专训12 一元二次方程根与系数的关系应用-2021-2022学年九年级数学上册计算力提升训练（人教版）

计算力专训十二、一元二次方程根与系数的关系应用

牛刀小试

1．（2021·东莞市石碣中学月考）已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣2＝0的两根，则x12+x22的值为（　　）

A．5 B．10 C．11 D．13

【答案】D

【解析】

【分析】

利用根与系数的关系得到再利用完全平方公式得到然后利用整体代入的方法计算．

【详解】

解：根据题意得

所以

故选：D．

【点睛】

本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系，以及完全平方公式的变形，掌握以上知识是解题的关键．

2．（2021·安徽安庆·期中）已知a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，则a2+b2+ab的值为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C

【解析】

【分析】

根据一元二次方程根与系数的关系直接进行求解即可．

【详解】

解：∵a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，

∴a+b＝2，ab＝﹣1，

∴a2+b2+ab

＝（a+b）2﹣ab

＝4+1

＝5．

故选：C．

【点睛】

本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．

3．（2018·安徽宣城·初二单元测试）已知：x1，x2是方程x2﹣2x﹣5＝0的两根，则2x12+x22﹣2x1＝（　　）

A．16 B．17 C．18 D．19

【答案】D

【解析】

【分析】

根据根与系数的关系结合一元二次方程的解可得出：x12-2x1=5，x1+x2=2，x1x2=-5，将其代入2x12+x22-2x1=（x12-2x1）+（x1+x2）2-2x1x2中即可求出结论．

【详解】

∵x1，x2是方程x2-2x-5=0的两根，
∴x12-2x1=5，x1+x2=2，x1x2=-5，
∴2x12+x22-2x1=（x12-2x1）+（x1+x2）2-2x1x2=5+22-2×（-5）=19．
故选D．

【点睛】

本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，利用根与系数的关系及一元二次方程的解找出x12-2x1=5，x1+x2=2，x1x2=-5是解题的关键．

4．（2021·淮南市龙湖中学月考）设a、b是一元二次方程x2+2x-7=0的两个根，则a2+3a+b的值为（    ）

A．-1 B．2 C．5 D．8

【答案】C

【解析】

【分析】

根据根与系数的关系可知a+b=-2，又知a是方程的根，所以可得a2+2a-7=0，最后可将a2+3a+b变成a2+2a+a+b，最终可得答案．

【详解】

解：∵设a、b是一元二次方程x2+2x-7=0的两个根，
∴a+b=-2，
∵a是原方程的根，
∴a2+2a-7=0，即a2+2a=7，
∴a2+3a+b=a2+2a+a+b=7-2=5，
故选C．

【点睛】

本题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是把a2+3a+b转化为a2+2a+a+b的形式，结合根与系数的关系以及一元二次方程的解即可解答．

5．（2021·合肥一六八中学初二月考）已知m，n是关于x的一元二次方程的两个解，若，则a的值为（    ）

A．﹣10 B．4 C．﹣4 D．10

【答案】C

【解析】

【分析】

【详解】

解：∵m，n是关于x的一元二次方程的两个解，∴m+n=3，mn=a．

∵，即，

∴，解得：a=﹣4．

故选C．

熟能生巧

6．（2021·桂林·广西师大附属外国语学校月考）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2＝0．

（1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；

（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且（x1﹣x2）2+m2＝21，求m的值．

【答案】（1）-2；（2）2．

【解析】

【分析】

（1）利用判别式的意义得到△＝（2m+1）2﹣4（m2﹣2）≥0，然后解不等式得到m的范围，再在此范围内找出最小整数值即可；

（2）利用根与系数的关系得到x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2﹣2，再利用（x1﹣x2）2+m2＝21得到（2m+1）2﹣4（m2﹣2）+m2＝21，接着解关于m的方程，然后利用（1）中m的范围确定m的值．

【详解】

解：（1）根据题意得△＝（2m+1）2﹣4（m2﹣2）≥0，

解得m≥﹣，

所以m的最小整数值为﹣2；

（2）根据题意得x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2﹣2，

∵（x1﹣x2）2+m2＝21，

∴（x1+x2）2﹣4x1x2+m2＝21，

∴（2m+1）2﹣4（m2﹣2）+m2＝21，

整理得m2+4m﹣12＝0，解得m1＝2，m2＝﹣6，

∵m≥﹣，

∴m的值为2．

【点睛】

本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数关系，掌握相关公式正确计算是本题的解题关键.

