专题06 反比例函数问题-决胜2022中考数学压轴题全揭秘精品（解析版）

这是一份专题06 反比例函数问题-决胜2022中考数学压轴题全揭秘精品（解析版），共55页。试卷主要包含了如图，点C在反比例函数y=，如图，点A在双曲线y═等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知反比例函数的解析式为，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【答案】C

【关键点拨】
本题考核知识点：反比例函数定义. 解题关键点：理解反比例函数定义.
2．如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB=30°，若点A在反比例函数y=（x＞0）的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为（　　）

A．y=﹣ B．y=﹣ C．y=﹣ D．y=
【答案】C
【解析】
过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，
∵∠BOA=90°，学科*网
∴∠BOC+∠AOD=90°，
∵∠AOD+∠OAD=90°，
∴∠BOC=∠OAD，
又∵∠BCO=∠ADO=90°，


【关键点拨】
此题主要考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数数的几何意义，正确得出S△AOD=2是解题关键．
3．如图，点C在反比例函数y=（x>0）的图象上，过点C的直线与x轴，y轴分别交于点A，B，且AB=BC，△AOB的面积为1，则k的值为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】
过点C作轴，


【点评】考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握待定系数法是解题的关键.
4．如图，点A在双曲线y═（x＞0）上，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，分别以点O和点A为圆心，大于OA的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点，作直线DE交x轴于点C，交y轴于点F（0，2），连接AC．若AC=1，则k的值为（　　）

A．2 B． C． D．
【答案】B
【解析】
如图，设OA交CF于K．


【关键点拨】本题考查作图-复杂作图，反比例函数图象上的点的坐标特征，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．学科*网
5．已知关于的方程有唯一实数解，且反比例函数的图象在每个象限内随的增大而增大，那么反比例函数的关系式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
关于x的方程（x+1）2+（x-b）2=2化成一般形式是：2x2+（2-2b）x+（b2-1）=0，
△=（2-2b）2-8（b2-1）=-4（b+3）（b-1）=0，
解得：b=-3或1，
∵反比例函数y＝的图象在每个象限内y随x的增大而增大，
∴1+b＜0，
∴b＜-1，
∴b=-3，
则反比例函数的解析式是：y=，即y=-，
故选D．学*科网
【关键点拨】
本题考查了反比例函数的性质、一元二次方程根的判别式，正确利用判别式求得b的值是关键．
6．在同一平面直角坐标系中，反比例函数y（b≠0）与二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象大致是（　　）

【答案】D
【关键点拨】
本题考查了反比例函数的图象以及二次函数的图象，要熟练掌握二次函数，反比例函数中系数与图象位置之间关系．
7．如图，平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别落在x、y轴上，点B坐标为（6，4），反比例函数的图象与AB边交于点D，与BC边交于点E，连结DE，将△BDE沿DE翻折至△B'DE处，点B'恰好落在正比例函数y=kx图象上，则k的值是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B

8．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y1=kx+b（k、b是常数，且k≠0）与反比例函数y2=（c是常数，且c≠0）的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）两点，则不等式y1＞y2的解集是（　　）

A．﹣3＜x＜2 B．x＜﹣3或x＞2 C．﹣3＜x＜0或x＞2 D．0＜x＜2
【答案】C
【关键点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合是解题的关键．
9．如图，菱形ABCD的边AD⊥y轴，垂足为点E，顶点A在第二象限，顶点B在y轴的正半轴上，反比例函数y=（k≠0，x＞0）的图象同时经过顶点C，D．若点C的横坐标为5，BE=3DE，则k的值为（　　）

A． B．3 C． D．5
【答案】C

在Rt△DFC中，
DF2+FC2=DC2，
∴（3x）2+（5-x）2=52，
∴解得x=1，
∴DE=1，FD=3，
设OB=a，
则点D坐标为（1，a+3），点C坐标为（5，a），
∵点D、C在双曲线上，
∴1×（a+3）=5a，
∴a=，
∴点C坐标为（5，）
∴k=.
故选C．
【关键点拨】
本题是代数几何综合题，考查了数形结合思想和反比例函数k值性质．解题关键是通过勾股定理构造方程．
10．如图，一次函数y=2x与反比例函数y=（k＞0）的图象交于A，B两点，点P在以C（﹣2，0）为圆心，1为半径的⊙C上，Q是AP的中点，已知OQ长的最大值为，则k的值为（　　）

