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2022年中考训练 专题八 二次函数及其应用(含答案)
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这是一份2022年中考训练 专题八 二次函数及其应用(含答案)，共25页。试卷主要包含了二次函数及其应用等内容，欢迎下载使用。
专题八 二次函数及其应用
一、单选题
1.（2020·衢州）二次函数y=x²的图象平移后经过点（2，0），则下列平移方法正确的是（ ）
A. 向左平移2个单位，向下平移2个单位 B. 向左平移1个单位，向上平移2个单位
C. 向右平移1个单位，向下平移1个单位 D. 向右平移2个单位，向上平移1个单位
2.（2020·温州）已知(-3，y1)，(-2，y2)，(1，y3)是抛物线y=-3x2-12x+m上的点，则( )
A. y3
A. 若M1=2，M2=2，则M3=0 B. 若M1=1，M2=0，则M3=0
C. 若M1=0，M2=2，则M3=0 D. 若M1=0，M2=0，则M3=0
4.（2020·杭州）设函数y=a(x-h)2+k(a，h，k是实数，a≠0)，当x=1时，y=1，当x=8时，y=8，( )
A. 若h=4，则a<0 B. 若h=5，则a>0 C. 若h=6，则a<0 D. 若h=7，则a>0
5.（2020·宁波）如图，一次函数 (a>0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线x=-1.则下列选项中正确的是（ ）
A. B. C. D. 当 (n为实数)时，
6.（2019·温州）已知二次函数 ，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A. 有最大值﹣1，有最小值﹣2 B. 有最大值0，有最小值﹣1
C. 有最大值7，有最小值﹣1 D. 有最大值7，有最小值﹣2
7.（2019·衢州）二次函数y=（x-1）2+3图象的顶点坐标是（ ）
A. (1，3) B. （1，-3) C. （-1，3） D. （-1，-3）
8.（2019·嘉兴）小飞研究二次函数 ( 为常数)性质时如下结论：
①这个函数图象的顶点始终在直线 上；②存在一个 的值，使得函数图象的顶点与 轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点 与点 在函数图象上，若 ， ，则 ；④当 时， 随 的增大而增大，则 的取值范围为 其中错误结论的序号是（ ）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
9.（2019·湖州）已知a，b是非零实数， ，在同一平面直角坐标系中，二次函数y1＝ax2＋bx与一次函数y2＝ax＋b的大致图象不可能是（ ）
A. B. C. D.
10.（2019·杭州）在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y=（x+a）（x+b）的图象与x轴有M个交点，函数y=（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，则（ ）
A. M=N-1或M=N+1 B. M=N-1或M=N+2 C. M=N或M=N+1 D. M=N或M=N-1
11.（2019·绍兴）D在平面直角坐标系中，抛物线y=(x+5）（x-3）经变换后得到抛物线y=（x+3）（x-5），则这个变换可以是（ ）
A. 向左平移2个单位 B. 向右平移2个单位 C. 向左平移8个单位 D. 向右平移8个单位
二、填空题
12.（2018·湖州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx（a＞0）的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线y=ax2（a＞0）交于点B．若四边形ABOC是正方形，则b的值是________．
三、解答题
13.（2018·湖州）已知抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）经过点（﹣1，0），（3，0），求a，b的值．
14.（2018·绍兴）学校拓展小组研制了绘图智能机器人（如图1），顺次输入点P1 ， P2 ， P3的坐标，机器人能根据图2，绘制图形。若图形是线段，求出线段的长度；若图形是抛物线，求出抛物线的函数关系式。请根据以下点的坐标，求出线段的长度或抛物线的函数关系式。
①P1（4，0），P2（0，0），P3（6，6）。
②P1（0，0），P2（4，0），P3（6，6）。
15.（2019·衢州）某宾馆有若干间标准房，当标准房的价格为200元时，每天入住的房间数为60间，经市场调查表明，该宾馆每间标准房的价格在170~240元之间（含170元，240元）浮动时，每天入住的房间数y（间）与每间标准房的价格x（元）的数据如下表：
x（元）
…
190
200
210
220
…
y(间)
…
65
60
55
50
…
（1）根据所给数据在坐标系中描出相应的点，并画出图象。
（2）求y关于x的函数表达式、并写出自变量x的取值范围.
（3）设客房的日营业额为w（元）。若不考虑其他因素，问宾馆标准房的价格定为多少元时。客房的日营业额最大?最大为多少元？
16.（2020·衢州）如图1，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，C分别是直线y= x+4与坐标轴的交点，点B的坐标为（-2，0）。点D是边AC上的一点，DE⊥BC于点E，点F在边AB上，且D，F两点关于y轴上的某点成中心对称，连结DF，EF。设点D的横坐标为m，EF2为l，请探究：
①线段EF长度是否有最小值。
②△BEF能否成为直角三角形。
小明尝试用“观察--猜想--验证--应用”的方法进行探究，请你一起来解决问题。
（1）小明利用“几何画板”软件进行观察，测量，得到l随m变化的一组对应值，并在平面直角坐标系中以各对应值为坐标描点（如图2），请你在图2中连线，观察图象特征并猜想l与m可能满足的函数类别。
（2）小明结合图1，发现应用二角形和函数知识能验证（1）中的猜想.请你求出l关于m的函数表达式及自变量的取值范围，并求出线段EF长度的最小值。
（3）小明通过观察，推理，发现△BEF能成为直角三角形。请你求出当△BEF为直角三角形时m的值。
17.（2020·台州）用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1）.科学原理:如图2，始终盛满水的圆体水桶水面离地面的高度为H（单位:m），如果在离水面竖直距离为h（单校:cm）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）s（单位:cm）与h的关系为s2=4h（H—h）.
应用思考:现用高度为20cm的圆柱体望料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距高h cm处开一个小孔.
（1）写出s2与h的关系式; 并求出当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是多少?
（2）在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a，b，要使两孔射出水的射程
相同，求a，b之间的关系式;
（3）如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16cm，求整高的高度及小孔离水
面的竖直距离.
