2022年中考第二轮复习讲义-四边形专题 教案

2022年中考四边形专题

知识点一：多边形

1．多边形的相关概念

（1）定义：在平面内，由一些段线首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．

（2）对角线：从n边形的一个顶点可以引(n–3)条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n–2)个三角形；n边形对角线条数为．

2．多边形的内角和、外角和

（1）内角和：n边形内角和公式为(n–2)·180°；

（2）外角和：任意多边形的外角和为360°．

3．正多边形

（1）定义：各边相等，各角也相等的多边形．

（2）正n边形的每个内角为，每一个外角为．

（3）正n边形有n条对称轴．

（4）对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形．

【例1-1】如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（　　）

A．8 　　　　B．9 　　　　C．10 　　　　D．11

【例1-2】正十边形的每一个内角的度数为（     ）

A．120°         B．135°         C．140°         D．144°

【例1-3】 如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边形的内角和是　     　．

【例1-4】如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为2的正六边形．则原来的纸带宽为（　　）

【例1-5】如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠P=（　　）

A．50° 　　　　B．55° 　　　　C．60° 　　　　D．65°

举一反三

1. 一个多边形的每一个外角都是36°，则这个多边形的边数是　　．

2. 若一个正n边形的每个内角为144°，则这个正n边形的所有对角线的条数是（　　）

A．7      B．10      C．35      D．70

3. 如图，正五边形的一个顶点正好是正六边形的中心，则∠1的度数为（     ）

A．22° B．18° C．15° D．12°

4. 如图，五边形ABCDE是正五边形．若l1∥l2，则∠1﹣∠2=　  　°．

5. 如图的七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线相交于O点．若图中∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD的度数为__________．

6. 我们知道，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．对一个各条边都相等的凸多边形（边数大于3），可以由若干条对角线相等判定它是正多边形．例如，各条边都相等的凸四边形，若两条对角线相等，则这个四边形是正方形．

（1）已知凸五边形ABCDE的各条边都相等．

①如图1，若AC＝AD＝BE＝BD＝CE，求证：五边形ABCDE是正五边形；

②如图2，若AC＝BE＝CE，请判断五边形ABCDE是不是正五边形，并说明理由：

（2）判断下列命题的真假．（在括号内填写“真”或“假”）

如图3，已知凸六边形ABCDEF的各条边都相等．

①若AC＝CE＝EA，则六边形ABCDEF是正六边形；（　   　）

②若AD＝BE＝CF，则六边形ABCDEF是正六边形．（　   　）

知识点二：平行四边形

1. 平行四边形中常添的辅助线

(1)常用连对角线的方法把四边形问题转化为三角形的问题；

(2)有平行线时，常作平行线构造平行四边形；

(3)构造中位线：“遇中点找中点，联想中位线”是一个解题突破口，但在一般问题中，要应用中位线的性质时，往往需要作辅助线：

①连中点，构造三角形的中位线；②找中点，构造三角形的中位线。

(4)图形具有等邻边特征时(如：等腰三角形、等边三角形、菱形、正方形等)，可以通过引辅助线把图形的某一部分绕等邻边的公共端点旋转到另一位置．

2. 平行四边形是初中数学的重要内容，也是中考命题的热点，在平行四边形的学习过程中，常会遇到平行四边形的判定问题，解答这类问题有以下三种思路.

思路之一：考虑对边关系：证明两组对边分别平行；或两组对边分别相等；或一组对边平行且相等

思路之二：考虑对角关系：证明两组对角分别相等

思路之三：考虑对角线关系：证明两条对角线互相平分

【例2-1】 如图，点E，F是ABCD对角线上两点，在条件①DE=BF；②∠ADE=∠CBF；③AF=CE；④∠AEB=∠CFD中，添加一个条件，使四边形DEBF是平行四边形，可添加的条件是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④

【例2-2】 如图，在▱ABCD中，点E是DC边上一点，连接AE、BE，若AE、BE分别是∠DAB、∠CBA的角平分线，且AB=4，则▱ABCD的周长为（　　）

A．10                B．                 C．                 D．12

【例2-3】 如图，在ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，求证：AE=CF．

【例2-4】 在6×6的方格纸中，点A，B，C都在格点上，按要求画图：

（1）在图1中找一个格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形．

（2）在图2中仅用无刻度的直尺，把线段AB三等分（保留画图痕迹，不写画法）．

【例2-5】在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，–2），点B（3m，2m+1），点C（6，2），点D．

（1）线段AC的中点E的坐标为__________；

（2）ABCD的对角线BD长的最小值为__________．

举一反三

1. 如图，ABCD的对角线BD上有两点E、F，请你添加一个条件，使四边形AECF是平行四边形，你添加的条件是__________．

2. 如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连接OE．若∠ABC=60°，∠BAC=80°，则∠1的度数为（　　）

