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助力高考数学备考及提分策略
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助力高考数学备考及提分策略
一、以后几年高考数学题变化趋势：
（1）高考数学命题难度微小变化，2018年文、理科试卷有90分左右相同，2019年文、理科试卷有105分以上相同，2020年文、理科试卷有80分左右相同，逐步尝试文、理不分科，对2021年高考的文科学生要适度增加数学难度，如立体几何题中可建立直角坐标系求解、概率统计题中可用组合公式表示等，其水平可参考18、19、20年二卷、三卷的数学试题，各位老师及考生应根据近几年的全国卷试题重视数学本质，突出理性思维、数学应用、数学探究、数学文化的引领作用，突出对关键能力的考查。复习既要善于研究更要重视总结，对每一个题、每一套题，要深思长什么见识、怎样让学生长见识、悟什么道理、如何让学生悟道理，怎样使 “三教”引领高中数学“一题一课、多解变式”教学落实到课堂上并取得丰硕成果；
（2）命题是以考查学生掌握知识及体现学生能力的立意原则，突出应用性和创新性，19、20年的三卷文、理科试卷总体似乎偏难，仔细研究分析，难度并不太大，但较新颖，全国一、二、三卷都有部份题展现我国社会主义建设成就与科学防疫的成果、紧密联系社会实际、设计真实的问题情境，具有鲜明的时代特色。如中国四大名著的概率题、3D打印技术制作模型、高铁运行、探测器软着陆、药品检验、残留物测定、印章结构、篮球决赛、乒乓球比赛、新冠肺炎累计确诊病例数、沙漠治理、垃圾分类、扶贫工作、羽毛球比赛、学生的体育运动与体育锻炼、埃及胡夫金字塔、北京天坛的圆丘坛铺设的石板数量、原味大三和弦等等20多个题，考生应从题设描述的已知条件中，捕捉对解题有用的数据、图形、等式或不等式，结合知识点，理清解题思路，考生高考数学成绩较差，说明学生破题、解题能力、计算、化解能力有待提高；
（3）命题立足教材、基于教材、回归教材，有部分题可直接源于教材，教材的结论、习题的结果、平时解题积累的知识，三角函数、数列、立几、解几、函数及导数中的二级结论在卷面上说明出处、名称、理由可直接用于考试；
18年题：已知斜率为的直线与椭圆交于、两点，线段的中点为，
（1）证明：；
（2）设为的右焦点，为上的一点，且，证明：，，成等差数列，（文科证明：），并求该数列的公差。
解：该题的解答思路是先用点差法，
设，，因，
，，代入椭圆作差得，（或由点差法的椭圆中点弦公式）
由，过作轴的垂线得，推出，则有； 第二问求
、时可用椭圆第二定义的焦半径公式：
，，
（4）命题结合数学核心素养的培养，基本不出偏题、怪题和难度太大的题，19、20年高考题题型有所变化，并不是难而是创新变化，考生不太适应，成绩不理想；
（5）题量暂时不变，仍然为12+4+6题型模式，共22题，但分值可能有所微调，卷二第16题关于金石文化的印记问题填空有二问，它的所有顶点都在同一正方体的表面上，且此正方体的棱长为1，则该半正多面体共有个面，其棱长为。
两个空分别是2分（利用对称性可数出面数26个）和3分（将立体图形作一截面，在平面几何中一边长为1的正方形内求正八边形的边长，，），适当增加多选题、开放性题及半开放性题，18、19、20年试卷已有所体现；
（6）难题一般仍然在20、21题，但不一定是解几、函数，有可能是其他类型，18年已有所尝试，卷二20题为立体几何，卷一20题为概率统计，19年22题极坐标题较新颖、23不等式证明较难，20年12、19、20、21、22较新颖，得分较低。
二、（1）20年答题及得分情况：
2020年理科考生共217889人，文科考生共136993，从评卷情况看，文科选择题全省平均分为28.279分，主观题全省平均分为28.483分，填空题全省平均分为9.075分，数列题全省平均分为5.267分，统计题全省平均分为7.255分，立体几何题全省平均分为1.679分，理科选择题全省平均分为38.543分，主观题全省平均分为38.034分，填空题全省平均分为10.362分、数列题全省平均分为6.205分、统计题全省平均分为8.677分、立体几何题全省平均分为4.118分，文、理科得分很低的是参数方程及极坐标和不等式题全省平均分为文科0.986分、理科2.184分，函数题全省平均分为文科2.331分、理科3.392分与解析几何题全省平均分为文科1.891分、理科3.097分。
（2）20年文、理科140分以上分别为76人和159人，130.5—140分分别为440人和1327人，120.5—130分分别为1083人和4867人，130分以上共2002人，理科有2人150分。及格率分别为10.82%和29.28%，平均分分别为56.762、76.577分；
（3）2019年理科考生共218546人，文科考生共127981，从评卷情况看，文科选择题全省平均分为31.262分，主观题全省平均分为19.893分，填空题全省平均分为5.172分，三角函数题全省平均分为2.279分，统计题全省平均分为6.428分，立体几何题全省平均分为2.53分，理科选择题全省平均分为39.882分，主观题全省平均分为33.724分，填空题全省平均分为7.168分、三角函数题全省平均分为4.542分、统计题全省平均分为8.961分、立体几何题全省平均分为5.525分，文、理科得分很低的是参数方程及极坐标题全省平均分为文科1.46分（69217人选）、理科3.15分（163505人选），不等式全省平均分为文科0.33（58764人选）、理科0.66分（55041人选），函数题全省平均分为文科2.177分、理科4.044分与解析几何题全省平均分为文科0.395分、理科0.971分。
（4）2019年文、理科140分以上分别为15人和366人，130—139.5分分别为66人和1799人，130分以上共2246人，及格率为4.52%和25.06%，平均分分别为51.156、73.606分；
三、选择题分析
考生要掌握解答选择题的一些常用方法，分析计算法、图解法（一般可用于三角函数类、平面几何、立体几何、解析几何、向量代数及线性规划）、特殊值法（可用于三角函数类、数列类、几何类、向量代数、不等式及比较大小等）、排除法（可用于计算量较大、题目概念性较强、题目较新颖的类型）、逆推法及猜测法等。要能够根据题目条件、备选项的特征，善于总结分析，灵活运用有关的技巧与方法，快速解答，以最节省的时间完成，这是提高解题效果和正确性的有效途径。一般选择题平均一个题解答时间为3.75分,若超过4分钟就请猜测一下。
2000～2020共21年内：
理科选择题中共出现次数如表
总和
56A
60B
70C
54D
2007年
3A
3B
4C
2D
2008年
2A
4B
4C
2D
2009年
3A
3B
3C
3D
2010年
2A
4B
4C
2D
2011年
4A
3B
2C
3D
2012年
4A
2B
3C
3D
2013年
3A
3B
3C
3D
2014年
3A
2B
3C
4D
2015年
2A
4B
3C
3D
2016年
4A
3B
3C
2D
2017年
4A
3B
3C
2D
2018年
2A
4B
4C
2D
2019年
3A
2B
4C
3D
2020年
3A
2B
3C
4D
文科选择题中共出现次数如表
总和
50A
63B
73C
54D
2007年
3A
2B
4C
3D
2008年
2A
4B
4C
2D
2009年
2A
3B
4C
3D
2010年
2A
4B
3C
3D
2011年
2A
3B
4C
3D
2012年
2A
3B
4C
3D
2013年
2A
3B
4C
3D
2014年
3A
3B
4C
2D
2015年
3A
3B
3C
3D
2016年
3A
3B
2C
4D
2017年
4A
3B
3C
2D
2018年
2A
4B
3C
3D
2019年
2A
3B
4C
3D
2020年
2A
4B
4C
2D
一般每年考试选择题答案中每个选项至少出现二次，至多出现四次，相对比较平均，（B）（C）占比例较大，约占60％，由于每年选择题中有8-9个题比较容易，在此基础上，对难题可猜测一下，一般可选择已解答的选项中出现较少而理论上分析又可能出现较多的选项，以上方法我们称为宏观分析，微观选择，有一定的效果。一般计算量比较大的，有一定难度的，可用选项去验证条件或结论，选的可能性较大；一般难度较大且内容新颖，平时未见过的题型，多个命题判断正确的，选、的可能性较大。
