(全国通用)高考数学二轮热点题型归纳与变式演练 专题2-4 复合二次型和镶嵌函数零点（原卷+解析）学案

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc29376" 一、热点题型归纳1
\l "_Tc17993" 【题型一】 一元二次复合型基础：可因式分解型1
\l "_Tc26924" 【题型二】 一元二次复合型：根的分布型2
\l "_Tc12217" 【题型三】 一元二次复合型：参变飞羽判别式、求根公式型2
\l "_Tc30563" 【题型四】 一元二次复合型：线性规划型（老高考）3
\l "_Tc30563" 【题型五】 一元二次复合型：函数性质综合型4
\l "_Tc30563" 【题型六】 嵌套函数基础型4
\l "_Tc30563" 【题型七】 嵌套函数常规型：无参数双坐标系换元转换法5
\l "_Tc30563" 【题型八】 嵌套函数含参型：解析式含参6
\l "_Tc30563" 【题型九】 嵌套函数含参型：参数在方程7
\l "_Tc30563" 【题型十】 嵌套函数含参型：双函数型8
\l "_Tc30563" 【题型十一】 嵌套函数双复合型8
\l "_Tc21895" 二、最新模考题组练9
【题型一】 一元二次复合型基础型：可因式分解
【典例分析】
已知函数fx=xlnx，若关于x的方程fx2+afx+a−1=0有且仅有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是( )
A．−2e,1−eB．1−e,0C．−∞,1−eD．1−e,2e

【提分秘籍】
基本规律
1.以f（x）为变量，可转化为一元二次型
2.一元二次可通过因式分解，转化为“水平线与f（x）交点型”
【变式演练】
1.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(x)=−x2+3x,0≤x<1x−2lnx,x≥1，若关于x的方程[f(x)]2+a−1f(x)−a=0有10个不同的实数解，则实数a的取值范围是（ ）
A．1,2B．−2,−1∪{2ln2−2}
C．−2,2ln2−2D．−2,2ln2−2
2.函数f(x)={a,x=1(12)|x−1|+1,x≠1若关于x的方程2f2(x)−(2a+3)f(x)+3a=0有五个不同的实数解，则a的取值范围是（ ）
A．(1,2)B．(1,32)∪(32,2)C．[32,2)D．(1,32)
3.已知函数fx=x2−1,x<1lnxx,x≥1，若关于x的方程fx2+1−2mfx−2m=0有4个不同的实数解，则实数m的取值范围是（ ）
A．13,1eB．13,12eC．0,1eD．0,12e
【题型二】 一元二次复合型：根的分布型
【典例分析】
已知函数fx=xex，若关于x的方程f2x−mfx−2m2=0 有三个不同的实数解，则m的取值范围是（ ）
A．0,12e∪−1e,0B．−1e,12e
C．−1e,1eD．−∞,12e
【提分秘籍】
基本规律
1.“一元二次”系数多参，无法因式分解
2.可通过分析f（x）图像，确定“水平线与f（x）”交点情况。进而确定一元二次根的范围
3.通过“根的分布”知识转化为不等式（组）求解
【变式演练】
1.已知函数f(x)=1|x|−1，若关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0恰有6个不同的实数解，则b,c的取值情况不可能的是（ ）
A．−10，c>0
C．1+b+c<0，c>0D．1+b+c=0，02.设函数f(x)=3x+1,x≤0lg4x,x>0若关于x的方程f2x−(a+2)fx+3=0恰好有六个不同的实数解，则实数a的取值范围为
A．(23－2，32B．(－23－2，23－2)
C．(32，＋∞)D．(23－2，＋∞)
