专题08 与函数相结合的概率综合问题（第四篇）-备战2022年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖

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备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品
第四篇 概率与统计
专题08 与函数相结合的概率综合问题
类型
对应典例
利用函数的单调性（求导工具）求解概率的最值问题
典例1
利用构造函数（数学归纳法）求解概率的最值问题
典例2
利用二项式定理的估算（放缩法）求解概率的最值问题
典例3
利用二次函数性质概率分布、数学期望的最值
典例4
利用作商法求解二项分布的概率的最值问题
典例5
函数建模与概率统计的综合问题
典例6
概率统计与三角不等式证明的综合问题
典例7
【典例1】【2020届湖南省常德市高三上学期期末】
一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓后要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现三次音乐获得150分，出现两次音乐获得100分，出现一次音乐获得50分，没有出现音乐则获得-300分.设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立.
（1）若一盘游戏中仅出现一次音乐的概率为，求的最大值点；
（2）以（1）中确定的作为的值，玩3盘游戏，出现音乐的盘数为随机变量，求每盘游戏出现音乐的概率，及随机变量的期望；
（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.
【思路引导】
（1）根据独立重复试验中概率计算,可得仅出现一次音乐的概率.然后求得导函数,并令求得极值点.再根据的单调情况,求得的最大值.
（2）由（1）可知,.先求得不出现音乐的概率, 由对立事件概率性质即可求得出现音乐的概率.结合二项分布的期望求法,即可得随机变量的期望;
（3）求得每个得分的概率,根据公式即可求得得分的数学期望.构造函数,利用导函数即可证明数学期望为负数,即可说明分数变少.
解：（1）由题可知,一盘游戏中仅出现一次音乐的概率为：
,
由得或（舍）
当时,；当时,,
∴在上单调递增,在上单调递减,
∴当时,有最大值,即的最大值点；
（2）由（1）可知,
则每盘游戏出现音乐的概率为由题可知
∴；
（3）由题可设每盘游戏的得分为随机变量,则的可能值为-300,50,100,150；
∴；；
；；
∴
；
令,则；
所以在单调递增；∴；
即有；这说明每盘游戏平均得分是负分,由概率统计的相关知识可知：经过若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而会减少.

【典例2】【2020届湖南省汨罗市高三教学质量检测试卷（一)】
冠状病毒是一个大型病毒家族，己知可引起感冒以及中东呼吸综合征（）和严重急性呼吸综合征（）等较严重疾病.而今年出现在湖北武汉的新型冠状病毒（）是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株.人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等.在较严重病例中，感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡.
某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有n（）份血液样本，有以下两种检验方式：
方式一：逐份检验，则需要检验n次.
方式二：混合检验，将其中k（且）份血液样本分别取样混合在一起检验.
若检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为.
假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p（）.现取其中k（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为.
（1）若，试求p关于k的函数关系式；
（2）若p与干扰素计量相关，其中（）是不同的正实数，
满足且（）都有成立.
（i）求证：数列等比数列；
（ii）当时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数的期望值更少，求k的最大值.
【思路引导】
（1）由题设可知，的所有可能取值为1，，求，再根据,求；
（2）（ⅰ）当时，，∴，令，则，
利用数学归纳法证明；
（ⅱ）由（ⅰ）可知，由可知，再设函数（），利用函数的单调性求的最大值.
解：（1）由已知，，，得，
的所有可能取值为1，，
∴，.
∴.
若，则，，∴，∴.
∴p关于k的函数关系式为，（，且）.
（2）（i）∵证明：当时，，∴，令，则，∵，∴下面证明对任意的正整数n，.
①当，2时，显然成立；
②假设对任意的时，，下面证明时，；
由题意，得，∴，
∴，，
∴，.
∴或（负值舍去）.∴成立.
∴由①②可知，为等比数列，.
（ii）解：由（i）知，，，∴，得，∴.
设（），，∴当时，，即在上单调减.
又，，∴；，.∴.
∴k的最大值为4.
【典例3】【2020届广东省韶关市高三上学期期末调研】
某电子工厂生产一种电子元件，产品出厂前要检出所有次品.已知这种电子元件次品率为0.01，且这种电子元件是否为次品相互独立.现要检测3000个这种电子元件，检测的流程是：先将这3000个电子元件分成个数相等的若干组，设每组有个电子元件，将每组的个电子元件串联起来，成组进行检测，若检测通过，则本组全部电子元件为正品，不需要再检测；若检测不通过，则本组至少有一个电子元件是次品，再对本组个电子元件逐一检测.
（1）当时，估算一组待检测电子元件中有次品的概率；
（2）设一组电子元件的检测次数为，求的数学期望；
（3）估算当为何值时，每个电子元件的检测次数最小，并估算此时检测的总次数（提示：利用进行估算）.
【思路引导】
（1）事件：一组待检测电子元件中由次品，由计算；
（2）的可能取值为，表示k个元件一次检测全通过．由此可得概率分布列，从而可得期望．
（3）由（2）得平均次数为，由基本不等式求得最小值．
解：
解：（1）设事件：一组待检测电子元件中由次品，则事件表示一组待检测电子元件中没有次品；
因为
所以
（2）依题意，的可能取值为
分布列如下：

