜A1D1＜1，
∴x＝2﹣，
∴A1D1＝D1B1，即k1＝，
由（2）得抛物线L3的解析式为y＝（x﹣5）2﹣6；
当y＝﹣1时，﹣1＝（x﹣5）2﹣6，
解得x＝5﹣2或x＝5+2（舍），
∴A2D2＝5﹣2﹣1＝4﹣2＝2（﹣1），
D2B2＝2﹣（4﹣2）＝2﹣2＝2（﹣1），
∴A2D2＝D2B2，即k2＝，
∴k1＝k2．
2022年江西省新余市中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）
1．﹣2022的倒数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣2022 D．2022
2．2020年初，新型冠状病毒引发肺炎疫情．一方有难，八方支援，危难时刻，全国多家医院纷纷选派医护人员驰援武汉．下面是四家医院标志的图案部分，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．2a（3a﹣1）＝6a2﹣1
C．（3a2）2＝6a4 D．x3+x3＝2x3
4．如图，OP∥QR∥ST，则下列各式中正确的是（ ）
A．∠1+∠2+∠3＝180° B．∠1+∠2﹣∠3＝90°
C．∠1﹣∠2+∠3＝90° D．∠2+∠3﹣∠1＝180°
5．如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于（﹣1，0），（3，0）两点，则下列判断中，错误的是（ ）
A．图象的对称轴是直线x＝1
B．当x＞2时，y随x的增大而减小
C．当﹣1＜x＜1时，y＜0
D．一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根是﹣1和3
6．如图，正方形ABCD中，AB＝6，将△ADE沿AE对折至△AEF，延长EF交BC于点G，G刚好是BC边的中点，则ED的长是（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．因式分解：1﹣x2＝ ．
8．2021年10月11日，联合国《生物多样性公约》缔约方大会第十五次会议（COP15）在昆明正式拉开帷幕．在多彩的生物界，科学家发现世界上最小的开花结果植物是澳洲的出水浮萍，其质量仅有0.000000076克，0.000000076用科学记数法表示是 ．
9．若方程x2﹣2x﹣3＝0两根为α、β，则α2+β2＝ ．
10．已知圆锥的母线长为5，侧面积为20π，则这个圆锥的底面圆的半径为 ．
11．如图所示的正方体木块的棱长为3cm，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图②所示的几何体，一只蚂蚁沿着图②中的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为 cm．
12．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E是BC的中点，点F在AB上，FB＝2，P是矩形上一动点．若点P从点F出发，沿F→A→D→C的路线运动，当∠FPE＝30°时，FP的长为 ．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）（1）计算：|﹣2|﹣3tan60°+（2）0+；
（2）解方程：．
14．（6分）以下是圆圆解不等式组的解答过程：
解：由①，得2+x＞﹣1，
所以x＞﹣3．
由②，得1﹣x＞2，
所以﹣x＞1，
所以x＞﹣1．
所以原不等式组的解集是x＞﹣1．
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
15．（6分）为纪念建国70周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有：《我爱你，中国》，《歌唱祖国》，《我和我的祖国》（分别用字母A，B，C依次表示这三首歌曲）．比赛时，将A，B，C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，八（1）班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由八（2）班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比赛．
（1）八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是 ；