下表是2005年到2020年理科选择题第10题到12题的正确答案
理科
10
11
12
2005年
2006年
2007年
2008年
2009年
2010年
2011年
2012年
2013年
2014年
2015年
2016年
2017年
2018年
2019年
2020年
下表是2005年到2020年文科选择题第10题到12题的正确答案
文科
10
11
12
2005年
2006年
2007年
2008年
2009年
2010年
2011年
2012年
2013年
2014年
2015年
2016年
2017年
2018年
2019年
2020年
1、函数的最大值为
解：解法一：和差角公式、特殊角的值、辅助角公式及计算，
，，选。
解法二：将化成一个余弦函数，
，。
解法三：由观察法知当时，正余弦都取最大值，则
，。
2、若直线与曲线和圆都相切，则的方程为
解：解法一：设为上的切点，
，斜率，切线方程为：
，即，原点到该切线的距离为，得，
，切线方程为，选。
解法二：由圆的半径，原点到该切线的距离为，排、，
将代入，得，无解，
代入得，有，
，切线方程为，选。
3、设双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，是上的一点，且，若的面积为4，则
解：该题用双曲线的性质、离心率、三角形面积公式联立求解解出。
解法一：设，，，
由，，，得，选。
解法二：由双曲线的焦点三角形面积公式有，得，故，
，则，选。
附：在中，令，由余弦定理：
得
，即，
4、已知，，设，，，则
解：由对数换底公式及均值不等式得：
，
故，又，，及已知条件，
得，故，选。
5、设，，，则
解：该题考查对数函数及不等式性质。
，
，选。
6、在中，，，，则
解：该题二次使用余弦定理即得。
，
，由三角形求角法得
，选。
7、已知函数，则
的最小值为2 的图像关于轴对称 的图像关于直线轴对称 的图像关于直线轴对称
解：由，不成立；
由，不成立；
由，不成立；
由，成立，选。
8、设函数，已知在上有且仅有5个零点，下述四个结论：
、在上有且仅有3个极大值点
、在上有且仅有2个极小值点
、在上单调递增
、的取值范围是上单调递增
其中所有正确结论的编号是
该题是一多选题，也是难度较大，考生得分较低的题，解题思路是要对正弦函数的周期、零点、极大值、极小值、单调性及图形非常熟悉，综合性强，解题关键是的取值左端值。
解：取，的周期为，当时，的取得一个极大值，成立，
对，的周期为，在上有且仅有6个零点，又不合题意，
故，当，有仅有五个零点，
又有三个极大值点和三个极小值点，成立，不成立，选。
（卷一的文、理科第4题著名的断臂维纳斯关于人体的黄金分割点问题，其解答相当难。由，设头顶、咽喉、肚脐、足底分别为、、、，人身高为，则，，
，解得。)
9、点为正方形的中心，为正三角形，平面平面，是线段的中点，则
，且直线，是相交直线
，且直线，是相交直线
，且直线，是异面直线
，且直线，是异面直线
该题要用的知识点较多，计算量较大，考生得分低。（19年文、理科）
解：设，是的中点，连，则
，且，得，
又作，交于，，
，，，
连，，则，故四点共面，知，是相交直线，选。
10、设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则：（19年卷三文、理科）
该题的解答关健是1，利用指数函数、对数函数的性质、偶函数及函数的单调性，考生得分很低。
解：由于，在单调递减，则；又，
由题设在单调递增，
，
故，选。
11、直线分别与轴，轴交于
，两点，点在圆上，则
面积的取值范围是：（19年文理科）
解：该题考查直线与轴，轴的交点坐
标，圆心坐标、点到直线的距离及三角形
面积，数形结合作图等的核心素养。
，，，圆的圆心为，到直线的距离为，为等腰直角三角形，圆的半径为，作直角三角形草图，
故，
，选。
从该题的出题、评卷中可教学生去思考及联想各类三角形的构成、三角形的内心、外心、重心、垂心，各类三角形（锐角、钝角、等腰、直角、等边三角形等）的性质，如三角形的角平分线性质、重心性质、中位线性质、三角形面积公式的几种表示法，在一定条件下三角形最大面积、最长周长及取值范围的求法等等，可教学生去思考及联想各类四边形（平行四边形、梯形、等腰梯形、直角梯形、菱形、矩形、正方形等）的性质，教会学生去体验和表达解题过程。
如：中, 是上的点，平分，面积是面积的2倍，（1）求
（2）若，求和的长。
(1)解题思路是用面积公式及正弦定理，
， ，
因为， 由正弦定理， 得。
(2)解：解题思路是用角平分线性质及余弦定理， 因 ，又 ，
在，由余弦定理知，
， 故：， 由(1)知 。
又如：中, 是上的点，平分，，（1）求（2）若，求。
解：解题思路是用正弦定理、和角公式、特殊角的样值、诱导公式等，
由平分，，则，
由正弦定理， 得 。
或由正弦定理，，
因平分，，所以
，
（2）因为，，所以
，
由（1）知，，
所以，即。
12、设、为双曲线：的
左、右焦点，是坐标原点，过作的一
条渐近线的垂线，垂足为，
若，则的离心率为
解：该题考查双曲线的离心率、渐近线及点到直线的
距离、余弦定理、数学建模的核心素养。
（1）的渐近线为，斜率为；
（2）是坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，得一直角三角形，
则，，；
（3）作直角三角形及另一三角形草图，在内，令，则由余弦定理：（建立数学模型）
，由，
（4）解得，离心率，选。
*注（法二）：若将延长至，使，四边形的对角线互相平分是一平行四边形，，由，及得，故。
从该题的出题、评卷中可教学生去思考及联想出求椭圆、双曲线的离心率是高频考点，关健是利用已知条件给出的关系，本题在数形结合两个三角形内讨论，一个是直角三角形，利用了正切函数和余弦函数，另一个三角形利用了余弦定理并建立数学模型，是一个好题！要教会学生去体验和表达完整的解题过程。
13、18年卷三理科：某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员支付方式相互独立。设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，，则
该题有应用背景，涉及到二项分布的分布列，方差及解不等式。
解：，，得
，解得：，，
，，
化简得，故，选。
14、设是同一个半径为4的球的球
面上四点，为等边三角形且其面积为
，则三棱锥体积的最大值为
解：该题考查三角形面积公式、三角形外
接圆半径，勾股弦定理，三棱锥体积最大
值的直观的核心素养。
设等边三角形的边长为，
故，等边三角形外接圆半径
作图得，
三棱锥的高为，
三棱锥体积最大值为
，选。
15、设，，则
解：该题考查对数的换底公式、对数函数
的图象、性质及逻辑推理的数学核心素养
由，则，又，
得，故有：
，
因，，故，
，且，即，选。
16、设函数有唯一零点，则
解：本题的关健是方程
为一超越方程，不易
求解，观察前半部分，令
，得：，则，选。
方法二：由，
等式成立的充分必要条件为，即，得：，则，选。
17、在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球，若，，，
，则的最大值是：
解：本题的关健是利用底面三角形内切圆的半径与直三棱柱高的一半比较大小得到球的半径。由已知直三棱柱的底面为一个直角三角形，斜边，设直角三角形的内切圆半径为，则由直角三角形的面积，
设球的半径为，则，
故，选。
18、已知为坐标原点，是椭圆：，的左焦点，、分别为的左，右顶点，为上一点，且轴。过点的直线与线段交于点，与轴交于点。若直线经过的中点，则的离心率为：
解：本题的关健是作图后利用两组相似三角形得出椭圆的长半轴与焦距间的关系，
由得，又由得，，故，选。
19、已知抛物线的焦点为，其准线与轴相交于点，过点作斜率为的直线与抛物线相交于，两点，若，则
解：解法一，由已知得，，
设的直线方程为，代入抛物线
，得，有
,，设，，
则，，
，，
，，
，，
代入得，故，选。
解法二：设，，，
所以，
由题意可知60°，
所以= ，
由对称性可知k也可以取
综上所述.
