专题16 新定义和阅读理解型问题-决胜2022中考数学压轴题全揭秘精品（解析版）

这是一份专题16 新定义和阅读理解型问题-决胜2022中考数学压轴题全揭秘精品（解析版），共65页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

《中考压轴题全揭秘》
专题16 新定义和阅读理解型问题
一、单选题
1．已知三角形的三边长分别为a、b、c，求其面积问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年）给出求其面积的海伦公式S=，其中p=；我国南宋时期数学家秦九韶（约1202-1261）曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式S=，若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
∵S=，
∴若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是：S==
【关键点拨】
解答本题的关键是明确题意，求出相应的三角形的面积．
2．在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．从一个格点移动到与之相距的另一个格点的运动称为一次跳马变换．例如，在4×4的正方形网格图形中（如图1），从点A经过一次跳马变换可以到达点B，C，D，E等处．现有20×20的正方形网格图形（如图2），则从该正方形的顶点M经过跳马变换到达与其相对的顶点N，最少需要跳马变换的次数是（　　）

A．13　　　　　　B．14　　　　　　C．15　　　　　　D．16
【答案】B．
【解析】如图1，连接AC，CF，则AF=，∴两次变换相当于向右移动3格，向上移动3格，又∵MN=，∴÷=（不是整数），∴按A﹣C﹣F的方向连续变换10次后，相当于向右移动了10÷2×3=15格，向上移动了10÷2×3=15格，此时M位于如图所示的5×5的正方形网格的点G处，再按如图所示的方式变换4次即可到达点N处，∴从该正方形的顶点M经过跳马变换到达与其相对的顶点N，最少需要跳马变换的次数是14次，故选B．

【关键点拨】本题主要考查了几何变换的类型以及勾股定理的运用，解题时注意：在平移变换下，对应线段平行且相等，两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等．解决问题的关键是找出变换的规律．
3．已知点A在函数（x＞0）的图象上，点B在直线y2=kx+1+k（k为常数，且k≥0）上．若A，B两点关于原点对称，则称点A，B为函数y1，y2图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为（　　）
A．有1对或2对　　　　　　B．只有1对　　　　　　C．只有2对　　　　　　D．有2对或3对
【答案】A．
【解析】设A（a，），由题意知，点A关于原点的对称点B（（a，），）在直线y2=kx+1+k上，则=﹣ak+1+k，整理，得：ka2﹣（k+1）a+1=0 ①，即（a﹣1）（ka﹣1）=0，∴a﹣1=0或ka﹣1=0，则a=1或ka﹣1=0，若k=0，则a=1，此时方程①只有1个实数根，即两个函数图象上的“友好点”只有1对；
若k≠0，则a=，此时方程①有2个实数根，即两个函数图象上的“友好点”有2对，综上，这两个函数图象上的“友好点”对数情况为1对或2对，故选A．
【关键点拨】本题主要考查直线和双曲线上点的坐标特征及关于原点对称的点的坐标，将“友好点”的定义，根据关于原点对称的点的坐标特征转化为方程的问题求解是解题的关键．
4．对于实数a，b，定义符号min{a，b}，其意义为：当a≥b时，min{a，b}=b；当a＜b时，min{a，b}=a．例如：min={2，﹣1}=﹣1，若关于x的函数y=min{2x﹣1，﹣x+3}，则该函数的最大值为（　　）
A．　　　　　　B．1　　　　　　C．　　　　　　D．
【答案】D．
【解析】当2x﹣1≥﹣x+3时，x≥，∴当x≥时，y=min{2x﹣1，﹣x+3}=﹣x+3，当2x﹣1＜﹣x+3时，x＜，∴当x＜时，y=min{2x﹣1，﹣x+3}=2x﹣1，综上所述，y=min{2x﹣1，﹣x+3}的最大值是当x=所对应的y的值，如图所示，当x=时，y=﹣+3=，故选D．

【关键点拨】本题考查了新定义、一元一次不等式及一次函数的交点问题，认真阅读理解其意义，并利用数形结合的思想解决函数的最值问题．
5．根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是4或7时，输出的y值相等，则b等于（　　）

A．9 B．7 C．﹣9 D．﹣7
【答案】C
【解析】
∵当x=7时，y=6-7=-1，
∴当x=4时，y=2×4+b=-1，
解得：b=-9，
故选C．
【关键点拨】
本题主要考查函数值，解题的关键是掌握函数值的计算方法．
6．已知: 表示不超过的最大整数，例: ，令关于的函数 (是正整数)，例：=1，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．或1
【答案】C
【解析】
A. ==0-0=0，故A选项正确，不符合题意；
B. ===，=，
所以，故B选项正确，不符合题意；
C. =，= ，
当k=3时，==0，= =1，
此时，故C选项错误，符合题意；
D.设n为正整数，
当k=4n时，==n-n=0，
当k=4n+1时，==n-n=0，
当k=4n+2时，==n-n=0，
当k=4n+3时，==n+1-n=1，
所以或1，故D选项正确，不符合题意，
故选C.
【关键点拨】本题考查了新定义运算，明确运算的法则，运用分类讨论思想是解题的关键.
7．设a，b是实数，定义@的一种运算如下：，则下列结论：
①若，则a=0或b=0；
②；
③不存在实数a，b，满足；
④设a，b是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当a=b时，最大．
其中正确的是（　　）
A．②③④　　　　B．①③④　　　　C．①②④　　　　D．①②③
【答案】C．
【解析】由分析可得：
对于①若，则a=0或b=0正确；
对于②而．故正确；
对于③ ，由，可得由化简：解出存在实数a，b，满足；
对于④a，b是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当a=b时， 最大．正确．
故选C．
8．在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2=2AO2+2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE=4，EF=3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则PF2+PG2的最小值为（　　）

A． B． C．34 D．10
【答案】D
【解析】
设点M为DE的中点，点N为FG的中点，连接MN交半圆于点P，此时PN取最小值．

∵DE=4，四边形DEFG为矩形，
∴GF=DE，MN=EF，
∴MP=FN=DE=2，
∴NP=MN-MP=EF-MP=1，
∴PF2+PG2=2PN2+2FN2=2×12+2×22=10．
故选D．
【关键点拨】本题考查了点与圆的位置关系、矩形的性质以及三角形三变形关系，利用三角形三边关系找出PN的最小值是解题的关键．
9．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a=3，b=4，则该矩形的面积为（    ）

A．20 B．24 C． D．
【答案】B
【解析】
设小正方形的边长为x，则矩形的一边长为（a+x）,另一边为（b+x）,根据题意得 ：2（ax+x2+bx）=（a+x）（b+x）,
化简得 ：ax+x2+bx-ab=0，
又∵ a = 3 ， b = 4 ，
∴x2＋7x=12;
∴该矩形的面积为=（a+x）（b+x）=（3+x）（4+x）=x2＋7x+12=24.
故答案为：B.
【关键点拨】 本题考查了勾股定理的证明以及运用和一元二次方程的运用，求出小正方形的边长是解题的关键.
10．阅读理解：，，，是实数，我们把符号称为阶行列式，并且规定：，例如：.二元一次方程组的解可以利用阶行列式表示为：；其中，，.问题：对于用上面的方法解二元一次方程组时，下面说法错误的是（ ）
A． B． C． D．方程组的解为
【答案】C
【解析】
A、D==2×（-2）-3×1=﹣7，故A选项正确，不符合题意；
B、Dx==﹣2﹣1×12=﹣14，故B选项正确，不符合题意；
C、Dy==2×12﹣1×3=21，故C选项不正确，符合题意；
D、方程组的解：x==2，y==﹣3，故D选项正确，不符合题意，
故选C．
【关键点拨】本题考查了阅读理解型问题，考查了2×2阶行列式和方程组的解的关系，读懂题意，根据材料中提供的方法进行解答是关键.
11．已知二次函数y=﹣x2+x+6及一次函数y=﹣x+m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），请你在图中画出这个新图象，当直线y=﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是（　　）

