第23讲 导数解答题之max，min函数问题-2022年新高考数学之导数综合讲义

第23讲 导数解答题之max，min函数问题

1．已知函数，．

（1）若直线与曲线相切，求实数的值；

（2）用，表示，中的最小值，设函数，，讨论零点的个数．

【解析】解：（1）依题意，，则曲线在点，处的切线方程为，

又，代入整理得，此直线与重合，得，消去得：

①，令，则，当时单调递增，当时，单调递减，（1）．由①知，，解得；

（2）①当时，，所以，无零点；

②当时，（1）（1），从而（1），故为的一个零点；

③当时，，则的零点即为的零点．

又，

所以①当时，，此时在上单调递增，（1），此时无零点；

②当时，令，解得：，易知在上单调递减，在上单调递增，又（1），

在上无零点，另外，由（1）可知（1）恒成立，

即对恒成立，则，

所以，故存在，

进而存在，使得，即，此时在上存在唯一零点；

综上可得：当时，有1个零点；当时，有2个零点．

2．已知函数，．

（1）讨论函数的单调性；

（2）记，表示，中的最小值，设，，若函数至少有三个零点，求实数的取值范围．

【解析】解：（1）的定义域为，

，

令，得．

①当，即时，；

②当，即时，；

③当，即时，，

综上，当时，的单减区间为和，单增区间为；

当时，的单减区间为，无增区间；

当时，的单减区间为和，单增区间为．

（2）的唯一一个零点是，

，，

由（1）可得：

当时，，

此时至多有两个零点，不符合题意；

（ⅱ）当时，在定义域上单减递减，

此时至多有两个零点，不符合题意；

（ⅲ）当时，

若（2），即，此时至多有两个零点，不符合题意；

若（2），即，此时，

即，

此时恰好有三个零点，符合题意；

若（2），即，此时，，

记，

所以，

所以（a）在上单调递增，所以，

此时恰好有四个零点，符合题意，

综上，．

3．已知函数，．

（1）当时，求的单调区间；

（2）当时，记函数，，若函数至少有三个零点，求实数的取值范围．

【解析】解：（1）令，

当时，．

，令，得．

当，，单调递增；

当，，，单调递减；

当，，，单调递增．

（2）当时，，令，得，．

①当，即时，，此时至多有两个零点，不合题意；

②当，即时，，此时至多有两个零点，不合题意；

③当，即时，若（1），至多有两个零点，不合题意；

若（1），得，，恰好有三个零点；

若（1），得，（2），．

记（a），则（a），（a），

此时有四个零点．

综上所述，满足条件的实数的取值集合为，．

4．已知函数．

（1）求证：；

（2）用，表示，中的最大值，记，，讨论函数零点的个数．

【解析】证明：（1）：设，定义域为，

则，

当时，；当时，，

故在内是递减函数，在内递增函数，

所以是的极小值点，也是的最小值点，所以（1），

所以．

解：（2）函数的定义域为，，

当时，；当时，，

所以在内是递减函数，在内是递增函数，

所以是的极小值点，也是的最小值点，即（1），

若，则，

当时，；当时，；当时，，

所以，于是只有一个零点．

当时，则，

当时，，此时；

当时，，，此时．

所以没有零点．

当时，根据（1）知：，而，所以，

又因为（1），所以在上有一个零点，

从而一定存在，，使得（c）（c），即，即，

当时，，

所以，从而，

于是有两个零点和1．当时，有两个零点．

综上：当时，有一个零点；当时，没有零点；当时，有两个零点．

5．已知函数，．

（1）当，且时，证明：；

（2）定义，设函数，，试讨论零点的个数．

【解析】（1）证明：当时，，

要证，需证，即，

即证：当时，；当时，．

令，则，

在上单调递增，在上单调递增，

当时，（1），此时；

当时，（1），此时．

故，且时，．

（2）解：当时，，，在上无零点；

当时，（1）（1），则（1），是的唯一零点；

当时，，在上无零点，

在上的零点个数等价于在上的零点个数．

，

①若时，，在上单调递增，（1），此时无零点；

②若即时，令，得；令，得，在上单调递增，在上单调递减，

，

令（a），则（a），（a）在上单调递增，

（a）（1），即，即，

两边取指数，有，即，

，

又，

由零点存在性定理可知，在上存在唯一的零点，且．

综上所述：

当时，仅有一个零点；

当时，有两个零点．