专题09 三角形问题-决胜2022中考数学压轴题全揭秘精品（解析版）

这是一份专题09 三角形问题-决胜2022中考数学压轴题全揭秘精品（解析版），共50页。

一、单选题
1．如图，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是( )秒

A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
【答案】D
【关键点拨】此题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握，此题涉及到动点，有一定的拔高难度，属于中档题．
2．已知等边△ABC中，在射线BA上有一点D，连接CD，并以CD为边向上作等边△CDE，连接BE和AE.试判断下列结论：①AE=BD； ②AE与AB所夹锐夹角为60°；③当D在线段AB或BA延长线上时，总有∠BDE-∠AED=2∠BDC；④∠BCD=90°时，CE2+AD2=AC2+DE2 .正确的序号有（ ）

A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】C
【解析】
∵∠BCA=∠DCE=60°，
∴∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD，
∴∠BCD=∠ACE，学科*网
又∵AC=BC，CE=CD，
∴△BCD≌△ACE，
∴AE=BD，∠CBA=∠CAE=60°，∠AEC=∠BDC，①正确，
∴∠BAE=120°，
∴∠EAD=60°，②正确，
∵∠BCD=90°，∠BCA=60°，
∴∠ACD=∠ADC=30°，
∴AC=AD，
∵CE=DE，
∴CE2+AD2=AC2+DE2，④正确，
当D点在BA延长线上时，∠BDE-∠BDC=60°，
∵∠AEC=∠BDC，
∴∠BDC+∠AED=∠AEC+∠AED=∠CED=60°，
∴∠BDE-∠BDC=∠BDC+∠AED
∴∠BDE-∠AED=2∠BDC，



故正确的结论有①②④，
故选C.学科*网
【关键点拨】
此题主要考查等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质等知识点的理解和掌握
3．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D，E是BC上的两点，且∠DAE=30°，将△AEC绕点A顺时针旋转120°后，得到△AFB，连接DF.下列结论中正确的个数有（　　）
①∠FBD=60°；②△ABE∽△DCA；③AE平分∠CAD；④△AFD是等腰直角三角形.

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B

∴∠BAD＋∠EAC＝120°−∠DAE＝90°，
∴∠ABC＋∠BAD＜90°，
∴∠ADC＜90°，
∴∠DAC＞60°，
∴∠EAC＞30°，
即∠DAE≠∠EAC，∴③错误；
∵将△AEC绕点A顺时针旋转120°后，得到△AFB，
∴AF＝AE，∠EAC＝∠BAF，
∵∠BAC＝120°，∠DAE＝30°，
∴∠BAD＋∠EAC＝90°，
∴∠DAB＋∠BAF＝90°，
【关键点拨】
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的外角性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，题目比较典型，但是有一定的难度．
4．如图，在等边三角形ABC中，在AC边上取两点M、N，使∠MBN＝30°．若AM＝m，MN＝x，CN＝n，则以x，m，n为边长的三角形的形状为（　　）

A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．随x，m，n的值而定
【答案】C
【解析】
将△ABM绕点B顺时针旋转60°得到△CBH．连接HN．

【关键点拨】
本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转的性质等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
5．如图，在等腰直角△ABC中，∠C=90°，点O是AB的中点，且AB=，将一块直角三角板的直角顶点放在点O处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与AC、BC相交，交点分别为D、E，则CD+CE=（ ）

A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】

6．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH、BE与相交于点G，以下结论中正确的结论有（　　）
（1）△ABC是等腰三角形；（2）BF＝AC；（3）BH：BD：BC＝1：：；（4）GE2+CE2＝BG2．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】
（1）∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵CD⊥AB，学*科网
∴∠ABE+∠A＝90°，∠CBE+∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠BCA，
∴AB＝BC，
∴△ABC是等腰三角形；
故（1）正确；