A．﹣＜m＜3 B．﹣＜m＜2 C．﹣2＜m＜3 D．﹣6＜m＜﹣2
【答案】D
【解析】
如图，当y=0时，﹣x2+x+6=0，解得x1=﹣2，x2=3，则A（﹣2，0），B（3，0），
将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y=（x+2）（x﹣3），
即y=x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3），
当直线y=﹣x+m经过点A（﹣2，0）时，2+m=0，解得m=﹣2；
当直线y=﹣x+m与抛物线y=x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）有唯一公共点时，方程x2﹣x﹣6=﹣x+m有相等的实数解，解得m=﹣6，
所以当直线y=﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围为﹣6＜m＜﹣2，
故选D．

【关键点拨】本题考查了抛物线与几何变换，抛物线与x轴的交点等，把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解决此类问题常用的方法.
12．如图，一段抛物线y=﹣x2+4（﹣2≤x≤2）为C1，与x轴交于A0，A1两点，顶点为D1；将C1绕点A1旋转180°得到C2，顶点为D2；C1与C2组成一个新的图象，垂直于y轴的直线l与新图象交于点P1（x1，y1），P2（x2，y2），与线段D1D2交于点P3（x3，y3），设x1，x2，x3均为正数，t=x1+x2+x3，则t的取值范围是（　　）

A．6＜t≤8 B．6≤t≤8 C．10＜t≤12 D．10≤t≤12
【答案】D
【解析】
翻折后的抛物线的解析式为y=（x﹣4）2﹣4=x2﹣8x+12，
∵设x1，x2，x3均为正数，
∴点P1（x1，y1），P2（x2，y2）在第四象限，
根据对称性可知：x1+x2=8，
∵2≤x3≤4，
∴10≤x1+x2+x3≤12，
即10≤t≤12，
故选D．
【关键点拨】本题考查二次函数与x轴的交点，二次函数的性质，抛物线的旋转等知识，熟练掌握和灵活应用二次函数的相关性质以及旋转的性质是解题的关键.
13．如图，抛物线与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作，将向左平移得到，与x轴交于点B、D，若直线与、共有3个不同的交点，则m的取值范围是　　

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
抛物线与x轴交于点A、B，
∴=0，
∴x1=5，x2=9，
，
抛物线向左平移4个单位长度后的解析式，
当直线过B点，有2个交点，
，
，
当直线与抛物线相切时，有2个交点，
，
，
相切，
，
，
如图，

若直线与、共有3个不同的交点，
--，
故选C．
【关键点拨】
本题考查了抛物线与x轴交点、二次函数图象的平移等知识，正确地画出图形，利用数形结合思想是解答本题的关键.
14．定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，F（n）=3n+1；②当n为偶数时，F（n）=（其中k是使F（n）为奇数的正整数）……，两种运算交替重复进行，例如，取n=24，则：

若n=13，则第2018次“F”运算的结果是（　　）
A．1 B．4 C．2018 D．42018
【答案】A
【解析】
若n=13，
第1次结果为：3n+1=40，
第2次结果是：，
第3次结果为：3n+1=16，
第4次结果为：=1，
第5次结果为：4，
第6次结果为：1，
…
可以看出，从第四次开始，结果就只是1，4两个数轮流出现，
且当次数为偶数时，结果是1；次数是奇数时，结果是4，
而2018次是偶数，因此最后结果是1，
故选A．
【关键点拨】
本题考查了规律题——数字的变化类，能根据所给条件得出n=13时六次的运算结果，找出规律是解答此题的关键．
15．在求1+6+62+63+64+65+66+67+68+69的值时，小林发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的6倍，于是她设：
S=1+6+62+63+64+65+66+67+68+69①
然后在①式的两边都乘以6，得：
6S=6+62+63+64+65+66+67+68+69+610②
②﹣①得6S﹣S=610﹣1，即5S=610﹣1，所以S=，得出答案后，爱动脑筋的小林想：
如果把“6”换成字母“a”（a≠0且a≠1），能否求出1+a+a2+a3+a4+…+a2014的值？你的答案是（　　）
A． B． C． D．a2014﹣1
【答案】B
【解析】
设S=1+a+a2+a3+a4+…+a2014，①
则aS=a+a2+a3+a4+…+a2014+a2015，②，
②﹣①得：（a﹣1）S=a2015﹣1，
∴S=，
故选B．
二、填空题
16．对于实数a，b，定义运算“◆”：a◆b=，例如4◆3，因为4＞3．所以4◆3==5．若x，y满足方程组，则x◆y=_____________.
【答案】60
【解析】
由题意可知：，
解得：．
∵x＜y，∴原式=5×12=60．
故答案为：60．
【关键点拨】本题考查了二元一次方程组的解法，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法以及正确理解新定义运算法则，本题属于基础题型．
17．观察下列运算过程：S=1+3+32+33+…+32017+32018 ①，
①×3得3S=3+32+33+…+32018+32019 ②，
②﹣①得2S=32019﹣1，S=．
运用上面计算方法计算：1+5+52+53+…+52018=____．
【答案】
【解析】
设S=1+5+52+53+…+52018 ①，
则5S=5+52+53+54…+52019②，
②﹣①得：4S=52019﹣1，所以S=，
故答案为：．
【关键点拨】
本题考查了规律型——数字的变化类，涉及了有理数的乘方，读懂题目信息，理解求和的运算方法是解题的关键．
18．对于任意实数a、b，定义：a◆b=a2+ab+b2．若方程（x◆2）﹣5=0的两根记为m、n，则m2+n2=　 　．
【答案】6．
【解析】
∵（x◆2）﹣5=x2+2x+4﹣5，
∴m、n为方程x2+2x﹣1=0的两个根，
∴m+n=﹣2，mn=﹣1，
∴m2+n2=（m+n）2﹣2mn=6．
故答案为：6．
【关键点拨】
本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于﹣、两根之积等于是解题的关键．
19．规定：，如：，若，则＝__.
【答案】1或-3
【解析】
依题意得：（2+x）x=3，
整理，得 x2+2x=3，
所以 （x+1）2=4，
所以x+1=±2，
所以x=1或x=-3．
故答案是：1或-3．
【关键点拨】
用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
20．对于实数a，b，定义运算“※”如下：a※b=a2﹣ab，例如，5※3=52﹣5×3=10．若（x+1）※（x﹣2）=6，则x的值为_____．
【答案】1
【解析】
由题意得，（x+1）2﹣（x+1）（x﹣2）=6，
整理得，3x+3=6，
解得，x=1，
故答案为：1．
【关键点拨】本题考查了解方程，涉及到完全平方公式、多项式乘法的运算等，根据题意正确得到方程是解题的关键．
21．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S=．现已知△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为______．

【答案】1
【解析】
∵S=，∴△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为：
S==1，
故答案为：1．
【关键点拨】
本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的面积公式解答．
22．对于一个位置确定的图形，如果它的所有点都在一个水平放置的矩形内部或边上，且该图形与矩形的每条边都至少有一个公共点（如图1），那么这个矩形水平方向的边长称为该图形的宽，铅锤方向的边长称为该矩形的高．如图2，菱形ABCD的边长为1，边AB水平放置．如果该菱形的高是宽的，那么它的宽的值是_____．

【答案】
【解析】
在菱形上建立如图所示的矩形EAFC，
设AF=x，则CF=x，
在Rt△CBF中，CB=1，BF=x﹣1，
由勾股定理得：BC2=BF2+CF2，
即：12=（x-1）2+（x）2，
解得：x=或0（舍），
即它的宽的值是，
故答案为：．