A． B． C． D．
【答案】C

∵CP=1，
∴BC=2，
∵B在直线y=2x上，
设B（t，2t），则CD=t﹣（﹣2）=t+2，BD=﹣2t，
在Rt△BCD中，由勾股定理得： BC2=CD2+BD2，
∴22=（t+2）2+（﹣2t）2，
t=0（舍）或t=﹣，
∴B（﹣，﹣），
∵点B在反比例函数y=（k＞0）的图象上，
∴k=﹣×（-）=，学*科网
故选C．

【关键点拨】
本题考查的是代数与几何综合题，涉及了反比例函数图象上点的坐标特征，中位线定理，圆的基本性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，确定出BP过点C时OQ有最大值是解题的关键.
11．如图，直线y=﹣x与反比例函数y=的图象交于A，B两点，过点B作BD∥x轴，交y轴于点D，直线AD交反比例函数y=的图象于另一点C，则的值为（　　）

A．1：3 B．1：2 C．2：7 D．3：10
【答案】A
【解析】
联立直线AB及反比例函数解析式成方程组，，

联立直线AD及反比例函数解析式成方程组，，
解得：，，
∴点C的坐标为（﹣，2）．
∴，
故选A．
【关键点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、两点间的距离公式以及待定系数法求一次函数解析式，联立直线与反比例函数解析式成方程组，通过解方程组求出点A、B、C的坐标是解题的关键．
12．如图，曲线C2是双曲线C1：y=（x＞0）绕原点O逆时针旋转45°得到的图形，P是曲线C2上任意一点，点A在直线l：y=x上，且PA=PO，则△POA的面积等于（　　）

A． B．6 C．3 D．12
【答案】B


故选：B．
【关键点拨】本题为反比例函数综合题，考查了反比例函数的轴对称性以及反比例函数比例系数k的几何意义．学&科网
13．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A、C分别在x轴、y轴上，反比例函数y=（k≠0，x＞0）的图象与正方形OABC的两边AB、BC分别交于点M、N，ND⊥x轴，垂足为D，连接OM、ON、MN，则下列选项中的结论错误的是（　　）

A．△ONC≌△OAM
B．四边形DAMN与△OMN面积相等
C．ON=MN
D．若∠MON=45°，MN=2，则点C的坐标为（0，+1）
【答案】C

而S△OND+S四边形DAMN=S△OAM+S△OMN，
∴四边形DAMN与△MON面积相等，
∴B正确；
∵△OCN≌△OAM，
∴ON=OM，
∵k的值不能确定，
∴∠MON的值不能确定，
∴△ONM只能为等腰三角形，不能确定为等边三角形，
∴ON≠MN，
∴C错误；[来源:学科网ZXXK]
作NE⊥OM于E点，如图所示：


∴BN=MN=，
设正方形ABCO的边长为a，则OC=a，CN=a-，
在Rt△OCN中，∵OC2+CN2=ON2，
∴a2+（a-）2=4+2，解得a1=+1，a2=-1（舍去），
∴OC=+1，学*科网
∴C点坐标为（0，+1），
∴D正确．
故选：C．
【关键点拨】本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、比例系数的几何意义和正方形的性质；本题难度较大，综合性强；熟练运用勾股定理和等腰直角三角形的性质进行推理计算．
14．如图，∠AOB=90°，且OA、OB分别与反比例函数y=（x＞0）、y=﹣（x＜0）的图象交于A、B两点，则tan∠OAB的值是（　　）

A． B． C．1 D．
【答案】A

∴tan∠OAB=．
故选A．
【关键点拨】
本题是反比例函数综合题，涉及的知识有相似三角形的判定与性质、反比例函数k的几何意义，证明△OBD∽△AOC是解决本题的关键．学&科网
15．如图，是函数上两点，为一动点，作轴，轴，下列说法正确的是( )

①；②；③若，则平分；④若，则
A．①③ B．②③ C．②④ D．③④
【答案】B

S△ABP=AP•BP==8，
故④错误，
综上，正确的为②③，
故选B.

