初中数学北师大版八年级下册1 等腰三角形教案设计

北师大版数学八年级下册第一章第1节

《等腰三角形》教学设计

【课程标准对本节内容的要求与活动建议】

探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合。

【内容与学情分析】

在八年级上册第七章《平行线的证明》，学生已经感受了证明的必要性，并通过平行线有关命题的证明过程，习得了一些基本的证明方法和基本规范，积累了一定的证明经验；在七年级下，学生也已经探索得到了有关三角形全等和等腰三角形的有关命题，这些都为证明本节有关命题做了很好的铺垫。

本节将进一步利用全等三角形的有关定理、公理证明等腰三角形性质的有关定理，由于具备了上面所说的活动经验和认知基础，本节可以让学生自主地寻求命题的证明。

【教学目标】

1．知识目标：

理解作为证明基础的8条公理的内容，应用这些公理证明等腰三角形的性质定理；

在证明过程中，进一步感受证明过程，掌握推理证明的基本要求，明确条件和结论，能够借助数学符号语言利用综合法证明等腰三角形的性质定理；

熟悉证明的基本步骤和书写格式。

2．能力目标：

经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力；

鼓励学生在交流探索中发现证明方法的多样性，提高逻辑思维水平；

3．情感与价值目标

启发引导学生体会探索结论和证明结论，及合情推理与演绎的相互依赖和相互补充的辩证关系；

培养学生合作交流的能力，以及独立思考的良好学习习惯。

 引导学生对图形进行观察，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的信心。 

【教学重点、难点】

重点：探索证明等腰三角形性质定理的思路与方法，掌握证明的基本要求和方法。

难点：明确推理证明的基本要求如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达等。

【学习目标】

1、能证明等腰三角形的性质定理。

2、会应用等腰三角形的2个性质，解决简单的问题。

3、掌握证明的基本步骤和书写格式。

4、能有条理地用严谨的几何语言表达。

【评价活动方案】

1．第四环节：活动1，证明猜想1以及活动2，口述证明猜想2的探究过程中，关注学生能否用多种方法证明，以及严谨书写证明过程，完成猜想1的证明。能否用有条理的几何语言叙述猜想2的证明，以评价目标1。

2．第五、六、八环节：关注学生应用等腰三角形性质解决问题的完成情况、熟练度、对题率等以评价目标2。

3．第四环节的活动1，第六环节的活动2，以及第八环节，关注学生书写证明过程的格式、步骤、规范性、严谨性、正确性，以评价目标3。

4．关注第四环节：活动2，口述证明猜想2，以及提问 “三线合一”符号语言与文字语言的转化，和第五环节，“小先生”口述解题过程，以及环节六，各个练习题的口述表达情况，以评价目标4。

【教学活动设计】

第一环节：创设情境

欣赏美丽的建筑，感受等腰三角形在现实生活中的应用，和它的轴对称美。

问题1： 美丽的建筑物中，有你熟悉的几何图形吗？

答：等腰三角形。

问题2： 为什么建筑物中通常设计有等腰三角形？

答：因为等腰三角形具有①三角形的稳定性，使建筑物坚固。②具有轴对称性，有对称美，使建筑物更美观。

活动目的：数学来源于生活，通过欣赏美丽的建筑，引导学生从生活出发，体会数学与生活的联系，体会等腰三角形的重要性和在生活中的广泛应用，为引入新课做好准备。感受到等腰三角形是轴对称图形，欣赏它的对称美，为以下各个环节，亲自动手做一个等腰三角形、探究等腰三角形的性质，做好理论铺垫。通过亲身经历提炼有关数学信息的过程，可以让学生在直观有趣的问题情境中学到有价值的数学。充分利用现代化教学手段加强直观教学，引起学生学习的兴趣：通过师生互动，生生互动，增加学生之间的凝聚力，激发学生学习积极性，提高学课堂效率。