【关键点拨】本题考查了新定义题，矩形的性质、勾股定理等，根据题意正确画出图形，熟练应用相关的知识进行解答是关键.
23．对于任意实数a、b，定义一种运算：a※b=ab﹣a+b﹣2．例如，2※5=2×5﹣2+5﹣2=ll．请根据上述的定义解决问题：若不等式3※x＜2，则不等式的正整数解是_____．
【答案】1
【解析】
∵3※x=3x﹣3+x﹣2＜2，
∴x＜，
∵x为正整数，
∴x=1，
故答案为：1．
【关键点拨】本题考查一元一次不等式的整数解以及实数的运算，通过解不等式找出x＜是解题的关键．
24．如图，把平面内一条数轴x绕原点O逆时针旋转角θ（0°＜θ＜90°）得到另一条数轴y，x轴和y轴构成一个平面斜坐标系．规定：过点P作y轴的平行线，交x轴于点A，过点P作x轴的平行线，交y轴于点B，若点A在x轴上对应的实数为a，点B在y轴上对应的实数为b，则称有序实数对（a，b）为点P的斜坐标，在某平面斜坐标系中，已知θ=60°，点M′的斜坐标为（3，2），点N与点M关于y轴对称，则点N的斜坐标为_____．

【答案】（﹣2，5）
【解析】
如图作ND∥x轴交y轴于D，作NC∥y轴交x轴于C．MN交y轴于K．

∵NK=MK，∠DNK=∠BMK，∠NKD=∠MKB，
∴△NDK≌△MBK，
∴DN=BM=OC=2，DK=BK，
在Rt△KBM中，BM=2，∠MBK=60°，
∴∠BMK=30°，
∴DK=BK=BM=1，
∴OD=5，
∴N（-2，5），
故答案为（-2，5）
【关键点拨】本题考查坐标与图形变化，轴对称等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
25．如图1，作∠BPC平分线的反向延长线PA，现要分别以∠APB，∠APC，∠BPC为内角作正多边形，且边长均为1，将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案．例如，若以∠BPC为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时∠BPC=90°，而=45是360°（多边形外角和）的，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，填充花纹后得到一个符合要求的图案，如图2所示．

图2中的图案外轮廓周长是_____；
在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，则会标的外轮廓周长是_____．
【答案】 14 21
【解析】
图2中的图案外轮廓周长是：8﹣2+2+8﹣2=14；
设∠BPC=2x，
∴以∠BPC为内角的正多边形的边数为：，
以∠APB为内角的正多边形的边数为：，
∴图案外轮廓周长是=﹣2+﹣2+﹣2=+﹣6，
根据题意可知：2x的值只能为60°，90°，120°，144°，
当x越小时，周长越大，
∴当x=30时，周长最大，此时图案定为会标，
则则会标的外轮廓周长是=﹣6=21，
故答案为：14，21．
【关键点拨】本题考查了阅读理解问题和正多边形的边数与内角、外角的关系，明确正多边形的各内角相等，各外角相等，且外角和为360°是关键，并利用数形结合的思想解决问题．
26．若为实数，则表示不大于的最大整数，例如，，等. 是大于的最小整数，对任意的实数都满足不等式. ①，利用这个不等式①，求出满足的所有解，其所有解为__________．
【答案】或1.
【解析】
∵对任意的实数x都满足不等式[x]≤x＜[x]+1，[x]=2x-1，
∴2x-1≤x＜2x-1+1，
解得，0＜x≤1，
∵2x-1是整数，
∴x=0.5或x=1，
故答案为：x=0.5或x=1.
【关键点拨】本题考查了解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确题意，会解答一元一次不等式.
27．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是______步．

【答案】．
【解析】
如图，
∵四边形CDEF是正方形，
∴CD=ED，DE∥CF，
设ED=x，则CD=x，AD=12-x，
∵DE∥CF，
∴∠ADE=∠C，∠AED=∠B，
∴△ADE∽△ACB，
∴＝，
∴＝，
∴x=，
故答案为：.

【关键点拨】
本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质，设未知数，构建方程是解题的关键．
28．在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．以顶点都是格点的正方形ABCD的边为斜边，向内作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点E，F，G，H都是格点，且四边形EFGH为正方形，我们把这样的图形称为格点弦图．例如，在如图1所示的格点弦图中，正方形ABCD的边长为，此时正方形EFGH的而积为5．问：当格点弦图中的正方形ABCD的边长为时，正方形EFGH的面积的所有可能值是_____（不包括5）．

【答案】9或13或49.
【解析】
①当DG=，CG=2时，满足DG2+CG2=CD2，此时HG=，可得正方形EFGH的面积为13．
②当DG=8，CG=1时，满足DG2+CG2=CD2，此时HG=7，可得正方形EFGH的面积为49；
③当DG=7，CG=4时，满足DG2+CG2=CD2，此时HG=3，可得正方形EFGH的面积为9.
故答案为：9或13或49．
【关键点拨】本题考查作图-应用与设计、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
29．刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆O的半径为1，若用圆O的外切正六边形的面积来近似估计圆O的面积，则S=_____．（结果保留根号）
【答案】
【解析】
依照题意画出图象，如图所示．

∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴△ABO为等边三角形，
∵⊙O的半径为1，
∴OM=1，
∴BM=AM=，
∴AB=，
∴S=6S△ABO=6×××1=2．
故答案为：2.
【关键点拨】本题考查了正多边形和圆、三角形的面积以及数学常识，根据等边三角形的性质求出正六边形的边长是解题的关键．
30．定义新运算：a※b=a2+b，例如3※2=32+2=11，已知4※x=20，则x=_____．
【答案】4
【解析】
∵4※x=42+x=20，
∴x=4．
故答案为：4．
【关键点拨】本题考查了有理数的混合运算以及解一元一次方程，依照新运算的定义找出关于x的一元一次方程是解题的关键．
31．设双曲线与直线交于，两点（点在第三象限），将双曲线在第一象限的一支沿射线的方向平移，使其经过点，将双曲线在第三象限的一支沿射线的方向平移，使其经过点，平移后的两条曲线相交于点，两点，此时我们称平移后的两条曲线所围部分（如图中阴影部分）为双曲线的“眸”，为双曲线的“眸径”.当双曲线的眸径为6时，的值为__________.

【答案】
【解析】
以PQ为边，作矩形PQQ′P′交双曲线于点P′、Q′，如图所示．

联立直线AB及双曲线解析式成方程组，，
解得：，，
∴点A的坐标为（-，-），点B的坐标为（，）．
∵PQ=6，
∴OP=3，点P的坐标为（-，）．
根据图形的对称性可知：AB=OO′=PP′，
∴点P′的坐标为（-+2，+2）．
又∵点P′在双曲线y=上，
∴（-+2）•（+2）=k，
解得：k=．
故答案为：．
【关键点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质以及解一元一次方程，利用矩形的性质结合函数图象找出点P′的坐标是解题的关键．
32．如图，若△ABC内一点P满足∠PAC=∠PCB=∠PBA，则称点P为△ABC的布罗卡尔点，三角形的布罗卡尔点是法国数学家和数学教育家克雷尔首次发现，后来被数学爱好者法国军官布罗卡尔重新发现，并用他的名字命名，布罗卡尔点的再次发现，引发了研究“三角形几何”的热潮．已知△ABC中，CA=CB，∠ACB=120°，P为△ABC的布罗卡尔点，若PA=，则PB+PC=_____．

