2022年苏教版中考数学压轴题经典模型教案专题14 函数与直角三角形综合问题

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【压轴必刷】2022中考数学压轴大题之经典模型培优案
专题14函数与直角三角形综合问题
经典例题



【例1】综合与探究
抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线l经过B，C两点，点P为抛物线上一个动点（不与B，C重合）．
（1）求A，B，C三点的坐标及直线l的表达式；
（2）如图1，当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，设点P的横坐标为m．
①求线段PE的长（用含m的代数式表示）；
②请求出线段PE的最大值；
（3）如图2，点Q为抛物线对称轴上一点，是否存在点Q，使以点B，C，Q为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．


【例2】已知抛物线y＝x2﹣（2m﹣1）x+4m﹣6．
（1）试说明：不论m取任何实数，该抛物线都经过x轴上的定点A．
（2）设该抛物线与x轴的另一个交点为B（A与B不重合），顶点为C，当△ABC为直角三角形时，求m的值．
（3）在（2）的条件下，若点B在A的右侧，点D（0，3），点E是抛物线上的一点．问：在x轴上是否存在一点F，使得以D，E，F为顶点的三角形是等腰直角三角形，且∠EDF＝90°，若存在，求F点的坐标；若不存在，请说明理由．
【例3】如图，直线与坐标轴交于A，G两点，经过B（2，0）、C（6，0）两点的抛物线y＝ax2+bx+2与直线交于A，D两点．

（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）点M是抛物线上位于直线AD下方上的一个动点，当点M运动到什么位置时△MDA的面积最大？最大值是多少？
（3）在x轴上是否存在点P，使以A、P、D为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【例4】综合与探究
抛物线y＝﹣x2+x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线l经过B，C两点，点P为抛物线上一个动点（不与B，C重合）．
（1）求A，B，C三点的坐标及直线l的表达式；
（2）如图1，当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，设点P的横坐标为m．
①求线段PE的长（用含m的代数式表示）；
②请求出线段PE的最大值；
（3）如图2，点Q为抛物线对称轴上一点，是否存在点Q，使以点B，C，Q为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【例5】已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在x轴的负半轴上，直线y=-3x+723与x轴、y轴分别交于B、C两点，四边形ABCD为菱形．
（1）如图1，求点A的坐标；
（2）如图2，连接AC，点P为△ACD内一点，连接AP、BP，BP与AC交于点G，且∠APB＝60°，点E在线段AP上，点F在线段BP上，且BF＝AE，连接AF、EF，若∠AFE＝30°，求AF2+EF2的值；
（3）如图3，在（2）的条件下，当PE＝AE时，求点P的坐标．


培优训练


1．如图1，以点M（1，4）为顶点的抛物线与直线y＝﹣x+交于A，B两点，且点A坐标为（4，﹣），点B在y轴上．
（1）求抛物线解析式；
（2）若点D是抛物线上位于直线AB上方的一点（如图2），过点D作DE⊥x轴于点E，交直线AB于点F，求线段DF长度的最大值；
（3）在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使以点A，M，P为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2．如图，抛物线y＝x2+bx+12（b＜0）与x轴交于A，B两点（A点在B点左侧），且OB＝3OA．
（1）请直接写出b＝　 　，A点的坐标是　 　，B点的坐标是　 　；
（2）如图（1），D点从原点出发，向y轴正方向运动，速度为2个单位长度/秒，直线BD交抛物线于点E，若BE＝5DE，求D点运动时间；
（3）如图（2），F点是抛物线顶点，过点F作x轴平行线MN，点C是对称轴右侧的抛物线上的一定点，P点在直线MN上运动．若恰好存在3个P点使得△PAC为直角三角形，请求出C点坐标，并直接写出P点的坐标．

3．二次函数y＝ax2+bx+c交x轴于点A（﹣1，0）和点B（﹣3，0），交y轴于点C（0，﹣3）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图1，点E为抛物线的顶点，点T（0，t）为y轴负半轴上的一点，将抛物线绕点T旋转180°，得到新的抛物线，其中B，E旋转后的对应点分别记为B′，E′，当四边形BEB'E'的面积为12时，求t的值；
（3）如图2，过点C作CD∥x轴，交抛物线于另一点D．点M是直线CD上的一个动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点P．当以点B、C、P为顶点的三角形是直角三角形时，求所有满足条件的点M的坐标．

4．已知二次函数y＝x2+bx+c经过A、B两点，BC垂直x轴于点C，且A（﹣1，0），C（4，0），AC＝BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）请画出抛物线的图象；
（3）点P是抛物线对称轴上一个动点，是否存在这样的点P，使三角形ABP为直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

5．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣，交y轴于点A，交x轴于B（﹣1，0），C（5，0）两点，抛物线的顶点为D，连接AC，CD．
（1）求直线AC的函数表达式；
（2）求抛物线的函数表达式及顶点D的坐标；
（3）过点D作x轴的垂线交AC于点G，点H为线段CD上一动点，连接GH，将△DGH沿GH翻折到△GHR（点R，点G分别位于直线CD的两侧），GR交CD于点K，当△GHK为直角三角形时．
①请直接写出线段HK的长为　 　；
②将此Rt△GHK绕点H逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到△MHN，若直线MN分别与直线CD，直线DG交于点P，Q，当△DPQ是以PQ为腰的等腰三角形时，请直接写出点P的纵坐标为　 　．

6．已知抛物线y＝x2﹣2x﹣m与x轴有两个交点A和B，与y轴交于点C，顶点为点D．
（1）求m的取值范围；
（2）若AB＝6，求m的值；
（3）若m＝1，点P在抛物线上，且△PDC是直角三角形，直接写出点P的坐标．
7．如图，已知顶点是M的抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线对应的函数解析式；
（2）点P是x轴上方抛物线上的一点，若△PAB的面积等于3，求点P的坐标；
（3）是否在y轴存在一点Q，使得△QBM为直角三角形？若存在，求出Q的坐标，若不存在，说明理由．

8．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c过A，B，C三点，点A的坐标是（3，0），点C的坐标是（0，﹣3），动点P在抛物线上．
（1）b＝　 　，c＝　 　（直接填写结果）；
（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．

9．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，过A点的直线l：y＝﹣x﹣1与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，已知点D的横坐标为4，点P为直线l上方的抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过P点作PE∥y轴交直线l于点E，作PF∥x轴交直线l于点F，连接AP．
①当△APE为直角三角形时，求点P的坐标；
②求PE+PF的最大值，并求出当PE+PF最大时点P的坐标．

10．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点（0，3）．
①求抛物线的解析式；
②点P是x轴下方的抛物线上的一个动点，过点P的直线y＝x+m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，当PE+EF有最大值时，求P点的坐标；
③在抛物线的对称轴上是否存在一点D使△BCD是以BC为斜边的直角三角形，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

11．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC，点A在y轴上，点C在x轴上，其中B（﹣2，3），已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A和点B．

（1）求抛物线解析式；
（2）如图1，点D（﹣2，﹣1）在直线BC上，点E为y轴右侧抛物线上一点，连接BE、AE，DE，若S△BDE＝4S△ABE，求E点坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，P为射线DB上一点，作PQ⊥直线DE于点Q，连接AP，AQ，PQ，若△APQ为直角三角形，请直接写出P点坐标．
12．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝a（x﹣m）2﹣m+4图象的顶点为C，其中m＞0，与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点D，点M的坐标为（0，4）．
（1）当m＝2时，抛物线y＝a（x﹣m）2﹣m+4（m＞0）经过原点，求a的值；
（2）当a＝﹣1时，
①若点M，点D，点C三点组成的三角形是直角三角形，求此时点D的坐标．
②设反比例函数y＝﹣（x＞0）与抛物线y＝a（x﹣m）2﹣m+4（m＞0）相交于点E（p，q）．当2＜p＜4时，求m的取值范围．

13．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4经过A（﹣3，0），B（5，﹣4）两点，与y轴交于点C，连接AB，AC，BC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求证：AB平分∠CAO；
（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ABM是以AB为直角边的直角三角形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

14．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线l与抛物线y＝mx2+nx相交于A（1，33），B（4，0）两点．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）在坐标轴上是否存在点D，使得△ABD是以线段AB为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；
（3）点P是线段AB上一动点，（点P不与点A、B重合），过点P作PM∥OA，交第一象限内的抛物线于点M，过点M作MC⊥x轴于点C，交AB于点N，若△BCN、△PMN的面积S△BCN、S△PMN满足S△BCN＝2S△PMN，求出MNNC的值，并求出此时点M的坐标．

15．操作：“如图1，P是平面直角坐标系中一点（x轴上的点除外），过点P作PC⊥x轴于点C，点C绕点P逆时针旋转60°得到点Q．”我们将此由点P得到点Q的操作称为点的T变换．

（1）点P（a，b）经过T变换后得到的点Q的坐标为　（a+32b，12b）　；若点M经过T变换后得到点N（6，-3），则点M的坐标为　（9，﹣23）　．
（2）A是函数y=32x图象上异于原点O的任意一点，经过T变换后得到点B．
①求经过点O，点B的直线的函数表达式；
②如图2，直线AB交y轴于点D，求△OAB的面积与△OAD的面积之比．
16．如图，一次函数y=34x+6的图象交x轴于点A、交y轴于点B，∠ABO的平分线交x轴于点C，过点C作直线CD⊥AB，垂足为点D，交y轴于点E．
（1）求直线CE的解析式；
（2）在线段AB上有一动点P（不与点A，B重合），过点P分别作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足为点M、N，是否存在点P，使线段MN的长最小？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；
（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；
（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．且直线y＝x﹣6过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称，点P是线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线BD于点N．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）当△MDB的面积最大时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

19．在平面直角坐标系中，抛物线L1：y＝ax2﹣2x的对称轴为直线x＝﹣2，顶点为A．将抛物线L1沿y轴对称，得到抛物线L2，顶点为B．
（1）求a的值．
（2）求抛物线L2的表达式．
（3）请问在抛物线L1或L2上是否存在点P，使以点P、A、B为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

20．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），点A的坐标是（3，0），抛物线的对称轴是直线x＝1．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点P为第四象限内抛物线上一点，且△PBC是直角三角形，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在直线BC上是否存在点Q，使∠PQB＝∠CPB，若存在，求出点Q坐标：若不存在，请说明理由．