活动注意事项：欣赏美丽的建筑，抽象出熟悉的几何图形------等腰三角形。感受等腰三角形的轴对称性，特别重要。等腰三角形的轴对称性是本节课各个环节，亲自动手做一个等腰三角形、探究等腰三角形的性质的理论基础。在这一环节中，应让学生充分感受等腰三角形的轴对称美，教师充分强调它的轴对称性。

第二环节：动手做一做，剪出一个等腰三角形

请同学们根据等腰三角形是一个轴对称图形，动手做一做，剪出一个等腰三角形。

活动目的：通过学生自己动手剪出一个等腰三角形，加深对等腰三角形轴对称性的体会。并且体会到等腰三角形沿对称轴对折后，两侧能够完全重合。为探究等腰三角形的2条性质，做好感知铺垫。并且通过两侧完全重合，启发学生从全等的角度，去探究证明接下来要学习的性质。

活动注意事项：注意提示学生，动手剪出等腰三角形的依据：等腰三角形是轴对称图形。留心观察每位同学的操作，给予必要提示。通过剪一剪的活动，使获取成功的体验，建立学习的信心，给予充分表扬鼓励。 

第三环节：观察实验

请将自己手中的等腰三角形沿折痕对折

1、观察你制作的等腰三角形，具有什么特征？你能得到那些相等的量？

2、小组成员间交流自己的发现，并总结概括出等腰三角形的特征。

答： ①AB=AC  ②∠B=∠C ③ BD=CD  ④∠1=∠2  ⑤∠ADB=∠ADC=90°

活动目的：启发学生小组交流讨论，观察沿折痕对折时，重合的量，

从而发现，五组等量关系。这五组重合而得的等量的前两组①AB=AC  ②∠B=∠C为猜想、证明等腰三角形性质1（等边对等角）提供感知与证明依据。这五组重合而得的等量的后三组③ BD=CD  ④∠1=∠2  ⑤∠ADB=∠ADC=90°为猜想、证明等腰三角形性质2（等三线合一）提供感知与证明依据。

活动注意事项：采用小组讨论的形式，让学生的思想充分交流，认知更加完整。必需提供给学生，上讲台展示自己组发现的等量关系的机会，并且让学生充分展示他们是如何通过折纸操作，得到5组等量的。在他们的演示与语言叙述中，更加深了他们对轴对称，以及所得5组等量的理解。给学生提供充分展示自己思维的机会。

第四环节：观察、发现、提出猜想，并证明猜想的正确性，得到等腰三角形性质。

活动1：观察、提出 猜想1 等腰三角形的两个底角相等。并小组讨论交流证明该命题的正确性，得到等腰三角形性质1。

问：看5组等量，第1组等量反应等腰三角形什么特性？

答：两腰相等。

问：第2组量反应等腰三角形什么特性？

答：两底角相等。

问：因此，我们可以得到怎样一个猜想？

答：猜想1 等腰三角形的两个底角相等。

问：我们猜想得到一个命题，下一步该做什么？

答：证明命题是否正确。

问：谁能说一下，证明一个命题的步骤是什么？

答：第一步，找出命题的题设和结论。第二步，把题设写成已知，把结论写成求证。第三步是严谨的证明

问：这个命题的题设是什么？

答：等腰三角形

问：结论是什么？

答：两个底角相等

问：请你说出已知和求证。

答：已知:AB=AC

求证:∠B=∠C

问：在完成第三步---严谨证明之前。首先，回顾一下证明2个角相等的方法有哪些？

答：通常有三种方法：方法一，利用同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等，证明。方法二，找出或构造平行线，利用两直线平行同位角相等或内错角相等，证明。方法三，找出或构造全等三角形，利用全等三角形的对应角相等，证明。

接下来，每个小组根据回顾的的证明2个角相等的方法，交流讨论猜想1的证明。尽可能找出更多的证明方法。特别，给大家提示，必要时，添加辅助线！添加辅助线时，要考虑等腰三角形的轴对称性、考虑到对称轴!