18.（2020·温州）已知抛物线y=ax2+bx+1经过点(1，-2)，(-2，13)。
（1）求a，b的值。
（2）若(5，y1)，(m，y2)是抛物线上不同的两点，且y2=12-y1 ， 求m的值。
19.（2020·绍兴）如图1，排球场长为18m，宽为9m，网高为2.24m，队员站在底线O点处发球，球从点O的正上方1.9m的C点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点A时，高度为2.88m，即BA=2.88m，这时水平距离OB=7m，以直线OB为x轴，直线OC为y轴，建立平面直角坐标系，如图2。
（1）若球向正前方运动（即x轴垂直于底线)，求球运动的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式(不必写出x取值范围)，并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由。
（2）若球过网后的落点是对方场地①号位内的点P(如图1，点P距底线1m、边线0.5m)，问发球点O在底线上的哪个位置？(参考数据： 取1.4)
20.（2020·湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线 (c＞0)的顶点为D，与y轴的交点为C，过点C的直线CA与抛物线交于另一点A（点A在对称轴左侧），点B在AC的延长线上，连结OA，OB，DA和DB.
（1）如图1，当AC∥x轴时.①已知点A的坐标是(﹣2，1)，求抛物线的解析式；②若四边形AOBD是平行四边形，求证：b2＝4c.
（2）如图2，若b＝﹣2， ，是否存在这样的点A，使四边形AOBD是平行四边形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由.
21.（2020·杭州）在平面直角坐标系中，设二次函数y1=x2+bx+a，y2=ax2+bx+1(a，b是实数，a≠0)。
（1）若函数y1的对称轴为直线x=3，且函数y1的图象经过点(a，b)，求函数y1的表达式。
（2）若函数y1的图象经过点(r，0)，其中r≠0，求证：函数y2的图象经过点( ，0)。
（3）若函数y1和函数y2的最小值分别为m和n，若m+n=0，求m，n的值。
22.（2020·宁波）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D.点B的坐标是(1，0).
（1）求A，C两点的坐标，并根据图象直接写出当y>0时x的取值范围.
（2）平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式.
23.（2020·金华·丽水）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数 图象的顶点为A，与y轴交于点B，异于顶点A的点C(1，n)在该函数图象上.
（1）当m=5时，求n的值.
（2）当n=2时，若点A在第一象限内，结合图象，求当y 时，自变量x的取值范围.
（3）作直线AC与y轴相交于点D.当点B在x轴上方，且在线段OD上时，求m的取值范围.
24.（2019·温州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象交x轴于点A，B（点A在点B的左侧）．
（1）求点A，B的坐标，并根据该函数图象写出y≥0时x的取值范围；
（2）把点B向上平移m个单位得点B1 ． 若点B1向左平移n个单位，将与该二次函数图象上的点B2重合；若点B1向左平移(n＋6)个单位，将与该二次函数图象上的点B3重合．已知m＞0，n＞0，求m ， n的值．
25.（2019·金华）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，边OA,OC分别在x轴，y轴的正半轴上,把正方形OABC的内部及边上，横，纵坐标均为整数的点称为好点，点P为抛物线y=-（x-m）2+m+2的顶点。
（1）当m=0时，求该抛物线下方（包括边界）的好点个数。
（2）当m=3时，求该抛物线上的好点坐标。
（3）若点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）给好存在8个好点，求m的取值范围，
26.（2019·绍兴）有一块形状如图的五边形余料ABCDE，AB=AE=6，BC=5，∠A=∠B=90°， ∠C=135°. ∠E＞90°.要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一条边在AE上，并使所截矩形材料的面积尽可能大。
（1）若所截矩形材料的一条边是BC或AE，求矩形材料的面积。
（2）能否数出比（1）中更大面积的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值；如果不能，说明理由.
27.（2019·杭州）设二次函数y=（x-x1）（x-x2）（x1 ， x2是实数）。
（1）甲求得当x=0时，y=0；当x=1时，y=0；乙求得当x= 时，y=- ，若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由.
（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含x1 ， x2的代数式表示）.
（3）已知二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点（m.n是实数）当0
（1）求b，c满足的关系式
（2）设该函数图象的顶点坐标是（m，n），当b的值变化时，求n关于m的函数解析式
（3）若该函数的图象不经过第三象限，当-5sx≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值
29.（2019·宁波）如图，已知二次函数y=x2+ax+3的图象经过点P(-2，3）.
（1）求a的值和图象的顶点坐标。
（2）点Q（m，n)在该二次函数图象上.
①当m=2时，求n的值；
②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围.
30.（2019·嘉兴）某农作物的生长率 与温度 ( )有如下关系：如图1，当10≤ ≤25 时可近似用函数 刻画；
当25≤ ≤37 时可近似用函数 刻画．
（1）求 的值．
（2）按照经验，该作物提前上市的天数 (天)与生长率 满足函数关系：
生长率
0.2
0.25
0.3
0.35
提前上市的天数 （天）
0
5
10
15
①请运用已学的知识，求 关于 的函数表达式；
②请用含 的代数式表示
（3）天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度．在(2)的条件下，原计划大棚恒温20℃时，每天的成本为200元，该作物30天后上市时，根据市场调查：每提前一天上市售出(一次售完)，销售额可增加600元．因此给大棚继续加温，加温后每天成本 (元)与大棚温度 ( )之间的关系如图2．问提前上市多少天时增加的利润最大？并求这个最大利润（农作物上市售出后大棚暂停使用）．
31.（2019·湖州）已知抛物线y＝2x2-4x＋c与x轴有两个不同的交点.
（1）求c的取值范围；
（2）若抛物线y＝2x2-4x＋c经过点A(2，m)和点B(3，n)，试比较m与n的大小，并说明理由.
答案解析部分
一、单选题
1. C
2. B
3. B
4. C
5. D
6. D
7. A
8. C
9. D
10. C
11. B
二、填空题
12.﹣2
三、解答题
13.解：∵抛物线y=ax2+bx-3（a≠0）经过点（-1，0），（3，0），
∴ ，解得， ，
即a的值是1，b的值是-2．
14.①∵P1（4，0），P2（0，0），4-0=4＞0，
∴绘制线段P1P2 ， P1P2=4.
②∵P1（0，0），P2（4，0），P3（6，6），0-0=0，
∴绘制抛物线，
设y=ax（x-4），把点（6，6）坐标代入得a= ，
∴ ，即 。
四、作图题
15. （1）解：如图所示。
（2）解：设y=kx+b(k≠0)，
把（200，60)和（220，50)代入，
得 ，解得
∴y= x+160（170≤x≤240）
（3）解：w=x·y=x·（ x+160)= x2+160x．
∴对称轴为直线x= =160，
∵a= <0，
∴在170≤x≤240范围内，w随x的增大而减小．
故当x=170时，w有最大值，最大值为12750元
五、综合题
16. （1）用描点法画出图形如图1，由图象可知函数类别为二次函数．
（2）解：如图1，过点F，D分别作FG，DH垂直于y轴，垂足分别为G，H，
则∠FGK=∠DHK=90°
记FD交y轴于点K.