【关键点拨】本题考查了反比例函数的综合题，正确添加辅助线、熟知反比例函数k的几何意义是解题的关键.
16．如图，P为反比例函数y=（k＞0）在第一象限内图象上的一点，过点P分别作x轴，y轴的垂线交一次函数y=﹣x﹣4的图象于点A、B．若∠AOB=135°，则k的值是（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D

【关键点拨】本题主要考查了相似三角形的判定与性质及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是正确作出辅助线，构造相似三角形．
二、填空题
17．如图，矩形OABC的边OA，OC分别在轴、轴上，点B在第一象限，点D在边BC上，且∠AOD=30°，四边形OA′B′D与四边形OABD关于直线OD对称（点A′和A，B′和B分别对应），若AB=1，反比例函数的图象恰好经过点A′，B，则的值为_________．

【答案】
【解析】
∵四边形ABCO是矩形，AB=1，

∴A′（m，m），
∵反比例函数y=（k≠0）的图象恰好经过点A′，B，
∴m•m=m，
∴m=，
∴k=．

18．如图，点A是反比例函数y=（x＞0）图象上一点，直线y=kx+b过点A并且与两坐标轴分别交于点B，C，过点A作AD⊥x轴，垂足为D，连接DC，若△BOC的面积是4，则△DOC的面积是______．

【答案】2﹣2．
【解析】

∴b2=8k，
∴k=①
∴AD⊥x轴，
∴OC∥AD，
∴△BOC∽△BDA，
∴，
∴，
∴a2k+ab=4②，
联立①②得，ab=﹣4﹣4（舍）或ab=4﹣4，
∴S△DOC=OD•OC=ab=2﹣2.
故答案为：2﹣2．
【关键点拨】
此题主要考查了坐标轴上点的特点，反比例函数上点的特点，相似三角形的判定和性质，得出a2k+ab=4是解本题的关键．
19．已知直线 y=ax（a≠0）与反比例函数 y=（k≠0）的图象一个交点 坐标为（2，4），则它们另一个交点的坐标是_____．
【答案】（﹣2，﹣4）

【关键点拨】
本题考查了正比例函数与反比例函数的交点问题，熟知正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称的知识是解答此题的关键．
20．在平面直角坐标系中，四边形AOBC为矩形，且点C坐标为（8,6），M为BC中点，反比例函数（k是常数，k≠0） 的图象经过点M，交AC于点N，则MN的长度是________.

【答案】5
【解析】
由四边形AOBC为矩形，且点C坐标为（8，6），M为BC中点，得
M（8，3），N点的纵坐标是6．学&科网
将M点坐标代入函数解析式，得
k=8×3=24，
反比例函数的解析是为y=，
当y=6时，=6，解得x=4，N（4，6），
NC=8-4=4，CM=6-3=3，
MN=.
故答案是：5.
【关键点拨】
考查了矩形的性质，利用矩形的性质得出M点坐标是解题关键，又利用了待定系数法求函数解析式，自变量与函数值的对应关系求出N点坐标，勾股定理求MN的长．
21．如图，反比例函数y=的图象经过▱ABCD对角线的交点P，已知点A，C，D在坐标轴上，BD⊥DC，▱ABCD的面积为6，则k=_____．

【答案】-3

∵P为对角线交点，PE⊥y轴
∴四边形PDOE为矩形面积为3
即DO•EO=3
∴设P点坐标为（x，y）
k=xy=﹣3
故答案为：﹣3
【关键点拨】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义以及平行四边形的性质．
22．如图，直线AB与双曲线y=（k＜0）交于点A，B，点P是直线AB上一动点，且点P在第二象限．连接PO并延长交双曲线于点C．过点P作PD⊥y轴，垂足为点D．过点C作CE⊥x轴，垂足为E．若点A的坐标为（﹣2，3），点B的坐标为（m，1），设△POD的面积为S1，△COE的面积为S2，当S1＞S2时，点P的横坐标x的取值范围为__．

【答案】﹣6＜x＜﹣2．[来源:Z,xx,k.Com]