我们来交流。展示一下各小组证明方法：（小组代表，板书证明过程）

(法一)                                 

（法二）

（法三）

我们得到，等腰三角形性质定理1

性质定理1 等腰三角形的两个底角相等。

（简称“等边对等角”）

问：谁能用符号语言描述定理1？

答：符号语言：∵AB＝AC   （已知）

          ∴ ∠B＝∠C （等边对等角）

活动目的：通过观察活动，以及小组讨论交流，获得有关等腰三角形性质命题的证明思路，并通过进一步的整理，再次感受证明是探索的自然延伸和发展，熟悉证明的基本步骤和书写格式。

活动注意事项：由于有了教师引导下学生的活动，以及具体的折纸观察操作，学生一般都能猜想到有关等腰三角形的性质命题，证明得到的命题是否正确，这一环节，有些同学可能没有思路、方法。在学生小组的交流中，通过同伴的互相提示、补充，一般都可以完成证明。当然，在教学过程中，教师应注意小组的巡视，提醒学生思考多种证明思路，思考不同的辅助线之间的关系，探究多种证明方法，通过严谨的证明，认识等腰三角形性质定理1。

活动2：观察、提出 猜想2等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。并口述证明该命题的正确性，得到等腰三角形性质2。

问：大家看5组等量，第3组等量反应AD是什么特殊线段？

答：等腰三角形底边中线。

问：第4组等量反应AD是什么特殊线段？

答：等腰三角形顶角平分线。

问：第5组等量反应AD是什么特殊线段？

答：等腰三角形底边上的高。

问：因此，我们可以得到怎样一个猜想？

猜想2：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

问：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合？

（教师点拨）答：可以如此理解：1.已知一条线段是等腰三角形底边上的中线，可得它也是底边上的高，顶角的平分线。2.已知一条线段是等腰三角形底边上的高，可得它也是底边上的中线，顶角的平分线。3.已知一条线段是等腰三角形顶角的平分线，可得它也是底边上的中线，底边上的高。

问：下面，对比猜想1的3种证明方法，那位同学能口述一下猜想2的证明？

请一位同学到讲台口述证明过程。

通过证明，我们得到

等腰三角形性质定理2：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合。（简称“三线合一”）

符号语言填空：

问：把第（1）条转换成文字语言是：

答：已知AD是等腰三角形底边上的高,则它也是底边上的中线，顶角的平分线。

问：把第（2）条转换成文字语言是：

答：已知AD是等腰三角形底边上的中线，则它也是底边上的高，顶角的平分线。

问：把第（3）条转换成文字语言是：

答：已知AD是是等腰三角形顶角的平分线，则它也是底边上的中线，底边上的高。

问：不错，大家已经理解了“三线合一”。下面我口述一个命题，大家判断正确吗？

等腰三角形的高、中线、角平分线，三线合一。

问：不对！谁能举个反例？

答：等腰三角形ABC中，底角∠B的角平分线BD，腰AC上的中线BE, 腰AC上的高BF,这三条线段：BD、BE、BF,就不重合。

问：因此，你想提醒大家什么？

答：“三线合一”应该是等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线和底边上的高互相重合。

活动目的：通过观察五组等量的后三条等量关系，得出“三线合一”的猜想。仿照猜想1的多种证明方法，启发学生口述猜想2的证明方法，以发展学生有条理地用严谨的几何语言表达的能力。以填空题的形式完成等腰三角形性质定理2的符号表达，使同学们更加乐于思考。对于探究性质定理2的三种符号表达的同时，提问相应的三种文字语言表达，有效锻炼了符号语言与文字语言的转化。

活动注意事项：口述猜想2的证明对学生而言，是一项巨大的挑战。学生的几何语言表达能力还在发展完善的过程中，有时候表达的不够严谨、不够完善，都是在情理当中，教师应予以足够的耐心指导，给予充分的鼓励。

第五环节：学以致用

等腰三角形的性质，大家学习得非常棒！下面看看大家会用性质解决问题吗？

如图,厂房屋顶钢架外框是等腰三角形,其中AB=AC,

立柱AD⊥BC.已知∠B=30°, BC=6m,

那么：∠BAC=          ,BD=          .