，又，
故，且为锐角得，
，（师大姜文）
再由对称性，（先几何后代数好！）
注：若，则得
若，则得。
解法三：作关于轴的对称点，
由法二共线，（教科院朱龙）
，联立，，
解得，，
再由对称性，选。
20、的内角的对边分别为，已知， 则
解：本题要用正弦定理，三角形面积公式及半特殊角的值.由正弦定理 ，
， ，
，选。
注 ，
21、钝角三角形的面积是，，，则
解由，又由余弦定理：
（若，则，为直角三角形，舍去）
则，答案:选。
或由图解法，作一钝角三角形，延长到，使，
，
又，
。
22、设抛物线的焦点为，直线过且斜角为与交于两点，是坐标原点，则的面积为
解：由，
，则由，
，答案：选。
或设交点，则，
得，，则由
，
，答案：选。
23、直三棱柱中，分别是的中点，，则与所成角的余弦值为：
；
解：作直三棱柱图找两条异面直线所成的角，取的中点为，连，因，则为与所成角，设，则，
，
（注为等腰三角形，底边一半为），选。 方法二：向量解法,
取，，
则：，
，选。
24、双曲线：的右焦点为，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于，两点，若，则的离心率为
解：该题考查双曲线的基本性质、其关健
是 求双曲线的离心率是高频考试题
由题意及，知是以为直径的圆的直径，设是该圆的圆心，则
，，为等腰直角三角形，，即，故，选
四、高考数学填空题分析：
填空题是侧重于基本计算，考查运算、化简及综合的能力，第13、14题比较简单，是基本题，比较简单，容易得分，同学们应该把握好，千万不要丢分。第15题中等难度，数学程度一般的同学刻苦钻研其知识点，仍可以得到该题的分数，数学程度好的同学一定要得到该题的分数。第16题难度较大，同学们要量力而行，争取得分，新课标考试题难度有所下降。考生们做填空题要会思考、会体验、会表达
同学们在填空题上要更加努力,尤其是文科生要重视填空题的提分。
1、已知函数，，则
解：，其中，
为奇函数，，，，
则。或
。
注：文14题答案为分层抽样，但写字不规范被扣分的近千人。
2、已知圆锥底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为。
解：作圆锥的截面，、为母线，为高，内切圆半径，，由，则，故：，解得，。
3、已知函数有四个命题，
的图像关于轴对称 的图像关于原点对称 的图像关于直线轴对称 的最小值为2
其中所有真命题其中所有的序号是。
解：是奇函数，（1）不真，（2）真，
，（3）真，，（4）不真，故为真的是（2），（3）
4、设函数，若，则。
解：，，故。
5、已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点，若，则。
解：解题的思路是先用点差法，给出直线斜率与两点纵坐标之和的关系，再利用抛物线的性质及平面几何的知识得到梯形的中位线即得直线的斜率。
(1)设，，代入抛物线，
(2)作差，及两点间的斜率公式得，
(3)设为的中点，又设点、分别是点、在抛物线准线上的垂足，因，
，
(4)为梯形的中位线，又，得，故 。
从该题的出题、评卷中可教学生去思考及联想出抛物线的若干性质（定义、准线、焦点、过焦点和抛物线相交两点的弦长公式等等），点差法推导出的抛物线的中点弦公式，数形结合平面几何梯形中位线的性质等，该题也是一个好题！同时要教会学生去体验和表达完整的解题过程。
6、19年三卷文、理科15题
设、为椭圆：的两个焦点，
是上的一点且在第一象限，若为等
腰三角形，则的坐标为。
(贵阳一中、贵阳五中老师给出七种解法)
解：该题考查椭圆的基本性质、二次用距
离公式、数学运算的技巧，也是高频考试
题型。
由，，设，
则由已知得，
，解得，，，则的坐标为。
7、19年三卷文、理科16题
学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作模型为长方体挖去四棱锥后得到的几何体，其中是长方体的中心，分别是所在棱的中点，，，打印所用原材料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为。
解：，，
，
。
8、设函数则的的取值范围是。
解：首先考察，不等式恒成立，当时，，得。
9、已知直线：与圆交于、两点，过、分别作的垂线与轴交于、两点，若，则。
解：作草图,由，则为等边三角形，其高，即为原点到直线的距离，，解得
，且，直线与轴正方向的夹角为，则。
10、已知曲线在点处的切线与曲线相切，则。
解：本题的关健是利用公切线得到两条曲线的交点.
，代，得切线的斜率，又对，，
代入切线与曲线方程
，得。
11、设是数列的前项和，且
，则。
(变形构造等差数列)
解：，
为一公差的等差数列，
通项，。
12、为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形的直角边所在直线与都垂直，斜边以直线为旋转轴旋转，有下列结论:
(1)直线与成角时，与成角，
(2)直线与成角时，与成角，
(3)直线与所成角的最小值为角，
(4)直线与所成角的最大值为角，
其中正确的是.
解：作一圆锥，取母线，圆内取一边长为的正方形，圆锥的高为，圆的半径，当直线与成角时，得四个等边三角形，则与成角，当直线转到的中点弧时，直线与所成角的最小值为角，选(2)(3).
13、在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上。若，则的最大值为
解：解法一：本法的关健是用向量、圆的参数方程及点到直线的距离或辅助角公式得的最大值。
1、作矩形，设动点，，，，
2、由，
得，
3、连，作，交于，由，及三角形等面积法得，，
4、由圆心，得圆的普通方程为
，
5、圆的参数方程为 ，
6、，
的最大值为3。
解法二：本法的关健是用解析几何的方法并拓展。
1、连，设在上，且为以点为圆心且与相切的切点，，，，
2、
3、的直线方程为，代，，即，
4、过点作的平行线，交圆于，的直线方程为，代，得，
5、连交圆于得为最大值。
解法三：该法用线性规划的方法并拓展。
令，圆心到直线的距离
，
的最大值为3。
五、解答证明题分析
（1）关于三角函数题或数列题
1、按出题的长规21年应是三角函数题，注意题目可能是求三角形周长或面积的取值范围，参考17年的17题，第一问很简单，第二问求较难，下面给出简单的解法，过点作边上的高
延长，垂足设为，由（1）知，，有，，（凯里学院杨孝斌）
于是有，故为的中点，
又，于是有为的中位线，
即为的中点，有。
2、也可参考19年的文、理科18题。
的内角所对边分别为，已知
(1)求，(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围。
该题第一问是常规解法，第二问有些新颖但较难，解题思路是用面积公式、两次使用正弦定理及极限思想求参数的取值范围从而得面积的取值范围。全省文、理科平均分分别为2.3分、4.55分，说明考生知识的迁移能力太差，分数应有更大的提升空间。
解：（1）由题设及正弦定理得：
，
因，所以：
，
由，可得：
，
故，
又， 得， 因此；
（2）的面积为：
，
又由正弦定理得：
，
由于为锐角三角形，故，，
又，所以，得：
，，
因此面积的取值范围是：。
解法二：数形结合的极限图解法（杨孝斌）
由（1），为锐角三角形，故，，又，所以，
令，得一直角边分别为，的直角三角形，其面积为，令，得一直角边分别的直角三角形，其面积为，
因此面积的取值范围是：。
解法三：余弦定理解法（贵大附中杨武宗）
因为,，，
将分别代入,及，
得出，取交集解得，
故的取值范围是。
解法四：正弦定理综合
得出因为，所以
所以：解得或。
当时三角形为钝角三角形，舍去，
所以，故的取值范围是。
解法五：数学建模
如右图2，因为，，以,
则直线所在的直线方程为
设点，则
因为为锐角三角形，
由图可知从移动的过程中
故的取值范围是
解法六：
如右图2，因为,，以,