7．（2021·安徽安庆·期中）已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2＝2有两个不相等的实数根x1，x2．

（1）求k的取值范围；

（2）若x12+x22＝11，求k的值．

【答案】（1）k＞﹣；（2）k＝1

【解析】

【分析】

（1）根据根的判别式得出关于k的不等式，求出不等式的解集即可；
（2）根据根与系数的关系得出x1+x2=2k+1，x1•x2=k2-2，根据完全平方公式变形后代入，得出（2k+1）2-2（k2-2）=11，再求出即可．

【详解】

解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，

∴△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（k2﹣2）＝4k+9＞0，

解得：k＞﹣．

故k的取值范围是k＞﹣；

（2）根据根与系数的关系得：x1+x2＝2k+1，x1•x2＝k2﹣2，

∵方程的两个实数根为x1、x2，且满足x12+x22＝11，

∴（x1+x2）2﹣2x1•x2＝11，

（2k+1）2﹣2（k2﹣2）＝11，

解得：k＝﹣3或1，

∵关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0有两个不相等的实数根，

必须k＞﹣，

∴k＝﹣3舍去，

所以k＝1．

【点睛】

本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能熟记根的判别式和根与系数的关系的内容是解此题的关键．

8．（2018·安徽安庆·单元测试）已知关于x的一元二次方程

求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；

若a和b是这个一元二次方程的两个根，求的最小值．

【答案】（1）证明见解析；（2）3.

【解析】

【分析】

（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=m2+4＞0，从而证出无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；

（2）由根与系数的关系可得出a+b=﹣[﹣（m+2）]，ab=m，结合a2+b2=（a+b）2﹣2ab解答．

【详解】

（1）在关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m=0中a=1，b=﹣（m+2），c=m，

所以△=m2+4m+4﹣4m=m2+4，

无论m取何值，m2+4＞0，

所以，无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；

（2）因为a和b是这个一元二次方程的两个根，

所以a+b=﹣[﹣（m+2）]=m+2，ab=m，

所以a2+b2=（a+b）2﹣2ab=（m+2）2﹣2m=m2+2m+4=（m+1）2+3．

无论m为何值，（m+1）2≥0，所以a2+b2的最小值为3．

【点睛】

本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2=﹣，x1•x2=．

9．（2021·安徽蚌埠·初二期末）关于x的一元二次方程x2+3x+m-1=0的两个实数根分别为x1,x2．

（1）求m的取值范围．

（2）若2（x1+x2）+ x1x2+10=0．求m的值.

【答案】（1）m≤．　

（2）m=-3.

【解析】

【分析】

（1）方程有两个实数根，必须满足△=b2﹣4ac≥0，从而求出实数m的取值范围；

（2）先由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=3，x1x2=m-1．再代入等式2（x1+x2）+ x1x2+10=0，即可求得m的值．

【详解】

（1）∵关于x的一元二次方程x2+3x+m-1=0的两个实数根分别为x1,x2．∴　　⊿≥0．

　　即　32-4（m-1）≥0，解得,m≤．　

（2）由已知可得　x1+x2=3　　 x1x2=m-1

　 又2（x1+x2）+ x1x2+10=0 ∴2×（-3）+m-1+10=0　　∴m=-3

10．（2021·利辛县阚疃金石中学初二月考）若方程的两根是 求

【答案】6

【解析】

【分析】

根据一元二次方程根与系数关系可得α+β=3， ，然后利用完全平方公式将变形为，代入求值即可．

【详解】

解：因为方程的两根是

∴α+β==3，

∴==

【点睛】

本题考查一元二次方程根与系数的关系及利用完全平方公式的变形进行计算，掌握一元二次方程，，是解题关键．

庖丁解牛

11．（2021·江西会昌·初三期中）关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有两个实数根x1、x2．

（1）求k的取值范围；

（2）若x1+x2＝1﹣x1x2，求k的值．

【答案】（1）；（2）

【解析】

试题分析：（1）方程有两个实数根，可得代入可解出的取值范围；
（2）由韦达定理可知，列出等式，可得出的值．

试题解析：(1)∵Δ＝4(k－1)2－4k2≥0，∴－8k＋4≥0，∴k≤；

(2)∵x1＋x2＝2(k－1)，x1x2＝k2，∴2(k－1)＝1－k2，

∴k1＝1，k2＝－3.

∵k≤，∴k＝－3.