3.设定义域为R的函数fx={5x−1−1,x≥0x2+4x+4,x<0，若关于x的方程f2x−2m+1fx+m2=0有7个不同的实数解，则m=
A．m=6B．m=2C．m=6或2D．m=−6
【题型三】 一元二次复合型：参变分离与判别式、求根公式型
【典例分析】
已知f(x)=xlnx，若关于x的方程[f(x)]2+mf(x)−e2+1=0恰有3个不同的实数解（e为自然对数的底数），则实数m的取值范围是（ ）
A．m<1eB．m≥−1e
C．m<−1eD．m≥1e
【提分秘籍】
基本规律
对于具有特殊形式的“一元二次型”
可以通过参变分离求解参数
可以通过判别式来讨论判断
可通过求根公式来计算。
【变式演练】
1.已知函数fx=x2−3ex，设关于x的方程f2x−mfx−12e2=0m∈R有n个不同的实数解，则n的所有可能的值为（ ）
A．3B．1或3C．4或6D．3或4或6
2.已知函数f(x)=x2−3ex，若关于x的方程[f(x)]2+tf(x)−12e2=0(t∈R)有m个不同的实数解，则m的所有可能的值构成的集合为______．
3.已知，关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的最大值是____．
【题型四】 一元二次复合型（老高考）：线性规划型
【典例分析】
已知函数fx=−x+1+1,x≤0ln(ex)x+1,x>0，若方程fx2−mfx+n=0n≠0有7个不同的实数解,则2m+3n的取值范围（ ）
A．(2,6)B．(6,9)C．(2,12)D．(4,13)
【提分秘籍】
基本规律
“一元二次型”系数多参，对于根的分布得到的不等式（组），可借助线性规划求解多参式的范围或者最值
【变式演练】
1.已知函数f(x)={2x+1,x<0|12x2−2x+1|,x≥0 ，方程f2(x)−af(x)+b=0(b≠0)有六个不同的实数解，则3a+b的取值范围是
A．[6,11]B．[3,11]C．(6,11)D．(3,11)
2.已知函数f(x)=|lnx|,x>0x2+4x+1,x≤0，若关于x的方程f(x)2−bf(x)+c=0(b,c∈R)有8个不同的实数根，则b+c的取值范围是（ ）
A．(−∞,3) B．(0,3] C．[0,3] D．(0,3)
【题型五】 一元二次复合型：函数性质综合型
【典例分析】
已知偶函数f(x)满足f(3+x)=f(3−x)，且当x∈[0,3]时，f(x)=−x2+2x+1，若关于x的方程f2(x)−tf(x)−3=0在[−150,150]上有300个解，则实数t的取值范围是（ ）
A．−2,12B．−12,12C．−2,+∞D．−∞,12
【提分秘籍】
基本规律
1.所给函数f(x)为抽象函数。
2.所给函数“不完全”，需要借助奇偶性等函数性质求解解析式或者研究图像特征。
【变式演练】
1.已知函数f(x)是定义在[−100,100]的偶函数，且f(x+2)=f(x−2).当x∈[0,2]时，f(x)=(x−2)ex，若方程[f(x)]2−mf(x)+1=0有300个不同的实数根，则实数m的取值范围为（ ）
A．−e−1e,−52B．−e−1e,−52C．(−∞,−2)D．−e−1e,−2
2.设max{p,q}表示p，q两者中较大的一个，已知定义在[0,2π]的函数f(x)=max{2sinx,2csx}，满足关于x的方程f2(x)+(1−2m)f(x)+m2−m=0有6个不同的解，则m的取值范围为
A．(−1,2)B．(1,1+2)
C．(2,2)D．(1+2,22)
3.定义在R上的函数f(x)满足f(−x)=f(x)，且当x≥0时，f(x)={54sinπ4x,0≤x≤2,(12)x+1,x>2,若关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0（b，c∈R）有且只有6个不同的实数根，则实数b的取值范围是
A．(−52,−94)∪(−94,−1)B．(−52,−1)C．(−52,−94)∪(−1,0)D．(−94,−1)
