初中数学北师大版九年级上册7 相似三角形的性质课后作业题

相似三角形的性质及应用--知识讲解（基础） 

【学习目标】

1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算；

2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）.

【要点梳理】

要点一、相似三角形的应用

1.测量高度

测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.

要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法：

平面镜测量法      影子测量法      手臂测量法       标杆测量法

2.测量距离

测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。
　1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长.

 2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长.
　　

要点诠释：　

1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离;
　　2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比;
　　3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）;

4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．
 

要点二、相似三角形的性质

1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.

2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比.

     相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.

要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.

3. 相似三角形周长的比等于相似比.

 ∽，则

由比例性质可得：

4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方.

∽，则分别作出与的高和，则

要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.

【典型例题】

类型一、相似三角形的应用

1. 如图，我们想要测量河两岸相对应两点A、B之间的距离(即河宽) ，你有什么方法？
　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　

【答案与解析】如上图，先从B点出发与AB成90°角方向走50m到O处立一标杆，然后方向不变，继续向前走10m到C处，在C处转90°，沿CD方向再走17m到达D处，使得A、O、D在同一条直线上．那么A、B之间的距离是多少？
　　    ∵AB⊥BC，CD⊥BC,
　　　　∴∠ABO=∠DCO=90°.
　　　　又 ∵ ∠AOB=∠DOC,
　　　　∴△AOB∽△DOC.
　　　　∴.
　　　　∵BO=50m，CO=10m，CD=17m,
　　　　∴AB=85m.
　　    即河宽为85m．

【总结升华】这是一道测量河宽的实际问题，还可以借用相似三角形的对应边的比           相等，比例式中四条线段，测出了三条线段的长，必能求出第四条.

2. 如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m．
(1)图中△ABC与△ADE是否相似?为什么?
(2)求古塔的高度．
　　
【思路点拨】本题考查的是相似三角形的实际应用，要注意的是小明和古塔都与地面垂直，是平行的.

【答案与解析】(1)△ABC∽△ADE．
             ∵BC⊥AE，DE⊥AE，∴∠ACB=∠AED=90°.
             ∵∠A=∠A，∴△ABC∽△ADE .
              (2)由(1)得△ABC∽△ADE,
               ∴.
               ∵AC=2m，AE=2+18=20m，BC=1.6m，
               ∴.
               ∴DE=16m,
               即古塔的高度为16m.

【总结升华】解决相似三角形的实际应用题的关键是题中相似三角形的确定.

举一反三
【变式】小明把一个排球打在离他2米远的地上，排球反弹后碰到墙上，如果他跳起来击排球时的高度是1.8米，排球落地点离墙的距离是7米，假设排球一直沿直线运动，那么排球能碰到墙上离地多高的地方？

【答案】

如图，∵AB=1.8米，AP=2米，PC=7米，作PQ⊥AC,

根据物理学原理知∠BPQ=∠QPD,则∠APB=∠CPD，

∠BAP=∠DCP=90°，

∴ △ABP∽△CDP,

∴,

即,

∴DC=6.3米.

即球能碰到墙上离地6.3米高的地方.

类型二、相似三角形的性质

3. （2020•随州）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（　　）

A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：25

【思路点拨】根据相似三角形的判定定理得到△DOE∽△COA，根据相似三角形的性质定理得到=，==，结合图形得到=，得到答案．

【答案】B．

【解析】

解：∵DE∥AC，

∴△DOE∽△COA，又S△DOE：S△COA=1：25，

∴=，

∵DE∥AC，

∴==，

∴=，

∴S△BDE与S△CDE的比是1：4，

故选：B．

【总结升华】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．

举一反三

【变式】（2020•铜仁市）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（　　）

　 A．3：4 B． 9：16 C． 9：1 D． 3：1

【答案】B．

提示：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴DC∥AB，

∴△DFE∽△BFA，

∵DE：EC=3：1，

∴DE：DC=1=3：4，

∴DE：AB=3：4，

∴S△DFE：S△BFA=9：16．

 故选：B．

4.如图所示，已知△ABC中，AD是高，矩形EFGH内接于△ABC中，且长边FG在BC上，矩形相邻两边的比为1：2，若BC=30cm，AD=10cm.求矩形EFGH的面积.
　　　　　　　　

【思路点拨】相似三角形对应的高，中线，角分线对应成比例.

【答案与解析】∵ 四边形EFGH是矩形，∴ EH∥BC，
∴ △AEH∽△ABC.
∵ AD⊥BC，

∴ AD⊥EH，MD=EF.
∵ 矩形两邻边之比为1：2，

设EF=xcm，则EH=2xcm.
由相似三角形对应高的比等于相似比，得，
∴ ，

∴ ，

∴.
∴ EF=6cm，EH=12cm..
∴.

【总结升华】解决有关三角形的内接矩形、内接正方形的计算问题，经常利用相似三角形“对应高的比等于相似比”和“面积比等于相似比的平方”的性质，若图中没有高可以先作出高.

举一反三：

【变式】有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1∶200和1∶500，求：甲地图与乙地图的相似比和面积比.
【答案】设原地块为△ABC，地块在甲图上为△A1B1C1，在乙图上为△A2B2C2.
　　　　∴ △ABC∽△A1B1C1∽△A2B2C2
　　　　且，，
　　　　∴，
　　　　∴.