（2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率．
16．（6分）如图，已知多边形ABCDEF中，AB＝AF＝DC＝DE，BC＝EF，∠ABC＝∠BCD，∠BAF＝∠CDE．请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图．
（1）在图①中，画出一个以BC为边的矩形；
（2）在图②中，若多边形ABCDEF是正六边形，试在AF上画出点M，使得AM＝AF．
17．（6分）某市教育局为了解该市八年级学生参加社会实践活动情况，随机抽查了某区部分八年级学生第一学期参加社会实践活动的天数，并用得到的数据绘制了两幅统计图，下面给出了两幅不完整的统计图（如图）：
请根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）求出a的值，并补全条形图：
（2）请直接写出在这次抽样调查中，众数是 天，中位数是 天；
（3）如果该区共有八年级学生3000人，请你估计“活动时间不少于7天“的学生有多少人？
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y＝（n为常数，且n≠0）的图象在第二象限交于点C．CD⊥x轴，垂足为D，若OB＝2OA＝3OD＝12．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）记两函数图象的另一个交点为E，求△CDE的面积；
（3）直接写出不等式kx+b≤的解集．
19．（8分）如图，一辆摩拜单车放在水平的地面上，车把头下方A处与坐垫下方B处在平行于地面的水平线上，A、B之间的距离约为49cm，现测得AC、BC与AB的夹角分别为45°与68°，若点C到地面的距离CD为28cm，坐垫中轴E处与点B的距离BE为4cm，求点E到地面的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，cot68°≈0.40）
20．（8分）某学校在开展“学习雷锋精神，争做时代标杆”的征文活动中，计划对获得一、二等奖的学生分别奖励一支钢笔，一本笔记本．已知购买3支钢笔和2本笔记本共52元，购买5支钢笔和4本笔记本共92元．
（1）钢笔和笔记本的单价分别为多少元？
（2）经与文具店协商，购买钢笔超过30支时，每增加1支，单价降低0.1元；超过50支，均按购买50支的单价出售，笔记本一律按原价销售．学校计划奖励一、二等奖学生共计100人，其中一等奖的人数不少于30人，且不超过60人，这次奖励一等奖学生多少人时，购买奖品总金额最少，最少为多少元？
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上的一点，以AD为直径的⊙O交BC于点E，交AC于点F，过点C作CG⊥AB于点G，交AE于点H，过点E的弦EP交AB于点Q（EP不是直径），点Q为弦EP的中点，连结BP，BP恰好为⊙O的切线．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求证：AE平分∠CAB；
（3）若AQ＝10，EQ＝5，＝，求四边形CHQE的面积．
22．（9分）综合与实践
如图1，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为E，GF⊥CD，垂足为F．
【证明与推断】
（1）①四边形CEGF的形状是 ；
②的值为 ；
【探究与证明】
（2）在图1的基础上，将正方形CEGF绕点C按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图2所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；
【拓展与运用】
（3）如图3，在（2）的条件下，正方形CEGF在旋转过程中，当B、E、F三点共线时，探究AG和GE的位置关系，并说明理由．
六、（本大题共1小题，共12分）
23．（12分）在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，……，按如图的方式放置．点A1，A2，A3，……，An和点C1，C2，C3，……，∁n分别落在直线y＝﹣x﹣1和x轴上．抛物线L1过点A1，B1，且顶点在直线y＝﹣x﹣1上，抛物线L2过点A2，B2，且顶点在直线y＝﹣x﹣1上，……，按此规律，抛物线Ln过点An，Bn，且顶点也在直线y＝﹣x﹣1上，其中抛物线L2交正方形A1B1C1O的边A1B1于点D1，抛物线L3交正方形A2B2C2C1的边A2B2于点D2（其中n≥2且n为正整数）．