【压轴必刷】2022中考数学压轴大题之经典模型培优案
专题14函数与直角三角形综合问题
经典例题



【例1】综合与探究
抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线l经过B，C两点，点P为抛物线上一个动点（不与B，C重合）．
（1）求A，B，C三点的坐标及直线l的表达式；
（2）如图1，当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，设点P的横坐标为m．
①求线段PE的长（用含m的代数式表示）；
②请求出线段PE的最大值；
（3）如图2，点Q为抛物线对称轴上一点，是否存在点Q，使以点B，C，Q为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．


【分析】（1）分别令x＝0，y＝0，求出点A、B、C的坐标，然后用待定系数法求直线l的解析式；
（2）①用含m的式子表示点P的纵坐标，再将P的纵坐标代入直线l的解析式中求出点E的横坐标，最后即可得到EP的长；
②利用二次函数的顶点式求出EP的最大值；
（3）设点Q（1，a），然后分类讨论利用勾股定理列出关于a的方程求解．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝2，
∴C（0，2），
当y＝0时，﹣x2+x+2＝0，解得：x＝﹣1或x＝3，
∵点A在点B的左侧，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
设直线l的表达式为y＝kx+b，
将点B（3，0），C（0，2）代入得：，
解得：，
∴直线l的表达式为y＝﹣x+2；
（2）①设P（m，﹣m2+m+2），
∵PE∥x轴，
∴点E和点P的纵坐标相同，
又∵点E在直线l上，
∴﹣m2+m+2＝﹣x+2，
∴x＝m2﹣2m，
∴EP＝m﹣（m2﹣2m）＝﹣m2+3m；
②EP＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣1＜0，
∴m＝时，线段PE的最大值是；
（3）存在，理由如下，
∵x＝﹣＝1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
设Q（1，a），
∵B（3，0），C（0，2），
①当∠QCB＝90°时，CQ2+CB2＝BQ2，
∴12+（a﹣2）2+32+22＝（3﹣1）2+a2，
解得：a＝，
∴Q1（1，），
②当∠QBC＝90°时，BQ2+CB2＝CQ2，
∴（3﹣1）2+a2+32+22＝12+（a﹣2）2，
解得：a＝﹣3，
∴Q2（1，﹣3），
③当∠CQB＝90°时，BQ2+CQ2＝CB2，
∴（3﹣1）2+a2+12+（a﹣2）2＝32+22，
解得：a＝1+或a＝1﹣，
∴Q3（1，1+），Q4（1，1﹣），
综上所述：点Q的坐标是（1，）或（1，﹣3）或（1，1+）或（1，1﹣）．
【例2】已知抛物线y＝x2﹣（2m﹣1）x+4m﹣6．
（1）试说明：不论m取任何实数，该抛物线都经过x轴上的定点A．
（2）设该抛物线与x轴的另一个交点为B（A与B不重合），顶点为C，当△ABC为直角三角形时，求m的值．
（3）在（2）的条件下，若点B在A的右侧，点D（0，3），点E是抛物线上的一点．问：在x轴上是否存在一点F，使得以D，E，F为顶点的三角形是等腰直角三角形，且∠EDF＝90°，若存在，求F点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）当x＝2时，得出y的值为固定值，即可说明抛物线过定点A；
（2）由抛物线的性质知只有∠ACB有可能是直角，根据题意列出关于m的方程，求出m即可；
（3）先确定抛物线的解析式，然后设出点E的坐标和点F的坐标，根据等腰直角三角形的性质及∠EDF＝90°列出关于点F的坐标的关系式，即可求出F的坐标．
【解答】解：（1）取x＝2，则y＝22﹣（2m﹣1）×2+4m﹣6＝0，
∴抛物线过x轴上定点A（2，0）；
（2）∵当y＝x2﹣（2m﹣1）x+4m﹣6＝（x﹣2）（x﹣2m+3）＝0时，
有x＝2或x＝2m﹣3，
∴点B（2m﹣3，0），
∴抛物线的对称轴为x＝m﹣，
当x＝m﹣时，y＝（﹣2）（﹣2m+3）＝﹣＝，
∴C（m﹣，），
∵△ABC为直角三角形，
∴∠ACB＝90°，
又∵AC＝BC，
∴|2m﹣3﹣2|＝2，
解得m＝或m＝或m＝
当m＝时，A与B重合，
∴m＝舍去，
∴m＝，
∴m＝或m＝；
（3）∵点B在A的右侧，
∴2m﹣3＞2，
解得m，
∴m＝，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣6x+8，
设E（x，x2﹣6x+8），F（n，0）（n＜0），
又∵以D，E，F为顶点的三角形是等腰直角三角形，且∠EDF＝90°，
如图，过点D作HK平行x轴，HF⊥x轴于点F，KE⊥x轴，

∵∠FDE＝90°，
∴∠FDH+∠KDE＝90°，
又∵∠FDH+∠HFD＝90°，
在△DHF和△EKD中，
，
∴△DHF≌△EKD（AAS），
∴HF＝DK＝3，HD＝KE＝﹣n，
∴E到x轴的距离为3，
∴|x|＝3，
∴x＝±3，
当x＝3时，y＝x2﹣6x+8＝9﹣18+8＝﹣1，
∴KE＝4，
∴﹣n＝4，
∴n＝﹣4，
∴F（﹣4，0），
当x＝﹣3时，y＝x2﹣6x+8＝9+18+8＝35，
∴E（﹣3，35），
又∵D（0，3），
∴﹣n+3＝35，
∴n＝﹣32，
∴F（﹣32，0），
综上，F（﹣4，0）或F（﹣32，0）．
【例3】如图，直线与坐标轴交于A，G两点，经过B（2，0）、C（6，0）两点的抛物线y＝ax2+bx+2与直线交于A，D两点．

（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）点M是抛物线上位于直线AD下方上的一个动点，当点M运动到什么位置时△MDA的面积最大？最大值是多少？
（3）在x轴上是否存在点P，使以A、P、D为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由待定系数法可求出抛物线解析，联立直线和抛物线解析式可得出点D的坐标；
（2）如图1，过点M作y轴的平行线交线段AD于点N，设点N坐标为N（x，x+2），设M坐标为M（x，x2﹣x+2），可求出△MAD的面积，由二次函数的性质可得出答案；
（3）分三种情况：①当点P为直角顶点时，②当点A为直角顶点时，③当点D为直角顶点时，由直角三角形的性质及相似三角形的性质可得出答案．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bc+2经过B（2，0）、C（6，0）两点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式，
∵当x＝0时，y＝2，
∴点A的坐标为（0，2），
∴m＝2，即直线解析式为：，
∴抛物线与直线交于A、D两点，
∴，
解得，，
∴D（12，10）；

（2）如图1，过点M作y轴的平行线交线段AD于点N，

设点M的坐标为，
则点N的坐标为（x，），
∴
＝﹣，
∴S＝，
∵a＝﹣1＜0，
∴S有最大值，
∵当M运动到M（6，0）时，S有最大值为36；

（3）存在．①当点P为直角顶点时，设P（x，0），过点D作DH⊥x轴，垂足为H，
则△PDH∽△APO，
∴，
∴，
∴x2﹣12x+20＝0，
∴x1＝2，x2＝10，
∴点P的坐标为（2，0）或（10，0）．

②当点A为直角顶点时，如图，过点A作AP⊥AD，交x轴与点P，设P（x，0），
则△OPA∽△AOG．
∴，
∴，
∴x＝，
∴点P的坐标为（，0）；

③当点D为直角顶点时，过点D作DP⊥AD，交x轴于点P，设P（x，0），过点D作DH⊥x轴于点H，

则△PDH∽△DGH，
∴，
∴＝，
∴x＝
∴点P的坐标为（，0），
∴满足条件的点P的坐标为（2，0）或（10，0）或（，0）或（，0）．
【例4】．综合与探究
抛物线y＝﹣x2+x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线l经过B，C两点，点P为抛物线上一个动点（不与B，C重合）．
（1）求A，B，C三点的坐标及直线l的表达式；
（2）如图1，当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，设点P的横坐标为m．
①求线段PE的长（用含m的代数式表示）；
②请求出线段PE的最大值；
（3）如图2，点Q为抛物线对称轴上一点，是否存在点Q，使以点B，C，Q为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）分别令x＝0，y＝0，求出点A、B、C的坐标，然后用待定系数法求直线l的解析式；
（2）①用含m的式子表示点P的纵坐标，再将P的纵坐标代入直线l的解析式中求出点E的横坐标，最后即可得到EP的长；
②利用二次函数的顶点式求出EP的最大值；
（3）设点Q（，a），然后分类讨论利用勾股定理列出关于a的方程求解．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3），
当y＝0时，﹣x2+x+3＝0，解得：x＝﹣或x＝3，
∵点A在点B的左侧，
∴A（﹣，0），B（3，0），
设直线l的表达式为y＝kx+b，将点B（3，0），C（0，3）代入得
，解得，
∴直线l的表达式为y＝﹣x+3．
（2）①设P（m，﹣m2+m+3），
∵PE∥x轴，
∴点E和点P的纵坐标相同，
又∵点E在直线l上，
∴﹣m2+m+3＝﹣x+3，
∴x＝m2﹣2m，
∴E（m2﹣2m，﹣m2+m+3），
∴EP＝m﹣（m2﹣2m）＝﹣m2+3m，
②EP＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴m＝时，EPmax＝．
（3）存在，理由如下，
∵x＝﹣＝﹣＝，
∴抛物线的对称轴为直线x＝，
设Q（，a），B（3，0），C（0，3），
①当∠QCB＝90°时，CQ2+CB2＝BQ2，
∴2+（a﹣3）2+（3）2+32＝（2）2+a2，
解得：a＝6，
∴Q1（，6），
②当∠QBC＝90°时，BQ2+CB2＝CQ2，
∴（2）2+a2+（3）2+32＝2+（a﹣3）2，
解得：a＝﹣6，
∴Q2（，﹣6），
③当∠CQB＝90°时，BQ2+CQ2＝CB2，
∴（2）2+a2+2+（a﹣3）2＝（3）2+32，
解得：a＝或a＝，
∴Q3（，），Q4（，），
综上所述：存在，Q1（，6），Q2（，﹣6），Q3（，），Q4（，）．