，
∴△BDF≌△CDA（AAS），
∴BF＝AC；
故（2）正确；
（3）∵在△BCD中，∠CDB＝90°，∠DBC＝45°，
∴∠DCB＝45°，
∴BD＝CD，BC＝BD．
由点H是BC的中点，
∴DH＝BH＝CH＝BC，
∴BD＝BH，
∴BH：BD：BC＝BH： BH：2BH＝1：：2．
故（3）错误；学*科网
（4）由（2）知：BF＝AC，
∵BF平分∠DBC，
∴∠ABE＝∠CBE，
又∵BE⊥AC，
∴∠AEB＝∠CEB，
在△ABE与△CBE中，


【关键点拨】
本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，平行线的性质，勾股定理,熟练掌握三角形全等的判定方法并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．学&科网
7．如图，∠AOB=30°，OC为∠AOB内部一条射线，点P为射线OC上一点，OP=4，点M、N分别为OA、OB边上动点，则△MNP周长的最小值为( )

A．2 B．4 C． D．
【答案】B
【解析】


【关键点拨】
本题考查了等边三角形的性质和判定，轴对称-最短路线问题的应用，正确作出辅助线，确定M、N的位置，证明△OP1P2是等边三角形是解题关键．
8．如图，，，，点D、E为BC边上的两点，且，连接EF、BF则下列结论：≌；≌；；，其中正确的有(    )个．

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D

②∵△AED≌△AEF,
∴AF=AD,
∵,
∴∠FAB=∠CAD,
∵AB=AC，
∴≌，②正确；
③∵∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠BAC-∠BAD=∠DAF-∠BAD，即∠CAD=∠BAF．
在△ACD与△ABF中，学科*网
，
∴△ACD≌△ABF（SAS），
∴CD=BF，
由①知△AED≌△AEF，
∴DE=EF．
在△BEF中，∵BE+BF＞EF，
∴BE+DC＞DE，③正确；
④由③知△ACD≌△ABF，
∴∠C=∠ABF=45°，
∵∠ABE=45°，
∴∠EBF=∠ABE+∠ABF=90°．④正确．
故答案为D．
【关键点拨】
本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角直角三角形的性质，三角形三边关系定理，相似三角形的判定，此题涉及的知识面比较广，解题时要注意仔细分析，有一定难度．
9．如图，四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D的角平分线恰相交于一点P，记△APD、△APB、△BPC、△DPC的面积分别为S1、S2、S3、S4，则有（　　）

A． B． C． D．
【答案】A


【关键点拨】
本题考查了角平分线性质定理,作高线和理解角平分线性质定理是解题关键.
10．如图，已知AD为△ABC的高线，AD=BC，以AB为底边作等腰Rt△ABE，连接ED，EC，延长CE交AD于F点，下列结论：①△ADE≌△BCE；②CE⊥DE；③BD=AF；④S△BDE=S△ACE，其中正确的有（　　）

A．①③ B．①②④ C．①②③④ D．①③④
【答案】C
③∵∠BDE=∠ADB+∠ADE，∠AFE=∠ADC+∠ECD，∴∠BDE=∠AFE．
∵∠BED+∠BEF=∠AEF+∠BEF=90°，∴∠BED=∠AEF．
在△AEF和△BED中，∵，∴△AEF≌△BED（AAS），∴BD=AF；故③正确；
④∵AD=BC，BD=AF，∴CD=DF．学科&网
∵AD⊥BC，∴△FDC是等腰直角三角形．
∵DE⊥CE，∴EF=CE，∴S△AEF=S△ACE．
∵△AEF≌△BED，∴S△AEF=S△BED，∴S△BDE=S△ACE．故④正确．
故选C．

【关键点拨】
本题考查了全等三角形的判定与性质，本题中求证△BFE≌△CDE是解题的关键．
11．如图，等边三角形ABC边长是定值，点O是它的外心，过点O任意作一条直线分别交AB，BC于点D，E．将△BDE沿直线DE折叠，得到△B′DE，若B′D，B′E分别交AC于点F，G，连接OF，OG，则下列判断错误的是（　　）

A．△ADF≌△CGE
B．△B′FG的周长是一个定值
C．四边形FOEC的面积是一个定值
D．四边形OGB'F的面积是一个定值
【答案】D
【解析】
A、连接OA、OC，