1




所以的数学期望为：
（3）由（2）可得：每个元件的平均检验次数为：
因为
当且仅当时，检验次数最小
此时总检验次数（次）
【典例4】【广东省佛山市2019-2020学年高三教学质量检测（一)】
绿水青山就是金山银山.近年来，祖国各地依托本地自然资源，打造旅游产业，旅游业正蓬勃发展.景区与游客都应树立尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理念，合力使旅游市场走上规范有序且可持续的发展轨道.某景区有一个自愿消费的项目：在参观某特色景点入口处会为每位游客拍一张与景点的合影，参观后，在景点出口处会将刚拍下的照片打印出来，游客可自由选择是否带走照片，若带走照片则需支付20元，没有被带走的照片会收集起来统一销毁.该项目运营一段吋间后，统计出平均只有三成的游客会选择带走照片，为改善运营状况，该项目组就照片收费与游客消费意愿关系作了市场调研，发现收费与消费意愿有较强的线性相关性，并统计出在原有的基础上，价格每下调1元，游客选择带走照片的可能性平均增加0.05，假设平均每天约有5000人参观该特色景点，每张照片的综合成本为5元，假设每个游客是否购买照片相互独立.
（1）若调整为支付10元就可带走照片，该项目每天的平均利润比调整前多还是少？
（2）要使每天的平均利润达到最大值，应如何定价？
【思路引导】
（1）先根据概率分布求数学期望，再比较两个期望大小得结果；
（2）先根据概率分布求数学期望函数关系式，再根据二次函数性质求最值.
解：（1）当收费为20元时，照片被带走的可能性为0.3，不被带走的可能性为0.7，设每个游客的利润为（元），则是随机变量，其分布列为：

15
－5

0.3
0.7
元，则500个游客的平均利润为5000元；
当收费为10元时，照片被带走的可能性为，不被带走的可能性为0.2，
设每个游客的利润为（元），则是随机变量，其分布列为：

5
－5

0.8
0.2
元，则500个游客的平均利润为15000元；
该项目每天的平均利润比调整前多10000元.
（2）设降价元，则，照片被带走的可能性为，
不被带走的可能性为，
设每个游客的利润为（元），则是随机变量，其分布列为：


－5



，
当时，有最大值3.45元，即当定价为13元时，日平均利润为17250元.
【典例5】【河南省天一大联考2019-2020学年高三阶段性测试（三)】
某社区名居民参加年国庆活动，他们的年龄在岁至岁之间，将年龄按、、、、分组，得到的频率分布直方图如图所示.

（1）求的值，并求该社区参加年国庆活动的居民的平均年龄（每个分组取中间值作代表）；
（2）现从年龄在、的人员中按分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人进行座谈，用表示参与座谈的居民的年龄在的人数，求的分布列和数学期望；
（3）若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地岁至岁之间的市民中抽取名进行调查，其中有名市民的年龄在的概率为，当最大时，求的值.
【思路引导】
（1）由频率分布直方图中所有矩形面积之和为，求出的值，再将所有矩形底边中点值乘以矩形面积，再将所得的数相加即可得出该社区年国庆活动的居民的平均年龄；
（2）先根据分层抽样得知，所抽取的人中，年龄在的抽取人、年龄在的抽取人，可得出随机变量的可能取值为、、，并利用古典概型的概率公式计算出随机变量分别取、、时的概率，列出随机变量的分布列，并利用数学期望公式计算出随机变量的数学期望；
（3）设年龄在的人数为，可知，利用独立重复试验的概率公式得出，分析出数列的单调性，可求出的最大值及对应的的值.
解：
（1）由频率分布直方图知，解得，
所以该社区参加年国庆活动的居民的平均年龄为
；
（2）年龄在的人数为，年龄在的人数为.
根据分层抽样，可知年龄在的抽取人、年龄在的抽取人.
所以的可能取值为0，1，2，且，，，
所以的分布列为









所以；
（3）由题可知年龄在内的频率为.
设年龄在的人数为，所以.
.
设，
由得，此时；由得，此时.
所以当时，最大.
【典例6】【山东省日照市2019-2020学年高三下学期1月校际联考】
某公司准备投产一种新产品，经测算，已知每年生产万件的该种产品所需要的总成本（万元），依据产品尺寸，产品的品质可能出现优、中、差三种情况，随机抽取了1000件产品测量尺寸，尺寸分别在，，，，，，（单位：）中，经统计得到的频率分布直方图如图所示.