【题型六】 嵌套函数基础型
【典例分析】
定义域和值域均为[﹣a，a]（常数a＞0）的函数y＝f（x）和y＝g（x）的图象如图所示，方程g[f（x）]＝0解得个数不可能的是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【提分秘籍】
基本规律
1.嵌套函数自身互嵌型：f（f（x））
2.嵌套函数双函数互嵌型：f（g（x））
【变式演练】
1.若f(x)和g(x)都是定义在R上的函数，且方程fgx=x有实数解，则下列式子中可以为gfx的是（ ）
A．x2+2xB．x+1
C．ecsxD．ln(|x|+1)
2.已知两函数f(x)和g(x)都是定义在R上的函数，且方程x−f(g(x))=0有实数解，则g(f(x))有可能是（ ）
A．x2+1B．x2+x+1C．x2−x−1D．2x2−x+1
3.若f(x)和g(x)是定义在实数集R上的函数，且方程x−f[g(x)]=0有实数解，则g[f(x)]不可能是
A．ex−1B．csx
C．|x|+1D．{x2,x≤0−lnx,x>0
【题型七】 嵌套函数常规型：无参双坐标系换元转换法
【典例分析】
已知函数，则方程的根的个数为（ ）
A．7B．5C．3D．2
【提分秘籍】
基本规律
嵌套函数基础方法理解
可换元
可通过换元构造“双坐标系”，注意对应的横纵坐标变量以及含义。
【变式演练】
1.已知定义在0，+∞上的单调函数fx满足对∀x∈0,+∞,ff(x)−lg2x=3,则方程f(x)−f'(x)=2的解所在区间是
A．0,12B．12,1C．1,2D．2,3
2.已知函数f(x)=x3−3x2+3,x<2−4(x2−5x+6),x≥2，则函数f(f(x))的零点的个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【题型八】 嵌套函数含参型：解析式含参
【典例分析】
已知，若关于x的方程仅有一解，则a的取值范围是_______．
【提分秘籍】
基本规律
1.引入参数
2.参数在所给的母函数内。
3.参数在解析式或者定义域中，分别对函数图像的影响
4.授课时讲清楚因为参数而造成的“动图”，可以引导学生借助画分解图来增加理解。
5.教师授课时可以借助几何画板展示，但是对于学生，特别是普通程度学生，要引导学生手工画“分解图”增加实战能力。
【变式演练】
1.已知函数fx=x+2a,x＜0x2−ax,x≥0，若关于x的方程ffx=0有8个不同的实数解，则实数a的取值可能是（ ）
A．82B．72
C．62D．52
2.已知函数，若函数恰好有4个不同的零点，则实数t的取值范围是________．
3.已知，设函数，存在满足，且，则的取值范围是______.
【题型九】 嵌套函数含参型：参数在方程
【典例分析】
已知函数，则方程恰好有6个不同的解，则实数的取值范围为
【提分秘籍】
基本规律
1.解析式无参，很容易画出图像
2.“方程”中有参。
【变式演练】
1.已知函数，若方程恰有个实根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2.已知f(x)=x2+xsinx, g(x)=12x+1,x≤0lnx+x+1xex,x>0，若f(g(x))−m=0有四个不同的解，则实数m的取值集合为（ ）
A．(0,1+sin1]B．(0,1]C．{1,1+sin1}D．{1+sin1}
3.已知函数f(x)＝x＋sin x＋2x−12x+1，且方程f(|f(x)|－a)＝0有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是( )
A．[0，＋∞)B．(0，＋∞)
C．[－1,2)D．(－1,2)
【题型十】 嵌套函数含参型：双函数型
【典例分析】
已知，函数，，若函数有4个零点，则实数的取值范围是______.