A．50°                B．40°                C．30°                D．20°

3. 如图，已知在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，连结DF，EF，BF．

（1）求证：四边形BEFD是平行四边形；

（2）若∠AFB＝90°，AB＝6，求四边形BEFD的周长．

·

4. 如图，在4×4的方格子中，△ABC的三个顶点都在格点上．

（1）在图1中画出线段CD，使CD⊥CB，其中D是格点．

（2）在图2中画出平行四边形ABEC，其中E是格点．

5. 在ABCD中，AB=3，BC=4，当ABCD的面积最大时，下列结论：

①AC=5；②∠A+∠C=180°；③AC⊥BD；④AC=BD．其中正确的有__________．（填序号）

知识点三：特殊的平行四边形

一、矩形

1. 矩形折叠中的计算问题

折叠矩形中这类计算，形式多样，新颖独特，有利于考查空间想象能力和动手操作能力。

解决这类问题应把握两点：

①折叠前后折痕(即对称轴)两侧的图形是全等图形；

②折叠前后对应点的连线被折痕((即对称轴)垂直平分。解决这类问题的基本方法是利用勾股定理构建方程。

2. 矩形对角线性质的妙用

（1）利用矩形的对角线相等，有的题中线段比较多，图形也较复杂不易梳理，只要牢牢抓住“矩形对角线相等”，问题就可以解决了．

（2）利用矩形的对角线互相平分，可解决一些相关尺规作图及其计算证明的问题。

二、菱形

1. 菱形的判定：判定一个四边形是菱形时，一定要注意判定前提，即在什么条件下判定．若在四边形的条件下判定，则可证其四边相等，也可先判定其是平行四边形，再证一组邻边相等或对角线互相垂直；若在平行四边形条件下判定，则证其一组邻边相等或对角线互相垂直．

2. 菱形的性质：

①由于菱形对角线互相垂直平分，故菱形可被两条对角线分成四个全等的直角三角形，这样容易与勾股定理联系起来；

②菱形的面积除了用对角线计算之外，也可以用底乘以高来计算．即菱形的面积有两种求法．

三、正方形

1．正方形的判定：

①正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形；

②既是矩形又是菱形的四边形是正方形；

③正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形，还是特殊的菱形．

2．正方形的性质

正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的所有的性质．

(1)边的性质：正方形的四条边都相等，对边平行，邻边垂直；

(2)角的性质：正方形的四个角都是直角；

(3)对角线的性质：正方形的对角线互相垂直平分且相等，并且每条对角线平分一组对角．

正方形还有特殊性质：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；正方形是轴对称图形，有四条对称轴．

3．正方形的判定判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：

①先证明它是矩形，再证它有一组邻边相等；

②先证明它是菱形，再证它有一个角是直角．

【例3-1】如图，在矩形ABCD中，点E，F在对角线BD．请添加一个条件，使得结论“AE＝CF”成立，并加以证明．

【例3-2】如图，已知正方形ABCD的边长为1，正方形CEFG的面积为S1，点E在DC边上，点G在BC的延长线上，设以线段AD和DE为邻边的矩形的面积为S2，且S1＝S2．

（1）求线段CE的长；

（2）若点H为BC边的中点，连接HD，求证：HD＝HG．

【例3-3】三个形状大小相同的菱形按如图所示方式摆放，已知∠AOB＝∠AOE＝90°，菱形的较短对角线长为2cm．若点C落在AH的延长线上，则△ABE的周长为

　     　cm．

【例3-4】正方形ABCD的边AB上有一动点E，以EC为边作矩形ECFG，且边FG过点D．在点E从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积（　　）

A．先变大后变小   

B．先变小后变大   

C．一直变大   

D．保持不变

举一反三

1. 已知：如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝DF，连结AE，AF．求证：AE＝AF．

2. 如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上．

（1）求证：BG＝DE；

（2）若E为AD中点，FH＝2，求菱形ABCD的周长．

3. 如图，有两张矩形纸片ABCD和EFGH，AB＝EF＝2cm，BC＝FG＝8cm．把纸片ABCD交叉叠放在纸片EFGH上，使重叠部分为平行四边形，且点D与点G重合．当两张纸片交叉所成的角α最小时，tan α等于（　　）

A．      B．      C．      D．

课堂练习

1．若一个正n边形的每个内角为144°，则这个正n边形的所有对角线的条数是（　　）

A．7       B．10    C．35    D．70

2．n边形的边数增加一倍，它的内角和增加（　　）

A．180°    B．360°   C．(n–2)·180°   D．n180°

3．如图所示，在ABCD中，E，F分别为AB，DC的中点，连接DE，EF，FB，则图中共有_____个平行四边形．

4．如图，在ABCD中，AC，BD相交于点O，AB=10cm，AD=8cm，AC⊥BC，则OB=_________cm．

5．一个平行四边形两对角之和为116°，则相邻的两内角分别是__________和_________．

6．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE=2，PF=8．则图中阴影部分的面积为（　　）

A．10    B．12    C．16    D．18

7．如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是_____．

8．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥AD于点E，交BC于点F，则EF的长为______．

（优化）1. 把边长为2的正方形纸片ABCD分割成如图的四块，其中点O为正方形的中心，点E，F分别为AB，AD的中点．用这四块纸片拼成与此正方形不全等的四边形MNPQ（要求这四块纸片不重叠无缝隙），则四边形MNPQ的周长是　          　．

（优化）2. 如图，先有一张矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝8，点M，N分别在矩形的边AD，BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN于点Q，连接CM．下列结论：

①CQ＝CD；②四边形CMPN是菱形；③P，A重合时，MN＝；④△PQM的面积S的取值范围是3≤S≤5．其中正确的是　　（把正确结论的序号都填上）．

巩固提高

1．嘉琪同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的，她先用尺规作出了如图所示的ABCD，并写出了如下尚不完整的已知和求证．

已知：如图，在四边形ABCD中，BC=AD，AB=__________．

求证：四边形ABCD是__________四边形．

（1）补全已知和求证；

（2）嘉琪同学想利用三角形全等，依据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”来证明．请你按她的想法完成证明过程．

2．已知：EF∥MN，直线AC交EF、MN于点A、C，作∠ACN的平分线于点B，作∠CAE的平分线交MN于点D．

（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；

（2）若四边形ABCD为菱形，求∠ABC的度数．

3．如图，四边形ABCD是平行四边形，延长AD至点E，使DE＝AD，连接BD．

（1）求证：四边形BCED是平行四边形；

（2）若DA＝DB＝2，cos A＝，求点B到点E的距离．