（1）直接写出下列点的坐标：B1 ，B2 ；
（2）求抛物线L2，L3的解析式，并直接写出抛物线Ln的顶点坐标；
（3）设＝k1，＝k2，试判断k1与k2的数量关系并说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）
1．解：﹣2022的倒数是﹣．
故选：A．
2．解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
3．解：A、a2•a3＝a5，故不合题意；
B、2a（3a﹣1）＝6a2﹣2a，故不合题意；
C、（3a2）2＝9a4，故不合题意；
D、x3+x3＝2x3，故符合题意；
故选：D．
4．解：方法一、延长TS，
∵OP∥QR∥ST，
∴∠2＝∠4，
∵∠3与∠ESR互补，
∴∠ESR＝180°﹣∠3，
∵∠4是△FSR的外角，
∴∠FSR+∠1＝∠4，即180°﹣∠3+∠1＝∠2，
∴∠2+∠3﹣∠1＝180°．
方法二、∵OP∥QR∥ST，
∴∠2+∠PRQ＝180°，∠3＝∠1+∠PRQ，
∴∠2+∠3﹣∠1＝180°，
故选：D．
5．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于（﹣1，0），（3，0）两点，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，所以A选项不符合题意；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，
∴当x＞2时，y随x的增大而减小，所以B选项不符合题意；
∵抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于（﹣1，0），（3，0）两点，
∴当x＜﹣1或x＞3时，y＜0，所以C选项符合题意；
∵抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于（﹣1，0），（3，0）两点，
即x＝﹣1或x＝3时，y＝0，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根是﹣1和3，所以D选项不符合题意．
故选：C．
6．解：连接AG，由已知AD＝AF＝AB，且∠AFG＝∠ABG＝∠D＝90°，
∵AG＝AG，
∴△ABG≌△AFG （HL），
∴BG＝GF
∵AB＝BC＝CD＝DA＝6，G是BC的中点，
∴BG＝GF＝GC＝3，
设DE＝x，则EF＝x，EC＝6﹣x，
在Rt△ECG中，由勾股定理得：
（x+3）2＝32+（6﹣x）2，
解得x＝2，即DE＝2．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．解：∵1﹣x2＝（1﹣x）（1+x），
故答案为：（1﹣x）（1+x）．
8．解：0.000000076＝7.6×10﹣8．
故答案为：7.6×10﹣8．
9．解：根据根与系数的关系得到α+β＝2，αβ＝﹣3，
所以α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝22﹣2×（﹣3）＝10．
故答案为：10．
10．解：∵圆锥的母线长是5，侧面积是20π，
∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为：l＝＝＝8π，
∵锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长，
∴r＝＝＝4，
故答案为：4．
11．解：如图所示：
△BCD是等腰直角三角形，△ACD是等边三角形，
在Rt△BCD中，CD＝＝3cm，
∴BE＝CD＝cm，
在Rt△ACE中，AE＝＝cm，
∴从顶点A爬行到顶点B的最短距离为（+）cm．
故答案为： +．
12．解：如图，连接DF，AE，DE，取DF的中点O，连接OA、OE．以O为圆心OE的长度为半径，画⊙O交CD于P3．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠B＝90°，
∵BF＝2，BE＝2，AF＝4，AD＝4，
∴tan∠FEB＝tan∠ADF＝，
∴∠ADF＝∠FEB＝30°，
易知EF＝OF＝OD＝4，
∴△OEF是等边三角形，
∴∠EP1F＝∠FP2F＝∠FP3E＝30°，
∴FP1＝4，FP2＝8，FP3＝4，