由折叠得：∠BDE=∠ODF=（∠DAF+∠AFD），
∴∠OFD+∠ODF=（∠FAD+∠ADF+∠DAF+∠AFD）=120°，
∴∠DOF=60°，
同理可得∠EOG=60°，
∴∠FOG=60°=∠DOF=∠EOG，
∴△DOF≌△GOF≌△GOE，
∴OD=OG，OE=OF，
∠OGF=∠ODF=∠ODB，∠OFG=∠OEG=∠OEB，
∴△OAD≌△OCG，△OAF≌△OCE，
∴AD=CG，AF=CE，
∴△ADF≌△CGE，
故选项A正确；
B、∵△DOF≌△GOF≌△GOE，
∴DF=GF=GE，

【关键点拨】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的性质和判定、角平分线的性质和判定、三角形和四边形面积及周长的确定以及折叠的性质，有难度，本题全等的三角形比较多，要注意利用数形结合，并熟练掌握三角形全等的判定，还要熟练掌握角平分线的逆定理的运用，证明FO平分∠DFG是本题的关键.
12．如图，点 D 是等腰直角 △ABC 腰 BC 上的中点，点B 、B′ 关于 AD 对称，且 BB′ 交AD 于 F，交 AC 于 E，连接 FC 、 AB′，下列说法：① ∠BAD=30°； ② ∠BFC=135°；③ AF=2B′ C；正确的个数是（）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B[来源:学科网ZXXK]
【解析】
∵点D是等腰直角△ABC腰BC上的中点，
∴BD=BC=AB，
∴tan∠BAD=，
∴∠BAD≠30°，故①错误；
如图，连接B'D，


∴BF=CB'=B'F，
∴△FCB'是等腰直角三角形，
∴∠CFB'=45°，即∠BFC=135°，故②正确；
由△ABF≌△BCB'，可得AF=BB'=2BF=2B'C，故③正确；
∵AF＞BF=B'C，
∴△AEF与△CEB'不全等，
∴AE≠CE，学&科网
∴S△AFE≠S△FCE，故④错误；
故选B．
【关键点拨】
本题主要考查了轴对称的性质以及全等三角形的判定与性质的运用，如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
13．如图，点E在△DBC的边DB上，点A在△DBC内部，∠DAE=∠BAC=90°，AD=AE，AB=AC．给出下列结论：
①BD=CE；②∠ABD+∠ECB=45°；③BD⊥CE；④BE2=2（AD2+AB2）﹣CD2．其中正确的是（　　）

A．①②③④ B．②④ C．①②③ D．①③④
【答案】A

【关键点拨】本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
14．如图，在△ABC中，P是BC上的点，作PQ∥AC交AB于点Q，分别作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R，S，若PR=PS，则下面三个结论：①AS=AR；②AQ=PQ；③△PQR≌△CPS；④AC﹣AQ=2SC，其中正确的是（　　）

A．②③④ B．①② C．①④ D．①②③④
【答案】B
【解析】
如图


【关键点拨】
本题主要考查三角形全等及三角形全等的性质.
15．如图，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE交于O，连结AO，则图中共有全等三角形的对数为（ ）

A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
【答案】C

∴△AOE≌△AOD（HL），
∴∠OAC=∠OAB，
∵∠B=∠C，AB=AC，∠OAC=∠OAB，
∴△AOC≌△AOB.（ASA）
∵∠B=∠C，BE=CD，∠ODC=∠OEB=90°，
∴△BOE≌△COD（ASA）．
综上：共有4对全等三角形，
故选C.学科*网
【关键点拨】
本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．做题时要从已知条件开始结合全等的判定方法逐一验证，由易到难，不重不漏．
二、填空题[来源:Z.xx.k.Com]
16．如图所示，已知：点A(0，0)，B（，0），C（0，1）在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…，则第个等边三角形的边长等于__________．

【答案】

【关键点拨】
本题主要考查等边三角形的性质及解直角三角形，从而归纳出边长的规律．
17．如图，∠MON=30°，点B1在边OM上，且OB1=2，过点B1作B1A1⊥OM交ON于点A1，以A1B1为边在A1B1右侧作等边三角形A1B1C1；过点C1作OM的垂线分别交OM、ON于点B2、A2，以A2B2为边在A2B2的右侧作等边三角形A2B2C2；过点C2作OM的垂线分别交OM、ON于点B3、A3，以A3B3为边在A3B3的右侧作等边三角形A3B3C3，…；按此规律进行下去，则△AnBn+1Cn的面积为__．（用含正整数n的代数式表示）