【关键点拨】本题考查反比例函数的性质、三角形的面积、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
23．如图，矩形OABC的边AB与x轴交于点D，与反比例函数(k>0)在第一象限的图像交于点E，∠AOD=30°，点E的纵坐标为1，ΔODE的面积是，则k的值是________

【答案】

∵四边形OABC是矩形，且∠AOD=30°,
∴∠DEF=30°,
∴DF=
∴OF=3，所以点E的坐标为（3，1），
把点E的坐标代入反比例函数的解析式，可得k=3.
故答案为3.学&科网
【关键点拨】本题是正方形和反比例函数的综合试题，解题过程中涉及解直角三角形，确定反比例函数的解析式等，确定点E的坐标是解题关键.
24．以矩形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点，以平行于两边的方向为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系，BE⊥AC，垂足为E．若双曲线y=（x＞0）经过点D，则OB•BE的值为___．

【答案】3

【关键点拨】
本题主要考查反比例函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是掌握反比例函数系数k的几何意义及矩形的性质．
25．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=（k＞0）的图象与半径为5的⊙O交于M、N两点，△MON的面积为3.5，若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是_____．

【答案】5

∴ac=，
同理：bd=，
∴ac﹣bd=﹣=[（c2+d2）﹣（a2+b2）]=0，
∵M（a，b），N'（c，﹣d），学科&网
∴MN'2=（a﹣c）2+（b+d）2=a2+b2+c2+d2﹣2ac+2bd=a2+b2+c2+d2﹣2（ac﹣bd）=50，
∴MN'=5，
故答案为：5．

【关键点拨】本题考查了反比例函数图象与圆的综合，反比例函数图象上点的坐标特征，同圆的半径相等、最值问题等，综合性较强，有一定的难度，熟练掌握和灵活应用相关知识是解题的关键.
26．设双曲线与直线交于，两点（点在第三象限），将双曲线在第一象限的一支沿射线的方向平移，使其经过点，将双曲线在第三象限的一支沿射线的方向平移，使其经过点，平移后的两条曲线相交于点，两点，此时我们称平移后的两条曲线所围部分（如图中阴影部分）为双曲线的“眸”，为双曲线的“眸径”.当双曲线的眸径为6时，的值为__________.

【答案】
【解析】
以PQ为边，作矩形PQQ′P′交双曲线于点P′、Q′，如图所示．


【关键点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质以及解一元一次方程，利用矩形的性质结合函数图象找出点P′的坐标是解题的关键．
27．如图，已知等边△，顶点在双曲线上，点的坐标为．过作交双曲线于点，过作交轴于点，得到第二个等边△；过作交双曲线于点，过作交轴于点，得到第三个等边△；以此类推，，则点的坐标为__．

【答案】（2，0）．

解得，（不符题意舍去），
，
点B2的坐标为；学&科网
作轴于点D，设B2D=b，则，
，．
点A3在双曲线上，
，
解得，（不符题意舍去），
，
点B3的坐标为；
同理可得点B4坐标为；
以此类推，
点Bn的坐标为，
点B6的坐标为．
故答案为．
【关键点拨】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质等知识. 正确求出、、的坐标进而得出点Bn的规律是解题的关键．[来源:学科网]
28．如图，矩形ABCD的顶点A，B在x轴上，且关于y轴对称，反比例函数y=（x＞0）的图象经过点C，反比例函数y=（x＜0）的图象分别与AD，CD交于点E，F，若S△BEF=7，k1+3k2=0，则k1等于_____．

【答案】9

S△ABE=，
∵S△BEF=7，
∴2k1+﹣+k2=7，
又∵k2=﹣k1，
∴k1+×（﹣）=7，
∴k1=9
故答案为：9
【关键点拨】本题是反比例函数综合题，解题关键是设出点B坐标继而表示出相关各点，应用面积的割补法构造方程．学*科网
三、解答题
29．已知反比例函数的图象经过三个点A（﹣4，﹣3），B（2m，y1），C（6m，y2），其中m＞0．
（1）当y1﹣y2=4时，求m的值；
（2）如图，过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两垂线相交于点D，点P在x轴上，若三角形PBD的面积是8，请写出点P坐标（不需要写解答过程）．