故答案为4或8或4．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．解：（1）原式＝
＝．
（2）去分母得：x（x﹣2）﹣（x2﹣4）＝8，
解得：x＝﹣2．
检验：当x＝﹣2时，（x﹣2）（x+2）＝0，
∴x＝﹣2是原分式方程的增根，
∴原分式方程无解．
14．解：圆圆的解答过程有错误，
正确过程如下：由①得2+2x＞﹣1，
∴2x＞﹣3，
∴x＞﹣，
由②得1﹣x＜2，
∴﹣x＜1，
∴x＞﹣1，
∴不等式组的解集为x＞﹣1．
15．解：（1）因为有A，B，C3种等可能结果，
所以八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是；
故答案为．
（2）树状图如图所示：
共有9种可能，八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率＝＝．
16．解：
（1）图①中，即为以BC为边的矩形；
（2）在图②中，点M即为所求，使得AM＝AF．
17．解：（1）a＝1﹣（40%+20%+25%+5%）＝1﹣90%＝10%，
被抽查的学生人数：240÷40%＝600人，
8天的人数：600×10%＝60人，
补全统计图如图所示：
（2）参加社会实践活动5天的人数最多，
所以，众数是5天，
600人中，按照参加社会实践活动的天数从少到多排列，第300人和301人都是6天，
所以，中位数是6天．
故答案为5，6；
（3）3000×（25%+10%+5%）＝3000×40%＝1200（人）．
故“活动时间不少于7天“的学生有1200人．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．解：（1）由已知，OA＝6，OB＝12，OD＝4
∵CD⊥x轴
∴OB∥CD
∴△ABO∽△ACD
∴
∴
∴CD＝20
∴点C坐标为（﹣4，20）
∴n＝xy＝﹣80
∴反比例函数解析式为：y＝﹣
把点A（6，0），B（0，12）代入y＝kx+b得：
解得：
∴一次函数解析式为：y＝﹣2x+12
（2）当﹣＝﹣2x+12时，解得
x1＝10，x2＝﹣4
当x＝10时，y＝﹣8
∴点E坐标为（10，﹣8）
∴S△CDE＝S△CDA+S△EDA＝
（3）不等式kx+b≤，从函数图象上看，表示各个象限一次函数图象不高于反比例函数图象，
∴由图象得，不等式kx+b≤的解集﹣4≤x＜0或x≥10．
19．解：过点C作CH⊥AB于点H，过点E作EF垂直于AB延长线于点F，
设CH＝x，则AH＝CH＝x，BH＝CHcot68°＝0.4x，
由AB＝49知x+0.4x＝49，
解得：x＝35，
∵BE＝4，
∴EF＝BEsin68°＝3.72，
则点E到地面的距离为CH+CD+EF＝35+28+3.72≈66.7（cm），
答：点E到地面的距离约为66.7cm．
20．解：（1）设钢笔的单价是x元，笔记本的单价是y元，
由题意可得，，
解得，
答：钢笔的单价是12元，笔记本的单价是8元；
（2）设这次奖励一等奖学生有a人，购买奖品的总金额为w元，
当30≤a≤50时，w＝[12﹣（a﹣30）×0.1]a+8（100﹣a）＝﹣0.1a2+7a+800＝﹣0.1（a﹣35）2+922.5，
∴当a＝50时，w取得最小值，此时w＝900；
当50≤a≤60时，此时钢笔单价为：12﹣（50﹣30）×0.1＝10（元），
w＝10a+8（100﹣a）＝2a+800，
∴当a＝50时，w取得最小值，此时w＝900；
由上可得，这次奖励一等奖学生50人时，购买奖品总金额最少，最少为900元．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（1）证明：连接OE，OP，
∵AD为直径，点Q为弦EP的中点，
∴PE⊥AB，点Q为弦EP的中点，
∴AB垂直平分EP，
∴PB＝BE，
∵OE＝OP，OB＝OB，
∴△BEO≌△BPO（SSS），
∴∠BEO＝∠BPO，
∵BP为⊙O的切线，
∴∠BPO＝90°，
∴∠BEO＝90°，
∴OE⊥BC，
∴BC是⊙O的切线．
（2）证明：∵∠BEO＝∠ACB＝90°，
∴AC∥OE，
∴∠CAE＝∠OEA，
∵OA＝OE，
∴∠EAO＝∠AEO，
∴∠CAE＝∠EAO，
∴AE平分∠CAB；
（3）解：∵AD为的⊙O直径，点Q为弦EP的中点，
∴EP⊥AB，
∵CG⊥AB，
∴CG∥EP，
∵∠ACB＝∠BEO＝90°，
∴AC∥OE，
∴∠CAE＝∠AEO，
∵OA＝OE，
∴∠EAQ＝∠AEO，
∴∠CAE＝∠EAO，
