2022年重庆中考专题阅读材料之数的整除

这是一份2022年重庆中考专题阅读材料之数的整除，共11页。试卷主要包含了表示数，化简，取值，验证，取最值等内容，欢迎下载使用。

入门测：
1.对于一个三位正整数t,将各数位上的数字重新排序后(包括本身),得到一个新的三位数(a≤c),在所有重新排列的三位数中,当|a+c-2b|最小时,称此时的为t的“最优组合”,并规定F(t)=|a-b|-|b-c|,例如:124重新排序后为:142、214，因为|1+4-4|=1,
|1+2-8|=5,|2+4-2|=4,所以124为124的“最优组合”,此时F(124)=-1.
(1)三位正整数t中,有一个数位上的数字是另外两数位上的数字的平均数,求证:F(t)=0
(2)一个正整数,由N个数字组成,若从左向右它的第一位数能被1整除,它的前两位数能被2整除,前三位数能被3整除,…,一直到前N位数能被N整除,我们称这样的数为“善雅数”.例如:123的第一位数1能披1整除,它的前两位数12能被2整除,前三位数123能被3整除,则123是一个“善雅数”.若三位“善雅数”m=200+10x+y(0≤x≤9,0≤y≤9,x、y为整数),m的各位数字之和为一个完全平方数,求出所有符合条件的“善雅数”中F(m)的最大值.
例题讲解：
例1（数的简单整除）：求方程的所有正整数解
变式训练：求方程的所有非负整数解
例2（明确新定义）：一个三位正整数N，各个数位上的数字互不相同且都不为0，若从它的百位、十位、个位上的数字任意选择两个数字组成两位数，所有这些两位数的和等于这个三位数本身，则称这样的三位数N为“公主数”，例如：132，选择百位数字1和十位数字3组成的两位数为13和31，选择百位数字1和个位数字2组成的两位数为12和21，选择十位数字3和个位数字2组成的两位数为32和23。因为13+31+12+21+32+23=132，所以132是“公主数”。
试判断123是不是“公主数”？请说明理由。
变式训练：若一个三位整数，百位上数字的2倍加上十位上数字的3倍，再加上个位上数字所得的和能被7整除，则称这个整数为“劳动数”．例如：判断210是“劳动数”的过程如下：2×2+3×1+0=7，∵7能被7整除，∴210是“劳动数”；
判断322是“劳动数”的过程如下：2×3+3×2+2=14，∵14能被7整除，∴322是“劳动数”；
试证明：所有的“劳动数”均能被7整除．
例3（求数）：有一个百位数字为1的三位整数，它能被7整除。将这个三位数的百位数字和个位数字交换所产生的新三位整数仍能够被7整除，求这个三位数。
变式训练：若一个正整数，它的各位数字是左右对称的，则称这个数是对称数，如22,797，12321都是对称数．最小的对称数是11，没有最大的对称数，因为数位是无穷的．
问：若将一个三位对称数减去其各位数字之和，所得的结果能被11整除，求满足条件的三位对称数？
例4（求最值）：一个三位自然数m．将它任意两个数位上的数字对调后得一个首位不为0的新三位自然数m'（m'可以与m相同），记m'=，在m’所有的可能情况中，当|a+2b﹣c|最小时，我们称此时的m’是m的“幸福美满数”，并规定K（m）=a2+2b2﹣c2．例如：318按上述方法可得新数有：381、813、138；因为|3+2×1﹣8|=3，|3+2×8﹣1|=18，|8+2×1﹣3|=7，|1+2×3﹣8|=1，1＜3＜7＜18．所以138是318的“幸福美满数”．K（318）=12+2×32﹣82=﹣45．
设三位自然数s=100+10x+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y为自然数），且x＜y，交换其个位与十位上的数字得到新数s'，若19s+8s'=3888，那么我们称s为“梦想成真数”，求所有“梦想成真数”中K（s）的最大值．
变式训练：对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数p,将它各个数位上的数字平方后再取其个位,得到三个新的数字;再将这三个新数字重新组合成三位数xyz,当|x+2y-z|的值最小时,称此时的xyz为自然数p的理想数,并规定K(p)=(x-z)2+y,例如245,各数字平方后取个位分别为4,6,5,再重新组合为465,456,546,564,654,645,因为|5+2×4-6|=7最小,所以546是原三位数245的理想数,此时K(p)=(5-6)2+4=5;
若一个三位正整数的十位数字是个位数字的2倍,则称这个数位自信数,例如384,其中8=4×2,所以384是自信数;对于一个各数位上的数字均不为0三位正整数p,把它的个位数字和百位数字交换所得的新三位数记为p1,把它的个位数字和十位数字交换所得到的新三位数记为p2,若p1,p2,p这三个数的和能被29整除,则称这个数p为成功数.若一个成功数p也是自信数,求所以符合条件的成功数中K(p)的最小值.