【例5】已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在x轴的负半轴上，直线y=-3x+723与x轴、y轴分别交于B、C两点，四边形ABCD为菱形．
（1）如图1，求点A的坐标；
（2）如图2，连接AC，点P为△ACD内一点，连接AP、BP，BP与AC交于点G，且∠APB＝60°，点E在线段AP上，点F在线段BP上，且BF＝AE，连接AF、EF，若∠AFE＝30°，求AF2+EF2的值；
（3）如图3，在（2）的条件下，当PE＝AE时，求点P的坐标．

【分析】（1）利用勾股定理求出BC的长即可解决问题；
（2）如图2中，连接CE、CF．想办法证明△CEF是等边三角形，AF⊥CF即可解决问题；
（3）如图3中，延长CE交FA的延长线于H，作PQ⊥AB于Q，PK⊥OC于K，在BP上截取BT＝PA，连接AT、CT、CF、PC．想办法证明△APF是等边三角形，AT⊥PB即可解决问题；
【解答】解：（1）如图1中，

∵y=-3x+732，
∴B（72，0），C（0，732），
∴BO=72，OC=732，
在Rt△OBC中，BC=OC2+OB2=7，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝7，
∴OA＝AB﹣OB＝7-72=72，
∴A（-72，0）．

（2）如图2中，连接CE、CF．

∵OA＝OB，CO⊥AB，
∴AC＝BC＝7，
∴AB＝BC＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵∠APB＝60°，
∴∠APB＝∠ACB，
∵∠PAG+∠APB＝∠AGB＝∠CBG+∠ACB，
∴∠PAG＝∠CBG，∵AE＝BF，
∴△ACE≌△BCF（SAS），
∴CE＝CF，∠ACE＝∠BCF，
∴∠ECF＝∠ACF+∠ACE＝∠ACF+∠BCF＝∠ACB＝60°，
∴△CEF是等边三角形，
∴∠CFE＝60°，EF＝FC，
∵∠AFE＝30°，
∴∠AFC＝∠AFE+∠CFE＝90°，
在Rt△ACF中，AF2+CF2＝AC2＝49，
∴AF2+EF2＝49．

（3）如图3中，延长CE交FA的延长线于H，作PQ⊥AB于Q，PK⊥OC于K，在BP上截取BT＝PA，连接AT、CT、CF、PC．

∵△CEF是等边三角形，
∴∠CEF＝60°，EC＝CF，
∵∠AFE＝30°，∠CEF＝∠H+∠EFH，
∴∠H＝∠CEF﹣∠EFH＝30°，
∴∠H＝∠EFH，
∴EH＝EF，
∴EC＝EH，
∵PE＝AE，∠PEC＝∠AEH，
∴△CPE≌△HAE（SAS），
∴∠PCE＝∠H，
∴PC∥FH，
∵∠CAP＝∠CBT，AC＝BC，
∴△ACP≌△BCT，
∴CP＝CT，∠ACP＝∠BCT，
∴∠PCT＝∠ACB＝60°，
∴△CPT是等边三角形，
∴CT＝PT，∠CPT＝∠CTP＝60°，
∵CP∥FH，
∴∠HFP＝∠CPT＝60°，
∵∠APB＝60°，
∴△APF是等边三角形，
∴∠CFP＝∠AFC﹣∠∠AFP＝30°，
∴∠TCF＝∠CTP﹣∠TFC＝30°，
∴∠TCF＝∠TFC，
∴TF＝TC＝TP，
∴AT⊥PF，设 BF＝m，则AE＝PE＝m，
∴PF＝AP＝2m，TF＝TP＝m，TB＝2m，BP＝3m，
在Rt△APT中，AT=AP2-TP2=3m，
在Rt△ABT中，∵AT2+TB2＝AB2，
∴（3m）2+（2m）2＝72，
解得m=7或-7（舍弃），
∴BF=7，AT=21，BP＝37，sin∠ABT=ATAB=217，
∵OK＝PQ＝BP•sin∠PBQ＝37×217=33，BQ=BP2-PQ2=6，
∴OQ＝BQ﹣BO＝6-72=52，
∴P（-52，33）
培优训练


1．如图1，以点M（1，4）为顶点的抛物线与直线y＝﹣x+交于A，B两点，且点A坐标为（4，﹣），点B在y轴上．
（1）求抛物线解析式；
（2）若点D是抛物线上位于直线AB上方的一点（如图2），过点D作DE⊥x轴于点E，交直线AB于点F，求线段DF长度的最大值；
（3）在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使以点A，M，P为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）抛物线解析式设为顶点式，然后代入A点求得；
（2）设D的坐标，表示出F的坐标，从而表示出DF的函数解析式，配方求得；
（3）分为∠APM＝90°和∠APM＝90°，当∠APM＝90° 时，点P的纵坐标和A点纵坐标相同，当∠APM＝90°时，根据AM2+AP2＝PM2或作AQ⊥PM，由△AQP∽△MQA可求得．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+4，
∴a（4﹣1）2+4＝﹣，
∴a＝﹣，
∴y＝﹣（x﹣1）2+4
＝﹣；
（2）如图1，

设D（m，﹣），
∴F（m，﹣m+），
∴DF＝（﹣）﹣（﹣m+）
＝﹣
＝﹣（m﹣2）2+2，
∴当m＝2时，DF有最大值是2；
（3）如图2，

当∠APM＝90°时，
∵A（4，﹣），
∴P（1，﹣），
如图3，

当∠PAM＝90°时，
∴∠APM+∠AMP＝90°，
作AQ⊥PM于Q，
∴∠AQM＝∠AQP＝90°，
∴∠APM+∠QAP＝90°，
∴∠AMP＝∠QAP，
∴△AQP∽△MQA，
∴＝，
∵QM＝4﹣（﹣）＝，
AQ＝4﹣1＝3，
∴＝，
∴PQ＝2，
∴PH＝HQ+PQ＝，
∴P（1，﹣），
综上所述：P的坐标是（1，﹣）或（1，﹣）．
2．如图，抛物线y＝x2+bx+12（b＜0）与x轴交于A，B两点（A点在B点左侧），且OB＝3OA．
（1）请直接写出b＝　﹣8　，A点的坐标是　（2，0）　，B点的坐标是　（6，0）　；
（2）如图（1），D点从原点出发，向y轴正方向运动，速度为2个单位长度/秒，直线BD交抛物线于点E，若BE＝5DE，求D点运动时间；
（3）如图（2），F点是抛物线顶点，过点F作x轴平行线MN，点C是对称轴右侧的抛物线上的一定点，P点在直线MN上运动．若恰好存在3个P点使得△PAC为直角三角形，请求出C点坐标，并直接写出P点的坐标．

【分析】（1）根据题意，设A（m，0），B（3m，0），代入y＝x2+bx+12，求出m，即可得出答案；
（2）设D点运动时间为t秒，则OD＝2t，分两种情况：①当t≤6时，点D在线段OC上，如图（1），过点E作EK∥x轴交y轴于点K，由＝＝，BE＝5DE，OK＝OD﹣DK，即可求出答案；②当t＞6时，点D在线段OC的延长线上，如图（1′），过点E作EK∥OB交y轴于点K，由＝＝，BE＝5DE，OK＝OD+DK，即可求得答案；
（3）设P（t，﹣4），由△PAC为直角三角形，可分三种情况：∠APC＝90°或∠PAC＝90°或∠ACP＝90°，
①当∠APC＝90°时，设点C（m，n），如图（2），过点A作AG⊥MN，过点C作CH⊥MN，证明△APG∽△PCH，得出t2﹣（m+2）t+2m+4n+16＝0，根据恰好存在3个P点使得△PAC为直角三角形，得出当∠APC＝90°时，有且只有一个点P存在，即关于t的一元二次方程有两个相等实数根，进而求出点C的坐标，再求出点P的坐标；
②当∠PAC＝90°时，如图（2）②，过点C作CT⊥x轴于点T，过点P作PR⊥x轴于点R，利用相似三角形性质即可求出点P的坐标；
③当∠ACP＝90°时，如图（2）③，过点C作KH⊥x轴于点H，交直线MN于点K，利用相似三角形性质即可求出点P的坐标．
【解答】解：（1）根据题意，设A（m，0），B（3m，0），
∴y＝（x﹣m）（x﹣3m）＝x2﹣4mx+3m2，
∴3m2＝12，
解得：m＝±2，
∵m＞0，
∴m＝2，3m＝6，
∴b＝﹣4m＝﹣8，A（2，0），B（6，0），
故答案为：﹣8，（2，0），（6，0）；
（2）由（1）知，抛物线解析式为y＝x2﹣8x+12，OB＝6，
令x＝0，得y＝12，
∴C（0，12），
∴OC＝12，
设D点运动时间为t秒，则OD＝2t，
①当t≤6时，点D在线段OC上，如图（1），过点E作EK∥x轴交y轴于点K，
∵EK∥OB，
∴＝＝，
∵BE＝5DE，
∴BD＝DE+BE＝6DE，
∴＝＝，
∴OD＝6DK，EK＝1，
∴DK＝t，
∴OK＝OD﹣DK＝2t﹣t＝t，
∴E（1，t），
∴t＝12﹣8×1+12，
∴t＝3，
②当t＞6时，点D在线段OC的延长线上，如图（1′），
过点E作EK∥OB交y轴于点K，
∵BE＝5DE，
∴BD＝BE﹣DE＝4DE，
∵EK∥OB，
∴＝＝，即＝＝＝，
∴EK＝，DK＝t，
∴OK＝OD+DK＝2t+t＝t，
∴E（﹣，t），
∴t＝（﹣）2﹣8×（﹣）+12，
解得：t＝，
综上所述，D点运动时间为3秒或秒；
（3）∵y＝x2﹣8x+12＝（x﹣4）2﹣4，
∴顶点F（4，﹣4），
∵MN∥x轴且经过点F（4，﹣4），
∴直线MN为y＝﹣4，
∵P点在直线MN上运动，
∴设P（t，﹣4），
∵△PAC为直角三角形，
∴∠APC＝90°或∠PAC＝90°或∠ACP＝90°，
①当∠APC＝90°时，设点C（m，n），如图（2），
过点A作AG⊥MN，过点C作CH⊥MN，
∴∠AGP＝∠CHP＝∠APC＝90°，
AG＝4，CH＝n+4，PH＝m﹣t，PG＝t﹣2，
∴∠GAP+∠APG＝∠APG+∠CPH＝90°，
∴∠GAP＝∠CPH，
∴△APG∽△PCH，
∴＝，即＝，
整理得：t2﹣（m+2）t+2m+4n+16＝0，
∵恰好存在3个P点使得△PAC为直角三角形，而当∠PAC＝90°或∠ACP＝90°时，均有且仅有一个点P存在，
∴当∠APC＝90°时，有且只有一个点P存在，即关于t的一元二次方程有两个相等实数根，
∴△＝（m+2）2﹣4（2m+4n+16）＝0，
∴n＝，
又∵点C（m，n）是对称轴右侧的抛物线上的一定点，
∴n＝m2﹣8m+12，
∴m2﹣8m+12＝，
整理得15m2﹣124m+252＝0，
解得：m1＝，m2＝，
∵＜4，m2＝不符合题意，舍去，
∴m＝，此时n＝（）2﹣8×+12＝﹣，
∴C（，﹣），
将m＝，n＝﹣，代入t2﹣（m+2）t+2m+4n+16＝0，
整理得：t2﹣t+＝0，
解得：t1＝t2＝，
∴P（，﹣4）；
②当∠PAC＝90°时，如图（2）②，
过点C作CT⊥x轴于点T，过点P作PR⊥x轴于点R，
则AT＝﹣2＝，CT＝，PR＝4，AR＝2﹣t，
∠ATC＝∠PRA＝∠PAC＝90°，
∴∠PAR+∠APR＝∠PAR+∠CAT＝90°，
∴∠APR＝∠CAT，
∴△APR∽△CAT，
∴＝，即＝，
解得：t＝﹣，
∴P（﹣，﹣4）；
③当∠ACP＝90°时，如图（2）③，
过点C作KH⊥x轴于点H，交直线MN于点K，
则∠AHC＝∠CKP＝∠ACP＝90°，
CH＝，AH＝，CK＝4﹣＝，PK＝﹣t，
∵∠ACH+∠CAH＝∠ACH+∠PCK＝90°，
∴∠CAH＝∠PCK，
∴△CAH∽△PCK，
∴＝，
∴AH•PK＝CK•CH，即（﹣t）＝×，
解得：t＝，
∴P（，﹣4）；
综上所述，C点坐标为（，﹣），P点的坐标为（，﹣4）或（﹣，﹣4）或（，﹣4）．