∵∠ACE＝∠AQE＝90°，AE＝AE，
∴△ACE≌△AQE（AAS），
∴CE＝QE，
∵∠AEC+∠CAE＝∠EAQ+∠AHG＝90°，
∴∠CEH＝∠AHG，
∵∠AHG＝∠CHE，
∴∠CHE＝∠CEH，
∴CH＝CE，
∴CH＝EQ，
∴四边形CHQE是平行四边形，
∵CH＝CE，
∴四边形CHQE是菱形，
∵△ACE≌△AQE，
∴AQ＝AC＝10，
∵＝，
∴设HG＝x，AG＝2x，
∴QG＝10﹣2x，
∵HQ＝EQ＝5，
∴52＝x2+（10﹣2x）2，
∴x＝3或x＝5（不合题意舍去），
∴QG＝4，
∴四边形CHQE的面积＝CH•GQ＝5×4＝20．
22．解：（1）①正方形 ②．
理由：如图1中，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，∠BCA＝45°，
∵GE⊥BC、GF⊥CD，
∴∠CEG＝∠CFG＝∠ECF＝90°，
∴四边形CEGF是矩形，∠CGE＝∠ECG＝45°，
∴EG＝EC，
∴四边形CEGF是正方形，
∵AC＝BC，CG＝EC，
∴AG＝AC﹣CG＝（BC﹣EC）＝BE，
∴＝．
故答案为：正方形，．
（2）结论：AG＝BE，
理由：如图2中，连接CC．由旋转可得∠BCE＝∠AGG＝α，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，AB＝BC，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴，
由①得四边形GECF是正方形，
∴∠GEC＝∠ECF＝90°，GE＝EC，
∴△EGC为等腰直角三角形．
∴，
∴，
∴△ACG∽△BCE，
∴，
∴线段AG与BE之间的数量关系为AG＝BE；
（3）结论：AG⊥GE，
理由：如图3中，连接CG，
∵∠CEF＝45°，点B、E、F三点共线，
∴∠BEC＝135°．
∵△ACG∽△BCE，
∴∠AGC＝∠BEC＝135°．
∴∠AGF＝∠AGC+∠CGF＝135°+45°＝180°，
∴点A，G，F三点共线，
∴∠AGE＝∠AGF﹣∠EGF＝180°﹣90°＝90°，
∴AG⊥GE．
六、（本大题共1小题，共12分）
23．解：（1）∵A1在直线y＝﹣x﹣1上，
∴A1（0，﹣1），
∴A1B1＝OA1＝1，
∴B1（1，﹣1），
∴A2横坐标为1，且在直线y＝﹣x﹣1上，
∴A2（1，﹣2），
∴A2B2＝A2C1＝2，
∴B2（3，﹣2），
故答案为：（1，﹣1）；（3，﹣2）；
（2）对于直线y＝﹣x﹣1，设x＝0，可得y＝﹣1，
∴A1（0，﹣1），
∵四边形A1B1C1O是正方形，
∴C1（1，0），又点A2在直线y＝﹣x﹣1上，
∴A2（1，﹣2），
又∵B2（3，﹣2），
∴抛物线L2的对称轴为直线x＝2，
∴抛物线L2的顶点为（2，﹣3），
设抛物线L2的解析式为：y＝a（x﹣2）2﹣3，
∵L2过点B2（3，2），
∴2＝a×（3﹣2）2+3，解得a＝﹣1，
∴抛物线L2的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+3；
将x＝3代入y＝﹣x﹣1中，y＝﹣4，
∴A3（3，﹣4），
∵四边形A3B3C3C2是正方形，
∴A3B3＝4，
∴B3（7，﹣4），
∴抛物线L3的对称轴为直线x＝5，
把x＝5代入y＝﹣x﹣1，得y＝﹣6，
∴抛物线L3的顶点为（5，﹣6），
∴设抛物线L3的解析式为y＝a'（x﹣5）2﹣6，
将点B3（7，﹣4）代入，可得a'＝，
∴抛物线L3的解析式为y＝（x﹣5）2﹣6；
∵抛物线L1的顶点为（，﹣），
抛物线L2的顶点为（2，﹣3），
抛物线L3的顶点为（5，﹣6），
…
∴抛物线Ln的顶点坐标为（3×2n﹣2﹣1，﹣3×2n﹣2）；
（3）k1与k2的数量关系为k1＝k2，理由如下：
由（2）得L2的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+3，
当y＝1时，1＝﹣（x﹣2）2+3，解得x1＝2﹣，x2＝2+，
∵0＜A1D1＜1，
∴x＝2﹣，
∴A1D1＝D1B1，即k1＝，
由（2）得抛物线L3的解析式为y＝（x﹣5）2﹣6；
当y＝﹣1时，﹣1＝（x﹣5）2﹣6，
解得x＝5﹣2或x＝5+2（舍），
∴A2D2＝5﹣2﹣1＝4﹣2＝2（﹣1），
D2B2＝2﹣（4﹣2）＝2﹣2＝2（﹣1），
∴A2D2＝D2B2，即k2＝，
∴k1＝k2．
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