【答案】（）2n﹣2×

…，
△AnBn+1Cn的边长为（）n﹣1×，
∴△AnBn+1Cn的面积为×[（）n﹣1×]2=（）2n﹣2×，
故答案为：（）2n﹣2×.
【关键点拨】本题考查了含30度角的直角三角形的性质、等边三角形的面积公式、解直角三角形等知识，熟练掌握相关性质得出等边三角形的边长的规律是解题的关键.
18．如图，已知等边△ABC的边长是2，以BC边上的高AB1为边作等边三角形，得到第一个等边△AB1C1；再以等边△AB1C1的B1C1边上的高AB2为边作等边三角形，得到第二个等边△AB2C2；再以等边△AB2C2的B2C2边上的高AB3为边作等边三角形，得到第三个等边△AB3C3；…，记△B1CB2的面积为S1，△B2C1B3的面积为S2，△B3C2B4的面积为S3，如此下去，则Sn=_____．

【答案】

【关键点拨】本题考查了规律题，涉及等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等，有一定难度，熟练掌握并灵活运用等边三角形的性质、勾股定理等解本题的关键．
19．如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，C是OB的中点，D是AB上一点，四边形OEDC是菱形，则△OAE的面积为________．

【答案】

∴A(,0);
∴OA=,
设D(x,) ,
∴E(x,- x+2),
延长DE交OA于点F，
∴EF=-x+2,OF=x,[来源:学科网]
在Rt△OEF中利用勾股定理得：,
解得 ：x1=0(舍），x2=；学*科网
∴EF=1,
∴S△AOE=·OA·EF=2.
故答案为：.
【关键点拨】 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数y=kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（-，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．也考查了菱形的性质.
20．如图，等腰△ABC中，CA=CB=4，∠ACB=120°，点D在线段AB上运动（不与A、B重合），将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ，给出下列结论：
①CD=CP=CQ；
②∠PCQ的大小不变；
③△PCQ面积的最小值为；
④当点D在AB的中点时，△PDQ是等边三角形，其中所有正确结论的序号是 ．

【答案】①②④．
③如图，过点Q作QE⊥PC交PC延长线于E，∵∠PCQ=120°，∴∠QCE=60°，在Rt△QCE中，tan∠QCE=，∴QE=CQ×tan∠QCE=CQ×tan60°=CQ，∵CP=CD=CQ，∴S△PCQ=CP×QE=CP×CQ=，∴CD最短时，S△PCQ最小，即：CD⊥AB时，CD最短，过点C作CF⊥AB，此时CF就是最短的CD，∵AC=BC=4，∠ACB=120°，∴∠ABC=30°，∴CF=BC=2，即：CD最短为2，∴S△PCQ最小===，∴③错误；

④∵将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ，∴AD=AP，∠DAC=∠PAC，∵∠DAC=30°，∴∠APD=60°，∴△APD是等边三角形，∴PD=AD，∠ADP=60°，同理：△BDQ是等边三角形，∴DQ=BD，∠BDQ=60°，∴∠PDQ=60°，∵当点D在AB的中点，∴AD=BD，∴PD=DQ，∴△DPQ是等边三角形，∴④正确，故答案为：①②④．
21．如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重叠部分；…；将余下部分沿∠BnAnC的平分线AnBn+1折叠，点Bn与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，我们就称∠BAC是△ABC的好角.