则直线所在的直线方程为
设点，则，
因为为锐角三角形，
解得
故的取值范围是
3、也可参考20年二卷的17题，
在中，，
(1)求，
(2)若，求周长的最大值。
解：（1）由正弦定理可得，
故，由，故，
（2）由余弦定理得
，即：
，因，
当且仅当时取等号
解得，得。
4、设数列满足，，
（1）计算，，猜想的通项公式并加以证明，（2）求数列的前项和。
(全省平均分为6.205分、满分仅1870人，占0.37%)
解：（1），，猜想，
下面用数学归纳法当时，成立，
设时，，当时，
，
故所以对，有。
或由已知条件：
由，左、右累加得，
所以对所有正整数，有。
（2）法一：(错位相加法)，由（1）得
，故
，
，作差得
，故
。
法二（裂项相消法）
记，
观察数列的特征，可以设，令
对比得，解得，
所以存在，满足，于是
法三：（函数导数法）由，
令，两边对求导，得
，所以：
法四：（构造法）由，得
，令，则，
设，
得，对比，得，解得，
所以，因此数列是以为首项，为公比的等比数列，从而，所以，
故。
5、设等比数列满足，，
（1）求的通项公式，
（2）记为数列的前项和，若
，求。（全省平均分为5.267分）
解：（1）设的公比为，则，
由已知得：
，，解得，，
所以的通项公式为，
（2）由（1）得，故，
由，得：
，即：
，解得（舍去），。
6、设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项，（1）求的公比；
（2）若，求数列的前项和。
解：（1）设的公比为，由题设得，即，所以，解得（舍去），，故的公比为。
（2）设为的前项和，
由（1）及题设可得，，所以：
，
.，
可得
所以。
7、数列满足，，若
，则。
解：在等式中，令，可得
，所以，故是以2为首项，以2为公比的等比数列，则，故有：
得，，选。
8、北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三段，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）的块数为
解：设每层第环的扇面形石板的块数为，第一层共有环，则是以为首项，以为公差的等差数列，故：
，设为的前项的和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为、、，因为下层比中层多块，所以：
，即：
，
得，故，
，选。
（2）2020年文、理科18题考概率统计，该题常规且较简单，文、理科全省平均分分别为7.255分、8.677分，虽较高仍有提升空间，理科第3题求一组样本数据的最大标准差、用公式计算四种情形中的方差，由于数学期望都相同，只需比较的大小即可，实际上可以用观察分析法，由于，当时标准差最大，即可选；第4题建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数的模型，为最大确诊病例数，当时，标志着已初步遏制疫情，利用指数函数即对数函数的性质容易计算出其天数，选，该题结合防疫充分体现了数学的科学价值和应用价值。21年概率统计题可参考17年的18题，即酸奶的供需问题及19、20年乒乓球、羽毛球比赛问题及各种类型的统计题，争取得高分。
2020年一卷概率考题
甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下，累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束。
经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为，
（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率。
解：（1）甲连胜四场的概率为；
（2）根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛，
比赛四场结束，共有三种情况：
甲连胜四场的概率为，
乙连胜四场的概率为，
丙上场后连胜三场的概率为，
所以需要进行第五场比赛的概率为；
（3）丙最终获胜，有两种情况：
比赛四场结束且丙最终获胜的概率为，
比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，
概率分别为，，，
因此丙最终获胜的概率为。
（3）2020年文、理科立体几何题比较新颖，一改往年的平行、垂直题，而是证明点在平面内（理科第一问、文科第二问），由于考生应变能力较差，文、理科全省平均分分别为1.679分、4.118分，是近几年最低的，理科考生第一问可参考文科第二问的解答，构造平行四边形即可证明，理科第二问、文科第一问较常规，容易给出解答。近几年文、理科立体几何题都有些变化，请同学们打好相关的基础知识才能应对其变化。
1、如图，在长方体中，点、分别在棱，上，且，，
证明：（1）当时，，（文科）
（2）点在平面内，（文、理科））
（3）若，，，求二面角
的正弦值。（理科）
解：（1）如图，连结，，因为，
所以四边形为正方形，故，
又因平面，于是，
所以平面，由于平面，
所以；
（2）法一：如图，在棱上取点，使
，连结，，，
因为，，，，则，，于是得为平行四边形，故，
因为，，，，则，，，，于是得为平行四边形，故，
于是，，四点共面，
即点在平面内，
法二：设，，，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立坐标系，连结，则，，
，，
，，
，，四点共面，
即点在平面内，
（3）由已知得，，，，，，，
，，
设为平面的法向量，，
取，
设为平面的法向量，，
取，
因为，所以二面角的正弦值为。
（4）2020年文、理科解析几何题相同，第一问较简单，容易得分，第二问仔细分析解题的思路也不难，点在直线上及、得出和的坐标就能求出二种情形下的面积但考生自信心不强，加上计算量大，得分较低，文、理科全省平均分分别为1.891分、3.097分，考生仍要加强解几的训练，攻下第一问、争取得第二问的部分分。
1、已知椭圆：的离心率为，
，分别为的左、右顶点。（1）求的方程，
（2）若点在上，点在直线上，且，，求的面积。
解：该题考查椭圆的基本性质、面积公式、数学运算，是高频考试题型。
（1）由题得，解得：
，所以的方程为；
（2）设，，由对称性可设，由题意知，又由已知可得，直线的斜率为，因，所以，
直线的方程为，，
所以，，
因为，所以，
代入的方程，解得或，
由直线的方程得或，
故点，的坐标分别为，，及
，，
，直线的方程为，点到直线的距离为，故，
，直线的方程为，点到直线的距离为，故，
综上：。
（5）2020年文科导数应用题第一问求导后要讨论的取值，及时单增不难，时的单调性要分段讨论较复杂但并不难；理科导数应用题第一问很容易，文、理科导数应用题第二问考查学生逻辑推理的分析能力，由于是三次多项式，数形结合讨论零点就容易分析出零点的取值范围及证明所有零点的绝对值不大于1，故解题思路的培养很重要。
文、理科全省平均分分别为2.331分、3.392分，仍可提高。
引例：设函数有二个零点，则的取值范围是
解：当时，，
与有二个零点矛盾，
当时，，得，，是极小值点，
由，，，，
故当，即或时
有二个零点，所以选。
1、已知函数，
（1）讨论的单调性，
（2）若有三个零点，求的取值范围。
解：（1），
当时，，故在单调递增；
当时，，
故在单调递增；
当时，令，得，或，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
（2）由（1）知当时，在单调递增，不可能有三个零点；
当时，为的极大值点，
为的极小值点，
此时，，
且，
，
，
根据的单调性，当且仅当时，
有三个零点，即，
解得，故的取值范围为。
2、设函数，曲线在点
的切线与轴垂直，（1）求，
（2）若有一个绝对值不大于1的零点，证明：的所有零点的绝对值都不大于1.