∵D点与F点关于y轴上的K点成中心对称，
∴KF=KD。
∵∠FKG=∠DKH，
∴Rt△FGK≌Rt△DHK（AAS），
∴FG=DH。
∵直线AC的解析式为y＝﹣ x+4，
∴x＝0时，y＝4，
∴A（0，4），
又∵B（﹣2，0），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴ ，
解得 ，
∴直线AB的解析式为y＝2x+4，
过点F作FR⊥x轴于点R，
∵D点的橫坐标为m，
∴F（﹣m，﹣2m+4），
∴ER＝2m，FR＝﹣2m+4，
∵EF2＝FR2+ER2 ，
∴l＝EF2＝8m2﹣16m+16＝8（m﹣1）2+8，
令﹣ +4＝0，得x＝ ，
∴0≤m≤ ．
∴当m＝1时，l的最小值为8，
∴EF的最小值为2 ．
（3）解：①∠FBE为定角，不可能为直角．
②∠BEF＝90°时，E点与O点重合，D点与A点，F点重合，此时m＝0．
③如图3，∠BFE＝90°时，有BF2+EF2＝BE2 ．
由（2）得EF2＝8m2﹣16m+16，
又∵BR＝﹣m+2，FR＝﹣2m+4，
∴BF2＝BR2+FR2＝（﹣m+2）2+（﹣2m+4）2＝5m2﹣20m+20，
又∵BE2＝（m+2）2 ，
∴（5m2﹣20m+8）+（8m2﹣16m+16）2＝（m+2）2 ，
化简得，3m2﹣10m+8＝0，
解得m1＝ ，m2＝2（不合题意，舍去），
∴m＝ ．
综合以上可得，当△BEF为直角三角形时，m＝0或m＝ ．
17. （1）解：∵s2＝4h（H﹣h），
∴当H＝20时，s2＝4h（20﹣h）＝﹣4（h﹣10）2+400，
∴当h＝10时，s2有最大值400，
∴当h＝10时，s有最大值20cm．
∴当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是20cm；
（2）∵s2＝4h（20﹣h），
设存在a，b，使两孔射出水的射程相同，则有：
4a（20﹣a）＝4b（20﹣b），
∴20a﹣a2＝20b﹣b2 ，
∴a2﹣b2＝20a﹣20b，
∴（a+b）（a﹣b）＝20（a﹣b），
∴（a﹣b）（a+b﹣20）＝0，
∴a﹣b＝0，或a+b﹣20＝0，
∴a＝b或a+b＝20；
（3）解：设垫高的高度为m，则s2＝4h（20+m﹣h）＝﹣ +（20+m）2 ，
∴当h＝ 时，smax＝20+m＝20+16，
∴m＝16，此时h＝ ＝18．
∴垫高的高度为16cm，小孔离水面的竖直距离为18cm．
18. （1）解：把(1，-2)，(-2，13)代入y=ax²+bx+1，
得 ；解得
（2）解：由(1)得函数表达式为y=x²-4x+1，
把x=5代入y=x²-4x+1，得y1=6，
∴y2=12-y1=6
∵y1=y2 ， 对称轴为直线x=2
∴m=4-5=-1
19. （1）解：设抛物线的表达式为： ，
将 ， 代入上式并解得： ，
故抛物线的表达式为： ；
当 时， ，
当 时， ，
故这次发球过网，但是出界了；
（2）解：如图，分别过点作底线、边线的平行线 、 交于点 ，
在 中， ，
当 时， ，解得： 或 （舍去 ，
，而 ，
故 ，
，
发球点 在底线上且距右边线0.1米处．
20. （1）① 轴，点 ，
，
将点 ， 代入抛物线解析式中，得 ，
，
抛物线的解析式为 ；
②证明： 如图1，过点 作 轴于 ，交 于点 ，
轴，
，
点 是抛物线的顶点坐标，
， ，
，
四边形 是平行四边形，
， ，
，
，
，
，
，
即 ；
（2）解：如图2，
.
抛物线的解析式为 ，
顶点坐标 ，
假设存在这样的点 使四边形 是平行四边形，
设点 ， ，
过点 作 轴于点 ，交 于 ，
，
四边形 是平行四边形，
， ，
，
，
， ，
过点 作 轴于 ，交 于 ，
，
，
，
， ，
，
，
点 的纵坐标为 ，
轴，
点 的坐标为 ， ，
，
点 的坐标为 ，
，
，
，
，
，
，
，
点 纵坐标为 ，
， ，
存在这样的点 ，使四边形 是平行四边形.
21. （1）解：由题意得 =3
∴b=-6，
又∵函数y1的图像经过点(a，b)，
∴a2-6a+a=-6，可得a=2或a=3。
故y1=x²-6x+2或y1=x2-6x+3
（2）解：因为函数y的图象经过点(r，0)
∴r2+br+a=0，
又∵r≠0，
两边同时除以r2可得1++=0,
即
∴ 是方程ax2+bx+1=0的一个实数根，
即函数y2的图像经过点（ ，0）
（3）解：由题意得a>0，m= ，n=
∵m+n=0
∴ =0
即(4a-b2)(a+1)=0
又∵a+1≠0，
∴4a-b2=0
故m=n=0
22. （1）解：把B(1，0)代入y=ax²+4x-3，得0=a+4-3，
解得a=-1，
∴y=-x²+4x-3=-(x-2)2+1，
∴点A坐标为(2，1)，
∵抛物线的对称轴为直线x-2，且点C与点B关于对称轴对称，
∴点C(3，0)，
∴当y>0时，x的取值范围是1
（2）解：D(0，-3)，
∴点D移到点A时，抛物线向右平移2个单位，向上平移4个单位，
y=-(x-4)2+5
23. （1）解：当m＝5时，y＝ ，
当x＝1时， n＝ .
（2）解：当n＝2时，将C(1，2)代入函数表达式y＝ ，
得2＝ ，
解得m1＝3， m2＝－1(舍去).
∴此时抛物线的对称轴为直线x=3，
根据抛物线的轴对称性，当y＝2时，有x1＝1 ，x2＝5.
∴x的取值范围为1≤x≤5.
（3）解：∵点A与点C不重合，
∴m≠1.
∵抛物线的顶点A的坐标是(m，4) ，
∴抛物线的顶点在直线y＝4上.
当x＝0时，y＝ ，
∴点B的坐标为(0， ).
抛物线从试题图位置向左平移到图2的位置前，m减小，点B沿y轴上向上移动.