（1）如图2，在△ABC中，∠B>∠C，若经过两次折叠，∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C的等量关系是_______；
（2）如果一个三角形的最小角是20°，则此三角形的最大角为______时，该三角形的三个角均是此三角形的好角。
【答案】 140°、120°或80°

（2）如图：∵根据折叠的性质知，∠B=∠AA1B1，∠C=∠A2B2C，∠A1B1C=∠A1A2B2，
∴根据三角形的外角定理知，∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；
∵根据四边形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA1B1-∠A1B1C=∠BAC+2∠B-2∠C=180°，
根据三角形ABC的内角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴∠B=3∠C；

【关键点拨】
本题考查了翻折变换（折叠问题）．充分利用三角形内角和定理、三角形外角定理以及折叠的性质是解题关键．
22．如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC＝10，则PQ的长________．

【答案】3
【解析】
∠ABC的平分线垂直于AE，∠ACB的平分线垂直于AD 分别是 的中点。
△ABC的周长为26, BC=10 则PQ=3.
23．如图，在等边△ABC中，AB＝6，AN＝2，∠BAC的平分线交BC于点D，M是AD上的动点，则BM+MN的最小值是_____．

【答案】2
【解析】
连接CN，与AD交于点M．则CN就是BM+MN的最小值．取BN中点E，连接DE，如图所示：


∴MN是△ADE的中位线，
∴DE＝2MN，
∴CN＝2DE＝4MN，
∴CM＝CN．
在直角△CDM中，CD＝BC＝3，DM＝AD＝，
∴CM＝，
∴CN＝．
∵BM+MN＝CN，学科&网
∴BM+MN的最小值为2．
故答案是：2．
【关键点拨】
考查等边三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用．
24．如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则△ABC的面积为______

【答案】

∴BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，
∴△BPE为等边三角形，
∴PE=PB=4，∠BPE=60°，[来源:学+科+网Z+X+X+K]
在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，
∴AE2=PE2+PA2，
∴△APE为直角三角形，且∠APE=90°，
∴∠APB=90°+60°=150°，
∴∠APF=30°，
∴在直角△APF中，AF=AP=，PF=AP=，
∴在直角△ABF中，AB2=BF2+AF2=（4+）2+（）2=25+12，
则△ABC的面积是•AB2=•（25+12）=9+，
故答案为：9+．
【关键点拨】
本题考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．
25．在中，，平分，平分，相交于点，且，则__________．

【答案】

在Rt△AHF中，AH2+HF2=AF2，
即+2-a2=16，
∴a=，学科*网
∴CH=FH=，
∴AC=AE+EH+HC=，
故答案为：.

【关键点拨】本题考查了角平分线的性质，勾股定理的应用等，综合性质较强，正确添加辅助线是解题的关键.
三、解答题
26．将一副三角尺按图1摆放，等腰直角三角尺的直角边DF恰好垂直平分AB，与AC相交于点G，．
（1）求GC的长；
（2）如图2，将△DEF绕点D顺时针旋转，使直角边DF经过点C，另一直角边DE与AC相交于点H，分别过H、C作AB的垂线，垂足分别为M、N，通过观察，猜想MD与ND的数量关系，并验证你的猜想．
（3）在（2）的条件下，将△DEF沿DB方向平移得到△D′E′F′，当D′E′恰好经过（1）中的点G时，请直接写出DD′的长度．

【答案】（1）2；（2）DM=DN；（3）
【解析】
（1）如图1．



（3）如图3中，作GK∥DE交AB由K．

在△AGK中，AG=GK=4，∠A=∠GKD=30°，作GH⊥AB于H．
则AH=AG•cos30°=2，可得AK=2AH=4，此时K与B重合，∴DD′=DB=2．
【关键点拨】
本题考查了几何变换综合题、旋转变换平移变换、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．
27．（1）如图1，已知EK垂直平分BC，垂足为D，AB与EK相交于点F，连接CF．求证：∠AFE=∠CFD．
（2）如图2，在Rt△GMN中，∠M=90°，P为MN的中点．
①用直尺和圆规在GN边上求作点Q，使得∠GQM=∠PQN（保留作图痕迹，不要求写作法）；
②在①的条件下，如果∠G=60°，那么Q是GN的中点吗？为什么？