解：（1），由题意得，
即：，；
（2）由（1），，
令，解得，或，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
为的极大值点，极大值，
为的极小值点，极小值，
因为，所以当时，
由图形易知，只有大于1的零点，
因为，所以当时，
由图形易知，只有小于-1的零点，
由题设可知，
当时，只有两个零点，或，
当时，只有两个零点，或，
当时，有三个零点，，由图且有：，，或，
综上，若有一个绝对值不大于1的零点，则的所有零点的绝对值都不大于1。
3、已知函数，
（1）讨论的单调性（19年卷三文、理科）
（2）当，时，记在区间的最大值为，最小值为，求的取值范围（文科）
（3）是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为？若存在，求出的所有值，若不存在，说明理由。（理科）
该题的第一问是常规解法，由于题设为三次函数，且三次方的系数大于零，若有两个驻点（单调区间的分界点、可能的极值点），则单调区间必为增减增，第二问判定最大小值求参数的值也较常规，关健是要分区间讨论，既是重点、又是难点，得分较低，全省平均分为文科2.177分、理科4.044分。一般函数题第一问并不难，关键是考生对该类题具有恐惧心，故应调整好心态，争取得第一问的分数。
解：（1），
令，得，或，
、若，则当时，，
在，单调递增；当时，，在单调递减，
、若，，在单调递增，
、若，则当时，，
在，单调递增；
当时，，在单调递减。
（2）当，时，由（1）知在单调递减，在单调递增，所以在区间的最大值为或，即，
最小值为，
所以，
当时，单调递减，
的取值范围是，
当时，单调递增，
的取值范围是，
综上：的取值范围是。
（3）满足题设条件的存在。
、当时，由（1）知，在单调递增，所以在区间的最小值为，
最大值为，此时满足题设条件当且仅当，，即，，
、当时，由（1）知，在单调递减，所以在区间的最大值为，
最小值为，此时满足题设条件当且仅当，，即，，
、当时，由（1）知，在先减后增，所以在区间的最大值为或为，最小值为，
若，，则，矛盾，
若，，，
则或或，矛盾，
综上：当且仅当，或，时，
在区间的最小值为且最大值为。
（6）文、理科得分很低的是参数方程及极坐标和不等式题。
1、在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数，且），与坐标轴交于、两点，（1）求，（2）极坐标系中，求直线的极坐标方程。
解：（1）由是与坐标轴的交点，
令，因，解得，，
所以与轴的交点为，
令，因，解得，，
所以与轴的交点为，
故；
（2）由（1）直线的截距式的直线方程为：，将，代入得：的极坐标方程为。
由于曲线的参数方程、都是的二次函数，用惯性思维消去较难，该题变化大，是一个怪题，20年的不等式23题很常规，第一问比较容易、第二问巧用基本不等式即可证明。
2、设、、，，，
（1）证明：，（2）用表示、、的最大值，证明：
解：（1）由题设均不为零，所以
（2）不妨设，因，，所以，
由，得，
故，即。
建议以极坐标、参数方程为主的考生把不等式题作为备选，以防不测。
全省平均分为文科0.986分、理科2.184分。（22题文科1.42分、理科2.63分；23题 文科0.28分、理科0.82分）
六、解答证明题注意事项
1、我们制定评分细则的原则是：按知识点和解题的能力及解题的思路来确定给分点。即根据该考题的解答过程所涉及到的主要知识点和运算、化简的能力来确定给分点。解答证明题6个，建议同学们先攻第17、18、19、22或23题及20、21题的第一问，选择性的按自己的能力争取得高分。
2、同学们越是感觉简单的地方越要叙述清楚，得分所涉及到的知识点、必要的公式及解答的过程一定不能少，切记要避免会而不全、无意识的丢分。
3、解答证明题前面过程中的表达式、计算的数字、应用的公式、定理，尤其是影响后面结果的，特别要注意其准确性，否则丢分较多。
4、对于难度较大的解析几何及导数应用的第二问，尽量展现你的知识点、公式、定理，争取得该题的部份分。近几年的解析几何题及函数题，难度可能有所降低，仔细分析，认真解答，有可能得较高的分数。
5、对于计算题，主要是考查其结果，有些过程及详细的证明不作苛刻的要求，只要有正确的数字即可。如16年文科第19立体几何题的第二问求四面体的体积时，直接判断四面体的高为即可得3分，直接判断底面三角形的高为即可得1分，写出面积及体积公式也可得1分；证明不等式时用数形结合的方法也可得高分，如16年文科第21题的第二、三问不等式证明当时，；
及，证明当时，。
用数形结合的方法基本上没有扣分。
6、高考题中常出现求最值问题，一般可归类以下几种方法：
（1）若遇三角函数及参数方程和极坐标方程求最值问题，可用辅助角公式，化成一个三角函数就可求出；
（2）灵活应用均值不等式，形式虽多样化，但认真总结，仍能掌握；
（3）最值问题一定在特殊情况下，特殊图形中取得，如果应用得当，可使求解简单化；
（4）用求导数方法解决最值问题。
例如已知三角形的一边及对角求三角形面积的最大值问题，
的面积，
，，若，
又已知三角形的一边及对角，求三角形的另两边和或周长的取值范围问题，
由，
及 ，，
，
得，
代2014年省适应性试题，当时，
解得，则。
等式成立的充分必要条件是，为一个等腰三角形，最大面积为。
一般对于底边边长固定，顶角固定的三角形面积最大时一定是等腰三角形，当顶角，底边边长，由
，
或由
解方程得及
（13年试题）
七、结合多年评卷分析给老师几点建议如何提高考生解题的能力：
1、老师首先考虑如何教好学生！数学之美，在于把复杂的问题简单化。老师之美，不单是把难题解得通俗易懂、自身的学术造诣较高，要以创新能力培养目标、以思维能力训练为核心、以解题能力提升为重点、以数学表达交流为切入，在校长、书记的支持和领导下、数学团队的老师们要以德施教、以情优教，更要激发学生学习数学的热情、提高学生学习数学的兴趣！教会学生思考解题的思路、体验解题的过程、准确的表达题目的要求，并注意其时效性，要使学生安心、放心、舒心、暖心和顺心，要对学生交心、诚心、真心、热心和爱心，学生学得完美，要有信心、决心、恒心、耐心、上进心，即提高考生解题的综合能力，真正做到教、学融合！
2、加强基础知识的教学、强化基本能力（特别是数学核心素养的数学运算及数学直观想象能力）的训练，尤其加强读懂题目、对题目已知条件的理解、破题能力、解题的关健思路训练，高三学生在吕传汉教授推广获全国教学成果一等奖“三教”引领“情境-问题”教学促进学生“长见识、悟道理”实践探索中深刻体会“一题一课、多解变式”对高考的帮助。
3、预测命题趋势，重视数学核心素养逻辑推理能力的培养和训练，一定要善于总结成功的经验、失败的教训、从失败中取胜和注重应变能力、关键能力的培养。
4、新课改试卷难度不大，考生应依纲扣本，高三年级老师组织学生复习和冲刺要突出最基本概念、基本方法、基本规侓、所有的知识点和运算、化简、表述能力、迁移能力、看图能力，避免偏差。
5、学校要加强纪侓性和对学生的人性化管理。老师要着重培养学生认真仔细审题，要教会学生分析思考解题的思路，会用知识点解题，教会学生亲身体验解题的全过程以加强学生的运算化简能力、总结经验教训及教会学生准确的表达以提高其情商和创新能力。
6、号召考生一定要分分必争，
2020年理科一本线为480分， 479分的人数为585人，二本线为384分， 383分的人数为1013人，文科一本线为548分， 547分的人数为213人，二本线为463分， 462分的人数为728人，可见一分之差多么使人沮丧！
2019年理科一本线为470分， 469分的人数为545人，二本线为369分， 368分的人数为976人，文科一本线为542分， 541分的人数为225人，二本线为453分， 452分的人数为677人，可见一分之差难倒多少放飞梦想的考生！
2018年理科一本线为484分，该分数考生人数为575人，483分的人数为553人，二本线为379分，该分数考生人数为817人，378分的人数为942人，文科一本线为575分，该分数考生人数为210人，574分的人数为203人，二本线为477分，该分数考生人数为561人，476分的人数为572人，可见一分之差多么令人懊悔！