【答案】1+．
【解析】
作CH⊥AB于H．

∵CA=CB，CH⊥AB，∠ACB=120°，
∴AH=BH，∠ACH=∠BCH=60°，∠CAB=∠CBA=30°，
∴AB=2BH=2•BC•cos30°=BC，
∵∠PAC=∠PCB=∠PBA，
∴∠PAB=∠PBC，
∴△PAB∽△PBC，
∴，
∵PA=，
∴PB=1，PC=，
∴PB+PC=1+．
故答案为1+．
【关键点拨】
本题考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是准确寻找相似三角形解决问题．
三、解答题
33．综合与实践
折纸是一项有趣的活动，同学们小时候都玩过折纸，可能折过小动物、小花、飞机、小船等，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．
在折纸过程中，我们可以通过研究图形的性质和运动、确定图形位置等，进一步发展空间观念，在经历借助图形思考问题的过程中，我们会初步建立几何直观，折纸往往从矩形纸片开始，今天，就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸，看看折叠矩形的对角线之后能得到哪些数学结论．
实践操作
如图1，将矩形纸片ABCD沿对角线AC翻折，使点B′落在矩形ABCD所在平面内，B′C和AD相交于点E，连接B′D．
解决问题
(1)在图1中，
①B′D和AC的位置关系为　　；
②将△AEC剪下后展开，得到的图形是　　；
(2)若图1中的矩形变为平行四边形时(AB≠BC)，如图2所示，结论①和结论②是否成立，若成立，请挑选其中的一个结论加以证明，若不成立，请说明理由；
(3)小红沿对角线折叠一张矩形纸片，发现所得图形是轴对称图形，沿对称轴再次折叠后，得到的仍是轴对称图形，则小红折叠的矩形纸片的长宽之比为　　；
拓展应用
(4)在图2中，若∠B=30°，AB=4，当△AB′D恰好为直角三角形时，BC的长度为　　．

【答案】(1)①BD′//AC，菱形；(2)见解析；(3)1：1或：1；(4)4或6或8或12.
【解析】
(1)①．②将剪下后展开，得到的图形是菱形；
故答案为，菱形；
(2)①选择②证明如下：
四边形是平行四边形，
，
，
将沿翻折至△，
，
，
，
是等腰三角形；
将剪下后展开，得到的图形四边相等，
将剪下后展开，得到的图形四边是菱形．
②选择①证明如下，
四边形是平行四边形，
，
将沿翻折至△，
，
，
，
，
，
，
．
(3)①当矩形的长宽相等时，满足条件，此时矩形纸片的长宽之比为；，
，
②当矩形的长宽之比为时，满足条件，此时可以证明四边形是等腰梯形，是轴对称图形；
综上所述，满足条件的矩形纸片的长宽之比为或；
(4)，，
，
，
四边形是等腰梯形，
，，
△是直角三角形，
当，时，如图3中，

设，
，
解得，
，
，
，
，
当，时，如图4，

，，
，
，
四边形是等腰梯形，
，
四边形是矩形，
，
，
，，
；
当，时，如图5，

，，
，
，，
，，
，
，，
，
，
当时，如图6，

，，
，
，
四边形是等腰梯形，
，
四边形是矩形，
，
，，
；
已知当的长为4或6或8或12时，△是直角三角形．
故答案为：平行，菱形，或，4或6或8或12；

【关键点拨】
本题考查折叠图形的性质与运用，解题的关键时能够知道在折叠过程中的变量与形成的新的关系.
34．如图①，在Rt△ABC中，以下是小亮探究与之间关系的方法：
∵sinA=，sinB=，
∴c=，c=，
∴=，
根据你掌握的三角函数知识．在图②的锐角△ABC中，探究、、之间的关系，并写出探究过程．

【答案】==，理由见解析.
【解析】
==，理由为：
如图，过A作AD⊥BC，BE⊥AC，
在Rt△ABD中，sinB=，即AD=csinB，
在Rt△ADC中，sinC=，即AD=bsinC，
∴csinB=bsinC，即=，
同理可得=，
则==．

【关键点拨】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．
35．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对称中心为坐标原点O，AD⊥y轴于点E（点A在点D的左侧），经过E、D两点的函数y=﹣x2+mx+1（x≥0）的图象记为G1，函数y=﹣x2﹣mx﹣1（x＜0）的图象记为G2，其中m是常数，图象G1、G2合起来得到的图象记为G．设矩形ABCD的周长为L．

（1）当点A的横坐标为﹣1时，求m的值；
（2）求L与m之间的函数关系式；
（3）当G2与矩形ABCD恰好有两个公共点时，求L的值；
（4）设G在﹣4≤x≤2上最高点的纵坐标为y0，当≤y0≤9时，直接写出L的取值范围．
【答案】（1）；（2）L=8m+4．（3）20；（4）12≤L≤44．
【解析】
（1）由题意E（0，1），A（﹣1，1），B（1，1）
把B（1，1）代入y=﹣x2+mx+1中，得到1=﹣+m+1，
∴m=；
（2）∵抛物线G1的对称轴x=﹣=m，
∴AE=ED=2m，
∵矩形ABCD的对称中心为坐标原点O，
∴AD=BC=4m，AB=CD=2，
∴L=8m+4；
（3）∵当G2与矩形ABCD恰好有两个公共点，
∴抛物线G2的顶点M（﹣m，m2﹣1）在线段AE上，
∴m2﹣1=1，
∴m=2或﹣2（舍弃），
∴L=8×2+4=20；
（4）①当最高点是抛物线G1的顶点N（m，m2+1）时，
若m2+1=，解得m=1或﹣1（舍弃），
若m2+1=9时，m=4或﹣4（舍弃），
又∵m≤2，
观察图象可知满足条件的m的值为1≤m≤2，
②当（2，2m﹣1）是最高点时，，
解得2≤m≤5，
综上所述，1≤m≤5，
∴12≤L≤44．

【关键点拨】本题考查了二次函数综合题、矩形的性质、待定系数法、不等式组等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用数形结合的思想解决问题．
36．我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．

（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有　 　；
②在凸四边形ABCD中，AB=AD且CB≠CD，则该四边形　 　“十字形”．（填“是”或“不是”）
（2）如图1，A，B，C，D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，∠ADB﹣∠CDB=∠ABD﹣∠CBD，当6≤AC2+BD2≤7时，求OE的取值范围；
（3）如图2，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0，c＜0）与x轴交于A，C两点（点A在点C的左侧），B是抛物线与y轴的交点，点D的坐标为（0，﹣ac），记“十字形”ABCD的面积为S，记△AOB，△COD，△AOD，△BOC的面积分别为S1，S2，S3，S4．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式；
①= ；②= ；③“十字形”ABCD的周长为12．
【答案】（1）①菱形，正方形；②不是；（2）（OE＞0）；（3）y=x2﹣9．
【解析】
（1）①∵菱形，正方形的对角线互相垂直，
∴菱形，正方形是：“十字形”，
∵平行四边形，矩形的对角线不一定垂直，
∴平行四边形，矩形不是“十字形”，
故答案为：菱形，正方形；
②如图，

当CB=CD时，在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC=∠DAC，
∵AB=AD，
∴AC⊥BD，
∴当CB≠CD时，四边形ABCD不是“十字形”，
故答案为：不是；
（2）∵∠ADB+∠CBD=∠ABD+∠CDB，∠CBD=∠CDB=∠CAB，
∴∠ADB+∠CAD=∠ABD+∠CAB，
∴180°﹣∠AED=180°﹣∠AEB，
∴∠AED=∠AEB=90°，
∴AC⊥BD，
过点O作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，连接OA，OD，