请小组讨论交流，解决问题。

问：哪位同学当小先生，讲台上讲解解决问题的步骤？

答：∵ AB=AC, AD⊥BC.

∴在RT△ADB中，∠BAD=90°-∠B=90°-30°=60°

∵AB=AC, AD⊥BC.

∴∠BAC=2∠BAD=2（是底边上的高，也是顶角平分线）

∵AB=AC, AD⊥BC.

∴BD=BC==3(米) （是底边上的高，也是底边上的中线）

活动目的：以小组讨论交流的形式，完成“学以致用”，以便于刚学会的性质在应用时，少数同学能力不足，可以在小组交流的同时，得到启发和帮助，得以学会知识的运用。另外，请一位同学当小老师，讲解解题过程。既锻炼了该学生的几何语言表达能力，又引起其他听众的兴趣。

活动注意事项：“小老师”在讲解时，未必每人都能听懂。教师此时可以以提问“小老师”两个问题的形式，把重点的性质用在一问一答中加以强调指明。

第六环节：以“比一比”的形式，完成随堂练习，巩固新知

活动1：比速度，看谁抢答，又对又快！

1、 等腰△ABC的两条边长分别为3和4，则△ABC的周长=                  .

2、等腰△ABC的两条边长分别为3和7，则△ABC的周长=                   .

问：你能说说以上两个题区别吗？

答：已知两条边长度，求等腰三角形周长，第一步分两种情况讨论，第二步判断两种情况是否都满足三角形三边关系定理，如果都满足，则有2个答案；如果只有一种满足，则1个答案。

3.一个等腰三角形的顶角为100°，底角度数为                 .

4.一个等腰三角形的一个角为40°， 则顶角度数为                       .

问：你能说说以上两个题区别吗？

答：钝角只能作等腰三角形的顶角，锐角既可以作等腰三角形的顶角，也可以作等腰三角形的底角。

5.在△ABC中，若AB=AC，∠B=∠A，则∠C=        .

问：你能说说解决这个题的关键是什么？

答：由等边AB=AC，得等角∠B=∠C.注意等边对等角这个定理使用时的对应关系。

活动目的：以比速度，抢答方式，完成比较简单的一组练习。消除了同学们的疲劳，引起积极的学习兴趣。在相应的对比练习之后设问，使学生清晰对比出一类问题的处理方法，以及区别之处，达到方法总结的目的。

活动注意事项：在相应的每道抢答题后面，应该留出一定的思考时间。或上课之前，布置成预习作业，课堂提问检查完成。

活动2：比一比，看谁本领大

大家的速度快的惊人，接下来比比谁的本领大吧！

如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC边上的中点，DE、DF

分别垂直AB、AC于点E和F.

求证：DE=DF．

（请大家独立思考完成。）

请两位同学板书不同的证明方法，发展学生的发散思维。

（法一）

（法二）

活动目的：设计该练习题，保证了学生有梯度的练习。为满足学生学习的不同需求，在都能获得必要发展的前提下，真正做到“不同的人在数学上得到不同的发展”，增强学生应用知识的能力。两位同学板书不同的解决问题的方法，在给其他同学提示的同时，发展了学生的发散思维。

活动注意事项：要求该练习题必须以学生独立思考为前提，之后，比本领，自主到讲台讲解，并板书。注意学生严谨的几何语言的表达，以及规范的证明书写。

第七环节：学有所思

首先，请每个小组交流讨论总结一下这堂课，谈谈你的收获，从知识收获与方法收获两方面畅所欲言。

接着，请几个组代表发言，谈谈自己组的收获。

以小组发言的形式，向大家展示：

知识收获：

方法收获：

之后，教师总结本节课知识图，与探究学习数学的方法过程图。

课堂小结的最后，教师再次强调作为证明基础的8个基本事实，希望大家要牢记！

1.两点确定一条直线;