【答案】(1)证明见解析；（2）①作图见解析；②结论：是的中点．理由见解析.
【解析】
（1）如图1中，


（2）①作点关于的对称点，连接交于，连接，点即为所求．

理由：垂直平分，
，，
，
，
点即为所求．
②结论：是的中点．
理由：设交于．
，，
，
，
，

【关键点拨】
考查作图-复杂作图、线段的垂直平分线的性质、直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.
28．在等腰△ABC中，∠B=90°，AM是△ABC的角平分线，过点M作MN⊥AC于点N，∠EMF=135°．将∠EMF绕点M旋转，使∠EMF的两边交直线AB于点E，交直线AC于点F，请解答下列问题：
（1）当∠EMF绕点M旋转到如图①的位置时，求证：BE+CF=BM；
（2）当∠EMF绕点M旋转到如图②，图③的位置时，请分别写出线段BE，CF，BM之间的数量关系，不需要证明；
（3）在（1）和（2）的条件下，tan∠BEM=，AN=+1，则BM=　 　，CF=　 　．

【答案】（1）证明见解析（2）见解析（3）1，1+或1﹣

（2）针对图2，同（1）的方法得，△BME≌△NMF，
∴BE=NF，学&科网
∵MN⊥AC，∠C=45°，
∴∠CMN=∠C=45°，
∴NC=NM=BM，
∵NC=NF﹣CF，
∴BE﹣CF=BM；
针对图3，同（1）的方法得，△BME≌△NMF，
∴BE=NF，
∵MN⊥AC，∠C=45°，
∴∠CMN=∠C=45°，
∴NC=NM=BM，
∵NC=CF﹣NF，
∴CF﹣BE=BM；

∴①由（1）知，如图1，BE+CF=BM，
∴CF=BM﹣BE=1﹣
②由（2）知，如图2，由tan∠BEM=，
∴此种情况不成立；
③由（2）知，如图3，CF﹣BE=BM，
∴CF=BM+BE=1+，
故答案为1，1+或1﹣．
【关键点拨】
本题考查三角函数与旋转与三角形全等的综合，难度较大，需综合运用所学知识求解.
29．如图，在Rt△BCD中，∠CBD=90°，BC=BD，点A在CB的延长线上，且BA=BC，点E在直线BD上移动，过点E作射线EF⊥EA，交CD所在直线于点F．

（1）当点E在线段BD上移动时，如图（1）所示，求证：AE=EF；
（2）当点E在直线BD上移动时，如图（2）、图（3）所示，线段AE与EF又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．
【答案】（1）证明见解析；（2）AE=EF，证明见解析.
【解析】
（1）如图1中，在BA上截取BH，使得BH=BE．


∴△AHE≌△EDF，
∴AE=EF．
（2）如图2中，在BC上截取BH=BE，同法可证：AE=EF

如图3中，在BA上截取BH，使得BH=BE．同法可证：AE=EF．

【关键点拨】
本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．学科*网
30．如图，△ABC中，AB=BC，BD⊥AC于点D，∠FAC=∠ABC，且∠FAC在AC下方．点P，Q分别是射线BD，射线AF上的动点，且点P不与点B重合，点Q不与点A重合，连接CQ，过点P作PE⊥CQ于点E，连接DE．

（1）若∠ABC=60°，BP=AQ．
①如图1，当点P在线段BD上运动时，请直接写出线段DE和线段AQ的数量关系和位置关系；
②如图2，当点P运动到线段BD的延长线上时，试判断①中的结论是否成立，并说明理由；
（2）若∠ABC=2α≠60°，请直接写出当线段BP和线段AQ满足什么数量关系时，能使（1）中①的结论仍然成立（用含α的三角函数表示）．
【答案】（1）①DE=AQ，DE∥AQ，理由见解析；② E∥AQ，DE=AQ，理由见解析；（2）AQ=2BP•sinα，理由见解析.

在△BPC和△AQC中，，
∴△BPC≌△AQC（SAS），
∴PC=QC，∠BPC=∠ACQ，
∴∠PCQ=∠PCA+∠AQC=∠PCA+∠BCP=∠ACB=60°，
∴△PCQ是等边三角形，
∵PE⊥CQ，
∴CE=QE，
∵AD=CD，
∴DE=AQ，DE∥AQ；
②DE∥AQ，DE=AQ，
理由：如图2，连接PQ，PC，
同①的方法得出DE∥AQ，DE=AQ；