解题技巧：1.审题：读懂题意，明确新定义。
2.表示数：要体现出新定义数的特点。
3.化简：根据题目要求计算并进行化简。
4.取值：保证系数足够小，限定数的取值范围，同时观察式子的特点，缩小分类讨论的情况，如：试题的隐含条件（小于9的正整数），奇偶性等。
5.验证：验证所得到的数是否符合题意。
6.取最值：根据新定义的计算公式求出各数的值，并比较大小。
三、课堂练习：
1.如果一个自然数从高位到个位是由一个数字或几个数字重复出现组成，那么我们把这样的自然数叫做循环数，重复的一个或几个数字称为“循环节”，我们把“循环节”的数字个数叫做循环节的阶数．例如：525252，它由“52”依次重复出现组成，所以525252是循环数，它是2阶6位循环数，再如：77，是1阶2位循环数，135135135是3阶9位循环数…
（1）请你直接写出2个2阶4位循环数，并证明对于任意一个2阶4位循环数，若交换其循环节的数字所得到的新数和原数的差能够被9整除；
（2）已知一个能被9整除的2阶4位循环数，设循环节为ab，求a，b应满足的关系．
2.我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）=．
例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）=．
（1）如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数．
求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；
（2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；
（3）在（2）所得“吉祥数”中，求F（t）的最大值．
四、课后作业：
1、若整数a能被整数b整除，则一定存在整数n，使得，即a=bn．例如若整数a能被11整除，则一定存在整数n，使得=n，即a=11n．一个能被11整除的自然数我们称为“光棍数”，他的特征是奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，如：42559奇数位的数字之和为4+5+9=18．偶数位的数字之和为2+5=7.18﹣7=I1是11的倍数．所以4259为“光棍数”．
①请你证明任意一个四位“光棍数”均满足上述规律；
②若七位整数能被11整除．请求出所有符合要求的七位整数．
2.将一个三位正整数n各数位上的数字重新排列后(含n本身)．得到新三位数abc(a＜c)，在所有重新排列中，当eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋c－2b))最小时，我们称abc是n的“调和优选数”，并规定F(n)＝b2－ac.例如215可以重新排列为125、152、215，因为eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(1＋5－2×2))＝2，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(1＋2－2×5))＝7，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(2＋5－2×1))＝5，且2＜5＜7，所以125是215的“调和优选数”，F(215)＝22－1×5＝－1.
(1)F(236)＝________；
(2)如果在正整数n三个数位上的数字中，有一个数是另外两个数的平均数，求证：F(n)是一个完全平方数；
(3)设三位自然数t＝100x＋60＋y(1≤x≤9，1≤y≤9，x，y为自然数)，交换其个位上的数字与百位上的数字得到数t′.若t－t′＝693，那么我们称t为“和顺数”．求所有“和顺数”中F(t)的最大值．
3、一个三位正整数M，其各位数字互不相同且都不为0，若将M的十位数字与百位数字交换位置，得到一个新的三位数，我们称这个三位数为M的“情谊数”， 如：168的“情谊数”为618；若从M的百位数字、十位数字、个位数字中任选两个组成一个新的两位数，并将得到的所有两位数求和，我们称这个和为M的“团结数”，如：123的“团结数”为12＋13＋21＋23＋31＋32＝132。
（1）求证：M与其“情谊数”的差能被15整除；
（2）若一个三位正整数N，其百位数字为2，十位数字为a，个位数字为b，且各位数字互不相等（a≠0，b≠0），若N的“团结数”与N之差为24，求N的值。
4.如果把一个奇数位的自然数各数为上的数字从最高位到个位依次排列，与从个位到最高位依次排列出的一串数字完全相同，相邻两个数位上的数字之差的绝对值相等（不等于0），且该数正中间的数字与其余数字均不同，我们把这样的自然数称为“阶梯数”，例如自然数12321，从最高位到个位依次排出的一串数字是：1，2，3，2，1，从个位到最高位依次排出的一串数字仍是：1，2，3，2，1，且|1﹣2|=|2﹣3|=|3﹣2|=|2﹣1|=1，因此12321是一个“阶梯数”，又如262，85258，…，都是“阶梯数”，若一个“阶梯数”t从左数到右，奇数位上的数字之和为M，偶数位上的数字之和为N，记P（t）=2N﹣M，Q（t）=M+N．
（1）已知一个三位“阶梯数”t，其中P（t）=12，且Q（t）为一个完全平方数，求这个三位数；
（2）已知一个五位“阶梯数”t能被4整除，且Q（t）除以4余2，求该五位“阶梯数”t的最大值与最小值．
5.对于各位数字都不为0的两位数m和三位数n,将m中的任意一个数字作为一个新的两位数的十位数字,将n中的任意一个数字作为该新数的两位数的个位数字,按照这种方式产生的所有新的两位数的和记为F(m,n),例如:F(12.345)=13+14+15+23+24+25=114
(1)空:F(24.579)=_________,并求证：当n能被3整除时,F(m.n)一定能被6整除；
(2)若一个两位数s=21x+y,一个三位数t=12x+y+198(其其中1≤x≤4,1≤y≤5，且x、y均为整数)。交换三位数t的百位数字和个位数字得到新数t′,当t′与s的个位数字的3倍的和被7除余1时,称这样的两个数s和t为“幸运数对”,求所有“幸运数对”中F（s,t)的最大值。