∴OA=OD=1，OM2=OA2﹣AM2，ON2=OD2﹣DN2，AM=AC，DN=BD，四边形OMEN是矩形，
∴ON=ME，OE2=OM2+ME2，
∴OE2=OM2+ON2=2﹣（AC2+BD2），
∵6≤AC2+BD2≤7，
∴2﹣≤OE2≤2﹣，
∴≤OE2≤，
∴≤OE≤；
（3）由题意得，A（，0），B（0，c），C（，0），D（0，﹣ac），
∵a＞0，c＜0，
∴OA=，OB=﹣c，OC=，OD=﹣ac，AC=，BD=﹣ac﹣c，
∴S=AC•BD=﹣（ac+c）×，S1=OA•OB=﹣，S2=OC•OD=﹣，
S3=OA×OD=﹣，S4=OB×OC=﹣，
∵，，
∴，
∴=2，
∴a=1，
∴S=﹣c，S1=﹣，S4=﹣，
∵，
∴S=S1+S2+2，
∴﹣c=﹣，
∴
∴
∴b=0，
∴A（，0），B（0，c），C（，0），d（0，﹣c），
∴四边形ABCD是菱形，
∴4AD=12，
∴AD=3，
即：AD2=90，
∵AD2=c2﹣c，
∴c2﹣c=90，
∴c=﹣9或c=10（舍），
即：y=x2﹣9．
【关键点拨】此题是二次函数综合题，主要考查了新定义，平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，求出a=1是解本题的关键．
37．若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．

已知是比例三角形，，，请直接写出所有满足条件的AC的长；
如图1，在四边形ABCD中，，对角线BD平分，求证：是比例三角形．
如图2，在的条件下，当时，求的值．
【答案】当或或时，是比例三角形；证明见解析； ．
【解析】
是比例三角形，且、，
当时，得：，解得：；
当时，得：，解得：；
当时，得：，解得：负值舍去；
所以当或或时，是比例三角形；
，
，
又，
∽，
，即，
，
，
平分，
，
，
，
，
是比例三角形；
如图，过点A作于点H，

，
，
，，
，
，
又，
∽，
，即，
，
又，
，
．
【关键点拨】本题考查了相似三角形的综合问题，理解比例三角形的定义，熟练掌握和运用相似三角形的判定与性质是解题的关键．
38．定义：
我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．
理解：
（1）如图1，已知Rt△ABC在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点D，使四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形（保留画图痕迹，找出3个即可）；
（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC=80°，∠ADC=140°，对角线BD平分∠ABC．
求证：BD是四边形ABCD的“相似对角线”；
（3）如图3，已知FH是四边形EFCH的“相似对角线”，∠EFH=∠HFG=30°，连接EG，若△EFG的面积为2，求FH的长．

【答案】（1）见解析；（2）证明见解析；（3）FH=2．
【解析】
（1）由图1知，AB=，BC=2，∠ABC=90°，AC=5，
∵四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形，
当∠ACD=90°时，△ACD∽△ABC或△ACD∽△CBA，
∴或，
∴CD=10或CD=2.5
同理：当∠CAD=90°时，AD=2.5或AD=10，
（2）∵∠ABC=80°，BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=40°，
∴∠A+∠ADB=140°
∵∠ADC=140°，
∴∠BDC+∠ADB=140°，
∴∠A=∠BDC，
∴△ABD∽△BDC，
∴BD是四边形ABCD的“相似对角线”；

（3）如图3，
∵FH是四边形EFGH的“相似对角线”，
∴△EFH与△HFG相似，
∵∠EFH=∠HFG，
∴△FEH∽△FHG，
∴，
∴FH2=FE•FG，
过点E作EQ⊥FG于Q，
∴EQ=FE•sin60°=FE，
∵FG×EQ=2，
∴FG×FE=2，
∴FG•FE=8，
∴FH2=FE•FG=8，
∴FH=2．
【关键点拨】本题考查了相似三角形的综合题，涉及到新概念、相似三角形的判定与性质等，正确理解新概念，熟练应用相似三角形的相关知识是解题的关键.
39．对于三个数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的中位数，用max{a，b，c}表示这三个数中最大数，例如：M{﹣2，﹣1，0}=﹣1，max{﹣2，﹣1，0}=0，max{﹣2，﹣1，a}=
解决问题：
（1）填空：M{sin45°，cos60°，tan60°}=__________，如果max{3，5﹣3x，2x﹣6}=3，则x的取值范围为__________；
（2）如果2•M{2，x+2，x+4}=max{2，x+2，x+4}，求x的值；
（3）如果M{9，x2，3x﹣2}=max{9，x2，3x﹣2}，求x的值．
【答案】（1），；（2）﹣3或0；（3）3或﹣3
【解析】
（1）∵sin45°=，cos60°=，tan60°= ，
∴M{sin45°，cos60°，tan60°}=，
∵max{3，5-3x，2x-6}=3，
则，
∴x的取值范围为：≤x≤；
（2）2•M{2，x+2，x+4}=max{2，x+2，x+4}，
分三种情况：①当x+4≤2时，即x≤-2，
原等式变为：2（x+4）=2，x=-3，
②x+2≤2≤x+4时，即-2≤x≤0，
原等式变为：2×2=x+4，x=0，
③当x+2≥2时，即x≥0，
原等式变为：2（x+2）=x+4，x=0，
综上所述，x的值为-3或0；
（3）不妨设y1=9，y2=x2，y3=3x-2，画出图象，如图所示：

结合图象，不难得出，在图象中的交点A、B点时，满足条件且M{9，x2，3x-2}=max{9，x2，3x-2}=yA=yB，
此时x2=9，解得x=3或-3．
【关键点拨】本题考查了方程和不等式的应用及新定义问题，理解新定义，并能结合图象，可以很轻松将抽象题或难题破解，由此看出，图象在函数相关问题的作用是何等重要．
40．阅读短文，解决问题
如果一个三角形和一个菱形满足条件：三角形的一个角与菱形的一个角重合，且菱形的这个角的对角顶点在三角形的这个角的对边上，则称这个菱形为该三角形的“亲密菱形”.如图1，菱形AEFD为△ABC的“亲密菱形”.
如图2，在△ABC中，以点A为圆心，以任意长为半径作弧，交AB、AC于点M、N，再分别以M、N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP，交BC于点F，过点F作FD//AC，FE//AB.
(1)求证：四边形AEFD是△ABC的“亲密菱形”；
(2)当AB=6，AC=12，∠BAC=45°时，求菱形AEFD的面积.

【答案】(1)证明见解析；(2) 四边形的面积为.
【解析】
（1）由尺规作图可知AF平分∠BAC，
∴∠DAF=∠EAF，
∵DF//AC，∴∠DFA=∠EAF，∴∠DAF=∠DFA，∴AD=DF，
∵FD//AC，FE//AB，∴四边形AEFD是平行四边形，
∴平行四边形AEFD是菱形，
∵∠BAC与∠DAE重合，点F点BC上，
∴菱形AEFD为△ABC的“亲密菱形”；
（2）设菱形的边长为a，即DF=AD=a，则BD=6-a，
∵DF//AC，∴△BDF∽△BAC，
∴BD：BA=BF：AC，
即（6-a）:6=a：12，
∴a=4，
过D作DG⊥AC，垂足为G，
在Rt△ADG中，∠DAG=45°，∴DG=AD=2，
∴S菱形AEFD=AE•DG=8，
即四边形AEFD的面积为8.

【关键点拨】本题考查了尺规作图，新概念题，菱形的判定与性质等，正确理解新概念是解题的关键.
41．小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：
求解体验
(1)已知抛物线经过点(-1,0),则= ，顶点坐标为 ，该抛物线关于点(0,1）成中心对称的抛物线的表达式是 .
抽象感悟
我们定义：对于抛物线,以轴上的点为中心，作该抛物线关于
点对称的抛物线 ,则我们又称抛物线为抛物线的“衍生抛物线”，点为“衍生中心”.
(2)已知抛物线关于点的衍生抛物线为，若这两条抛物线有交点，求的取值范围.
问题解决
(3) 已知抛物线
①若抛物线的衍生抛物线为,两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求的值及衍生中心的坐标；
②若抛物线关于点的衍生抛物线为 ,其顶点为；关于点的衍生抛物线为，其顶点为；…；关于点的衍生抛物线为，其顶点为；…(为
正整数).求的长(用含的式子表示).