当点B与点O重合时， ＝0，
解得 m1＝ ，m2＝ .
当点B与点D重合时，如图2，顶点A也与点B，D 重合，点B到达最高点.
∴点B的点坐标为（0，4），
∴ ＝4，解得 m＝0.
当抛物线从图2位置继续向左平移时，如图3点B不在线段OD上.
∴ B点在线段OD上时，m的取值范围是0≤m＜1或1＜m＜2 .
24. （1）解：令y=0，则- x2+2x+6=0，
∴x1=-2，x2=6，
∴A（-2，0），B（6，0）.
由函数图象得，当y≥0时，-2≤x≤6
（2）解：由题意得B2（6-n，m），B3（-n，m），
函数图象的对称轴为直线x= =2.
∵点B2 ， B3在二次函数图象上且纵坐标相同，
∴ =2，∴n=1，
∴m=- ×（-1）2+2x（-1）+6= ；
∴m，n的值分别为 ，1
25. （1）解：∵m=0，
∴二次函数表达式为：y=-x2+2，画出函数图像如图1,
∵当x=0时，y=2；当x=1时，y=1；
∴抛物线经过点（0，2）和（1，1），
∴好点有：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0）和（1，1），共5个.
（2）解：∵m=3，
∴二次函数表达式为：y=-（x-3）2+5，画出函数图像如图2,
∵当x=1时，y=1；当x=2时，y=4；当x=4时，y=4；
∴抛物线上存在好点，坐标分别是（1，1），（2，4）和（4，4）。
（3）解：∵抛物线顶点P（m，m+2），
∴点P在直线y=x+2上，
∵点P在正方形内部，
∴0＜m＜2，
如图3,E（2，1），F（2，2），
∴当顶点P在正方形OABC内，且好点恰好存在8个时，抛物线与线段EF有交点（点F除外），
当抛物线经过点E（2，1）时，
∴-（2-m）2+m+2=1，
解得：m1= ，m2= （舍去），
当抛物线经过点F（2，2）时，
∴-（2-m）2+m+2=2，
解得：m3=1，m4=4（舍去），
∴当 ≤m＜1时，顶点P在正方形OABC内，恰好存在8个好点.
26. （1）解:如图1，S1=AB·BC=6×5=30.
如图2，过点C作CH⊥FG于点H，
则四边形BCHG为矩形，
△CHF为等腰直角三角形，
∴HG=BC=5，BG=CH，FH=CH，
∴BG=CH=FH=FG-HG=AE-HG
=6-5=1，
∴AG=AB-BG=6-1=5，
∴S2=AE·AG=6×5=30.
（2）解:能。
如图3，在CD上取点F，过点F作FM⊥AB于点M.
FN⊥AE于点N，过点C作CG⊥FM于点G，
则四边形AMFN，BCGM为矩形，
△CGF为等腰直角三角形，
∴MG=BC=5，BM=CG，FG=CG.
设A.M=x，则BM=6-x，
∴FM=GM+FG=GM+CG=BC+BM=11-x，
∴S=AM·FM=x(11-x)=-(x-5.5)2+30.25.
∴当x=5.5时，S的最大值为30.25.
27. （1）解：乙求得的结果不正确，理由如下：
根据题意，知图象经过点（0，0），（1，0），
所以y=x（x-1），
当x= 时，y= ×（ -1）=- ≠- ，
所以乙求得的结果不正确。
（2）解：函数图象的对称轴为x= ，
当x= 时，函数有最小值M，
M=（ ）（ ）=
（3）证明：因为y=（x-x1）（x-x2），
所以m=x1x2 ， n=（1-x1）（1-x2），所以mn= x1x2（x1-x12）（x2-x22）
=[-（x1- ）2+ ]·[-（x2- ）2+ ].
因为0
所以0
∴b，c满足的关系式是c=2b
（2）解：把c=2b代入y=x2+bx+c，得y=x2+bx+2b，
∵顶点坐标是（m，n）
∴n=m2+bm+2b且m=， 即b=-2m
∴n=m2+(-2m)m+2(-2m)=-m2-4m
∴n关于m的函数解析式为n=-m2-4m
（3）y=x2+bx+2b=（x+）2-+2b，
对称轴x=-，
当b≤0时，c≤0，函数不经过第三象限，则c=0；
此时y=x2 ， 当-5≤x≤1时，函数最小值是0，最大值是25，
∴最大值与最小值之差为25；（舍去）
当b＞0时，c＞0，函数不经过第三象限，则△≤0，
∴0≤b≤8，
∴-4≤x=≤0,
当-5≤x≤1时，函数有最小值-+2b，
当-5≤-＜-2时，函数有最大值1+3b，
当-2＜-≤1时，函数有最大值25-3b；
函数的最大值与最小值之差为16，
当最大值1=3b时，1+3b+-2b=16，
∴b=6或b=-10，
∵4≤b≤8，
∴b=6；
当最大值25-3b时，25-3b+-2b=16，
∴b=2或b=18,
∵2≤b≤4,
∴b=2;
综上所述b=2或b=6.
29. （1）解：把P（-2，3）代入y=x2+ax+3，得3=（-2）2-2a+3，
解得a=2.
∵y=x2+2x+3=(x+1）2+2，
∴顶点坐标为（-1，2）
（2）解：①把x=2代入y=x2+2x+3，求得y=11，
∴当m=2时，n=11.
②2≤<11
30. （1）解：把（25，0.3）的坐标代入p= （t-h）2+0.4得h=29或h=21
∵h>25, ∴h=29
（2）解：①由表格可知m是p的一次函数，.m=100p-20
②当10≤t≤25时，p= ,∴m=100( )-20=2t-40
当25≤t≤37时，p= (t-29)2+0.4.
∴.m=10[ (t-29)2+0.4]-20= (t-29)2+20
（3）解：（Ⅰ）当20≤t≤25时，
由（20，200），（25，300），得w=20t-200.
∴增加利润为600m+[200×30-w（30-m)]-40t2-600t-4000.
∴当t=25时，增加利润的最大值为600元.
（Ⅱ）当25≤t≤37时，w=300.
增加利润为
600m+[200×30-w(30-m)]900×( )×(t-29)2+15000= (t-29)2+15000
∴当t=29时，增加利润的最大值为15000元.
综上所述，当t=29时，提前上市20天，增加利润的最大值为15000元.
31. （1）解：b2-4ac＝(-4)2 -8c＝16 -8c.
由题意，得b2 -4ac＞0，∴16 -8c＞0
∴c的取值范围是c＜2
（2）解：m＜n. 理由如下:
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
又∵a＝2＞0，∴当x≥1时，y随x的增大而增大.