3．二次函数y＝ax2+bx+c交x轴于点A（﹣1，0）和点B（﹣3，0），交y轴于点C（0，﹣3）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图1，点E为抛物线的顶点，点T（0，t）为y轴负半轴上的一点，将抛物线绕点T旋转180°，得到新的抛物线，其中B，E旋转后的对应点分别记为B′，E′，当四边形BEB'E'的面积为12时，求t的值；
（3）如图2，过点C作CD∥x轴，交抛物线于另一点D．点M是直线CD上的一个动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点P．当以点B、C、P为顶点的三角形是直角三角形时，求所有满足条件的点M的坐标．

【分析】（1）根据抛物线与x轴的交点坐标，设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x+3），将C（0，﹣3）代入，即可求得二次函数解析式；
（2）如图1，连接EE′、BB′，延长BE，交y轴于点Q．利用待定系数法求出直线BE的解析式，根据抛物线y＝﹣x2﹣4x﹣3绕点T（0，t）旋转180°，可得四边形BEB′E′是平行四边形，运用平行四边形性质即可求得答案；
（3）设P（x，﹣x2﹣4x﹣3），根据以点B、C、P为顶点的三角形是直角三角形，分三种情况分别讨论即可：①当∠BP1C＝90°时，③当∠P3BC＝90°时，③当∠P3BC＝90°时，④当∠BCP4＝90°时．
【解答】解：（1）∵二次函数过点A（﹣1，0），B（﹣3，0），
∴设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x+3），
将C（0，﹣3）代入，得：3a＝3，
解得：a＝﹣1，
∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2﹣4x﹣3；
（2）如图1，连接EE′、BB′，延长BE，交y轴于点Q．
由（1）得y＝﹣x2﹣4x﹣3＝﹣（x+2）2+1，
∴抛物线顶点E（﹣2，1），
设直线BE的解析式为y＝kx+b，
∵B（﹣3，0），E（﹣2，1），
∴，
解得：，
∴直线BE的解析式为：y＝x+3，
∴Q（0，3），
∵抛物线y＝﹣x2﹣4x﹣3绕点T（0，t）旋转180°，
∴TB＝TB′，TE＝TE′，
∴四边形BEB′E′是平行四边形，
∴S△BET＝S四边形BEB′E′＝×12＝3，
∵S△BET＝S△BQT﹣S△EQT＝×（3﹣2）×TQ＝TQ，
∴TQ＝6，
∴3﹣t＝6，
∴t＝﹣3；
（3）设P（x，﹣x2﹣4x﹣3），
①当∠BP1C＝90°时，∠N1P1B＝∠P1CE，
∴tan∠N1P1B＝tan∠P1CE，
∴＝，
∵BN1＝﹣x2﹣4x﹣3，P1N1＝x+3，P1E＝﹣x，EC＝﹣x2﹣4x，
∴＝，
化简得：x2+5x+5＝0，
解得：x1＝，x2＝（舍去），
②当∠BP2C＝90°时，同理可得：x2+5x+5＝0，
解得：x1＝（舍去），x2＝，
∴M点的坐标为（，﹣3）或（，﹣3），
③当∠P3BC＝90°时，由△BM3C是等腰直角三角形，
得：△N3BP3也是等腰直角三角形，
∴N3B＝N3P3，
∴﹣x2﹣4x﹣3＝x+3，
化简得：x2+5x+6＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝﹣3（舍去），
∴M点的坐标为（﹣2，﹣3）；
④当∠BCP4＝90°时，由△BOC是等腰直角三角形，可得△N4P4C也是等腰直角三角形，
∴P4N4＝CN4，
∴﹣x＝﹣3﹣（﹣x2﹣4x﹣3），
化简得：x2+5x＝0，
解得：x1＝﹣5，x2＝0（舍去），
∴M点的坐标为（﹣5，﹣3），
综上所述：满足条件的M点的坐标为（，﹣3）或（，﹣3）或（﹣2，﹣3）或（﹣5，﹣3）．



4．已知二次函数y＝x2+bx+c经过A、B两点，BC垂直x轴于点C，且A（﹣1，0），C（4，0），AC＝BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）请画出抛物线的图象；
（3）点P是抛物线对称轴上一个动点，是否存在这样的点P，使三角形ABP为直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）先求得点B的坐标，然后将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式可得到关于b、c的方程组，从而可求得b、c的值；
（2）根据函数的表达式取点、描点连线即可画出函数的图象；
（3）存在，设P（1，m），分三种情况：分别以A，B，P为直角顶点，根据勾股定理和两点的距离公式列方程，解方程即可．
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0），C（4，0），
∴AC＝5，OC＝4，
∵AC＝BC＝5，
∴B（4，5），
把A（﹣1，0）和B（4，5）代入二次函数y＝x2+bx+c中得：
，解得，
∴二次函数的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；

（2）由函数的表达式，取值列表如下：

根据表格数据，绘制函数图象如下：


（3）存在，
y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴设P（1，m），
分三种情况：
①以点B为直角顶点时，由勾股定理得：PB2+AB2＝PA2，
∴（4﹣1）2+（m﹣5）2+（4+1）2+52＝（1+1）2+m2，
解得：m＝8，
∴P（1，8）；
②以点A为直角顶点时，由勾股定理得：PA2+AB2＝PB2，
∴（1+1）2+m2+（4+1）2+52＝（4﹣1）2+（m﹣5）2，
解得：m＝﹣2，
∴P（1，﹣2）；
③以点P为直角顶点时，由勾股定理得：PB2+PA2＝BA2，
∴（1+1）2+m2+（4﹣1）2+（m﹣5）2＝（4+1）2+52，
解得：m＝6或﹣1，
∴P（1，6）或（1，﹣1）；
综上，点P的坐标为（1，8）或（1，﹣2）或（1，6）或（1，﹣1）．
5．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣，交y轴于点A，交x轴于B（﹣1，0），C（5，0）两点，抛物线的顶点为D，连接AC，CD．
（1）求直线AC的函数表达式；
（2）求抛物线的函数表达式及顶点D的坐标；
（3）过点D作x轴的垂线交AC于点G，点H为线段CD上一动点，连接GH，将△DGH沿GH翻折到△GHR（点R，点G分别位于直线CD的两侧），GR交CD于点K，当△GHK为直角三角形时．
①请直接写出线段HK的长为　　；
②将此Rt△GHK绕点H逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到△MHN，若直线MN分别与直线CD，直线DG交于点P，Q，当△DPQ是以PQ为腰的等腰三角形时，请直接写出点P的纵坐标为　﹣或﹣　．