【答案】求解体验： ；顶点坐标是(-2,1)；；抽象感悟：；问题解决：①；（0，6）；②
【解析】
求解体验
(1)把(-1，0)代入 得，
∴，
∴顶点坐标是(-2，1)，
∵(-2，1)关于(0，1)的对称点是(2，1)，
∴成中心对称的抛物线表达式是：，
即 (如图)

抽象感悟
(2) ∵ ，
∴ 顶点是（-1，6），
∵ (-1，6)关于的对称点是，
∴ ，
∵ 两抛物线有交点，
∴ 有解，
∴ 有解，
∴ ，
∴ ；(如图)

问题解决
(3) ① ∵=，
∴ 顶点（-1，），
代入 得：①
∵ ，
∴ 顶点（1，），
代入 得：②
由① ② 得 ，
∵ ，，
∴ ，
∴ 两顶点坐标分别是（-1，0），（1，12），
由中点坐标公式得“衍生中心”的坐标是（0，6）；

② 如图，设 ， … ， 与轴分别相于 ， … ， ，
则 ，，… ， 分别关于 ， … ， 中心对称，
∴ ， … 分别是△ ， … 的中位线，
∴ ， ，… ，
∵ ， ，
∴ ].

【关键点拨】本题考查了二次函数的综合题，理解题意，画出符合题意的图形借助数形结合思想解决问题是关键.
42．结果如此巧合！
下面是小颖对一道题目的解答.
题目：如图，的内切圆与斜边相切于点，，，求的面积.

解：设的内切圆分别与、相切于点、，的长为.
根据切线长定理，得，，.
根据勾股定理，得.
整理，得.
所以



.
小颖发现恰好就是，即的面积等于与的积.这仅仅是巧合吗?
请你帮她完成下面的探索.
已知：的内切圆与相切于点，，.
可以一般化吗？
（1）若，求证：的面积等于.
倒过来思考呢？
（2）若，求证.改变一下条件……
（3）若，用、表示的面积.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.（3）.
【解析】
设的内切圆分别与、相切于点、，的长为.
根据切线长定理，得，，.
（1）如图①，在中，根据勾股定理，得.
整理，得.
所以



.

（2）由，得.
整理，得.
所以



.
根据勾股定理的逆定理，得.
（3）如图②，过点作，垂足为.
在中，，.
所以.
在中，根据勾股定理，得
.
整理，得.
所以



.

【关键点拨】本题考查了圆的综合题：熟练掌握三角形内切圆的性质、切线长定理；会利用勾股定理计算线段的长, 此题难度适中，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用.
43．我们定义:如果一个三角形一条边上的高等于这条边,那么这个三角形叫做“等高底”三角形,这条边叫做这个三角形的“等底”。
（1）概念理解:
如图1,在中, ,.,试判断是否是“等高底”三角形，请说明理由.
（2）问题探究:
如图2, 是“等高底”三角形,是“等底”，作关于所在直线的对称图形得到,连结交直线于点.若点是的重心,求的值.
（3）应用拓展:
如图3,已知,与之间的距离为2.“等高底”的“等底” 在直线上,点在直线上,有一边的长是的倍.将绕点按顺时针方向旋转得到,所在直线交于点.求的值.

【答案】（1）证明见解析；（2）（3）的值为,,2
【解析】
（1）是．理由如下：
如图1，过点A作AD⊥直线CB于点D，
∴ΔADC为直角三角形，∠ADC=90°．
∵ ∠ACB=30°，AC=6，∴ AD=AC=3，
∴ AD=BC=3，
即ΔABC是“等高底”三角形．

（2）如图2， ∵ ΔABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，∴AD=BC，
∵ ΔA′BC与ΔABC关于直线BC对称， ∴ ∠ADC=90°．
∵点B是ΔAA′C的重心， ∴ BC=2BD．
设BD=x，则AD=BC=2x，∴CD=3x ，
∴由勾股定理得AC=x，
∴．

（3）①当AB=BC时，
Ⅰ．如图3，作AE⊥l1于点E， DF⊥AC于点F．
∵“等高底” ΔABC的“等底”为BC，l1//l2，
l1与l2之间的距离为2， AB=BC，
∴BC=AE=2，AB=2，
∴BE=2，即EC=4，∴AC= ．
∵ ΔABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到ΔA' B' C，∴∠CDF=45°．
设DF=CF=x ．
∵l1//l2，∴∠ACE=∠DAF，∴，即AF=2x．
∴AC=3x=，可得x=，∴CD=x=．

Ⅱ．如图4，此时ΔABC是等腰直角三角形，
∵ ΔABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到ΔA' B' C，
∴ ΔACD是等腰直角三角形，
∴ CD=AC=．

②当AC=BC时，
Ⅰ．如图5，此时△ABC是等腰直角三角形．
∵ ΔABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到ΔA′ B′C，
∴A′C⊥l1，∴CD=AB=BC=2．

Ⅱ．如图6，作AE⊥l1于点E，则AE=BC，
∴AC=BC=AE，∴∠ACE=45°，
∴ΔABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到ΔA′ B′C时，
点A′在直线l1上，
∴A′C∥l2，即直线A′ C与l2无交点．

综上所述：CD的值为，，2．
【关键点拨】本题是几何变换-旋转综合题．考查了重心的性质，勾股定理，旋转的性质以及阅读理解能力．解题的关键是对新概念“等高底”三角形的理解．
44．阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：
如图1，△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB上，且∠BAC=2∠DCB，求证：AC=AD．
小明发现，除了直接用角度计算的方法外，还可以用下面两种方法：
方法1：如图2，作AE平分∠CAB，与CD相交于点E．
方法2：如图3，作∠DCF=∠DCB，与AB相交于点F．
（1）根据阅读材料，任选一种方法，证明AC=AD．
用学过的知识或参考小明的方法，解决下面的问题：
（2）如图4，△ABC中，点D在AB上，点E在BC上，且∠BDE=2∠ABC，点F在BD上，且∠AFE=∠BAC，延长DC、FE，相交于点G，且∠DGF=∠BDE．
①在图中找出与∠DEF相等的角，并加以证明；
②若AB=kDF，猜想线段DE与DB的数量关系，并证明你的猜想．

【答案】（1）证明见解析；（2）∠DEF=∠FDG，证明见解析；②结论：BD=k•DE．理由见解析.
【解析】
（1）方法一：如图2中，作AE平分∠CAB，与CD相交于点E．

∵∠CAE=∠DAE，∠CAB=2∠DCB，
∴∠CAE=∠CDB．
∵∠CDB+∠ACD=90°，
∴∠CAE+∠ACD=90°，
∴∠AEC=90°．
∵AE=AE，∠AEC=∠AED=90°，
∴△AEC≌△AED，
∴AC=AD；
方法二：如图3中，作∠DCF=∠DCB，与AB相交于点F．

∵∠DCF=∠DCB，∠A=2∠DCB，
∴∠A=∠BCF．
∵∠BCF+∠ACF=90°，
∴∠A+∠ACF=90°，
∴∠AFC=90°，
∵∠ACF+∠BCF=90°，∠BCF+∠B=90°，
∴∠ACF=∠B，
∵∠ADC=∠DCB+∠B=∠DCF+∠ACF=∠ACD，
∴AC=AD；
（2）①如图4中，结论：∠DEF=∠FDG．
理由：在△DEF中，∠DEF+∠EFD+∠EDF=180°，
在△DFG中，∠GFD+∠G+∠FDG=180°，
∵∠EFD=∠GFD，∠G=∠EDF，
∴∠DEF=∠FDG．
②结论：BD=k•DE，
理由：如图4中，如图延长AC到K，使得∠CBK=∠ABC，

∵∠ABK=2∠ABC，∠EDF=2∠ABC，
∴∠EDF=∠ABK．
∵∠DFE=∠A，
∴△DFE∽△BAK，
∴＝，
∴BK=k•DE，
∴∠AKB=∠DEF=∠FDG．
∵BC=BC，∠CBD=∠CBK，
∴△BCD≌△BCK，
∴BD=BK，
∴BD=k•DE
【关键点拨】本题考查三角形综合题、三角形内角和定理、三角形外角的性质、全等三角形的判定和性质．相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
45．再读教材:
宽与长的比是 (约为0.618)的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调,匀称的美感.世界各国许多著名的建筑.为取得最佳的视觉效果,都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形.(提示; MN=2)
第一步,在矩形纸片一端.利用图①的方法折出一个正方形,然后把纸片展平.
第二步，如图②.把这个正方形折成两个相等的矩形,再把纸片展平.