∴以点P为圆心，PA为半径的圆必过A，Q，C，
∴∠APQ=2∠ACQ，
∵PA=PQ，
∴∠PAQ=∠PQA=（180°﹣∠APQ）=90°﹣∠ACQ，
∵∠CAF=∠ABD，∠ABD+∠BAD=90°，
∴∠BAQ=90°，
∴∠BAP=90°﹣∠PAQ=90°﹣∠ACQ，
易知，∠BCP=∠BAP，
∴∠BCP=∠ACQ，
∵∠CBP=∠CAQ，
∴△BPC∽△AQC，
∴，
在Rt△BCD中，sinα=，
∴=2×=2sinα，
∴AQ=2BP•sinα．

【关键点拨】
本题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，判断出∠BCP=∠ACQ是解本题的关键．
31．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．
（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系；
（2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由
（3）若|CF﹣AE|=2，EF=2，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长．

【答案】（1）OF =OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由见解析；（3）OP的长为或.
【解析】
（1）如图1中，延长EO交CF于K，

∵AE⊥BE，CF⊥BE，∴AE∥CK，∴∠EAO=∠KCO，
∵OA=OC，∠AOE=∠COK，∴△AOE≌△COK，∴OE=OK，
∵△EFK是直角三角形，∴OF=EK=OE；
（2）如图2中，延长EO交CF于K，


（3）如图3中，点P在线段AO上，延长EO交CF于K，作PH⊥OF于H，

∵|CF﹣AE|=2，EF=2，AE=CK，∴FK=2，
在Rt△EFK中，tan∠FEK=，∴∠FEK=30°，∠EKF=60°，
∴EK=2FK=4，OF=EK=2，学*科网
∵△OPF是等腰三角形，观察图形可知，只有OF=FP=2，
在Rt△PHF中，PH=PF=1，HF=，OH=2﹣，
∴OP=.


【关键点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形等，综合性较强，正确添加辅助线是解题的关键.
32．如图，在△ABC中，AB=7.5，AC=9，S△ABC=．动点P从A点出发，沿AB方向以每秒5个单位长度的速度向B点匀速运动，动点Q从C点同时出发，以相同的速度沿CA方向向A点匀速运动，当点P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动，以PQ为边作正△PQM（P、Q、M按逆时针排序），以QC为边在AC上方作正△QCN，设点P运动时间为t秒．
（1）求cosA的值；
（2）当△PQM与△QCN的面积满足S△PQM=S△QCN时，求t的值；
（3）当t为何值时，△PQM的某个顶点（Q点除外）落在△QCN的边上．

【答案】（1）coaA=；（2）当t=时，满足S△PQM=S△QCN；（3）当t=s或s时，△PQM的某个顶点（Q点除外）落在△QCN的边上．
【解析】
（1）如图1中，作BE⊥AC于E．


（2）如图2中，作PH⊥AC于H．

∵PA=5t，PH=3t，AH=4t，HQ=AC-AH-CQ=9-9t，
∴PQ2=PH2+HQ2=9t2+（9-9t）2，
∵S△PQM=S△QCN，
∴•PQ2=•CQ2，
∴9t2+（9-9t）2=×（5t）2，
整理得：5t2-18t+9=0，
解得t=3（舍弃）或．
∴当t=时，满足S△PQM=S△QCN．
（3）①如图3中，当点M落在QN上时，作PH⊥AC于H．


②如图4中，当点M在CQ上时，作PH⊥AC于H．

同法可得PH=QH，
∴3t=（9t-9），
∴t=，
综上所述，当t=s或s时，△PQM的某个顶点（Q点除外）落在△QCN的边上．
【关键点拨】本题考查三角形综合题、等边三角形的性质、勾股定理锐角三角函数、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
33．阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：
如图1，△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB上，且∠BAC=2∠DCB，求证：AC=AD．
小明发现，除了直接用角度计算的方法外，还可以用下面两种方法：
方法1：如图2，作AE平分∠CAB，与CD相交于点E．
方法2：如图3，作∠DCF=∠DCB，与AB相交于点F．[来源:学科网]
（1）根据阅读材料，任选一种方法，证明AC=AD．
用学过的知识或参考小明的方法，解决下面的问题：
（2）如图4，△ABC中，点D在AB上，点E在BC上，且∠BDE=2∠ABC，点F在BD上，且∠AFE=∠BAC，延长DC、FE，相交于点G，且∠DGF=∠BDE．
①在图中找出与∠DEF相等的角，并加以证明；
②若AB=kDF，猜想线段DE与DB的数量关系，并证明你的猜想．