产品的品质情况和相应的价格（元/件）与年产量之间的函数关系如下表所示.
产品品质
立品尺寸的范围
价格与产量的函数关系式
优


中


差


以频率作为概率解决如下问题：
（1）求实数的值；
（2）当产量确定时，设不同品质的产品价格为随机变量，求随机变量的分布列；
（3）估计当年产量为何值时，该公司年利润最大，并求出最大值.
【思路引导】
（1）根据在频率分布直方图中所有小矩形的面积和为1，可以求出实数的值；
（2）分别求出当产品品质为优、为中、为差时的频率，然后列了分布列，
（3）根据题意，得到该公司年利润的函数关系式，然后利用导数求出公司年利润最大值.
解：（1）由题意得，解得；
（2）当产品品质为优时频率为，此时价格为；
当产品品质为中时频率为，此时价格为；
当产品品质为差时频率为，此时价格为；
以频率作为概率，可得随机变量的分布列为：





0.5
0.2
0.3
（3）设公司年利润为，则
整理得，

显然当时，，时，，
∴当年产量时，取得最大值.
估计当年产量时，该公司年利润取得最大值，最大利润为138万.
【典例7】【广东省潮州市2019-2020学年高三上学期期末】
心理学研究表明，人极易受情绪的影响，某选手参加7局4胜制的兵乒球比赛.
（1）在不受情绪的影响下，该选手每局获胜的概率为；但实际上，如果前一句获胜的话，此选手该局获胜的概率可提升到；而如果前一局失利的话，此选手该局获胜的概率则降为，求该选手在前3局获胜局数的分布列及数学期望；
（2）假设选手的三局比赛结果互不影响，且三局比赛获胜的概率为，记为锐角的内角，求证：
【思路引导】
（1）依题意前3局获胜局数可取，分别计算概率，列出分布列，即可求出期望.
（2）根据相互独立事件的概率计算公式可得选手至少胜一局的概率为：且概率要小于，即可得证.
解：（1）依题意，可知可取：
∴



∴随机变量的分布列为：

0
1
2
3





∴.
（2）∵是锐角三角形，∴，则三局比赛中，该选手至少胜一局的概率为：
由概率的定义可知：，故有：


【针对训练】
1. 【湖南省邵阳市2019-2020学年高三第一次联考】
某地政府为了帮助当地农民脱贫致富,开发了一种新型水果类食品,该食品生产成本为每件8元.当天生产当天销售时,销售价为每件12元,当天未卖出的则只能卖给水果罐头厂,每件只能卖5元.每天的销售量与当天的气温有关,根据市场调查,若气温不低于,则销售5000件;若气温位于,则销售3500件;若气温低于,则销售2000件.为制定今年8月份的生产计划,统计了前三年8月份的气温范围数据,得到下面的频数分布表:
气温范围
(单位:)





天数
4
14
36
21
15
以气温范围位于各区间的频率代替气温范围位于该区间的概率.
(1)求今年8月份这种食品一天销售量(单位:件)的分布列和数学期望值;
(2)设8月份一天销售这种食品的利润为(单位:元),当8月份这种食品一天生产量(单位:件)为多少时,的数学期望值最大,最大值为多少
【思路引导】
(1)今年8月份这种食品一天的销量的可能取值为2000、3500、5000件,求出,和,即可求得随机变量的分布列和数学期望.
(2)由题意知,这种食品一天的需求量至多为5000件,至少为2000件,所以只需要考虑.分别讨论,和,即可求得的数学期望最大值.
解：
(1)今年8月份这种食品一天的销量的可能取值为2000、3500、5000件,



于是的分布列为:

2000
3500
5000

0.2
0.4
0.4
的数学期望为.
(2)由题意知,这种食品一天的需求量至多为5000件,至少为2000件,
只需要考虑,
当时,
若气温不低于30度,则;
若气温位于,则;
若气温低于25度,则;
此时,
当时,
若气温不低于25度,则;
若气温低于25度,则;
此时;
时,的数学期望达到最大值,最大值为.
2. 【广东省广州市番禺区广东仲元中学2019-2020年高三上学期11月月考】
2019年3月5日，国务院总理李克强作出的政府工作报告中，提到要“惩戒学术不端，力戒学术不端，力戒浮躁之风”．教育部2014年印发的《学术论文抽检办法》通知中规定：每篇抽检的学术论文送3位同行专家进行评议，3位专家中有2位以上（含3位）专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学术论文”．有且只有1位专家评议意见为“不合格”的学术论文，将再送另外2位同行专家（不同于前3位专家）进行复评，2位复评专家中有1位以上（含1位）专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学术论文”．设每篇学术论文被每位专家评议为“不合格”的概率均为，且各篇学术论文是否被评议为“不合格”相互独立．
（1）若，求抽检一篇学术论文，被认定为“存在问题学术论文”的概率；
（2）现拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为900元，需要复评的总评审费用1500元；若某次评审抽检论文总数为3000篇，求该次评审费用期望的最大值及对应的值．
【思路引导】
（1）根据题意得到，代入数据计算得到答案.
（2）设每篇学术论文的评审费为元，则的可能取值为900，1500，计算得到
，求导得到单调性计算最大值得到答案.
解：
（1）因为一篇学术论文初评被认定为“存在问题学术论文”的概率为，
一篇学术论文复评被认定为“存在问题学术论文”的概率为，
所以一篇学术论文被认定为“存在 问题学术论文”的概率为