【分析】（1）先根据抛物线y＝ax2+bx﹣，交y轴于点A，求出点A坐标，再运用待定系数法求直线AC的函数表达式即可；
（2）将B（﹣1，0），C（5，0）代入抛物线y＝ax2+bx﹣求出a，b，即可得抛物线解析式，运用配方法将抛物线解析式化为顶点式即可得出顶点坐标；
（3）①根据△GHK为直角三角形，且点R，点G分别位于直线CD的两侧，可分三种情况：∠GHK＝90°或∠HGK＝90°或∠GKH＝90°，经分析仅有∠GKH＝90°符合题意，过点H作HL⊥DG于点L，则HL＝HK，先证明△GDK∽△CDF，再运用面积法即可求出答案；
②由△DPQ是以PQ为腰的等腰三角形，可分两种情况：PQ＝DQ或PQ＝DP，分别求出点P的纵坐标即可．
【解答】解：（1）设直线AC的函数表达式为：y＝kx+c，
∵抛物线y＝ax2+bx﹣，交y轴于点A，
∴A（0，﹣），
将A（0，﹣），C（5，0）分别代入y＝kx+c，
得：，
解得：，
∴直线AC的函数表达式为：y＝x﹣，
（2）∵抛物线y＝ax2+bx﹣经过B（﹣1，0），C（5，0）两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣，
∵y＝x2﹣x﹣＝（x﹣2）2﹣4，
∴顶点D的坐标为（2，﹣4）；
（3）①如图1，∵△GHK为直角三角形，且点R，点G分别位于直线CD的两侧，
∴∠GHK＝90°或∠HGK＝90°或∠GKH＝90°，
当∠GHK＝90°时，∠GHD＝90°，点R落在直线DC上，不符合题意，
当∠HGK＝90°时，∠DGH＝∠HGK＝90°，点R，点G位于直线CD的同侧，不符合题意，
当∠GKH＝90°时，点R，点G分别位于直线CD的两侧，符合题意，
∴∠GKH＝90°，∠DGH＝∠RGH，
过点H作HL⊥DG于点L，则HL＝HK，
∵D（2，﹣4），DG⊥x轴，
∴G（2，﹣），F（2，0），
∴DG＝﹣﹣（﹣4）＝，CF＝5﹣2＝3，DF＝4，
∴CD＝＝＝5，
∵∠DFC＝∠GKH＝90°，∠GDK＝∠CDF，
∴△GDK∽△CDF，
∴＝＝，即＝＝，
∴GK＝，DK＝，
∵S△GKH+S△GDH＝S△GDK，
∴××HK+××HL＝××，
故答案为：；
②∵△DPQ是以PQ为腰的等腰三角形，
∴PQ＝DQ或PQ＝DP，
当PQ＝DQ时，如图2，由旋转知：点H到PQ、DQ的距离相等，
∴QH⊥DP，DH＝HP，
由①知HL＝HK＝，
∵HL∥CF，
∴＝，即＝，
∴DL＝，
∴L的纵坐标为﹣4＝﹣，即H的纵坐标为﹣，
∵H为D、P的中点，
∴P的纵坐标为﹣，
当PQ＝DP时，如图3，点P为DQ的垂直平分线与CD的交点，
∵H（，﹣），
∴经过点H平行MN的直线为y＝﹣x+，
∵点H到直线MN的距离为，
∴直线MN的解析式为y＝﹣x﹣，
∵直线CD的解析式为y＝x﹣，
∴P（，﹣）；
综上所述，点P的纵坐标为﹣或﹣．



6．已知抛物线y＝x2﹣2x﹣m与x轴有两个交点A和B，与y轴交于点C，顶点为点D．
（1）求m的取值范围；
（2）若AB＝6，求m的值；
（3）若m＝1，点P在抛物线上，且△PDC是直角三角形，直接写出点P的坐标．
【分析】（1）根据抛物线y＝x2﹣2x﹣m与x轴有两个交点，即得Δ＞0，即（﹣2）2﹣4×1×（﹣m）＞0，解得m＞﹣1；
（2）设A（x1，0），B（x2，0），可得x1+x2＝2，x1•x2＝﹣m，由AB＝6，得（x1+x2）2﹣4x1x2＝36，即可解得m＝8；
（3）m＝1时，可得C（0，﹣1），D（1，﹣2），设P（t，t2﹣2t﹣1），则CD2＝2，CP2＝t2+（t2﹣2t）2，DP2＝（t﹣1）2+（t2﹣2t+1）2，①当CD为斜边时，t2+（t2﹣2t）2+（t﹣1）2+（t2﹣2t+1）2＝2，解得t＝0（与C重合，舍去）或t＝1（与D重合，舍去），②当CP为斜边时，（t﹣1）2+（t2﹣2t+1）2+2＝t2+（t2﹣2t）2，解得t＝1（舍去）或t＝2，即得P（2，﹣1），③当DP为斜边时，t2+（t2﹣2t）2+2＝（t﹣1）2+（t2﹣2t+1）2，解得t＝0（舍去）或t＝3，即得P（3，2）．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣2x﹣m与x轴有两个交点，
∴x2﹣2x﹣m＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0，即（﹣2）2﹣4×1×（﹣m）＞0，
∴m＞﹣1；
（2）设A（x1，0），B（x2，0），则x1、x2是x2﹣2x﹣m＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝2，x1•x2＝﹣m，
∵AB＝6，
∴|x1﹣x2|＝6，即＝6，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝36，
∴4+4m＝36，解得m＝8，
而8＞﹣1，即m＝8时，Δ＞0，
∴AB＝6时，m的值为8；
（3）如图：

m＝1时，y＝x2﹣2x﹣1，
令x＝0得y＝﹣1，
∴C（0，﹣1），
而y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2，
∴D（1，﹣2），
设P（t，t2﹣2t﹣1），则CD2＝2，CP2＝t2+（t2﹣2t）2，DP2＝（t﹣1）2+（t2﹣2t+1）2，
①当CD为斜边时，t2+（t2﹣2t）2+（t﹣1）2+（t2﹣2t+1）2＝2，
∴2t（t﹣1）（t2﹣3t+3）＝0，解得t＝0（与C重合，舍去）或t＝1（与D重合，舍去），
②当CP为斜边时，（t﹣1）2+（t2﹣2t+1）2+2＝t2+（t2﹣2t）2，
解得t＝1（舍去）或t＝2，
∴P（2，﹣1），
③当DP为斜边时，t2+（t2﹣2t）2+2＝（t﹣1）2+（t2﹣2t+1）2，
解得t＝0（舍去）或t＝3，
∴P（3，2），
综上所述，P的坐标为（2，﹣1）或（3，2）．
7．如图，已知顶点是M的抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线对应的函数解析式；
（2）点P是x轴上方抛物线上的一点，若△PAB的面积等于3，求点P的坐标；
（3）是否在y轴存在一点Q，使得△QBM为直角三角形？若存在，求出Q的坐标，若不存在，说明理由．

【分析】（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3，列方程组求出a、b的值即可；
（2）先根据△PAB的面积等于3，AB＝4，求出△PAB的边AB上的高，即得到点P的纵坐标，再将点B的纵坐标代入函数解析式，解方程求出x的值即可得到点P的横坐标；
（3）先求出抛物线的顶点M的坐标，再按以BM为斜边、以BM为直角边分类讨论，根据勾股定理列方程求出点Q的纵坐标．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3，
得，
解得，
∴抛物线对应的函数解析式y＝x2﹣2x﹣3．
（2）如图1，设点P的纵坐标为y（y＞0），
∵S△PAB＝AB•y＝3，且AB＝3+1＝4，
∴×4y＝3，
解得y＝，
当y＝时，则x2﹣2x﹣3＝，
解得x1＝，x2＝，
∴点P的坐标为（，）或（，）．
（3）设点Q的坐标为（0，m），
如图2，取BM中点D，连接DQ，△QBM满足DQ＝DB＝DM，
∵∠DQB＝∠DBQ，∠DQM＝∠DMQ，
∴∠BQM＝∠DQB+∠DQM＝∠DBQ+∠DMQ＝×180°＝90°，
∴△QBM为直角三角形，
∵y＝x2﹣2x﹣3y＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标为M（1，﹣4），
∴D（2，﹣2），
∵DQ2＝DB2，
∴（0﹣2）2+（m+2）2＝（3﹣2）2+（0+2）2，
解得m1＝﹣1，m2＝﹣3，
∴Q（0，﹣1），Q′（0，﹣3）；
如图3，△QBM为直角三角形，且∠MBQ＝90°，
则BQ2+BM2＝QM2，
∴m2+32+（3﹣1）2+（0+4）2＝（0﹣1）2+（m+4）2，
解得，
∴Q（0，）；
如图3，△Q′BM为直角三角形，且∠BMQ′＝90°，
则Q′M2+BM2＝BQ′2，
∴（0﹣1）2+（m+4）2+（3﹣1）2+（0+4）2＝（0﹣m）2+32，
解得m＝﹣，
∴Q′（0，﹣）．
综上所述，点Q的坐标为（0，﹣1）或（0，﹣3）或（0，）或（0，﹣）．



8．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c过A，B，C三点，点A的坐标是（3，0），点C的坐标是（0，﹣3），动点P在抛物线上．
（1）b＝　﹣2　，c＝　﹣3　（直接填写结果）；
（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．

【分析】（1）将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式可求得b、c的值；
（2）分别过点C和点A作AC的垂线，交抛物线于P1，P2两点，先求得AC的解析式，然后可求得P1C和P2A的解析式，最后再求得P1C和P2A与抛物线的交点坐标即可．
【解答】解：（1）∵将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式得：，
解得：b＝﹣2，c＝﹣3．
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．
故答案为：﹣2，﹣3；
（2）存在．
理由：如图1所示：

①当∠ACP1＝90°，
由（1）可知点A的坐标为（3，0），
设AC的解析式为y＝kx﹣3，
∵将点A的坐标代入得3k﹣3＝0，解得k＝1，
∴直线AC的解析式为y＝x﹣3，
∴直线CP1的解析式为y＝﹣x﹣3，
∵将y＝﹣x﹣3与y＝x2﹣2x﹣3联立解得x1＝1，x2＝0（舍去），
∴点P1的坐标为（1，﹣4）；
②当∠P2AC＝90°时，
设AP2的解析式为y＝﹣x+b，
将x＝3，y＝0代入得：﹣3+b＝0，解得b＝3，
∴直线AP2的解析式为y＝﹣x+3，
∵将y＝﹣x+3与y＝x2﹣2x﹣3联立解得x1＝﹣2，x2＝3（舍去），
∴点P2的坐标为（﹣2，5）；
综上所述，P的坐标是（1，﹣4）或（﹣2，5）．
9．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，过A点的直线l：y＝﹣x﹣1与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，已知点D的横坐标为4，点P为直线l上方的抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过P点作PE∥y轴交直线l于点E，作PF∥x轴交直线l于点F，连接AP．
①当△APE为直角三角形时，求点P的坐标；
②求PE+PF的最大值，并求出当PE+PF最大时点P的坐标．