2.两点之间线段最短；

3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

4.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行；

5.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等；

6.两边夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）；

7.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）；

8.三边对应相等的两个三角形全等（SSS）；

活动目的：以小组交流讨论的形式总结一下这堂课，从知识收获与方法收获两方面畅所欲言，谈收获。使学生在知识内容与探究学习数学知识的方法过程2个层面，都有所体会、心得。培养学生总结归纳的习惯，提高学生自主建构知识网络，分析、解决问题的能力，达到触类旁通。最后，教师再次强调牢记作为证明基础的8个基本事实，为证明，掌握好强有力的依据。

活动注意事项：教师注意在知识内容与探究学习数学知识的方法、过程，2个方面的点拨。为巩固证明基础的8个基本事实，可以布置记忆作业，希望更进一步熟记。

第八环节：当堂检测

《1.1等腰三角形（1）》当堂评测练习

一、选择题：（在每个小题所列的四个选项中，只有一项是最符合题意的，请将所选选项前面的字母标号填在题后的括号内）

1．如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作AD∥BC，若∠1=70°，则∠BAC的大小为（　　）

A．40° B．30° C．70° D．50°

2．已知等腰三角形的一个角为72°，则其顶角为（　　）

A．36° B．45° C．60° D．72°或36°

3．等腰三角形的一边为3，另一边为8，则这个三角形的周长为（　　）

A．14 B．19 C．11 D．14或19

二、 填空题：

4．如图，AB∥CE，BF交CE于点D，DE=DF，∠F=20°，则∠B的度数为　　．

三、证明题：

5. 已知:AB=AC,BD=DE.

求证:DE∥AC.

活动目的：检测学生知识技能的掌握情况，学习目标的完成情况。       

活动注意事项：小组成员互相批改、纠错订正。小组长统计完成情况、评价组员。教师评价小组。实现评价方式多样化 。

第九环节：布置作业

1、基础巩固：课本第4页 习题1.1

2、提高能力：用三种方法证明等腰三角形的性质“三线合一”。

3、熟背作为证明基础的8个基本事实。

4、（选作）动手做一做：墙上钉了一根木条，小明想检验这根木条是否水平．他拿来一个如图所示的测平仪，在这个测平仪中，AB＝AC，BC 边的中点D 处挂了一个重锤．小明将BC 边与木条重合，观察此时重锤是否通过A点．如果重锤过A点，那么这根木条就是水平的．你能说明其中的道理吗?

活动目的：尊重学生个体存在差异的客观事实，让不同的学生获得不同的发展。所以作业的设计分层要求。有助于培养学生的数学应用意识，让学生感悟数学来源于生活应用于生活，激发学生学习的热情。

第十环节：教师寄语

在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么。

                                                     ——毕达哥拉斯

活动目的：把毕达哥拉斯的名言送给学生作为指路明灯，希望大家在注重知识学习的同时，更要注重获取知识的方法学习，以及过程体会。

【教学反思】

与学生探究学习完《等腰三角形（1）》这节课，我的最大体会是教学活动必须要给学生提供探索交流、操作、思考的空间和时间，教会学生如何探究获取知识的方法、途径和过程体验，远比学习知识本身更重要。

一、结合实际生活教学，激发学生的学习兴趣

数学源于生活，生活中到处蕴含着数学问题。 “开门见山，直入课题”，我首先让学生欣赏美丽的建筑，在生活实际中找出等腰三角形，同学们一下子进入学习的状态，在这种轻松愉快的气氛中开始了一堂课的探究。与之相呼应的是，在课的最后，留给学生的思考作业：关于“三线合一”在生活实际中的应用原理，更是让学生有一种意犹未尽的感觉。

