2022年全国各地自招数学好题汇编之专题02 二次根式（word版含答案）

专题02  二次根式

一．选择题（共11小题）

1．（2020•武昌区校级自主招生）已知x＝，则x6﹣2x5﹣x4+x3﹣2x2+2x﹣的值为（　　）

A．0 B．1 C． D．

2．（2020•原阳县校级自主招生）化简等于（　　）

A． B． C． D．

3．（2020•汉阳区校级自主招生）化简：的结果是（　　）

A．6 B． C． D．

4．（2016•鄞州区校级自主招生）设，则S最接近的整数是（　　）

A．2015 B．2016 C．2017 D．2018

5．（2021•红谷滩区）设x、y、z是两两不等的实数，且满足下列等式：，则x3+y3+z3﹣3xyz的值是（　　）

A．0 B．1 

C．3 D．条件不足，无法计算

6．（2019•新华区校级自主招生）如果实数x，y满足（+x）（+y）＝1，那么x+y值为（　　）

A．0 B．﹣1 C．1 D．2

7．（2012•青羊区校级自主招生）化简的值为（　　）

A．+1 B．﹣1 C．+2 D．﹣2

8．（2019•南浔区校级自主招生）已知＝1（a，b，c∈R），则有（　　）

A．b2＞4ac B．b2≥4ac C．b2＜4ac D．b2≤4ac

9．（2019•镜湖区自主招生）当x＝4时，的值为（　　）

A．1 B． C．2 D．3

10．（2019•江汉区校级自主招生）如果一个三角形的三边长分别为1，k，3，则化简7﹣﹣|2k﹣3|的结果是（　　）

A．1 B．13 C．﹣5 D．19﹣4k

11．（2019•涪城区校级自主招生）使代数式有意义的非正整数x有（　　）

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个

二．填空题（共7小题）

12．（2021•武进区校级自主招生）已知：对于正整数n，有，若某个正整数k满足

，则k＝　 　．

13．（2020•谷城县校级自主招生）若＜0，化简﹣﹣3的结果为　    　．

14．（2020•汉阳区校级自主招生）已知，，，…，若＝9（a，b均为实数），则根据以上规律的值为　             　．

15．（2020•原阳县校级自主招生）已知m，n为实数，且满足，求6m﹣3n的值＝　 　．

16．（2020•浙江自主招生）设a﹣b＝2+，b﹣c＝2﹣，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝　   　．