∵2＜3，∴m＜n.
专题八 二次函数及其应用
一、单选题
1.（2020·衢州）二次函数y=x²的图象平移后经过点（2，0），则下列平移方法正确的是（ ）
A. 向左平移2个单位，向下平移2个单位 B. 向左平移1个单位，向上平移2个单位
C. 向右平移1个单位，向下平移1个单位 D. 向右平移2个单位，向上平移1个单位
2.（2020·温州）已知(-3，y1)，(-2，y2)，(1，y3)是抛物线y=-3x2-12x+m上的点，则( )
A. y3
A. 若M1=2，M2=2，则M3=0 B. 若M1=1，M2=0，则M3=0
C. 若M1=0，M2=2，则M3=0 D. 若M1=0，M2=0，则M3=0
4.（2020·杭州）设函数y=a(x-h)2+k(a，h，k是实数，a≠0)，当x=1时，y=1，当x=8时，y=8，( )
A. 若h=4，则a<0 B. 若h=5，则a>0 C. 若h=6，则a<0 D. 若h=7，则a>0
5.（2020·宁波）如图，一次函数 (a>0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线x=-1.则下列选项中正确的是（ ）
A. B. C. D. 当 (n为实数)时，
6.（2019·温州）已知二次函数 ，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A. 有最大值﹣1，有最小值﹣2 B. 有最大值0，有最小值﹣1
C. 有最大值7，有最小值﹣1 D. 有最大值7，有最小值﹣2
7.（2019·衢州）二次函数y=（x-1）2+3图象的顶点坐标是（ ）
A. (1，3) B. （1，-3) C. （-1，3） D. （-1，-3）
8.（2019·嘉兴）小飞研究二次函数 ( 为常数)性质时如下结论：
①这个函数图象的顶点始终在直线 上；②存在一个 的值，使得函数图象的顶点与 轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点 与点 在函数图象上，若 ， ，则 ；④当 时， 随 的增大而增大，则 的取值范围为 其中错误结论的序号是（ ）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
9.（2019·湖州）已知a，b是非零实数， ，在同一平面直角坐标系中，二次函数y1＝ax2＋bx与一次函数y2＝ax＋b的大致图象不可能是（ ）
A. B. C. D.
10.（2019·杭州）在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y=（x+a）（x+b）的图象与x轴有M个交点，函数y=（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，则（ ）
A. M=N-1或M=N+1 B. M=N-1或M=N+2 C. M=N或M=N+1 D. M=N或M=N-1
11.（2019·绍兴）D在平面直角坐标系中，抛物线y=(x+5）（x-3）经变换后得到抛物线y=（x+3）（x-5），则这个变换可以是（ ）
A. 向左平移2个单位 B. 向右平移2个单位 C. 向左平移8个单位 D. 向右平移8个单位
二、填空题
12.（2018·湖州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx（a＞0）的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线y=ax2（a＞0）交于点B．若四边形ABOC是正方形，则b的值是________．
三、解答题
13.（2018·湖州）已知抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）经过点（﹣1，0），（3，0），求a，b的值．
14.（2018·绍兴）学校拓展小组研制了绘图智能机器人（如图1），顺次输入点P1 ， P2 ， P3的坐标，机器人能根据图2，绘制图形。若图形是线段，求出线段的长度；若图形是抛物线，求出抛物线的函数关系式。请根据以下点的坐标，求出线段的长度或抛物线的函数关系式。
①P1（4，0），P2（0，0），P3（6，6）。
②P1（0，0），P2（4，0），P3（6，6）。
15.（2019·衢州）某宾馆有若干间标准房，当标准房的价格为200元时，每天入住的房间数为60间，经市场调查表明，该宾馆每间标准房的价格在170~240元之间（含170元，240元）浮动时，每天入住的房间数y（间）与每间标准房的价格x（元）的数据如下表：
x（元）
…
190
200
210
220
…
y(间)
…
65
60
55
50
…
（1）根据所给数据在坐标系中描出相应的点，并画出图象。
（2）求y关于x的函数表达式、并写出自变量x的取值范围.
（3）设客房的日营业额为w（元）。若不考虑其他因素，问宾馆标准房的价格定为多少元时。客房的日营业额最大?最大为多少元？
16.（2020·衢州）如图1，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，C分别是直线y= x+4与坐标轴的交点，点B的坐标为（-2，0）。点D是边AC上的一点，DE⊥BC于点E，点F在边AB上，且D，F两点关于y轴上的某点成中心对称，连结DF，EF。设点D的横坐标为m，EF2为l，请探究：
①线段EF长度是否有最小值。
②△BEF能否成为直角三角形。
小明尝试用“观察--猜想--验证--应用”的方法进行探究，请你一起来解决问题。
（1）小明利用“几何画板”软件进行观察，测量，得到l随m变化的一组对应值，并在平面直角坐标系中以各对应值为坐标描点（如图2），请你在图2中连线，观察图象特征并猜想l与m可能满足的函数类别。
（2）小明结合图1，发现应用二角形和函数知识能验证（1）中的猜想.请你求出l关于m的函数表达式及自变量的取值范围，并求出线段EF长度的最小值。
（3）小明通过观察，推理，发现△BEF能成为直角三角形。请你求出当△BEF为直角三角形时m的值。
17.（2020·台州）用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1）.科学原理:如图2，始终盛满水的圆体水桶水面离地面的高度为H（单位:m），如果在离水面竖直距离为h（单校:cm）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）s（单位:cm）与h的关系为s2=4h（H—h）.
应用思考:现用高度为20cm的圆柱体望料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距高h cm处开一个小孔.
（1）写出s2与h的关系式; 并求出当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是多少?
（2）在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a，b，要使两孔射出水的射程
相同，求a，b之间的关系式;
（3）如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16cm，求整高的高度及小孔离水
面的竖直距离.
18.（2020·温州）已知抛物线y=ax2+bx+1经过点(1，-2)，(-2，13)。
（1）求a，b的值。
（2）若(5，y1)，(m，y2)是抛物线上不同的两点，且y2=12-y1 ， 求m的值。
19.（2020·绍兴）如图1，排球场长为18m，宽为9m，网高为2.24m，队员站在底线O点处发球，球从点O的正上方1.9m的C点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点A时，高度为2.88m，即BA=2.88m，这时水平距离OB=7m，以直线OB为x轴，直线OC为y轴，建立平面直角坐标系，如图2。
（1）若球向正前方运动（即x轴垂直于底线)，求球运动的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式(不必写出x取值范围)，并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由。
（2）若球过网后的落点是对方场地①号位内的点P(如图1，点P距底线1m、边线0.5m)，问发球点O在底线上的哪个位置？(参考数据： 取1.4)
20.（2020·湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线 (c＞0)的顶点为D，与y轴的交点为C，过点C的直线CA与抛物线交于另一点A（点A在对称轴左侧），点B在AC的延长线上，连结OA，OB，DA和DB.