【分析】（1）求出D（4，﹣5），A（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bx+c，即可求解析式；
（2）设P（m，﹣m2+2m+3），可求∠OAC＝∠OCA＝45°，①当△APE为直角三角形时，∠PAE＝90°或∠APE＝90°，分两种情况讨论：当∠PAE＝90°时，∠PAB＝∠PAE﹣∠OAC＝45°，设PE与x轴交于点M，则AM＝PM，即﹣m2+2m+3＝m+1，求得P（2，3）；当∠APE＝90°时，点P与点B重合，则﹣m2+2m+3＝0，求得P（3，0）；
②可求得PE＝PF，则PE+PF＝2PE＝﹣2（m﹣）2+，所以当m＝时，PE+PF取最大值，此时P（，）．
【解答】解：（1）令y＝0，则x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
当x＝4时，y＝﹣5，
∴D（4，﹣5），
∴，
∴，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）设P（m，﹣m2+2m+3），
当x＝0时，y＝﹣1，
∴C（0，﹣1），
∴OA＝OC＝1，
∵∠AOC＝90°，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°，
①当PE∥y轴时，
∴∠PEA＝∠OCA＝45°，
∴当△APE为直角三角形时，∠PAE＝90°或∠APE＝90°，
当∠PAE＝90°时，∠PAB＝∠PAE﹣∠OAC＝45°，
设PE与x轴交于点M，则∠PAM＝∠APM＝45°，
∴AM＝PM，即﹣m2+2m+3＝m+1，
解得m＝2或m＝﹣1（舍），
∴P（2，3）；
当∠APE＝90°时，点P与点B重合，
∴﹣m2+2m+3＝0，
解得m＝3或m＝﹣1（舍），
∴P（3，0）；
综上所述：P点坐标为（3，0）或（2，3）；
②∵PF∥x轴，
∴∠PFE＝∠OAC＝45°，
∴∠PFE＝∠PEF，
∴PE＝PF，
∴PE+PF＝2PE＝2（﹣m2+2m+3+m+1）＝﹣2（m﹣）2+，
∴当m＝时，PE+PF取最大值，
此时P（，）．

10．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点（0，3）．
①求抛物线的解析式；
②点P是x轴下方的抛物线上的一个动点，过点P的直线y＝x+m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，当PE+EF有最大值时，求P点的坐标；
③在抛物线的对称轴上是否存在一点D使△BCD是以BC为斜边的直角三角形，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）利用待定系数法解得即可；
（2）过点P作PQ∥FC，交直线BC与点Q，设直线EF交x轴于点K，由已知易得△EPQ和△EFC是等腰直角三角形；设P（t，t2﹣4t+3），则Q（t，﹣t+3），利用已知条件得出用字母t表示PE+EF的关系式，再利用二次函数的性质求得符合条件的t值，结论可求；
（3）分两种情况讨论解答：①点D在x轴上方时，②点D在x轴下方时，设出点D的坐标，利用相似三角形对应边成比例，列出方程即可求解．
【解答】解：（1）由题意得：
，
解得：．
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3．
（2）过点P作PQ∥FC，交直线BC与点Q，设直线EF交x轴于点K，如图，

由题意：F（0，m），K（﹣m，0），
∴OF＝OK＝﹣m．
∴∠OFP＝∠OKF＝45°．
∵OB＝OC＝3，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°．
∴∠ECF＝∠EFC＝45°．
∵PQ∥FC，
∴△EPQ和△EFC都是等腰直角三角形．
∴PE＝PQ，EF＝FC．
∵FC＝OF+OC，
∴FC＝3﹣m．
∴EF＝（3﹣m）．
设直线BC的解析式为y＝kx+m，
∴，
解得：．
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3．
设P（t，t2﹣4t+3），1＜t＜3，则Q（t，﹣t+3），
∴PQ＝（﹣t+3）﹣（t2﹣4t+3）＝﹣t2+3t，
∴PE＝（﹣t2+3t）．
∵抛物线y＝x2﹣4x+3与直线y＝x+m相交于点P，
∴t2﹣4t+3＝t+m，
∴t2﹣5t＝m﹣3．
∴PE+EF＝（﹣t2+3t）+（3﹣m）＝﹣（t2﹣4t）＝﹣（t﹣2）2+4．
∵﹣＜0，
∴当t＝2时，PE+EF取得最大值为4．
此时点P的坐标为（2，﹣1）．
（3）在抛物线的对称轴上存在一点D，使△BCD是以BC为斜边的直角三角形．
①点D在x轴上方时，
过点D作DG⊥OC，交OC延长线于点G，过点B作BH⊥GD交GD延长线于点H，如图，
∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴GD＝OK＝2．
∵OC⊥OB，HG⊥OC，BH⊥GH，
∴四边形OBHG为矩形，
∴GH＝OB＝3，BH＝OG．
∴DH＝GH﹣GD＝1．
设D（2，n），则OG＝BH＝n，
∴CG＝n﹣3．
∵∠BDC＝90°，
∴∠GDC+∠HDB＝90°．
∵DG⊥OC，
∴∠GCD+∠GDC＝90°．
∴∠GCD＝∠HDC．
∵∠CGD＝∠DHB＝90°，
∴△GCD∽△HDB．
∴．
∴．
解得：n＝（负数不合题意，舍去）．
∴D（2，）；
②点D在x轴下方时，
过点D作DN⊥OC，交OC延长线于点N，过点B作BM⊥ND交ND延长线于点M，如图，

设D（2，n），则ON＝BM＝﹣n，
∴CN＝﹣n+3．
同理可知：DN＝2，DM＝1，
同理△DNC∽△BMD，
∴．
∴．
解得：n＝（正数不合题意，舍去）．
∴n＝，
∴D（2，）．
综上，在抛物线的对称轴上存在一点D，使△BCD是以BC为斜边的直角三角形．
点D的坐标为：（2，）或（2，）．
11．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC，点A在y轴上，点C在x轴上，其中B（﹣2，3），已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A和点B．

（1）求抛物线解析式；
（2）如图1，点D（﹣2，﹣1）在直线BC上，点E为y轴右侧抛物线上一点，连接BE、AE，DE，若S△BDE＝4S△ABE，求E点坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，P为射线DB上一点，作PQ⊥直线DE于点Q，连接AP，AQ，PQ，若△APQ为直角三角形，请直接写出P点坐标．
【分析】（1）求出A点坐标，将A、B点坐标代入y＝﹣x2+bx+c即可求解；
（2）设E（m，﹣m2﹣m+3），求得S△BDE＝＝2（m+2），S△ABE＝m2+m，再由已知得到方程2（m+2）＝4（m2+m），求出m的值即可求E点坐标；
（3）先求出直线DE的解析式为y＝x+1，分三种情况讨论：①当P点与B点重合，此时△APQ为等腰直角三角形，则P（﹣2，3）；②过点Q作QM⊥AB交BA的延长线于点M，证明△PAB∽△AQM，设P（﹣2，t），则Q（，），分别求出PB＝t﹣3，AB＝2，AM＝，QM＝﹣3＝，再由三角形相似可得＝，求出t即可求P点坐标；当PQ⊥AP时，AP∥DE，则直线AP的解析式为y＝x+3，即可求P点坐标．
【解答】解：（1）∵B（﹣2，3），矩形OABC，
∴A（0，3），
∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A和点B，
∴，
∴，
∴y＝﹣x2﹣x+3；
（2）∵D（﹣2，﹣1），
∴BD＝4，
设E（m，﹣m2﹣m+3），
∴S△BDE＝×4×（m+2）＝2（m+2），
∵AB＝2，
∴S△ABE＝×2×（3+m2+m﹣3）＝m2+m，
∵S△BDE＝4S△ABE，
∴2（m+2）＝4（m2+m），
解得m＝﹣2或m＝，
∵E点在y轴由侧，
∴m＝，
∴E（，）；
（3）∵E（，），D（﹣2，﹣1），
设直线DE的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝x+1，
∴直线与y轴的交点为（0，1），
如图1，当P点与B点重合，Q点为（0，1），
此时△APQ为等腰直角三角形，
∴P（﹣2，3）；
如图2，过点Q作QM⊥AB交BA的延长线于点M，
∵∠PAQ＝90°，∠PBA＝90°，∠QME＝90°，
∴∠PAB＝∠AQM，
∴△PAB∽△AQM，
∴＝，
设P（﹣2，t），
∵直线DE的解析式为y＝x+1，PQ⊥DE，
∴∠PDQ＝45°，
∴Q（，），
∴PB＝t﹣3，AB＝2，AM＝，QM＝﹣3＝，
∴＝，
∴t＝9，
∴P（﹣2，9）；
如图3，当PQ⊥AP时，
∵∠PAQ+∠AQP＝90°，∠AQP+∠AQE＝90°，
∴∠APQ＝∠AQE，
∴AP∥DE，
∴直线AP的解析式为y＝x+3，
∴P（﹣2，1）；
综上所述：P点的坐标为（﹣2，1）或（﹣2，3）或（﹣2，9）．



12．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝a（x﹣m）2﹣m+4图象的顶点为C，其中m＞0，与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点D，点M的坐标为（0，4）．
（1）当m＝2时，抛物线y＝a（x﹣m）2﹣m+4（m＞0）经过原点，求a的值；
（2）当a＝﹣1时，
①若点M，点D，点C三点组成的三角形是直角三角形，求此时点D的坐标．
②设反比例函数y＝﹣（x＞0）与抛物线y＝a（x﹣m）2﹣m+4（m＞0）相交于点E（p，q）．当2＜p＜4时，求m的取值范围．