第三步,折出内侧矩形的对角线 AB,并把 AB折到图③中所示的AD处，
第四步,展平纸片,按照所得的点D折出 DE,使 DE⊥ND,则图④中就会出现黄金矩形，
问题解决:
（1）图③中AB=________(保留根号);
（2）如图③,判断四边形 BADQ的形状,并说明理由;
（3）请写出图④中所有的黄金矩形,并选择其中一个说明理由.
（4）结合图④.请在矩形 BCDE中添加一条线段,设计一个新的黄金矩形,用字母表示出来,并写出它的长和宽.
【答案】（1）；(2)见解析;(3) 见解析; (4) 见解析.
【解析】
（1）如图3中．在Rt△ABC中，AB===．
故答案为：．
（2）结论：四边形BADQ是菱形．理由如下：
如图③中，∵四边形ACBF是矩形，∴BQ∥AD．
∵AB∥DQ，∴四边形ABQD是平行四边形，由翻折可知：AB=AD，∴四边形ABQD是菱形．

（3）如图④中，黄金矩形有矩形BCDE，矩形MNDE．

∵AD=．AN=AC=1，CD=AD﹣AC=﹣1．
∵BC=2，∴=，∴矩形BCDE是黄金矩形．
∵==，∴矩形MNDE是黄金矩形．
（4）如图④﹣1中，在矩形BCDE上添加线段GH，使得四边形GCDH为正方形，此时四边形BGHE为所求是黄金矩形．

长GH=﹣1，宽HE=3﹣．
【关键点拨】本题考查了几何变换综合题、黄金矩形的定义、勾股定理、翻折变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目．
46．阅读理解：在平面直角坐标系中，若两点P、Q的坐标分别是P（x1，y1）、
Q（x2，y2），则P、Q这两点间的距离为|PQ|=．如P（1，2），Q（3，4），则|PQ|==2．
对于某种几何图形给出如下定义：符合一定条件的动点形成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹．如平面内到线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线．
解决问题：如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+交y轴于点A，点A关于x轴的对称点为点B，过点B作直线l平行于x轴．
（1）到点A的距离等于线段AB长度的点的轨迹是　 　；
（2）若动点C（x，y）满足到直线l的距离等于线段CA的长度，求动点C轨迹的函数表达式；
问题拓展：（3）若（2）中的动点C的轨迹与直线y=kx+交于E、F两点，分别过E、F作直线l的垂线，垂足分别是M、N，求证：①EF是△AMN外接圆的切线；②为定值．

【答案】（1）x2+（y﹣）2=1；（2）动点C轨迹的函数表达式y=x2；（3）①证明见解析；②证明见解析.
【解析】
（1）设到点A的距离等于线段AB长度的点D坐标为（x，y），
∴AD2=x2+（y﹣）2，
∵直线y=kx+交y轴于点A，
∴A（0，），
∵点A关于x轴的对称点为点B，
∴B（0，﹣），
∴AB=1，
∵点D到点A的距离等于线段AB长度，
∴x2+（y﹣）2=1，
故答案为：x2+（y﹣）2=1；
（2）∵过点B作直线l平行于x轴，
∴直线l的解析式为y=﹣，
∵C（x，y），A（0，），
∴AC2=x2+（y﹣）2，点C到直线l的距离为：（y+），
∵动点C（x，y）满足到直线l的距离等于线段CA的长度，
∴x2+（y﹣）2=（y+）2，
∴动点C轨迹的函数表达式y=x2；
（3）①如图，
设点E（m，a）点F（n，b），
∵动点C的轨迹与直线y=kx+交于E、F两点，
∴，
∴x2﹣2kx﹣1=0，
∴m+n=2k，mn=﹣1，
∵过E、F作直线l的垂线，垂足分别是M、N，
∴M（m，﹣），N（n，﹣），
∵A（0，），
∴AM2+AN2=m2+1+n2+1=m2+n2+2=（m+n）2﹣2mn+2=4k2+4，
MN2=（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn=4k2+4，
∴AM2+AN2=MN2，
∴△AMN是直角三角形，MN为斜边，
取MN的中点Q，
∴点Q是△AMN的外接圆的圆心，
∴Q（k，﹣），
∵A（0，），
∴直线AQ的解析式为y=﹣x+，
∵直线EF的解析式为y=kx+，
∴AQ⊥EF，
∴EF是△AMN外接圆的切线；
②∵点E（m，a）点F（n，b）在直线y=kx+上，
∴a=mk+，b=nk+，
∵ME，NF，EF是△AMN的外接圆的切线，
∴AE=ME=a+=mk+1，AF=NF=b+=nk+1，
∴==2，
即：为定值，定值为2．

【关键点拨】本题是代数几何综合题，综合性较强，主要考查了待定系数法，两点间的距离公式，直角三角形的判定和性质，根与系数的关系，圆的切线的判定和性质，利用根与系数的确定出m+n=2k，mn=﹣1是解本题是关键．
47．（操作发现）
在计算器上输入一个正数，不断地按“”键求算术平方根，运算结果越来越接近1或都等于1．
（提出问题）
输入一个实数，不断地进行“乘以常数k，再加上常数b”的运算，有什么规律？
（分析问题）
我们可用框图表示这种运算过程（如图a）．
也可用图象描述：如图1，在x轴上表示出x1，先在直线y=kx+b上确定点（x1，y1），再在直线y=x上确定纵坐标为y1的点（x2，y1），然后再x轴上确定对应的数x2，…，以此类推．
（解决问题）
研究输入实数x1时，随着运算次数n的不断增加，运算结果x，怎样变化．

（1）若k=2，b=﹣4，得到什么结论？可以输入特殊的数如3，4，5进行观察研究；
（2）若k＞1，又得到什么结论？请说明理由；
（3）①若，b=2，已在x轴上表示出x1（如图2所示），请在x轴上表示x2，x3，x4，并写出研究结论；
②若输入实数x1时，运算结果xn互不相等，且越来越接近常数m，直接写出k的取值范围及m的值（用含k，b的代数式表示）
【答案】（1）当x1＜4时，随着运算次数n的增加，运算结果xn越来越小；当x1=4时，随着运算次数n的增加，运算结果xn的值保持不变，都等于4；当x1＞4时，随着运算次数n的增加，运算结果xn越来越大；（2）当x1＞时，随着运算次数n的增加，xn越来越大；当x1＜时，随着运算次数n的增加，xn越来越小；当x1=时，随着运算次数n的增加，xn保持不变；（3）①随着运算次数的增加，运算结果越来越接近；②﹣1＜k＜1且k≠0，m=．
【解析】
（1）若k=2，b=﹣4，y=2x﹣4，取x1=3，则x2=2，x3=0，x4=﹣4，…
取x1=4，则x2x3=x4=4，…
取x1=5，则x2=6，x3=8，x4=12，…由此发现：
当x1＜4时，随着运算次数n的增加，运算结果xn越来越小．
当x1=4时，随着运算次数n的增加，运算结果xn的值保持不变，都等于4．
当x1＞4时，随着运算次数n的增加，运算结果xn越来越大．
（2）当x1＞时，随着运算次数n的增加，xn越来越大．
当x1＜时，随着运算次数n的增加，xn越来越小．
当x1=时，随着运算次数n的增加，xn保持不变．
理由：如图1中，直线y=kx+b与直线y=x的交点坐标为（，），当x1＞时，对于同一个x的值，kx+b＞x，∴y1＞x1
∵y1=x2，∴x1＜x2，同理x2＜x3＜…＜xn，∴当x1＞时，随着运算次数n的增加，xn越来越大．
同理，当x1＜时，随着运算次数n的增加，xn越来越小．
当x1=时，随着运算次数n的增加，xn保持不变．
（3）①在数轴上表示的x1，x2，x3如图2所示．
随着运算次数的增加，运算结果越来越接近．
②由（2）可知：﹣1＜k＜1且k≠0，由消去y得到x=，∴由①探究可知：m=．