【答案】（1）证明见解析；（2）∠DEF=∠FDG，证明见解析；②结论：BD=k•DE．理由见解析.
【解析】
（1）方法一：如图2中，作AE平分∠CAB，与CD相交于点E．


∴△AEC≌△AED，
∴AC=AD；
方法二：如图3中，作∠DCF=∠DCB，与AB相交于点F．


（2）①如图4中，结论：∠DEF=∠FDG．
理由：在△DEF中，∠DEF+∠EFD+∠EDF=180°，
在△DFG中，∠GFD+∠G+∠FDG=180°，
∵∠EFD=∠GFD，∠G=∠EDF，
∴∠DEF=∠FDG．
②结论：BD=k•DE，学*科网
理由：如图4中，如图延长AC到K，使得∠CBK=∠ABC，

∵∠ABK=2∠ABC，∠EDF=2∠ABC，

【关键点拨】本题考查三角形综合题、三角形内角和定理、三角形外角的性质、全等三角形的判定和性质．相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
34．已知：△ABC和△ADE均为等边三角形，连接BE，CD，点F，G，H分别为DE，BE，CD中点．
（1）当△ADE绕点A旋转时，如图1，则△FGH的形状为 ，说明理由；
（2）在△ADE旋转的过程中，当B，D，E三点共线时，如图2，若AB=3，AD=2，求线段FH的长；
（3）在△ADE旋转的过程中，若AB=a，AD=b（a＞b＞0），则△FGH的周长是否存在最大值和最小值，若存在，直接写出最大值和最小值；若不存在，说明理由．

【答案】（1）△FGH是等边三角形；（2）；（3）△FGH的周长最大值为（a+b），最小值为（a﹣b）．
【解析】
（1）结论：△FGH是等边三角形．理由如下：
如图1中，连接BD、CE，延长BD交CE于M，设BM交FH于点O．

（2）如图2中，连接AF、EC．

易知AF⊥DE，在Rt△AEF中，AE=2，EF=DF=1，∴AF==，在Rt△ABF中，BF= =，∴BD=CE=BF﹣DF=，∴FH=EC=．
（3）存在．理由如下．学&科网
由（1）可知，△GFH是等边三角形，GF=BD，∴△GFH的周长=3GF=BD，在△ABD中，AB=a，AD=b，∴BD的最小值为a﹣b，最大值为a+b，∴△FGH的周长最大值为（a+b），最小值为（a﹣b）．
【关键点拨】本题考查等边三角形的性质．全等三角形的判定和性质、解直角三角形、三角形的三边关系、三角形的中位线的宽等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找全等三角形解决问题，学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考压轴题．
35．如图，△OAB是边长为2+的等边三角形，其中O是坐标原点，顶点B在y轴正方向上，将△OAB折叠，使点A落在边OB上，记为A′，折痕为EF．
（1）当A′E∥x轴时，求点A′和E的坐标；
（2）当A′E∥x轴，且抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A′和E时，求抛物线与x轴的交点的坐标；
（3）当点A′在OB上运动，但不与点O、B重合时，能否使△A′EF成为直角三角形？若能，请求出此时点A′的坐标；若不能，请你说明理由．

【答案】（1）A′、E的坐标分别是（0，1）与（，1）；（2）与x轴的两个交点坐标分别是（-，0）与（2，0）；（3）不可能使△A′EF成为直角三角形，理由见解析.

（2）因为A′、E在抛物线上，
所以，
所以，
函数关系式为y=-x2+x+1，
令y=0得到：-x2+x+1=0，
解得：x1=-，x2=2，
与x轴的两个交点坐标分别是（−，0）与（2，0）．

【关键点拨】本题考查了一次函数综合题．解题时利用了待定系数法求一次函数的解析式、等边三角形的判定与性质、菱形的性质等知识点，综合性比较强．