【分析】（1）将m＝2和原点坐标代入y＝a（x﹣m）2﹣m+4，解方程即可；
（2）①如图，过点C作CN⊥y轴，先表示出点C、D的坐标，再利用相似三角形性质构造方程求出m，即可求出点D的坐标；
②先求出交点坐标，再根据交点的情况确定m的取值范围．
【解答】解：（1）当m＝2时，抛物线y＝a（x﹣m）2﹣m+4（m＞0）经过原点，
∴0＝a（0﹣2）2﹣×2+4，
解得：a＝﹣，
（2）①如图，过点C作CN⊥y轴，
∵a＝﹣1，
∴y＝﹣（x﹣m）2﹣m+4，
∴C（m，﹣m+4），D（0，﹣m2﹣m+4），
∴点C在直线y＝﹣x+4上，M（0，4），
∵△MDC是直角三角形，
∴∠MCD＝90°，
∴∠MCD＝∠CND＝∠CNM＝90°，
∴∠CDM＝∠MCN，
∴△CDM∽△MCN，
∴＝，
∴＝，
解得：m＝2，
经检验：m＝2是原方程的根，且符合题意，
∴此时点D的坐标为（0，﹣1）；
②∵2＜p＜4，
∴当p＝2时，可得E（2，﹣2），
当p＝4时，可得E（4，﹣1），
当抛物线经过点E（2，﹣2）时，
﹣2＝﹣（2﹣m）2﹣m+4，
解得：m1＝﹣，m2＝4，
当抛物线经过点E（4，﹣1）时，
﹣1＝﹣（4﹣m）2﹣m+4，
解得：m1＝，m2＝2，
当交点在抛物线对称轴左边时，即m＜2时，
可得﹣＜m＜2，
又m＞0，
∴0＜m＜2，
当交点在抛物线对称轴右边时，即m＞2时，
可得4＜m＜，
∴m的取值范围为：0＜m＜2或4＜m＜．

13．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4经过A（﹣3，0），B（5，﹣4）两点，与y轴交于点C，连接AB，AC，BC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求证：AB平分∠CAO；
（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ABM是以AB为直角边的直角三角形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）将A（﹣3，0），B（5，﹣4）代入抛物线的解析式得到关于a、b的方程组，从而可求得a、b的值；
（2）先求得AC的长，然后取D（2，0），则AD＝AC，连接BD，接下来，证明BC＝BD，然后依据SSS可证明△ABC≌△ABD，接下来，依据全等三角形的性质可得到∠CAB＝∠BAD；
（3）作抛物线的对称轴交x轴与点E，交BC与点F，作点A作AM′⊥AB，作BM⊥AB，分别交抛物线的对称轴与M′、M，依据点A和点B的坐标可得到tan∠BAE=12，从而可得到tan∠M′AE＝2或tan∠MBF＝2，从而可得到FM和M′E的长，故此可得到点M′和点M的坐标．
【解答】解：（1）将A（﹣3，0），B（5，﹣4）代入得：9a-3b-4=025a+5b-4=-4，
解得：a=16，b=-56．
∴抛物线的解析式为y=16x2-56x﹣4．
（2）∵AO＝3，OC＝4，
∴AC＝5．
取D（2，0），则AD＝AC＝5．

由两点间的距离公式可知BD=(5-2)2+(-4-0)2=5．
∵C（0，﹣4），B（5，﹣4），
∴BC＝5．
∴BD＝BC．
在△ABC和△ABD中，AD＝AC，AB＝AB，BD＝BC，
∴△ABC≌△ABD，
∴∠CAB＝∠BAD，
∴AB平分∠CAO；
证法二：∵C（0，﹣4），B（5，﹣4），
∴BC∥x轴，
∴∠BAD＝∠ABC，
∵CA＝CB，
∴∠CAB＝∠ABC，
∴∠CAB＝∠BAD，
∴AB平分∠CAO．

（3）如图所示：抛物线的对称轴交x轴与点E，交BC与点F．

抛物线的对称轴为x=52，则AE=112．
∵A（﹣3，0），B（5，﹣4），
∴tan∠EAB=12．
∵∠M′AB＝90°．
∴tan∠M′AE＝2．
∴M′E＝2AE＝11，
∴M′（52，11）．
同理：tan∠MBF＝2．
又∵BF=52，
∴FM＝5，
∴M（52，﹣9）．
∴点M的坐标为（52，11）或（52，﹣9）．
14．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线l与抛物线y＝mx2+nx相交于A（1，33），B（4，0）两点．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）在坐标轴上是否存在点D，使得△ABD是以线段AB为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；
（3）点P是线段AB上一动点，（点P不与点A、B重合），过点P作PM∥OA，交第一象限内的抛物线于点M，过点M作MC⊥x轴于点C，交AB于点N，若△BCN、△PMN的面积S△BCN、S△PMN满足S△BCN＝2S△PMN，求出MNNC的值，并求出此时点M的坐标．

【分析】（1）由A、B两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）分D在x轴上和y轴上，当D在x轴上时，过A作AD⊥x轴，垂足D即为所求；当D点在y轴上时，设出D点坐标为（0，d），可分别表示出AD、BD，再利用勾股定理可得到关于d的方程，可求得d的值，从而可求得满足条件的D点坐标；
（3）过P作PF⊥CM于点F，利用Rt△ADO∽Rt△MFP以及三角函数，可用PF分别表示出MF和NF，从而可表示出MN，设BC＝a，则可用a表示出CN，再利用S△BCN＝2S△PMN，可用PF表示出a的值，从而可用PF表示出CN，可求得MNNC的值；借助a可表示出M点的坐标，代入抛物线解析式可求得a的值，从而可求出M点的坐标．
【解答】解：
（1）∵A（1，33），B（4，0）在抛物线y＝mx2+nx的图象上，
∴m+n=3316m+4n=0，解得m=-3n=43，
∴抛物线解析式为y=-3x2+43x；
（2）存在三个点满足题意，理由如下：
当点D在x轴上时，如图1，过点A作AD⊥x轴于点D，

∵A（1，33），
∴D坐标为（1，0）；
当点D在y轴上时，设D（0，d），则AD2＝1+（33-d）2，BD2＝42+d2，且AB2＝（4﹣1）2+（33）2＝36，
∵△ABD是以AB为斜边的直角三角形，
∴AD2+BD2＝AB2，即1+（33-d）2+42+d2＝36，解得d=33±112，
∴D点坐标为（0，33+112）或（0，33-112）；
综上可知存在满足条件的D点，其坐标为（1，0）或（0，33+112）或（0，33-112）；
（补充方法：可用A，B点为直径作一个圆，圆与坐标轴的交点即为答案）
（3）如图2，过P作PF⊥CM于点F，

∵PM∥OA，
∴Rt△ADO∽Rt△MFP，
∴MFPF=ADOD=33，
∴MF＝33PF，
在Rt△ABD中，BD＝3，AD＝33，
∴tan∠ABD=3，
∴∠ABD＝60°，设BC＝a，则CN=3a，
在Rt△PFN中，∠PNF＝∠BNC＝30°，
∴tan∠PNF=PFFN=33，
∴FN=3PF，
∴MN＝MF+FN＝43PF，
∵S△BCN＝2S△PMN，
∴32a2＝2×12×43PF2，
∴a＝22PF，
∴NC=3a＝26PF，
∴MNNC=43PF26PF=2，
∴MN=2NC=2×3a=6a，
∴MC＝MN+NC＝（6+3）a，
∴M点坐标为（4﹣a，（6+3）a），
又M点在抛物线上，代入可得-3（4﹣a）2+43（4﹣a）＝（6+3）a，
解得a＝3-2或a＝0（舍去），
OC＝4﹣a=2+1，MC＝26+3，
∴点M的坐标为（2+1，26+3）．
15．操作：“如图1，P是平面直角坐标系中一点（x轴上的点除外），过点P作PC⊥x轴于点C，点C绕点P逆时针旋转60°得到点Q．”我们将此由点P得到点Q的操作称为点的T变换．

（1）点P（a，b）经过T变换后得到的点Q的坐标为　（a+32b，12b）　；若点M经过T变换后得到点N（6，-3），则点M的坐标为　（9，﹣23）　．
（2）A是函数y=32x图象上异于原点O的任意一点，经过T变换后得到点B．
①求经过点O，点B的直线的函数表达式；
②如图2，直线AB交y轴于点D，求△OAB的面积与△OAD的面积之比．
【分析】（1）连接CQ可知△PCQ为等边三角形，过Q作QD⊥PC，利用等边三角形的性质可求得CD和QD的长，则可求得Q点坐标；设出M点的坐标，利用P、Q坐标之间的关系可得到点M的方程，可求得M点的坐标；
（2）①可设A（t，32t），利用T变换可求得B点坐标，利用待定系数示可求得直线OB的函数表达式；
②方法1、由待定系数示可求得直线AB的解析式，可求得D点坐标，则可求得AB、AD的长，可求得△OAB的面积与△OAD的面积之比．
方法2、先确定出△BOD比△OAD（B与A横坐标绝对值的比更简单）得出面积关系，即可得出结论．
【解答】解：
（1）如图1，连接CQ，过Q作QD⊥PC于点D，

由旋转的性质可得PC＝PQ，且∠CPQ＝60°，
∴△PCQ为等边三角形，
∵P（a，b），
∴OC＝a，PC＝b，
∴CD=12PC=12b，DQ=32PQ=32b，
∴Q（a+32b，12b）；
设M（x，y），则N点坐标为（x+32y，12y），
∵N（6，-3），
∴x+32y=612y=-3，解得x=9y=-23，
∴M（9，﹣23）；
故答案为：（a+32b，12b）；（9，﹣23）；
（2）①∵A是函数y=32x图象上异于原点O的任意一点，
∴可设A（t，32t），
∴t+32×32t=74t，12×32t=34t，
∴B（74t，34t），
设直线OB的函数表达式为y＝kx，则74tk=34t，解得k=37，
∴直线OB的函数表达式为y=37x；
②方法1、设直线AB解析式为y＝k′x+b，
把A、B坐标代入可得tk'+b=32t74tk'+b=34t，解得k'=-33b=536t，
∴直线AB解析式为y=-33x+536t，
∴D（0，536t），且A（t，32t），B（74t，34t），
∴AB=(74t-t)2+(34t-32t)2=32|t|，AD=t2+(32t-536t)2=233|t|，
∴S△OABS△OAD=ABAD=32|t|233|t|=34．