二、组织实践操作活动，激励学生的探索精神

本节课以“等腰三角形”为主线索，用“动手”贯穿整堂课。首先，就让学生动手剪出一个等腰三角形。接着，请学生做观察实验，在学生动手折纸、动眼观察、动脑思考等一系列实践活动中，学生就会发现：哦，原来等腰三角形是一个轴对称图形，对称轴就AD所在的直线，而后就能很顺利地探索出五组等量关系，猜想出“等边对等角”、“三线合一”这两个命题了。这样的实践活动，确实进一步增强了学生对数学知识的体验和感知，有效地激励了学生的探索精神。

三、创造情感体验的机会，激活学生的思维空间

数学教学中，我们不应只考虑学生应该学习什么，而应更多考虑，学生需要什么样的数学，需要怎样的数学活动方式。惟有如此，学生在数学学习中才会产生积极的数学学习情感体验，才能激活学生的思维空间，产生强大的后续学习的动力。在本节课堂上，我注意给学生创造情感体验的机会：在数学实验中，体验到了学习数学的乐趣；在独立思考中，体验了到数学科学的奥妙；在合作交流中，体验到了同学之间的友谊；在尝试完成例题中，体验到了成功的喜悦；在巩固练习中，体验到了数学的价值；在课堂小结中，体验到了学习数学无止境……

四、创设感悟情境，拓展感悟空间，提高学生触及数学本质的能力

教的真谛在于“导”，学的成功在于“悟”。不通过感悟的数学知识对学生来讲是没有意义的，只有将数学知识内化成为学生自己的认知结构，并使其有所体悟，这样的数学知识对学生来讲才是有实在意义的，所以感悟在数学学习中具有核心地位。而感悟来源于对问题的深入思考，因此，在课堂上，我不是一味的追求“热闹”，而是非常强调学生的独立思考，给学生创设一个良好的感悟情境，不管是在导入新课，还是在探索新知，或是在例题解析，我都尽量将学生带入问题情境中，并提供足够的时间让学生充分地、独立地深入思考，感悟数学本质。

五、在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么。

    把毕达哥拉斯的上述名言，送给学生作指路明灯。再次告诉学生，学习数学知识很重要，但比学习知识更加重要的是学会探究、发现、猜想、证明、应用知识的方法、途径和过程体验。

总之，本节课围绕着“等腰三角形”这条主线，让学生通过动手操作、动眼观察、动口表述、动脑思考来参与学习过程，这既重视了知识的形成过程，又重视了学生思维的发展过程；既重视了能力培养，又重视了学生情感的产生和保持。当然，每一节数学课结束之后，总是思绪万千，本节课也是的，总觉得有些问题值得探讨，主要有以下几个：

怎样才能够充分的利用有效的活动，帮助学生学会并掌握新知识？怎样才能让学生在一般与特殊的对比中运用发现法？由观察比较到验证归纳，再到推理论证；由个别形象到一般抽象；由感性认识上升到理性认识，使学生的思维由形象直观过度到抽象的逻辑演绎，层层展开，步步深入，进一步体会等腰三角形所具有的特征。揭开对“三线合一”正确理解的疑难。同时，在实施合作式学习时，教师要对“收”“放”“度”有充分的把握，否则时间分配不合理，造成拖堂。 所以这些方面还值得我进一步去反思、去探究。

此外，这节课存在着不足之处，需要我在今后的教学中，注意改进：

1、课堂练习的5道抢答题，应该预留出一段时间供学生思考，使思维不够敏捷的同学也有较长时间思考，避免思维敏捷的同学说出答案后，前者只能听从他人答案、顺从他人的思路进行被动学习。显然，预留时间不够充分，今后一定注意从设计环节上加以完善。

2、本班学生的数学语言、几何语言、表达能力均需要着重培养，有意识地加强锻炼，使他们的表达更严谨、逻辑性更强，这是今后我需要下功夫的地方。

这节课结束了，但摆在我面前的道路实在是任重而道远。就让我和学生们一起成长，一起体会他们的主动与积极给我带来的震撼，一起来感悟我们在探究学习中，对学生自主性培养所遵循的几条原则：给学生一个空间，让他们自己去探索；给学生一个时间，让他们自己去安排；给学生一个权力，让他们自己去选择、去创造。