（1）如图1，当AC∥x轴时.①已知点A的坐标是(﹣2，1)，求抛物线的解析式；②若四边形AOBD是平行四边形，求证：b2＝4c.
（2）如图2，若b＝﹣2， ，是否存在这样的点A，使四边形AOBD是平行四边形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由.
21.（2020·杭州）在平面直角坐标系中，设二次函数y1=x2+bx+a，y2=ax2+bx+1(a，b是实数，a≠0)。
（1）若函数y1的对称轴为直线x=3，且函数y1的图象经过点(a，b)，求函数y1的表达式。
（2）若函数y1的图象经过点(r，0)，其中r≠0，求证：函数y2的图象经过点( ，0)。
（3）若函数y1和函数y2的最小值分别为m和n，若m+n=0，求m，n的值。
22.（2020·宁波）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D.点B的坐标是(1，0).
（1）求A，C两点的坐标，并根据图象直接写出当y>0时x的取值范围.
（2）平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式.
23.（2020·金华·丽水）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数 图象的顶点为A，与y轴交于点B，异于顶点A的点C(1，n)在该函数图象上.
（1）当m=5时，求n的值.
（2）当n=2时，若点A在第一象限内，结合图象，求当y 时，自变量x的取值范围.
（3）作直线AC与y轴相交于点D.当点B在x轴上方，且在线段OD上时，求m的取值范围.
24.（2019·温州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象交x轴于点A，B（点A在点B的左侧）．
（1）求点A，B的坐标，并根据该函数图象写出y≥0时x的取值范围；
（2）把点B向上平移m个单位得点B1 ． 若点B1向左平移n个单位，将与该二次函数图象上的点B2重合；若点B1向左平移(n＋6)个单位，将与该二次函数图象上的点B3重合．已知m＞0，n＞0，求m ， n的值．
25.（2019·金华）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，边OA,OC分别在x轴，y轴的正半轴上,把正方形OABC的内部及边上，横，纵坐标均为整数的点称为好点，点P为抛物线y=-（x-m）2+m+2的顶点。
（1）当m=0时，求该抛物线下方（包括边界）的好点个数。
（2）当m=3时，求该抛物线上的好点坐标。
（3）若点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）给好存在8个好点，求m的取值范围，
26.（2019·绍兴）有一块形状如图的五边形余料ABCDE，AB=AE=6，BC=5，∠A=∠B=90°， ∠C=135°. ∠E＞90°.要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一条边在AE上，并使所截矩形材料的面积尽可能大。
（1）若所截矩形材料的一条边是BC或AE，求矩形材料的面积。
（2）能否数出比（1）中更大面积的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值；如果不能，说明理由.
27.（2019·杭州）设二次函数y=（x-x1）（x-x2）（x1 ， x2是实数）。
（1）甲求得当x=0时，y=0；当x=1时，y=0；乙求得当x= 时，y=- ，若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由.
（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含x1 ， x2的代数式表示）.
（3）已知二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点（m.n是实数）当0
（1）求b，c满足的关系式
（2）设该函数图象的顶点坐标是（m，n），当b的值变化时，求n关于m的函数解析式
（3）若该函数的图象不经过第三象限，当-5sx≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值
29.（2019·宁波）如图，已知二次函数y=x2+ax+3的图象经过点P(-2，3）.
（1）求a的值和图象的顶点坐标。
（2）点Q（m，n)在该二次函数图象上.
①当m=2时，求n的值；
②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围.
30.（2019·嘉兴）某农作物的生长率 与温度 ( )有如下关系：如图1，当10≤ ≤25 时可近似用函数 刻画；
当25≤ ≤37 时可近似用函数 刻画．
（1）求 的值．
（2）按照经验，该作物提前上市的天数 (天)与生长率 满足函数关系：
生长率
0.2
0.25
0.3
0.35
提前上市的天数 （天）
0
5
10
15
①请运用已学的知识，求 关于 的函数表达式；
②请用含 的代数式表示
（3）天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度．在(2)的条件下，原计划大棚恒温20℃时，每天的成本为200元，该作物30天后上市时，根据市场调查：每提前一天上市售出(一次售完)，销售额可增加600元．因此给大棚继续加温，加温后每天成本 (元)与大棚温度 ( )之间的关系如图2．问提前上市多少天时增加的利润最大？并求这个最大利润（农作物上市售出后大棚暂停使用）．
31.（2019·湖州）已知抛物线y＝2x2-4x＋c与x轴有两个不同的交点.
（1）求c的取值范围；
（2）若抛物线y＝2x2-4x＋c经过点A(2，m)和点B(3，n)，试比较m与n的大小，并说明理由.
答案解析部分
一、单选题
1. C
2. B
3. B
4. C
5. D
6. D
7. A
8. C
9. D
10. C
11. B
二、填空题
12.﹣2
三、解答题
13.解：∵抛物线y=ax2+bx-3（a≠0）经过点（-1，0），（3，0），
∴ ，解得， ，
即a的值是1，b的值是-2．
14.①∵P1（4，0），P2（0，0），4-0=4＞0，
∴绘制线段P1P2 ， P1P2=4.
②∵P1（0，0），P2（4，0），P3（6，6），0-0=0，
∴绘制抛物线，
设y=ax（x-4），把点（6，6）坐标代入得a= ，
∴ ，即 。
四、作图题
15. （1）解：如图所示。
（2）解：设y=kx+b(k≠0)，
把（200，60)和（220，50)代入，
得 ，解得
∴y= x+160（170≤x≤240）
（3）解：w=x·y=x·（ x+160)= x2+160x．
∴对称轴为直线x= =160，
∵a= <0，
∴在170≤x≤240范围内，w随x的增大而减小．
故当x=170时，w有最大值，最大值为12750元
五、综合题
16. （1）用描点法画出图形如图1，由图象可知函数类别为二次函数．
（2）解：如图1，过点F，D分别作FG，DH垂直于y轴，垂足分别为G，H，
则∠FGK=∠DHK=90°
记FD交y轴于点K.