方法2、由（1）知，A（t，32t），B（74t，34t），
∴S△BODS△AOD=12OD×|xB|12OD×|xA|=|xB||xA|=74，
∵△AOB、△AOD和△BOD的边AB、AD和BD上的高相同，
∴S△OABS△OAD=34．
16．如图，一次函数y=34x+6的图象交x轴于点A、交y轴于点B，∠ABO的平分线交x轴于点C，过点C作直线CD⊥AB，垂足为点D，交y轴于点E．
（1）求直线CE的解析式；
（2）在线段AB上有一动点P（不与点A，B重合），过点P分别作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足为点M、N，是否存在点P，使线段MN的长最小？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）先求出AB＝10，进而判断出Rt△BCD≌Rt△BCO，和△ACD∽△ABO，确定出点C（﹣3，0），
再判断出△EBD≌△ABO，求出OE＝BE﹣OB＝4，即可得出点E坐标，最后用待定系数法即可；
（2）方法1，设P（﹣m，-34m+6），进而得出PN＝m，PM=-34m+6，根据勾股定理得，MN2=2516（m-7225）2+57625，即可得出点P横坐标，即可得出结论．
方法2、先判断出OP⊥AB时，MN最小，再用面积求出OP，即可得出结论．
【解答】解：（1）根据题意得点B的横坐标为0，点A的纵坐标为0，
∴B（0，6），A（﹣8，0），
∴OA＝8，OB＝6，
∴AB=OA2+OB2=10，
∵CB平分∠ABO，CD⊥AB，CO⊥BO，
∴CD＝CO，
∵BC＝BC，
∴Rt△BCD≌Rt△BCO，
∴BD＝BO＝6，
∴AD＝AB﹣BD＝4，
∵∠ADC＝∠AOB＝90°，
∠CAD＝∠BAO，
∴△ACD∽△ABO，
∴ADAO=ACAB，
∴48=AC10，
∴AC＝5，
∴OC＝OA﹣AC＝3，
∴C（﹣3，0），
∵∠EDB＝∠AOB＝90°，BD＝BO，∠EBD＝∠ABO，
∴△EBD≌△ABO，
∴BE＝AB＝10，
∴OE＝BE﹣OB＝4，
∴E（0，﹣4），
设直线CE的解析式为y＝kx﹣4，
∴﹣3k﹣4＝0，
∴k=-43，
∴直线CE的解析式为y=-43x﹣4，

（2）解：存在，（-7225，9625），
方法1、如图，
∵点P在直线y=34x+6上，
∴设P（﹣m，-34m+6），
∴PN＝m，PM=-34m+6，
根据勾股定理得，MN2＝PN2+PM2＝m2+（-34m+6）2=2516（m-7225）2+57625，
∴当m=7225时，MN2有最小值，则MN有最小值，
当m=7225时，y=-34x+6=-34×7225+6=9625，
∴P（-7225，9625）．

方法2、如图
∵PM⊥x轴于M，PN⊥OB于y轴，
∴∠PMO＝∠PNO＝90°＝∠MON，
∴四边形PMON是矩形，
∴MN＝OP
∴OP最小时，MN最小，
∴OP⊥AB，
∵OA＝8，OB＝6，
∴AB＝10，
∴OP=6×810=245，
易知，△OPM∽△OAP，
∴OPOA=OMOP=PMAP
∴2458=OM245，
∴OM=7225，
∴P的横坐标为-7225，
∵点P在直线y=34x+6上，
∴P的纵坐标为9625，
∴P（-7225，9625）．


17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；
（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；
（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）设交点式y＝a（x+1）（x﹣3），展开得到﹣2a＝2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；
（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；
（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=-13x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=-13x+3，再解方程组y=-x2+2x+3y=-13x+3得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
即y＝ax2﹣2ax﹣3a，
∴﹣2a＝2，解得a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3，则C（0，3），
设直线AC的解析式为y＝px+q，
把A（﹣1，0），C（0，3）代入得-p+q=0q=3，解得p=3q=3，
∴直线AC的解析式为y＝3x+3；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D的坐标为（1，4），
作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），
∵MB＝MB′，
∴MB+MD＝MB′+MD＝DB′，此时MB+MD的值最小，
而BD的值不变，
∴此时△BDM的周长最小，
易得直线DB′的解析式为y＝x+3，
当x＝0时，y＝x+3＝3，
∴点M的坐标为（0，3）；
（3）存在．
过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，
∵直线AC的解析式为y＝3x+3，
∴直线PC的解析式可设为y=-13x+b，
把C（0，3）代入得b＝3，
∴直线PC的解析式为y=-13x+3，
解方程组y=-x2+2x+3y=-13x+3，解得x=0y=3或x=73y=209，则此时P点坐标为（73，209）；
过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线AP的解析式可设为y=-13x+b，
把A（﹣1，0）代入得13+b＝0，解得b=-13，
∴直线AP的解析式为y=-13x-13，
解方程组y=-x2+2x+3y=-13x-13，解得x=-1y=0或x=103y=-139，则此时P点坐标为（103，-139），
综上所述，符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，-139），

18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．且直线y＝x﹣6过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称，点P是线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线BD于点N．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）当△MDB的面积最大时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

【分析】（1）由一次函数图象与坐标轴交点B、D的坐标，再由对称求得C点坐标，再用待定系数法求抛物线的解析式；
（2）设P（m，0），则M（m，﹣m2+5m+6），N（m，m﹣6），由三角形的面积公式求得△MDB的面积关于m的二次函数，最后根据二次函数的最大值的求法，求得m的值，进而得P点的坐标；
（3）分三种情况：M为直角顶点；N为直角顶点；Q为直角顶点．分别得出Q点的坐标．
【解答】解：（1）令y＝0，得y＝x﹣6＝0，
解得x＝6，
∴B（6，0），
令x＝0，得y＝x﹣6＝﹣6，
∴D（0，﹣6），
∵点C与点D关于x轴对称，
∴C（0，6），
把B、C点坐标代入y＝﹣x2+bx+c中，得
-36+6b+c=0c=6，
解得，b=5c=6，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+5x+6；
（2）设P（m，0），则M（m，﹣m2+5m+6），N（m，m﹣6），
则MN＝﹣m2+4m+12，
∴△MDB的面积=12MN⋅OB=-3m2+12m+36＝﹣3（m﹣2）2+48，
∵﹣3＜0，
∴当m＝2时，△MDB的面积最大，
此时，P点的坐标为（2，0）；

（3）由（2）知，M（2，12），N（2，﹣4），
当∠QMN＝90°时，QM∥x轴，则Q（0，12）；
当∠MNQ＝90°时，NQ∥x轴，则Q（0，﹣4）；
当∠MQN＝90°时，设Q（0，n），则QM2+QN2＝MN2，
即4+（12﹣n）2+4+（n+4）2＝（12+4）2，
解得，n＝4±215，
∴Q（0，4+215）或（0，4﹣215）．
综上，存在以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形．其Q点坐标为（0，12）或（0，﹣4）或（0，4+215）或（0，4﹣215）．
19．在平面直角坐标系中，抛物线L1：y＝ax2﹣2x的对称轴为直线x＝﹣2，顶点为A．将抛物线L1沿y轴对称，得到抛物线L2，顶点为B．
（1）求a的值．
（2）求抛物线L2的表达式．
（3）请问在抛物线L1或L2上是否存在点P，使以点P、A、B为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

【分析】（1）利用抛物线的对称轴公式求出a即可．
（2）根据对称性求出点B的坐标即可解决问题．
（3）分三种情形：点A为直角顶点，点B为直角顶点，点P为直角顶点，分别求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线L1：y＝ax2﹣2x的对称轴为直线x＝﹣2，
∴--22a=-2，
∴a=-12．

（2）∵抛物线L1：y=-12x2﹣2x=-12（x+2）2+2，
∴抛物线L1的顶点A（﹣2，2），
∵将抛物线L1沿y轴对称，得到抛物线L2，顶点为B，
∴B（2，2），
∴抛物线L2的解析式为y=-12（x﹣2）2+2，即y=-12x2+2x．

（3）如图，

观察图象可知，以A或B为直角顶点时，可得P（﹣2，﹣6）或（2，﹣6）
当AB为斜边时，∵A（﹣2，2），B（2，2），
∴OA＝OB＝22，AB＝4，
∴AB2＝OA2+OB2，
∴∠AOB＝90°，
∴当点P与O重合时，△APB是直角三角形，
综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣2，﹣6）或（2，﹣6）或（0，0）．
20．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），点A的坐标是（3，0），抛物线的对称轴是直线x＝1．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点P为第四象限内抛物线上一点，且△PBC是直角三角形，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在直线BC上是否存在点Q，使∠PQB＝∠CPB，若存在，求出点Q坐标：若不存在，请说明理由．

【分析】（1）构建方程组求出a，b，c即可．
（2）如图1中，连接BC，由题意，点P在第四象限，所以∠CBP＝90°，过点B作BP⊥BC交抛物线于P，连接PC．求出直线PB的解析式，构建方程组求出等P坐标即可．
（3）如图2中，当∠CPB＝∠PQB时，证明∠CPQ＝90°，求出直线PC，PQ的解析式，构建方程组求出点Q坐标，再利用对称性求出满足条件的点Q′即可．
【解答】解：（1）由题意，c=39a+3b+c=0-b2a=1，
解得a=-1b=2c=3，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3．

（2）如图1中，连接BC，由题意，点P在第四象限，所以∠CBP＝90°，
过点B作BP⊥BC交抛物线于P，连接PC．

对于抛物线y＝﹣x2+2x+3，令y＝0，可得x2﹣2x﹣3＝0，
解得x＝﹣1或3，
∴B（﹣1，0），
∵C（0，3），
∴直线BC的解析式为y＝3x+3，
∵PB⊥BC，
∴直线PB的解析式为y=-13x-13，
由y=-x2+2x+3y=-13x-13，解得x=-1y=0或x=103y=-139，
∴P（103，-139）．

（3）如图2中，当∠CPB＝∠PQB时，

∵∠CPB+∠PCB＝90°，
∴∠PQB+∠PCB＝90°，
∴∠CPQ＝90°，
∴PQ⊥PC，
∵C（0，3），P（103，-139），
∴直线PC的解析式为y=-43x+3，
∴直线PQ的解析式为y=34x-7118，
由y=3x+3y=34x-7118，解得x=-25081y=-16927，
∴Q（-25081，-16927），
根据对称性可知，点Q关于点B的对称点Q′也满足条件，可得Q′（8881，16927），
综上所述，满足条件的点Q的坐标为（8881，16927）或（-25081，-16927）．