48．请阅读下列材料，并完成相应的任务：
在数学中，利用图形在变化过程中的不变性质，常常可以找到解决问题的办消去．著名美籍匈牙利数学家波利亚在他所著的《数学的发现》一书中有这样一个例子：请问如何在一个三角形ABC的AC和BC两边上分别取一点X和Y，使得AX=BY=XY．（如图）解决这个问题的操作步骤如下：
第一步，在CA上作出一点D，使得CD=CB，连接BD．第二步，在CB上取一点Y'，作Y'Z∥CA，交BD于点Z'，并在AB上取一点A'，使Z'A'=Y'Z'．第三步，过点A作AZ∥A'Z'，交BD于点Z．第四步，过点Z作ZY∥AC，交BC于点Y，再过点Y作YX∥ZA，交AC于点X．
则有AX=BY=XY．
下面是该结论的部分证明：
证明：∵AZ∥A'Z'，∴∠BA'Z'=∠BAZ，
又∵∠A'BZ'=∠ABZ．∴△BA'Z'～△BAZ．
∴ ．
同理可得．∴．
∵Z'A'=Y'Z'，∴ZA=YZ．

在数学中，利用图形在变化过程中的不变性质，常常可以找到解决问题的办消去．著名美籍匈牙利数学家波利亚在他所著的《数学的发现》一书中有这样一个例子：请问如何在一个三角形ABC的AC和BC两边上分别取一点X和Y，使得AX=BY=XY．（如图）解决这个问题的操作步骤如下：
第一步，在CA上作出一点D，使得CD=CB，连接BD．第二步，在CB上取一点Y'，作Y'Z∥CA，交BD于点Z'，并在AB上取一点A'，使Z'A'=Y'Z'．第三步，过点A作AZ∥A'Z'，交BD于点Z．第四步，过点Z作ZY∥AC，交BC于点Y，再过点Y作YX∥ZA，交AC于点X．
则有AX=BY=XY．
下面是该结论的部分证明：
证明：∵AZ∥A'Z'，∴∠BA'Z'=∠BAZ，
又∵∠A'BZ'=∠ABZ．∴△BA'Z'～△BAZ．
∴ ．
同理可得．∴．
∵Z'A'=Y'Z'，∴ZA=YZ．


任务：（1）请根据上面的操作步骤及部分证明过程，判断四边形AXYZ的形状，并加以证明；
（2）请再仔细阅读上面的操作步骤，在（1）的基础上完成AX=BY=XY的证明过程；
（3）上述解决问题的过程中，通过作平行线把四边形BA'Z'Y'放大得到四边形BAZY，从而确定了点Z，Y的位置，这里运用了下面一种图形的变化是　 　．
A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．位似
【答案】（1）四边形AXYZ是菱形，证明详见解析；（2）详见解析；（3）D.
【解析】
（1）四边形AXYZ是菱形．
证明：∵ZY∥AC，YX∥ZA，
∴四边形AXYZ是平行四边形．
∵ZA=YZ，
∴平行四边形AXYZ是菱形．
（2）证明：∵CD=CB，
∴∠1=∠3．
∵ZY∥AC，
∴∠1=∠2．
∴∠2=∠3．
∴YB=YZ．
∵四边形AXYZ是菱形，
∴AX=XY=YZ．
∴AX=BY=XY．
（3）通过作平行线把四边形BA'Z'Y'放大得到四边形BAZY，从而确定了点Z，Y的位置，此时四边形BA'Z'Y'∽四边形BAZY，所以该变换形式是位似变换．
故答案是：D（或位似）．

【关键点拨】
考查了相似综合题型，掌握菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，位似变换，位似图形的两个图形必须是相似形．
49．阅读理解：
如图①，图形l外一点P与图形l上各点连接的所有线段中，若线段PA1最短，则线段PA1的长度称为点P到图形l的距离．

例如：图②中，线段P1A的长度是点P1到线段AB的距离；线段P2H的长度是点P2到线段AB的距离．
解决问题：
如图③，平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为（8，4），（12，7），点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度向x轴正方向运动了t秒．
（1）当t=4时，求点P到线段AB的距离；
（2）t为何值时，点P到线段AB的距离为5？
（3）t满足什么条件时，点P到线段AB的距离不超过6？（直接写出此小题的结果）
【答案】（1）；（2）t=5或t=11；（3）8﹣≤t≤．
【解析】
（1）如图1，作AC⊥x轴于点C，则AC=4、OC=8，当t=4时，OP=4，∴PC=4，∴点P到线段AB的距离PA===；

（2）如图2，过点B作BD∥x轴，交y轴于点D．
①当点P位于AC左侧时，∵AC=4、P1A=5，∴P1C= ==3，∴OP1=5，即t=5；

②当点P位于AC右侧时，过点A作AP2⊥AB，交x轴于点P2，∴∠CAP2+∠EAB=90°，∵BD∥x轴、AC⊥x轴，∴CE⊥BD，∴∠ACP2=∠BEA=90°，∴∠EAB+∠ABE=90°，∴∠ABE=∠P2AC，在△ACP2和△BEA中，∵∠ACP2=∠BEA=90°，AE=BE，∠P2AC=∠ABE，∴△ACP2≌△BEA（ASA），∴AP2=BA= = =5，而此时P2C=AE=3，∴OP2=11，即t=11；
综上所述：t=5或t=11．
（3）如图3，①当点P位于AC左侧，且AP3=6时，则P3C===，∴OP3=OC﹣P3C=8﹣；

②当点P位于AC右侧，且P3M=6时，过点P2作P2N⊥P3M于点N，则四边形AP2NM是矩形，∴∠AP2N=90°，∠ACP2=∠P2NP3=90°，AP2=MN=5，∴△ACP2∽△P2NP3，且NP3=1，∴，即，∴P2P3=，∴OP3=OC+CP2+P2P3=8+3+=，∴当8﹣≤t≤时，点P到线段AB的距离不超过6．
【关键点拨】本题主要考查一次函数的综合问题，理解题意掌握点到线段的距离概念及分类讨论思想的运用、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．
50．对于平面直角坐标系中的图形，，给出如下定义：为图形上任意一点，为图形上任意一点，如果，两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形，间的“闭距离”，记作（，）．
已知点（，6），（，），（6，）．
（1）求（点，）；
（2）记函数（，）的图象为图形，若（，），直接写出的取值范围；
（3）的圆心为（t，0），半径为1．若（，），直接写出t的取值范围．
【答案】（1）2；（2）或；（3）或或．
【解析】
（1）如下图所示：

∵（，），（6，）
∴（0，）
∴（，）
（2）或


（3）或或．

【关键点拨】属于新定义问题，考查点到直线的距离，圆的切线的性质，认真分析材料，读懂“闭距离”的概念是解题的关键.