∵D点与F点关于y轴上的K点成中心对称，
∴KF=KD。
∵∠FKG=∠DKH，
∴Rt△FGK≌Rt△DHK（AAS），
∴FG=DH。
∵直线AC的解析式为y＝﹣ x+4，
∴x＝0时，y＝4，
∴A（0，4），
又∵B（﹣2，0），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴ ，
解得 ，
∴直线AB的解析式为y＝2x+4，
过点F作FR⊥x轴于点R，
∵D点的橫坐标为m，
∴F（﹣m，﹣2m+4），
∴ER＝2m，FR＝﹣2m+4，
∵EF2＝FR2+ER2 ，
∴l＝EF2＝8m2﹣16m+16＝8（m﹣1）2+8，
令﹣ +4＝0，得x＝ ，
∴0≤m≤ ．
∴当m＝1时，l的最小值为8，
∴EF的最小值为2 ．
（3）解：①∠FBE为定角，不可能为直角．
②∠BEF＝90°时，E点与O点重合，D点与A点，F点重合，此时m＝0．
③如图3，∠BFE＝90°时，有BF2+EF2＝BE2 ．
由（2）得EF2＝8m2﹣16m+16，
又∵BR＝﹣m+2，FR＝﹣2m+4，
∴BF2＝BR2+FR2＝（﹣m+2）2+（﹣2m+4）2＝5m2﹣20m+20，
又∵BE2＝（m+2）2 ，
∴（5m2﹣20m+8）+（8m2﹣16m+16）2＝（m+2）2 ，
化简得，3m2﹣10m+8＝0，
解得m1＝ ，m2＝2（不合题意，舍去），
∴m＝ ．
综合以上可得，当△BEF为直角三角形时，m＝0或m＝ ．
17. （1）解：∵s2＝4h（H﹣h），
∴当H＝20时，s2＝4h（20﹣h）＝﹣4（h﹣10）2+400，
∴当h＝10时，s2有最大值400，
∴当h＝10时，s有最大值20cm．
∴当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是20cm；
（2）∵s2＝4h（20﹣h），
设存在a，b，使两孔射出水的射程相同，则有：
4a（20﹣a）＝4b（20﹣b），
∴20a﹣a2＝20b﹣b2 ，
∴a2﹣b2＝20a﹣20b，
∴（a+b）（a﹣b）＝20（a﹣b），
∴（a﹣b）（a+b﹣20）＝0，
∴a﹣b＝0，或a+b﹣20＝0，
∴a＝b或a+b＝20；
（3）解：设垫高的高度为m，则s2＝4h（20+m﹣h）＝﹣ +（20+m）2 ，
∴当h＝ 时，smax＝20+m＝20+16，
∴m＝16，此时h＝ ＝18．
∴垫高的高度为16cm，小孔离水面的竖直距离为18cm．
18. （1）解：把(1，-2)，(-2，13)代入y=ax²+bx+1，
得 ；解得
（2）解：由(1)得函数表达式为y=x²-4x+1，
把x=5代入y=x²-4x+1，得y1=6，
∴y2=12-y1=6
∵y1=y2 ， 对称轴为直线x=2
∴m=4-5=-1
19. （1）解：设抛物线的表达式为： ，
将 ， 代入上式并解得： ，
故抛物线的表达式为： ；
当 时， ，
当 时， ，
故这次发球过网，但是出界了；
（2）解：如图，分别过点作底线、边线的平行线 、 交于点 ，
在 中， ，
当 时， ，解得： 或 （舍去 ，
，而 ，
故 ，
，
发球点 在底线上且距右边线0.1米处．
20. （1）① 轴，点 ，
，
将点 ， 代入抛物线解析式中，得 ，
，
抛物线的解析式为 ；
②证明： 如图1，过点 作 轴于 ，交 于点 ，
轴，
，
点 是抛物线的顶点坐标，
， ，
，
四边形 是平行四边形，
， ，
，
，
，
，
，
即 ；
（2）解：如图2，
.
抛物线的解析式为 ，
顶点坐标 ，
假设存在这样的点 使四边形 是平行四边形，
设点 ， ，
过点 作 轴于点 ，交 于 ，
，
四边形 是平行四边形，
， ，
，
，
， ，
过点 作 轴于 ，交 于 ，
，
，
，
， ，
，
，
点 的纵坐标为 ，
轴，
点 的坐标为 ， ，
，
点 的坐标为 ，
，
，
，
，
，
，
，
点 纵坐标为 ，
， ，
存在这样的点 ，使四边形 是平行四边形.
21. （1）解：由题意得 =3
∴b=-6，
又∵函数y1的图像经过点(a，b)，
∴a2-6a+a=-6，可得a=2或a=3。
故y1=x²-6x+2或y1=x2-6x+3
（2）解：因为函数y的图象经过点(r，0)
∴r2+br+a=0，
又∵r≠0，
两边同时除以r2可得1++=0,
即
∴ 是方程ax2+bx+1=0的一个实数根，
即函数y2的图像经过点（ ，0）
（3）解：由题意得a>0，m= ，n=
∵m+n=0
∴ =0
即(4a-b2)(a+1)=0
又∵a+1≠0，
∴4a-b2=0
故m=n=0
22. （1）解：把B(1，0)代入y=ax²+4x-3，得0=a+4-3，
解得a=-1，
∴y=-x²+4x-3=-(x-2)2+1，
∴点A坐标为(2，1)，
∵抛物线的对称轴为直线x-2，且点C与点B关于对称轴对称，
∴点C(3，0)，
∴当y>0时，x的取值范围是1
（2）解：D(0，-3)，
∴点D移到点A时，抛物线向右平移2个单位，向上平移4个单位，
y=-(x-4)2+5
23. （1）解：当m＝5时，y＝ ，
当x＝1时， n＝ .
（2）解：当n＝2时，将C(1，2)代入函数表达式y＝ ，
得2＝ ，
解得m1＝3， m2＝－1(舍去).
∴此时抛物线的对称轴为直线x=3，
根据抛物线的轴对称性，当y＝2时，有x1＝1 ，x2＝5.
∴x的取值范围为1≤x≤5.
（3）解：∵点A与点C不重合，
∴m≠1.
∵抛物线的顶点A的坐标是(m，4) ，
∴抛物线的顶点在直线y＝4上.
当x＝0时，y＝ ，
∴点B的坐标为(0， ).
抛物线从试题图位置向左平移到图2的位置前，m减小，点B沿y轴上向上移动.
当点B与点O重合时， ＝0，
解得 m1＝ ，m2＝ .
当点B与点D重合时，如图2，顶点A也与点B，D 重合，点B到达最高点.