．
∴时，
所以抽检一篇的学术论文被认定为“存在问题学术论文”的概率为．
（2）设每篇学术论文的评审费为元，则的可能取值为900，1500．
，，
所以．
令，，．
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减．
所以的最大值为．
所以评审最高费用为（万元）．对应．
3. 某家畜研究机构发现每头成年牛感染H型疾病的概率是，且每头成年牛是否感染H型疾病相互独立．
（1）记头成年牛中恰有头感染H型疾病的概率是，求当概率取何值时，有最大值？
（2）若以（1）中确定的值作为感染H型疾病的概率，设头成年牛中恰有头感染H型疾病的概率是，求当为何值时，有最大值？
【思路引导】
（1）由题意得，且，然后利用导数判断出函数的单调性，进而可得函数的最大值．（2）头成年牛中恰有头感染H型疾病的概率是（），其中，作商可得，通过讨论可得的单调性，并进一步得到所求最值．
解：
（1）依题意，头成年牛中恰有头感染H型疾病的概率是
，且．
则有 ，
令，结合，解得．
则当时，；当时，．
即函数在上单调递增，在上单调递减，
故当概率时，有最大值．
（2）头成年牛中恰有头感染H型疾病的概率是
（），
由（1）知，
所以
，
所以当，即时，，，
当，即（，且）时，，
于是，
所以当时，有最大值．
4. 【2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学】
某花店每天以每枝元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.
（1）若花店一天购进枝玫瑰花，求当天的利润(单位：元)关于当天需求量（单位：枝，）的函数解析式.
（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.
（i）若花店一天购进枝玫瑰花，表示当天的利润（单位：元），求的分布列，数学期望及方差；
（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.
解：（1）当时，
当时，
得：
（2）（i）可取，，
的分布列为










（ii）购进17枝时，当天的利润为
得：应购进17枝
5. 【2018年全国普通高等学校招生统一考试理科】某工厂的某种产品成箱包装，每箱件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立．
（1）记件产品中恰有件不合格品的概率为,求的最大值点；
（2）现对一箱产品检验了件，结果恰有件不合格品，以（1）中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付元的赔偿费用．
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求;
（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
【思路引导】
（1）利用独立重复实验成功次数对应的概率，求得，之后对其求导，利用导数在相应区间上的符号，确定其单调性，从而得到其最大值点，这里要注意的条件；
（2）先根据第一问的条件，确定出，在解（i）的时候,先求件数对应的期望，之后应用变量之间的关系，求得赔偿费用的期望；在解（ii）的时候，就通过比较两个期望的大小，得到结果.
解：
（1）件产品中恰有件不合格品的概率为.
因此.
令，得.当时，；当时，.
所以的最大值点为；
（2）由（1）知，.
（i）令表示余下的件产品中的不合格品件数，依题意知，，即.
所以.
（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.
由于，故应该对余下的产品作检验.
6. 【吉林省吉林市普通中学2019-2020学年度高三第二次调研测试】
为满足人们的阅读需求，图书馆设立了无人值守的自助阅读区，提倡人们在阅读后将图书分类放回相应区域.现随机抽取了某阅读区500本图书的分类归还情况，数据统计如下（单位：本）.

文学类专栏
科普类专栏
其他类专栏
文学类图书
100
40
10
科普类图书
30
200
30
其他图书
20
10
60
（1）根据统计数据估计文学类图书分类正确的概率；
（2）根据统计数据估计图书分类错误的概率；
（3）假设文学类图书在“文学类专栏”、“科普类专栏”、“其他类专栏”的数目分别为，，，其中，，，当，，的方差最大时，求，的值，并求出此时方差的值.
【思路引导】
（1）文学类图书共有150本，其中正确分类的有100本，由此可计算概率；
（2）图书分类错误的共有140本，图书总共有500本，易得概率；
（3）计算平均值，再计算方差，转化为的函数后可得最大值．
解：
（1）由题意可知，文学类图书共有本，其中正确分类的有100本
所以文学类图书分类正确的概率
（2）图书分类错误的共有本，因为图书共有500本，
所以图书分类错误的概率
（3），，的平均数
所以方差

∵，，∴当，时，取最大值.