17．（2019•江汉区校级自主招生）阅读材料：已知﹣＝2，求+的值．

解：（﹣）×（+）＝（25﹣x）﹣（15﹣x）＝10，

∵﹣＝2，

∴+＝5．

则关于x的方程：﹣＝2的解x＝　   　．

18．（2019•天心区校级自主招生）若p＝，q＝，则＝　                　．

三．解答题（共4小题）

19．（2020•温江区校级自主招生）给出以下式子：（﹣）÷，先化简，然后从﹣1，2，4+2三个数中，选个合适的数代入求值．

20．（2021•红谷滩区）已知x＝，y＝，且19x2+123xy+19y2＝1985．试求正整数n．

21．（2017•浦东新区校级自主招生）（1）设n是给定的正整数，化简：；

（2）计算：…的值．

22．（2015•长沙县校级自主招生）已知可写成a+b+c的形式（a，b，c为正整数），求abc的值．

专题02  二次根式

参考答案与试题解析

一．选择题（共11小题）

1．【解答】解：∵x＝＝+，

∴x6﹣2x5﹣x4+x3﹣2x2+2x﹣

＝x5（x﹣2）﹣x4+x2（x﹣2）+2x﹣

＝x5（+﹣2）﹣x4+x2（+﹣2）+2x﹣

＝x5（﹣）﹣x4+x2（﹣）+2x﹣

＝x4[x（﹣）﹣1]+x2（﹣）+2x﹣

＝0+x（+）（﹣）+2x﹣

＝﹣x+2x﹣

＝x﹣

＝．

故选：C．

2．【解答】解：由题意得，﹣＞0，

解得，a＜0，

则a＝a×＝﹣，

故选：C．

3．【解答】解：

＝+

＝（3﹣+3+）

＝3，

故选：D．

4．【解答】解：∵

＝

＝

＝

＝

＝1+

＝1+，

＝（1+1﹣）+（1+）+…+（1+）

＝2016+（1﹣+++…+

＝2017﹣，

所以S最接近的整数是2017，

故选：C．

5．【解答】解：依题意得：

，

解得x＝0，

∵，

∴，

∴y＝﹣z

∴把x＝0，y＝﹣z代入x3+y3+z3﹣3xyz得：原式＝（﹣z）3+z3＝0

故选：A．

6．【解答】解：∵（+x）（﹣x）＝x2+1﹣x2＝1，（+y）（﹣y）＝y2+1﹣y2＝1

又∵（+x）（+y）＝1，

∴，

①+②得：﹣x﹣y＝x+y，

∴2（x+y）＝0，

∴x+y＝0．

故选：A．

7．【解答】解：设x＝，y＝，

∴x2+y2＝8，xy＝＝＝，

∴（x+y）2＝x2+y2+2xy＝8+2（﹣1）＝6+2＝（+1）2，

∴x+y＝+1，

则＝+1．

故选：A．

8．【解答】解：∵＝1，

∴b＝＝（+1）a+（﹣1）c，

∴b2﹣4ac＝[（+1）a+（﹣1）c]2﹣4ac

＝[（+1）a﹣（﹣1）c]2≥0，

即b2≥4ac．

故选：B．

9．【解答】解：原式＝﹣＝﹣，

而x＝4，

所以原式＝﹣

＝﹣

＝﹣

＝﹣

＝﹣

＝1．

故选：A．

10．【解答】解：∵一个三角形的三边长分别为1，k，3，

∴2＜k＜4，

又∵4k2﹣36k+81＝（2k﹣9）2，

∴2k﹣9＜0，2k﹣3＞0，

∴原式＝7﹣（9﹣2k）﹣（2k﹣3）＝1．

故选：A．

11．【解答】解：由题意可得：x+3＞0且4﹣3x≥0，

解得：﹣3＜x≤，

故x＝﹣2，﹣1，0共3个非正整数．

故选：C．

二．填空题（共7小题）

12．【解答】解：∵，

∴+，

即1﹣，

∴，

解得k＝8．

故答案为：8．

13．【解答】解：由题意得，或，

解得，﹣2＜x＜，

则原式＝|5﹣3x|﹣|x+2|﹣3＝5﹣3x﹣2﹣x﹣3＝﹣4x，

故答案为：﹣4x．

14．【解答】解：由题意得：a＝9，b＝92﹣1＝80，

则＝＝3×4＝12，

故答案为：12．

15．【解答】解：根据题意得：

，

解得：n＝﹣3．

则m＝﹣．

则6m﹣3n＝6×（﹣）﹣3×（﹣3）＝5．

故答案为：5．

16．【解答】解：∵a﹣b＝2+，b﹣c＝2﹣，两式相加得，a﹣c＝4，

原式＝a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac

＝

＝

＝

＝

＝

＝15．

17．【解答】解：∵（﹣）（+）＝20﹣x﹣（4﹣x）＝16，

而﹣＝2，

∴+＝8，

∴2＝10，即＝5，

两边平方得20﹣x＝25，解得x＝﹣5，

经检验x＝﹣5为原方程的解，

∴原方程的解为x＝﹣5．

故答案为﹣5．

18．【解答】解：∵p＝﹣，q＝+，

∴p2+q2＝（﹣）2+（+）2＝16，

pq＝（﹣）（+）＝2，

则+＝＝＝．

故答案为：．

三．解答题（共4小题）

19．【解答】解：原式＝[﹣]×

＝[﹣]×

＝×

＝，

由题意得，x﹣2≠0，x+2≠0，x+1≠0，

则x≠2，x≠﹣2，x≠﹣1，

∴x＝4+2，

∴原式＝＝．

20．【解答】解：化简x与y得：x＝＝2n+1﹣2，y＝＝2n+1+2，

∴x+y＝4n+2，xy＝＝[（+）（﹣）]2＝1，

∴将xy＝1代入方程，化简得：x2+y2＝98，

∴（x+y）2＝x2+y2+2xy＝98+2×1＝100，

∴x+y＝10．

∴4n+2＝10，

解得n＝2．

21．【解答】解：（1）∵1++＝1+[﹣]2+2

＝1+2[﹣]+[﹣（）]2

＝[1+（﹣）]2，

﹣1＝1+﹣﹣1＝﹣；

（2）…

＝1+1﹣+1+﹣+1+﹣+…1+﹣

＝10﹣

＝9．

22．【解答】解：由已知可知＝a+b+c

所以120+540+144+2118＝（a+b+c）2

即120+540+144+2118＝2a2+3b2+5c2+2ab+2ac+2bc

所以

解得：

所以abc＝15×4×18＝1080．

答：abc的值是1080．