∴点B的点坐标为（0，4），
∴ ＝4，解得 m＝0.
当抛物线从图2位置继续向左平移时，如图3点B不在线段OD上.
∴ B点在线段OD上时，m的取值范围是0≤m＜1或1＜m＜2 .
24. （1）解：令y=0，则- x2+2x+6=0，
∴x1=-2，x2=6，
∴A（-2，0），B（6，0）.
由函数图象得，当y≥0时，-2≤x≤6
（2）解：由题意得B2（6-n，m），B3（-n，m），
函数图象的对称轴为直线x= =2.
∵点B2 ， B3在二次函数图象上且纵坐标相同，
∴ =2，∴n=1，
∴m=- ×（-1）2+2x（-1）+6= ；
∴m，n的值分别为 ，1
25. （1）解：∵m=0，
∴二次函数表达式为：y=-x2+2，画出函数图像如图1,
∵当x=0时，y=2；当x=1时，y=1；
∴抛物线经过点（0，2）和（1，1），
∴好点有：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0）和（1，1），共5个.
（2）解：∵m=3，
∴二次函数表达式为：y=-（x-3）2+5，画出函数图像如图2,
∵当x=1时，y=1；当x=2时，y=4；当x=4时，y=4；
∴抛物线上存在好点，坐标分别是（1，1），（2，4）和（4，4）。
（3）解：∵抛物线顶点P（m，m+2），
∴点P在直线y=x+2上，
∵点P在正方形内部，
∴0＜m＜2，
如图3,E（2，1），F（2，2），
∴当顶点P在正方形OABC内，且好点恰好存在8个时，抛物线与线段EF有交点（点F除外），
当抛物线经过点E（2，1）时，
∴-（2-m）2+m+2=1，
解得：m1= ，m2= （舍去），
当抛物线经过点F（2，2）时，
∴-（2-m）2+m+2=2，
解得：m3=1，m4=4（舍去），
∴当 ≤m＜1时，顶点P在正方形OABC内，恰好存在8个好点.
26. （1）解:如图1，S1=AB·BC=6×5=30.
如图2，过点C作CH⊥FG于点H，
则四边形BCHG为矩形，
△CHF为等腰直角三角形，
∴HG=BC=5，BG=CH，FH=CH，
∴BG=CH=FH=FG-HG=AE-HG
=6-5=1，
∴AG=AB-BG=6-1=5，
∴S2=AE·AG=6×5=30.
（2）解:能。
如图3，在CD上取点F，过点F作FM⊥AB于点M.
FN⊥AE于点N，过点C作CG⊥FM于点G，
则四边形AMFN，BCGM为矩形，
△CGF为等腰直角三角形，
∴MG=BC=5，BM=CG，FG=CG.
设A.M=x，则BM=6-x，
∴FM=GM+FG=GM+CG=BC+BM=11-x，
∴S=AM·FM=x(11-x)=-(x-5.5)2+30.25.
∴当x=5.5时，S的最大值为30.25.
27. （1）解：乙求得的结果不正确，理由如下：
根据题意，知图象经过点（0，0），（1，0），
所以y=x（x-1），
当x= 时，y= ×（ -1）=- ≠- ，
所以乙求得的结果不正确。
（2）解：函数图象的对称轴为x= ，
当x= 时，函数有最小值M，
M=（ ）（ ）=
（3）证明：因为y=（x-x1）（x-x2），
所以m=x1x2 ， n=（1-x1）（1-x2），所以mn= x1x2（x1-x12）（x2-x22）
=[-（x1- ）2+ ]·[-（x2- ）2+ ].
因为0
所以0
∴b，c满足的关系式是c=2b
（2）解：把c=2b代入y=x2+bx+c，得y=x2+bx+2b，
∵顶点坐标是（m，n）
∴n=m2+bm+2b且m=， 即b=-2m
∴n=m2+(-2m)m+2(-2m)=-m2-4m
∴n关于m的函数解析式为n=-m2-4m
（3）y=x2+bx+2b=（x+）2-+2b，
对称轴x=-，
当b≤0时，c≤0，函数不经过第三象限，则c=0；
此时y=x2 ， 当-5≤x≤1时，函数最小值是0，最大值是25，
∴最大值与最小值之差为25；（舍去）
当b＞0时，c＞0，函数不经过第三象限，则△≤0，
∴0≤b≤8，
∴-4≤x=≤0,
当-5≤x≤1时，函数有最小值-+2b，
当-5≤-＜-2时，函数有最大值1+3b，
当-2＜-≤1时，函数有最大值25-3b；
函数的最大值与最小值之差为16，
当最大值1=3b时，1+3b+-2b=16，
∴b=6或b=-10，
∵4≤b≤8，
∴b=6；
当最大值25-3b时，25-3b+-2b=16，
∴b=2或b=18,
∵2≤b≤4,
∴b=2;
综上所述b=2或b=6.
29. （1）解：把P（-2，3）代入y=x2+ax+3，得3=（-2）2-2a+3，
解得a=2.
∵y=x2+2x+3=(x+1）2+2，
∴顶点坐标为（-1，2）
（2）解：①把x=2代入y=x2+2x+3，求得y=11，
∴当m=2时，n=11.
②2≤<11
30. （1）解：把（25，0.3）的坐标代入p= （t-h）2+0.4得h=29或h=21
∵h>25, ∴h=29
（2）解：①由表格可知m是p的一次函数，.m=100p-20
②当10≤t≤25时，p= ,∴m=100( )-20=2t-40
当25≤t≤37时，p= (t-29)2+0.4.
∴.m=10[ (t-29)2+0.4]-20= (t-29)2+20
（3）解：（Ⅰ）当20≤t≤25时，
由（20，200），（25，300），得w=20t-200.
∴增加利润为600m+[200×30-w（30-m)]-40t2-600t-4000.
∴当t=25时，增加利润的最大值为600元.
（Ⅱ）当25≤t≤37时，w=300.
增加利润为
600m+[200×30-w(30-m)]900×( )×(t-29)2+15000= (t-29)2+15000
∴当t=29时，增加利润的最大值为15000元.
综上所述，当t=29时，提前上市20天，增加利润的最大值为15000元.
31. （1）解：b2-4ac＝(-4)2 -8c＝16 -8c.
由题意，得b2 -4ac＞0，∴16 -8c＞0
∴c的取值范围是c＜2
（2）解：m＜n. 理由如下:
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
又∵a＝2＞0，∴当x≥1时，y随x的增大而增大.
∵2＜3，∴m＜n.
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