2021-2022学年广东省高二上学期期末教学质量监测数学试题含答案

广东省2021-2022学年高二上学期期末教学质量监测试卷

数 学

本试题满分150分，考试用时120分钟

注意事项：

1．答卷前，务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。不按要求填涂的，答案无效。

3．非选择题必须黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．直线的斜率为(     )

A．135º B．45º         C．1          D.  -1

2．设，，且，则等于(     )

A． B．1           C．        D.  2

3．在数列中，若，，则（    ）

A．16 B．32          C．64         D．128

4． 双曲线的渐近线方程为（    ）

A．     B.      C．  D．

5．若抛物线x2=8y上一点P到焦点的距离为9，则点P的纵坐标为（    ）

  A.           B．         C．6          D．7

6．等比数列的各项均为正数，且，则（    ）

A．5              B．10          C．4          D．

7．如图，在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若，，，则的值为（    ）

A．             B．     C．1       D．

8．已知平面向量，且 ，向量满足，则的最小值为（    ）

A．         B．      C．     D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．已知方程，则下列说法正确的是（    ）

A．当时，表示圆心为的圆；      B．当时，表示圆心为的圆；

C．当时，表示的圆的半径为；       D．当时，表示的圆与轴相切。

10．素数（大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数叫做素数，否则称为合数）在密码学、生物学、金融学等方面应用十分广泛。1934年，一个来自东印度（现孟加拉国）的学者森德拉姆发现了以下以他的名字命名的“森德拉姆素数筛选数阵”，这个成就使他青史留名。

该数阵的特点是每行、每列的数均成等差数列，如果正整数n出现在数阵中，则一定是合数，反之如果正整数n不在数阵中，则一定是素数，下面结论中正确的是（    ）

A．第4行第9列的数为80； B．第6行的数公差为13；

C．592不会出现在此数阵中； D．第10列中前10行的数之和为1255。

11．如图，已知正方体的棱长为2，点E，F在四边形所在的平面内，若，，则下述结论正确的是（    ）

A．点F的轨迹是一个圆；       B．点E的轨迹是一个圆；

C．的最小值为；

D．直线DF与平面ABD所成角的正弦值的最大值为。

12．已知、分别为双曲线的左、右焦点，且，点P为双曲线右支一点，I为的内心，若成立，则下列结论正确的有（    ）

    A．离心率；        B. 当轴时，； 

    C．；            D．点I的横坐标为定值a。

三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．为2和6的等差中项，则=             。

14．已知点，点是直线上的动点，则的最小值是             。

15．在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G=(0<<2)，则点G到平面D1EF的距离为                  。

16．已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为             。

四、解答题：本题共6小题，第17题满分10分，其它5个小题满分均为12分，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．(10分)设数列的前项和为，且。

（1）求数列的通项公式；

（2）记，数列的前项和为，求不等式的解集。

18．(12分)在①，②，③，

这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题：在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为，，，且满足______________

（1）求；

（2）若△ABC的面积为，在边上，且，求的最小值。

     注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。

19.(12分)自疫情爆发以来，由于党和国家对抗疫工作的高度重视，在人民群众的不懈努力下，我国抗疫工作取得阶段性成功，国家经济很快得到复苏。在餐饮业恢复营业后，某快餐店统计了近100天内每日接待的顾客人数，将前50天的数据进行整理得到频率分布表和频率分布直方图。

（1）求，，的值，并估计该快餐店在前50天内每日接待的顾客人数的平均数；

（2）已知该快餐店在前50天内每日接待的顾客人数的方差为104，在后50天内每日接待的顾客人数的平均数为51、方差为100，估计这家快餐店这100天内每日接待的顾客人数的平均数和方差。（）

20.(12分)已知在长方形中，，点E是AD的中点，沿BE折起平面，使平面平面。

（1）求证：在四棱锥中，；

（2）在线段上是否存在点，使二面角的余弦值为?若存在，找出点的位置；若不存在，说明理由。

21．(12分)已知椭圆的左、右焦点分别为，若焦距为4，点P是椭圆上与左、右顶点不重合的点，且的面积最大值。

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的直线交椭圆于点、，且满足（为坐标原点），求直线的方程。

22．(12分)若存在常数，使得对任意，，均有，则称为有界集合，同时称为集合的上界。

(1)设，，试判断A、B是否为有界集合，并说明理由；

(2)已知常数，若函数为有界集合，求集合的上界最小值。

2021-2022学年度第一学期高二级教学质量监测试卷

数 学 参 考 答 案

一、单项选择题： 1—8：  DACA    DADB

8．∵，而，

   ∴，又，即，

   ∴，，

 若，则，

   ∴在以为圆心，1为半径的圆上，若，则，

   ∴问题转化为求在圆上哪一点时，使最小，又，

   ∴当且仅当三点共线且时，最小为。故选：B。

二、多项选择题：9．BCD     10． BD      11．BC       12．ACD

12.∵，∴，整理得（为双曲线的离心率），

∵，∴，所以A正确。

当轴时，，此时，所以B错误；

设的内切圆半径为r，由双曲线的定义得，，

 ，，，∵，

∴，故，所以C正确。

设内切圆与、、的切点分别为M、N、T，可得,。

由，，

可得，可得T的坐标为，即Ⅰ的横坐标为a，故D正确；

故选ACD。

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．4      14．      15．     16.