7、建议考生做题不要太多，而在精，不要搞题海战，而应分类按模型解题。每做一题时，首先要思考解题思路、可能涉及到的知识点及哪一类模型，体验解题过程，精确表达出来，同时可参考2015、2016、2017、2018、2019年全国三卷、二卷的考题，部分一卷考题，注意评卷的给分点，文科考生可参考理科数学的简单题，理科考生可参考文科数学的难题，解答后要善于分析总结并作好笔记，哪些知识应该补充完善，哪些是自己的盲点，学习固然要努力，但更要善于学习。
8、高考是对考生综合能力的测试，是考聪明人的，我称之为智慧高考。每一个考生对自己要有一个准确的定位，每年的高考题（就算是2019年网上疯传的特难的全国各类考题，仔细研究难度也不是太大，但较新颖）都有110分到120分可归类于基本简单和中等难度的考题，经过我们对数学成绩的统计分析，我省有90%左右高考文科学生、85%左右的理科学生的数学成绩在100分以下，故我省90%的高中学生主要精力应放在基础数学，重点复习基本简单和中等难度的考题，经过老师的培养、学生的努力是可以争取及格的。考生做选择题及填空题时要充分发挥自己的智商，特值法、图解法、分析计算法、排除法、猜题法等各种方法都可以尝试。做解答及证明题时要充分发挥自己的情商和胆商，把自己懂得的知识表述清楚，尤其是可能的得分点与评卷老师沟通，抓住30%的基本简单题和50%的中等难度题分，20%的难度大的题尽力得部份分，即在考试中沉着冷静，每分必争，尽量争取数学成绩得高分。由于新课标高考数学试卷已实施了六年，新课标高考数学的基本知识点仍可参考2013-2019年二、三卷的考点，要多积累掌握的知识点，如点到平面的距离公式其中是平面外的一点、是平面内的一点、是平面的法向量、换底面换高求立体的体积、解析几何中的点差法、通径点、对抛物线，过焦点的直线与抛物线相交于，两点，代入抛物线得：，
有，则 ：
，
其中是直线与轴交角，
，，
，
及 ，考生可求出直线与椭圆，与圆，与双曲线联立求解的一元二次方程，及利用参数方程的几何意义求距离等，椭圆的中点弦公式为，其中，，中点为，为直线的斜率，双曲线的中点弦公式为，抛物线的中点弦公式为，
由椭圆第二定义的焦半径公式
对，，
导数应用题要本着先几何后代数即数形结合的方法来解题，第一问只要掌握基本知识，是可以得分的，第二问从来没有简单过，但也要尽其所能得部份分。
考生应加强求导公式和求导法则的记忆，求导后函数符号判定、单调区间判定、极（最）大、小值判定、函数零点及导函数零点的判定、导数应用的训练，常用的不等式(有些可直接应用)，
当时，，或 ，
，
及变形，
当时，有，
当时，，或，
文科函数题难度有所降低，考生把握题型，如一元三次多项式的增减单调区间的判定、求极大小值、乘积函数、分式函数的求导、判定函数零点个数及所在区间、结合函数的几何图形讨论参数范围，
数学程度较好的同学可补充二阶导数、求极限，罗必达法则等大学选修课程，查缺补漏，要会总结成功的经验和失败的教训，做题一定要有所收获。注意以后考题会增加中外数学文化的内容。
建议与希望
（1）调整好心理状态，释放自己，以良好心态、快乐心态，只要努力就行，放下包袱轻松面对高考。希望同学们以极大的兴趣、勤奋、坚持，一切皆有可能，机会是要靠创造和争取的。
（2）提高基础知识点掌握的能力，综合分析的能力，破解题目的能力，运算化简的能力，灵活应变的能力，预测结果的能力，合理安排时间的能力，调整心态的能力，学会思考、会体验、会表达，综合应用，查缺补漏，注意近几年考题新增减的内容,多深思题目给你带来的启迪，总结经验，举一反三。
（3）解题时间巧安排：选择题、填空题控制在(45)60分钟以内，解答证明题每题(12)10分钟，把握时间。
（4）以高考题引路，领悟复习重点，应首选近五年的课标高考试题，以考题为基本作研究和推广，这是课本及任何资料中的题目不能替代的，寻找得分增长点，规范答案，给同学们一个平台，希望创造奇迹。
一、以后几年高考数学题变化趋势：
（1）高考数学命题难度微小变化，2018年文、理科试卷有90分左右相同，2019年文、理科试卷有105分以上相同，2020年文、理科试卷有80分左右相同，逐步尝试文、理不分科，对2021年高考的文科学生要适度增加数学难度，如立体几何题中可建立直角坐标系求解、概率统计题中可用组合公式表示等，其水平可参考18、19、20年二卷、三卷的数学试题，各位老师及考生应根据近几年的全国卷试题重视数学本质，突出理性思维、数学应用、数学探究、数学文化的引领作用，突出对关键能力的考查。复习既要善于研究更要重视总结，对每一个题、每一套题，要深思长什么见识、怎样让学生长见识、悟什么道理、如何让学生悟道理，怎样使 “三教”引领高中数学“一题一课、多解变式”教学落实到课堂上并取得丰硕成果；
（2）命题是以考查学生掌握知识及体现学生能力的立意原则，突出应用性和创新性，19、20年的三卷文、理科试卷总体似乎偏难，仔细研究分析，难度并不太大，但较新颖，全国一、二、三卷都有部份题展现我国社会主义建设成就与科学防疫的成果、紧密联系社会实际、设计真实的问题情境，具有鲜明的时代特色。如中国四大名著的概率题、3D打印技术制作模型、高铁运行、探测器软着陆、药品检验、残留物测定、印章结构、篮球决赛、乒乓球比赛、新冠肺炎累计确诊病例数、沙漠治理、垃圾分类、扶贫工作、羽毛球比赛、学生的体育运动与体育锻炼、埃及胡夫金字塔、北京天坛的圆丘坛铺设的石板数量、原味大三和弦等等20多个题，考生应从题设描述的已知条件中，捕捉对解题有用的数据、图形、等式或不等式，结合知识点，理清解题思路，考生高考数学成绩较差，说明学生破题、解题能力、计算、化解能力有待提高；
（3）命题立足教材、基于教材、回归教材，有部分题可直接源于教材，教材的结论、习题的结果、平时解题积累的知识，三角函数、数列、立几、解几、函数及导数中的二级结论在卷面上说明出处、名称、理由可直接用于考试；
18年题：已知斜率为的直线与椭圆交于、两点，线段的中点为，
（1）证明：；
（2）设为的右焦点，为上的一点，且，证明：，，成等差数列，（文科证明：），并求该数列的公差。
解：该题的解答思路是先用点差法，
设，，因，
，，代入椭圆作差得，（或由点差法的椭圆中点弦公式）
由，过作轴的垂线得，推出，则有； 第二问求
、时可用椭圆第二定义的焦半径公式：
，，
（4）命题结合数学核心素养的培养，基本不出偏题、怪题和难度太大的题，19、20年高考题题型有所变化，并不是难而是创新变化，考生不太适应，成绩不理想；
（5）题量暂时不变，仍然为12+4+6题型模式，共22题，但分值可能有所微调，卷二第16题关于金石文化的印记问题填空有二问，它的所有顶点都在同一正方体的表面上，且此正方体的棱长为1，则该半正多面体共有个面，其棱长为。
两个空分别是2分（利用对称性可数出面数26个）和3分（将立体图形作一截面，在平面几何中一边长为1的正方形内求正八边形的边长，，），适当增加多选题、开放性题及半开放性题，18、19、20年试卷已有所体现；
（6）难题一般仍然在20、21题，但不一定是解几、函数，有可能是其他类型，18年已有所尝试，卷二20题为立体几何，卷一20题为概率统计，19年22题极坐标题较新颖、23不等式证明较难，20年12、19、20、21、22较新颖，得分较低。
二、（1）20年答题及得分情况：
2020年理科考生共217889人，文科考生共136993，从评卷情况看，文科选择题全省平均分为28.279分，主观题全省平均分为28.483分，填空题全省平均分为9.075分，数列题全省平均分为5.267分，统计题全省平均分为7.255分，立体几何题全省平均分为1.679分，理科选择题全省平均分为38.543分，主观题全省平均分为38.034分，填空题全省平均分为10.362分、数列题全省平均分为6.205分、统计题全省平均分为8.677分、立体几何题全省平均分为4.118分，文、理科得分很低的是参数方程及极坐标和不等式题全省平均分为文科0.986分、理科2.184分，函数题全省平均分为文科2.331分、理科3.392分与解析几何题全省平均分为文科1.891分、理科3.097分。
（2）20年文、理科140分以上分别为76人和159人，130.5—140分分别为440人和1327人，120.5—130分分别为1083人和4867人，130分以上共2002人，理科有2人150分。及格率分别为10.82%和29.28%，平均分分别为56.762、76.577分；