【答案】（1）m=1；（2）点P坐标为（﹣2m，0）或（6m，0）．

∴y1==，y2==，
∵y1﹣y2=4，
∴﹣=4，
∴m=1；

【关键点拨】
本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，正确求出双曲线的解析式是解题的关键．
30．如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b(k≠0)与反比例函数y=(m≠0)的图象交于第二、四象限A、B两点，过点A作AD⊥x轴于D，AD=4，sin∠AOD=，且点B的坐标为(n,-2)．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）E是y轴上一点，且△AOE是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的E点坐标．

【答案】（1）；（2）当点E(0,8)或(0,5)或(0,-5)或(0,)时，△AOE是等腰三角形．

（2）当，即，；
当时，得到，即；
当时，由，，得到直线解析式为，中点坐标为，
垂直平分线方程为，
令，得到，即，学科&网
综上，当点或或或时，是等腰三角形．

【关键点拨】
此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
31．如图，已知点A在反比例函数(x>0)的图象上，过点A作AC⊥x轴，垂足是C，AC=OC．一次函数y=kx+b的图象经过点A，与y轴的正半轴交于点B．
（1）求点A的坐标；
（2）若四边形ABOC的面积是3，求一次函数y=kx+b的表达式．

【答案】（1）（2，2）；（2）

（2）四边形的面积是3，
，
解得，
点的坐标为，
依题意有，
解得．学&科网
故一次函数的表达式为．
【关键点拨】
考查了反比例函数与一次函数的交点问题，关键是熟练掌握反比例函数值的几何意义、梯形的面积、待定系数法求一次函数解析式．
32．如图，四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数与(x＞0，0＜m＜n)的图象上，对角线BD//y轴，且BD⊥AC于点P．已知点B的横坐标为4．
（1）当m=4，n=20时．
①若点P的纵坐标为2，求直线AB的函数表达式．
②若点P是BD的中点，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由．
（2）四边形ABCD能否成为正方形？若能，求此时m，n之间的数量关系；若不能，试说明理由．

【答案】（1）①；②四边形是菱形，理由见解析；（2）四边形能是正方形，理由见解析，m+n=32.
【解析】
（1）①如图1，



由①知，，
轴，
，
点是线段的中点，
，
当时，由得，，
由得，，
，，
，
，
四边形为平行四边形，
，
四边形是菱形；

，，，
，
，
.学&科网
【关键点拨】
此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，正方形的性质，判断出四边形ABCD是平行四边形是解本题的关键．
33．如图，菱形ABCD的顶点A在y轴正半轴上，边BC在x轴上，且BC=5，sin∠ABC=，反比例函数（x>0）的图象分别与AD，CD交于点M、点N，点N的坐标是（3，n），连接OM，MC.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求证：△OMC是等腰三角形.

【答案】（1）；（2）见解析.

∵点N的坐标是（3，n），
∴n=，
∴N（3，），
∵点N在反比例函数y=（x＞0）图形上，
∴k=3×=4，
∴反比例函数的解析式为y=；

【关键点拨】
本题是反比例函数综合题，考查了菱形的性质，锐角三角函数，勾股定理，等腰三角形的判定，待定系数法，两点间的距离公式，求出直线CD的解析式是解题的关键．
34．如图，一次函数的图像与反比例函数(k＞0)的图像交于A，B两点，过点A做x轴的垂线，垂足为M，△AOM面积为1.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）在y轴上求一点P,使PA+PB的值最小，并求出其最小值和P点坐标.

【答案】（1）y=；（2）最小值即为，P（0，）.

（2）作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，则最小．
由，解得，或，
，，
，最小值．
设直线的解析式为，
则，解得，
直线的解析式为，
时，，
点坐标为．

【关键点拨】
考查的是反比例函数图象与一次函数图象的交点问题以及最短路线问题，解题的关键是确定最小时，点的位置，灵活运用数形结合思想求出有关点的坐标和图象的解析式是解题的关键．
35．如图，在平面直角坐标系中，A点的坐标为（a，6），AB⊥x轴于点B，cos∠OAB═，反比例函数y=的图象的一支分别交AO、AB于点C、D．延长AO交反比例函数的图象的另一支于点E．已知点D的纵坐标为．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求直线EB的解析式；
（3）求S△OEB．