【提分秘籍】
基本规律
1.f（x）与g（x）型
2.多为一分段一个是常规函数
【变式演练】
1.设函数若函数有六个不同的零点，则实数a的取值范围为________．
2.已知函数fx=e|x|−12，gx=12x+1,x≤0x−1lnx,x>0若关于x的方程gfx−m=0有四个不同的解，则实数m的取值集合为（ ）
A．0,ln22B．ln22,1C．ln22D．0,1
3.已知函数f(x)＝x＋sin x＋2x−12x+1，且方程f(|f(x)|－a)＝0有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是( )
A．[0，＋∞)B．(0，＋∞)
C．[－1,2)D．(－1,2)
4.已知λ∈R，函数f(x)=x+1,x<0lgx,x>0，g(x)=x2−4x+1+2λ，若关于x的方程f(g(x))=λ有6个解，则λ的取值范围是（ ）
A．(0,23)B．(12,23)C．(25,12)D．(0,25)
【题型十一】嵌套函数双复合型
【典例分析】
已知函数fx=2xx≤1lg2x−1x>1,则函数Fx=ffx−fx−1的零点个数是( ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【提分秘籍】
基本规律
多以题型为主
【变式演练】
1.已知函数f(x)=2x+22,x≤1|lg2(x−1)|,x>1，则函数f(x)=ff(x)−2f(x)−32的零点个数是（ ）．
A．4 B．5 C．6 D．7
2.已知函数，则方程（是自然对数的底数）的实根个数为__________.
1.（2020·江苏·无锡市大桥实验学校）已知函数f(x)={x2−1,x<1lnxx,x≥1，若关于x的方程2[f(x)]2+(1−2m)f(x)−m=0有5个不同的实数解，则实数m的取值范围是（ ）
A．(0,1e)B．[0,1e)C．(−1,1e)D．{−1,1e}
2.（2019·全国·高三阶段练习（理））已知函数f(x)=ex,x≤0x3−6x2+9x+1,x>0，若方程[f(x)]2−(m+1)f(x)+m=0恰有5个不同的实数解，则实数m的取值范围为（ ）
A．1,5B．1,5∪5,9C．(1,5]D．(0,1)∪{5}
3.（2019·黑龙江·大庆一中阶段练习）设函数f(x)=3x+1，x≤0lg4x，x>0,若关于x的方程f2(x)−(a+2)f(x)+3=0恰好有六个不同的实数解,则实数a的取值范围为
A．(−23−2，23−2)B．(23−2，32]C．32,+∞D．(23−2,+∞)
4.（2021·黑龙江·哈九中期中）已知函数fx=2x−1，且关于x的方程fx2−afx+1=0有3个不同的实数解，则a的取值范围为______．
5.（2021·云南玉溪期末（理））函数fx=−lnx,x∈0,112x−1−1,x∈1,+∞，关于x的方程2fx2−4mfx+5m−2=0）有4个不同的实数解，则m的取值范围是______．
6.（浙江省宁波市九校2019-2020学年）已知函数fx=2xx2+3,x≤0x3,x>0，若关于x的方程fx−a+fx−a−1=1有且仅有三个不同的整数解，则实数a的取值范围是（ ）
A．−32,−2719B．0,8C．−47,−1819D．−12,0
7.（福建省同安第一中学2021-2022）定义域和值域均为−a,a（常数a>0）的函数y=fx和y=gx图象如图所示，给出下列四个命题，那么，其中正确命题是（ ）
A．方程fgx=0有且仅有三个解
B．方程gfx=0有且仅有三个解
C．方程ffx=0有且仅有九个解
D．方程ggx=0有且仅有一个解
8.（河北省张家口市第一中学）已知函数f(x)=−x2+bx+c，则“ffb2>0”是“方程f(x)=0有两个不同实数解且方程f(f(x))=0恰有两个不同实数解”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
9.（山西省2021届高三一模）已知定义在上的单调函数，若对任意都有，则方程的解集为_______．
10.（2021年新高考北京数学高考）已知函数，下列关于函数零点个数的四个判断，正确的是___________.
①当时，有3个零点；
②当时，有2个零点；
③当时，有4个零点；
④当时，有1个零点.
11.（2020届福建省厦门一中高三上学期月考）函数f(x)=ex+ax+ax+1,x>−1x2+4x+3,x≤−1，则关于x的方程ffx=0的实数解最多有（ ）
A．7个B．10个C．12个D．15个
12.（四川省泸州市合江中学2018届高三期末）f(x)是定义在（0，＋∞）上单调函数，且对∀x∈(0,+∞)，都有f(f(x)−lnx)=e+1，则方程f(x)−f'(x)=e的实数解所在的区间是
A．（0，1e）B．（1e，1）C．（1，e）D．（e，3）