（3）2019年理科考生共218546人，文科考生共127981，从评卷情况看，文科选择题全省平均分为31.262分，主观题全省平均分为19.893分，填空题全省平均分为5.172分，三角函数题全省平均分为2.279分，统计题全省平均分为6.428分，立体几何题全省平均分为2.53分，理科选择题全省平均分为39.882分，主观题全省平均分为33.724分，填空题全省平均分为7.168分、三角函数题全省平均分为4.542分、统计题全省平均分为8.961分、立体几何题全省平均分为5.525分，文、理科得分很低的是参数方程及极坐标题全省平均分为文科1.46分（69217人选）、理科3.15分（163505人选），不等式全省平均分为文科0.33（58764人选）、理科0.66分（55041人选），函数题全省平均分为文科2.177分、理科4.044分与解析几何题全省平均分为文科0.395分、理科0.971分。
（4）2019年文、理科140分以上分别为15人和366人，130—139.5分分别为66人和1799人，130分以上共2246人，及格率为4.52%和25.06%，平均分分别为51.156、73.606分；
三、选择题分析
考生要掌握解答选择题的一些常用方法，分析计算法、图解法（一般可用于三角函数类、平面几何、立体几何、解析几何、向量代数及线性规划）、特殊值法（可用于三角函数类、数列类、几何类、向量代数、不等式及比较大小等）、排除法（可用于计算量较大、题目概念性较强、题目较新颖的类型）、逆推法及猜测法等。要能够根据题目条件、备选项的特征，善于总结分析，灵活运用有关的技巧与方法，快速解答，以最节省的时间完成，这是提高解题效果和正确性的有效途径。一般选择题平均一个题解答时间为3.75分,若超过4分钟就请猜测一下。
2000～2020共21年内：
理科选择题中共出现次数如表
总和
56A
60B
70C
54D
2007年
3A
3B
4C
2D
2008年
2A
4B
4C
2D
2009年
3A
3B
3C
3D
2010年
2A
4B
4C
2D
2011年
4A
3B
2C
3D
2012年
4A
2B
3C
3D
2013年
3A
3B
3C
3D
2014年
3A
2B
3C
4D
2015年
2A
4B
3C
3D
2016年
4A
3B
3C
2D
2017年
4A
3B
3C
2D
2018年
2A
4B
4C
2D
2019年
3A
2B
4C
3D
2020年
3A
2B
3C
4D
文科选择题中共出现次数如表
总和
50A
63B
73C
54D
2007年
3A
2B
4C
3D
2008年
2A
4B
4C
2D
2009年
2A
3B
4C
3D
2010年
2A
4B
3C
3D
2011年
2A
3B
4C
3D
2012年
2A
3B
4C
3D
2013年
2A
3B
4C
3D
2014年
3A
3B
4C
2D
2015年
3A
3B
3C
3D
2016年
3A
3B
2C
4D
2017年
4A
3B
3C
2D
2018年
2A
4B
3C
3D
2019年
2A
3B
4C
3D
2020年
2A
4B
4C
2D
一般每年考试选择题答案中每个选项至少出现二次，至多出现四次，相对比较平均，（B）（C）占比例较大，约占60％，由于每年选择题中有8-9个题比较容易，在此基础上，对难题可猜测一下，一般可选择已解答的选项中出现较少而理论上分析又可能出现较多的选项，以上方法我们称为宏观分析，微观选择，有一定的效果。一般计算量比较大的，有一定难度的，可用选项去验证条件或结论，选的可能性较大；一般难度较大且内容新颖，平时未见过的题型，多个命题判断正确的，选、的可能性较大。
下表是2005年到2020年理科选择题第10题到12题的正确答案
理科
10
11
12
2005年
2006年
2007年
2008年
2009年
2010年
2011年
2012年
2013年
2014年
2015年
2016年
2017年
2018年
2019年
2020年
下表是2005年到2020年文科选择题第10题到12题的正确答案
文科
10
11
12
2005年
2006年
2007年
2008年
2009年
2010年
2011年
2012年
2013年
2014年
2015年
2016年
2017年
2018年
2019年
2020年
1、函数的最大值为
解：解法一：和差角公式、特殊角的值、辅助角公式及计算，
，，选。
解法二：将化成一个余弦函数，
，。
解法三：由观察法知当时，正余弦都取最大值，则
，。
2、若直线与曲线和圆都相切，则的方程为
解：解法一：设为上的切点，
，斜率，切线方程为：
，即，原点到该切线的距离为，得，
，切线方程为，选。
解法二：由圆的半径，原点到该切线的距离为，排、，
将代入，得，无解，
代入得，有，
，切线方程为，选。
3、设双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，是上的一点，且，若的面积为4，则
解：该题用双曲线的性质、离心率、三角形面积公式联立求解解出。
解法一：设，，，
由，，，得，选。
解法二：由双曲线的焦点三角形面积公式有，得，故，
，则，选。
附：在中，令，由余弦定理：
得
，即，
4、已知，，设，，，则
解：由对数换底公式及均值不等式得：
，
故，又，，及已知条件，
得，故，选。
5、设，，，则
解：该题考查对数函数及不等式性质。
，
，选。
6、在中，，，，则
解：该题二次使用余弦定理即得。
，
，由三角形求角法得
，选。
7、已知函数，则
的最小值为2 的图像关于轴对称 的图像关于直线轴对称 的图像关于直线轴对称
解：由，不成立；
由，不成立；
由，不成立；
由，成立，选。
8、设函数，已知在上有且仅有5个零点，下述四个结论：
、在上有且仅有3个极大值点
、在上有且仅有2个极小值点
、在上单调递增
、的取值范围是上单调递增
其中所有正确结论的编号是
该题是一多选题，也是难度较大，考生得分较低的题，解题思路是要对正弦函数的周期、零点、极大值、极小值、单调性及图形非常熟悉，综合性强，解题关键是的取值左端值。
解：取，的周期为，当时，的取得一个极大值，成立，
对，的周期为，在上有且仅有6个零点，又不合题意，
故，当，有仅有五个零点，
又有三个极大值点和三个极小值点，成立，不成立，选。
（卷一的文、理科第4题著名的断臂维纳斯关于人体的黄金分割点问题，其解答相当难。由，设头顶、咽喉、肚脐、足底分别为、、、，人身高为，则，，
，解得。)
9、点为正方形的中心，为正三角形，平面平面，是线段的中点，则
，且直线，是相交直线
，且直线，是相交直线
，且直线，是异面直线
，且直线，是异面直线
该题要用的知识点较多，计算量较大，考生得分低。（19年文、理科）
解：设，是的中点，连，则
，且，得，
又作，交于，，
，，，
连，，则，故四点共面，知，是相交直线，选。
10、设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则：（19年卷三文、理科）
该题的解答关健是1，利用指数函数、对数函数的性质、偶函数及函数的单调性，考生得分很低。
解：由于，在单调递减，则；又，
由题设在单调递增，
，
故，选。
11、直线分别与轴，轴交于
，两点，点在圆上，则
面积的取值范围是：（19年文理科）
解：该题考查直线与轴，轴的交点坐
标，圆心坐标、点到直线的距离及三角形
面积，数形结合作图等的核心素养。
，，，圆的圆心为，到直线的距离为，为等腰直角三角形，圆的半径为，作直角三角形草图，
故，
，选。
从该题的出题、评卷中可教学生去思考及联想各类三角形的构成、三角形的内心、外心、重心、垂心，各类三角形（锐角、钝角、等腰、直角、等边三角形等）的性质，如三角形的角平分线性质、重心性质、中位线性质、三角形面积公式的几种表示法，在一定条件下三角形最大面积、最长周长及取值范围的求法等等，可教学生去思考及联想各类四边形（平行四边形、梯形、等腰梯形、直角梯形、菱形、矩形、正方形等）的性质，教会学生去体验和表达解题过程。