【答案】（1）反比例函数的解析式为y=；（2）直线BE的解式为：y=x﹣2；（3）S△OEB=12．

∴A（8，6），
∴D（8，），
∵点D在反比例函数的图象上，
∴k=8×=12，
∴反比例函数的解析式为：y=；

【关键点拨】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求反比例函数的解析式及计算图形面积的问题．解题的关键是：确定交点的坐标．
36．某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y （℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB、BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．
请根据图中信息解答下列问题：[来源:学。科。网Z。X。X。K]
（1）求这天的温度y与时间x（0≤x≤24）的函数关系式；
（2）求恒温系统设定的恒定温度；
（3）若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？

【答案】（1）y关于x的函数解析式为；（2）恒温系统设定恒温为20°C；（3）恒温系统最多关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害．

∴B坐标为（5，20）
∴线段BC的解析式为：y=20（5≤x＜10）
设双曲线CD解析式为：y=（k2≠0）
∵C（10，20）
∴k2=200
∴双曲线CD解析式为：y=（10≤x≤24）
∴y关于x的函数解析式为：
（2）由（1）恒温系统设定恒温为20°C
（3）把y=10代入y=中，解得，x=20[来源:学科网ZXXK]
∴20-10=10
答：恒温系统最多关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害．
【关键点拨】本题为实际应用背景的函数综合题，考查求得一次函数、反比例函数和常函数关系式．解答时应注意临界点的应用．
37．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=（m为常数，m＞1，x＞0）的图象经过点P（m，1）和Q（1，m），直线PQ与x轴，y轴分别交于C，D两点，点M（x，y）是该函数图象上的一个动点，过点M分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为A，B．
（1）求∠OCD的度数；
（2）当m=3，1＜x＜3时，存在点M使得△OPM∽△OCP，求此时点M的坐标；
（3）当m=5时，矩形OAMB与△OPQ的重叠部分的面积能否等于4.1？请说明你的理由．

【答案】（1）∠OCD=45°；（2）M（2，）；（3）不存在．理由见解析.


∴4a4-25a2+36=0，
（4a2-9）（a2-4）=0，
∴a=±，a=±2，
∵1＜a＜3，
∴a=或2，
当a=时，M（，2），
PM=，CP=，
，（舍去）
当a=2时，M（2，），PM=，CP=，
∴，成立，
∴M（2，）．学&科网
（3）不存在．理由如下：
当m=5时，P（5，1），Q（1，5），设M（x，），
OP的解析式为：y=x，OQ的解析式为y=5x，
①当1＜x＜5时，如图1中，



S=S△OGH＜S△OAM=2.5，
∴不存在，
③当x≥5时，如图3中，

S=S△OTS＜S△OBM=2.5，
∴不存在，学科*网
综上所述，不存在．
【关键点拨】本题考查反比例函数综合题、矩形的性质、待定系数法、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
38．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A是反比例函数y=（x＞0，m＞1）图象上一点，点A的横坐标为m，点B（0，﹣m）是y轴负半轴上的一点，连接AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使得AD=AC，过点A作AE平行于x轴，过点D作y轴平行线交AE于点E．
（1）当m=3时，求点A的坐标；
（2）DE=　 　，设点D的坐标为（x，y），求y关于x的函数关系式和自变量的取值范围；
（3）连接BD，过点A作BD的平行线，与（2）中的函数图象交于点F，当m为何值时，以A、B、D、F为顶点的四边形是平行四边形？

【答案】（1）点A坐标为（3，6）；（2）1，y=（x＞2）；（3）m=2时，以A、B、D、F为顶点的四边形是平行四边形．

（2）如图，延长EA交y轴于点F，

∵DE∥x轴
∴∠FCA=∠EDA，∠CFA=∠DEA，
∵AD=AC，
∴△FCA≌△EDA，
∴DE=CF，
∵A（m，m2﹣m），B（0，﹣m），
∴BF=m2﹣m﹣（﹣m）=m2，AF=m，
∵Rt△CAB中，AF⊥x轴，
∴△AFC∽△BFA，
∴AF2=CF•BF，
∴m2=CF•m2，
∴CF=1，
∴DE=1，
故答案为：1；
由上面步骤可知，点E坐标为（2m，m2﹣m），
∴点D坐标为（2m，m2﹣m﹣1），
∴x=2m，
y=m2﹣m﹣1，
∴把m=代入y=m2﹣m﹣1，
∴y=（x＞2）；