16．解:为边长为2的等边三角形，

为正三棱锥，

，又，分别为、中点， ，，又，平面，平面，，为正方体一部分，，即 。

四、解答题：本题共6小题，第17题满分10分，其它5个小题满分均为12分，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）

解：（1）令，则，-----------------------------------------1分

当时，，-------------------3分

当时，也符合上式，-------------------------------------------------4分

即数列的通项公式为-------------------------------------------5分

（2）由（1）得，则， -------------7分

所以----------------8分

故可化为：，故，-----------------------------------------9分

故不等式的解集为------------------------------------10分

18．（12分）

解：（1）方案一：选条件①。由可得，

由得，-----------------------2分

因为，所以，所以，

故，----------4分        又， -----------------5分

于是，即，因为，所以 ---------------6分

方案二：选条件②。

因为，由及,

，-------------------------------------------------------2分

即，

因为，所以，---------------------------4分

又，所以，因为，所以-------------------------6分

方案三：选条件③。∵，由得

∴，即，∴，----------------------------3分

∴。 --------4分       又，所以 ----------6分

（2）由题意知，得--------------------------8分

由余弦定理得，----------10分

当且仅当且，即，时取等号，所以的最小值为---12分

19．（12分）解：(1）由表可知第4组的频数为，

∴，--------------1分      ， -----------2分

第2组的频率为，，-------------------------------------------------3分

前50天内每日接待的顾客人数的平均数为：；-5分

（2）设前50天接待的顾客人数分别为，，…，，

后50天接待的顾客人数分别为，，…，，

则由（1）知前50天的平均数，方差，后50天的平均数，方差，

故这100天的平均数为，-----------------------------------------------7分

--------8分          同理，-----9分

这100天的方差， -----------10分

由以上三式可得

-------12分

20.（12分） 证明：（1）连结CE.因为E为AD的中点，，所以

因为四边形ABCD为长方形，所以AB⊥AD,

在直角三角形ABE中，，同理CE=2

又BC=2，所以，所以CE⊥BE-----------------------------------2分

又平面ABE⊥平面BCDE，平面ABE∩平面BCDE=BE，

所以CE⊥平面ABE，所以AB⊥CE--------------------------------------------------------4分

又AB⊥AE，且，所以AB⊥平面AEC，所以AB⊥AC----------------6分

解：（2）F为线段AC的中点。

易知△ABE和△BEC均为等腰直角三角形，过A点作底边BE的高，交BE于O点，取BC中点G,连结OG.以O为原点，为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则A(0，0，1)，B(1，0，0)，C(-1，2，0)，E(-1，0，0)，=(1，0，1)，

=(-1，2，-1)，显然平面ABE的一个法向量为-----------------7分

假设在线段AC上存在点F，使二面角A-BE-F的余弦值为.

若点为端点时，二面角A-BE-F为，不符合题意；

若点为端点时，二面角A-BE-F为，不符合题意；-----------------8分

设=λ（），则+λ=(1-λ，2λ，1-λ)，又=(2，0，0)，

设平面BEF的法向量为，可得，

即得，

令y=1可得，=(0，1，)， ---10分

那么cos< >=，

可得λ=-----------------------11分

即当点F为线段AC的中点时，二面角A-BE-F的余弦值为------------------------------12分

21.（12分）解： (1）∵      则，-------------------------------------------2分

又的面积最大值，则，所以，----------------------------------4分

，，故椭圆的方程为----------------------------------------------5分

（2）①当直线的斜率存在时，设，---------------------------------------6分

代入③整理得，--------------------------------------------7分

设、，则，--------------------------------8分

所以，

点到直线的距离---------------------------------------------------------9分

因为，即，

又由，得，所以，.

而，，即，

解得，此时；---------------------------------11分

②当直线的斜率不存在时，，直线交椭圆于点、.

也有，经检验，上述直线均满足，---------12分

综上：直线的方程为或。

22．（12分）解：（1）由得，即，，

对任意一个，都有一个，故不是有界集合-----------------------2分

，

，是有界集合，上界为1----------------------------------------------4分

（2），

因为，所以函数单调递减，

，------------------------------------------------------5分

因为函数为有界集合，

所以分两种情况讨论：当即时，集合的上界

当时，不等式为；

当时，不等式为；

当时，不等式为

即时，集合的上界-----------------------------------------------7分

当即时，集合的上界

同上解不等式得的解为

即时，集合的上界-----------------------------------------------8分

综上得时，集合的上界，时，集合的上界-------9分

时，集合的上界是一个减函数，

所以此时----------------------------------------------10分

时，集合的上界是增函数，

所以--------------------------------------------------11分

所以集合的上界最小值为----------------------------------------------12分

（2）解法2:

解：，

因为，所以函数在上单调递减，

-------------------------------------------------------------5分

①当，即时，集合的上界---------------------------6分

②当，即时，集合的上界-------------------------------7分

③当时，集合的上界----------------------------8分

令得

若时，；若时，--------------------9分

综上所述，当时，是一个减函数，

当时，，是一个增函数，-------------11分

所以集合的上界最小值为---------------------------------------------12分