解得m1=2，m2=0（舍去）
当FD、AB为平行四边形对角线时，
同理设点F坐标为（a，b），
则a=﹣m，b=1﹣m，则F点在y轴左侧，由（2）可知，点D所在图象不能在y轴左侧
∴此情况不存在，
综上当m=2时，以A、B、D、F为顶点的四边形是平行四边形．
【关键点拨】本题为代数几何综合题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的全等、相似三角形的判定与性质、平行四边形判定及用字母表示坐标等基本数学知识，熟练掌握和灵活应用相关知识、利用数形结合和分类讨论的数学思想是解题的关键．
39．如图是轮滑场地的截面示意图，平台AB距x轴（水平）18米，与y轴交于点B，与滑道y=（x≥1）交于点A，且AB=1米．运动员（看成点）在BA方向获得速度v米/秒后，从A处向右下飞向滑道，点M是下落路线的某位置．忽略空气阻力，实验表明：M，A的竖直距离h（米）与飞出时间t（秒）的平方成正比，且t=1时h=5，M，A的水平距离是vt米．
（1）求k，并用t表示h；
（2）设v=5．用t表示点M的横坐标x和纵坐标y，并求y与x的关系式（不写x的取值范围），及y=13时运动员与正下方滑道的竖直距离；
（3）若运动员甲、乙同时从A处飞出，速度分别是5米/秒、v乙米/秒．当甲距x轴1.8米，且乙位于甲右侧超过4.5米的位置时，直接写出t的值及v乙的范围．

【答案】（1）k=18，h=5t2；（2）x=5t+1，y=﹣5t2+18，y=，当y=13时，运动员在与正下方滑道的竖直距离是10米；（3）t=1.8，v乙＞7.5

∴h=5t2；
（2）∵v=5，AB=1，
∴x=5t+1，
∵h=5t2，OB=18，
∴y=﹣5t2+18，
由x=5t+1，
则t=（x-1），
∴y=﹣（x-1）2+18=，
当y=13时，13=﹣（x-1）2+18，
解得x=6或﹣4，
∵x≥1，
∴x=6，
把x=6代入y=，
y=3，
∴运动员在与正下方滑道的竖直距离是13﹣3=10（米）；

【关键点拨】本题考查了二次函数的应用，反比例函数的应用，综合性较强，有一定的难度，读懂题意，正确应用反比例函数和二次函数的知识解决问题是关键.本题也考查了函数图象上的临界点问题．
40．菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，对角线AC与BD的交点E恰好在y轴上，过点D和BC的中点H的直线交AC于点F，线段DE，CD的长是方程x2﹣9x+18=0的两根，请解答下列问题：
（1）求点D的坐标；
（2）若反比例函数y=（k≠0）的图象经过点H，则k=　 　；
（3）点Q在直线BD上，在直线DH上是否存在点P，使以点F，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）（﹣，3）（2） （3）（，）或（﹣，5）或（，﹣）

∴DM=DE=，
∵OM⊥AB，
∴S菱形ABCD=AC•BD=CD•OM，
∴=6OM，OM=3，
∴D（﹣，3）；

（3）
①∵DC=BC，∠DCB=60°，
∴△DCB是等边三角形，
∵H是BC的中点，
∴DH⊥BC，

②

如图2，∵四边形QPFC是平行四边形，
∴CQ∥PH，
由①知：PH⊥BC，
∴CQ⊥BC，
Rt△QBC中，BC=6，∠QBC=60°，
∴∠BQC=30°，

由F到C的平移规律可得P到Q的平移规律，则P（﹣﹣3，6﹣），即P（﹣，5）；
③
如图3，四边形CQFP是平行四边形，
同理知：Q（﹣，6），F（，2），C（，3），
∴P（，﹣）；学科*网
综上所述，点P的坐标为：（，）或（﹣，5）或（，﹣）．
【关键点拨】
本题主要考查平行四边形、菱形的图像和性质，反比例函数的图像与性质等，综合性较大，需综合运用所学知识充分利用已知条件求解.