如：中, 是上的点，平分，面积是面积的2倍，（1）求
（2）若，求和的长。
(1)解题思路是用面积公式及正弦定理，
， ，
因为， 由正弦定理， 得。
(2)解：解题思路是用角平分线性质及余弦定理， 因 ，又 ，
在，由余弦定理知，
， 故：， 由(1)知 。
又如：中, 是上的点，平分，，（1）求（2）若，求。
解：解题思路是用正弦定理、和角公式、特殊角的样值、诱导公式等，
由平分，，则，
由正弦定理， 得 。
或由正弦定理，，
因平分，，所以
，
（2）因为，，所以
，
由（1）知，，
所以，即。
12、设、为双曲线：的
左、右焦点，是坐标原点，过作的一
条渐近线的垂线，垂足为，
若，则的离心率为
解：该题考查双曲线的离心率、渐近线及点到直线的
距离、余弦定理、数学建模的核心素养。
（1）的渐近线为，斜率为；
（2）是坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，得一直角三角形，
则，，；
（3）作直角三角形及另一三角形草图，在内，令，则由余弦定理：（建立数学模型）
，由，
（4）解得，离心率，选。
*注（法二）：若将延长至，使，四边形的对角线互相平分是一平行四边形，，由，及得，故。
从该题的出题、评卷中可教学生去思考及联想出求椭圆、双曲线的离心率是高频考点，关健是利用已知条件给出的关系，本题在数形结合两个三角形内讨论，一个是直角三角形，利用了正切函数和余弦函数，另一个三角形利用了余弦定理并建立数学模型，是一个好题！要教会学生去体验和表达完整的解题过程。
13、18年卷三理科：某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员支付方式相互独立。设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，，则
该题有应用背景，涉及到二项分布的分布列，方差及解不等式。
解：，，得
，解得：，，
，，
化简得，故，选。
14、设是同一个半径为4的球的球
面上四点，为等边三角形且其面积为
，则三棱锥体积的最大值为
解：该题考查三角形面积公式、三角形外
接圆半径，勾股弦定理，三棱锥体积最大
值的直观的核心素养。
设等边三角形的边长为，
故，等边三角形外接圆半径
作图得，
三棱锥的高为，
三棱锥体积最大值为
，选。
15、设，，则
解：该题考查对数的换底公式、对数函数
的图象、性质及逻辑推理的数学核心素养
由，则，又，
得，故有：
，
因，，故，
，且，即，选。
16、设函数有唯一零点，则
解：本题的关健是方程
为一超越方程，不易
求解，观察前半部分，令
，得：，则，选。
方法二：由，
等式成立的充分必要条件为，即，得：，则，选。
17、在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球，若，，，
，则的最大值是：
解：本题的关健是利用底面三角形内切圆的半径与直三棱柱高的一半比较大小得到球的半径。由已知直三棱柱的底面为一个直角三角形，斜边，设直角三角形的内切圆半径为，则由直角三角形的面积，
设球的半径为，则，
故，选。
18、已知为坐标原点，是椭圆：，的左焦点，、分别为的左，右顶点，为上一点，且轴。过点的直线与线段交于点，与轴交于点。若直线经过的中点，则的离心率为：
解：本题的关健是作图后利用两组相似三角形得出椭圆的长半轴与焦距间的关系，
由得，又由得，，故，选。
19、已知抛物线的焦点为，其准线与轴相交于点，过点作斜率为的直线与抛物线相交于，两点，若，则
解：解法一，由已知得，，
设的直线方程为，代入抛物线
，得，有
,，设，，
则，，
，，
，，
，，
代入得，故，选。
解法二：设，，，
所以，
由题意可知60°，
所以= ，
由对称性可知k也可以取
综上所述.
，又，
故，且为锐角得，
，（师大姜文）
再由对称性，（先几何后代数好！）
注：若，则得
若，则得。
解法三：作关于轴的对称点，
由法二共线，（教科院朱龙）
，联立，，
解得，，
再由对称性，选。
20、的内角的对边分别为，已知， 则
解：本题要用正弦定理，三角形面积公式及半特殊角的值.由正弦定理 ，
， ，
，选。
注 ，
21、钝角三角形的面积是，，，则
解由，又由余弦定理：
（若，则，为直角三角形，舍去）
则，答案:选。
或由图解法，作一钝角三角形，延长到，使，
，
又，
。
22、设抛物线的焦点为，直线过且斜角为与交于两点，是坐标原点，则的面积为
解：由，
，则由，
，答案：选。
或设交点，则，
得，，则由
，
，答案：选。
23、直三棱柱中，分别是的中点，，则与所成角的余弦值为：
；
解：作直三棱柱图找两条异面直线所成的角，取的中点为，连，因，则为与所成角，设，则，
，
（注为等腰三角形，底边一半为），选。 方法二：向量解法,
取，，
则：，
，选。
24、双曲线：的右焦点为，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于，两点，若，则的离心率为
解：该题考查双曲线的基本性质、其关健
是 求双曲线的离心率是高频考试题
由题意及，知是以为直径的圆的直径，设是该圆的圆心，则
，，为等腰直角三角形，，即，故，选
四、高考数学填空题分析：
填空题是侧重于基本计算，考查运算、化简及综合的能力，第13、14题比较简单，是基本题，比较简单，容易得分，同学们应该把握好，千万不要丢分。第15题中等难度，数学程度一般的同学刻苦钻研其知识点，仍可以得到该题的分数，数学程度好的同学一定要得到该题的分数。第16题难度较大，同学们要量力而行，争取得分，新课标考试题难度有所下降。考生们做填空题要会思考、会体验、会表达
同学们在填空题上要更加努力,尤其是文科生要重视填空题的提分。
1、已知函数，，则
解：，其中，
为奇函数，，，，
则。或
。
注：文14题答案为分层抽样，但写字不规范被扣分的近千人。
2、已知圆锥底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为。
解：作圆锥的截面，、为母线，为高，内切圆半径，，由，则，故：，解得，。
3、已知函数有四个命题，
的图像关于轴对称 的图像关于原点对称 的图像关于直线轴对称 的最小值为2
其中所有真命题其中所有的序号是。
解：是奇函数，（1）不真，（2）真，
，（3）真，，（4）不真，故为真的是（2），（3）
4、设函数，若，则。
解：，，故。
5、已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点，若，则。
解：解题的思路是先用点差法，给出直线斜率与两点纵坐标之和的关系，再利用抛物线的性质及平面几何的知识得到梯形的中位线即得直线的斜率。
(1)设，，代入抛物线，
(2)作差，及两点间的斜率公式得，
(3)设为的中点，又设点、分别是点、在抛物线准线上的垂足，因，
，
(4)为梯形的中位线，又，得，故 。
从该题的出题、评卷中可教学生去思考及联想出抛物线的若干性质（定义、准线、焦点、过焦点和抛物线相交两点的弦长公式等等），点差法推导出的抛物线的中点弦公式，数形结合平面几何梯形中位线的性质等，该题也是一个好题！同时要教会学生去体验和表达完整的解题过程。
6、19年三卷文、理科15题
设、为椭圆：的两个焦点，
是上的一点且在第一象限，若为等
腰三角形，则的坐标为。
(贵阳一中、贵阳五中老师给出七种解法)
解：该题考查椭圆的基本性质、二次用距
离公式、数学运算的技巧，也是高频考试
题型。
由，，设，
则由已知得，
，解得，，，则的坐标为。
7、19年三卷文、理科16题
学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作模型为长方体挖去四棱锥后得到的几何体，其中是长方体的中心，分别是所在棱的中点，，，打印所用原材料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为。
解：，，
，
。
8、设函数则的的取值范围是。
解：首先考察，不等式恒成立，当时，，得。
9、已知直线：与圆交于、两点，过、分别作的垂线与轴交于、两点，若，则。
解：作草图,由，则为等边三角形，其高，即为原点到直线的距离，，解得
，且，直线与轴正方向的夹角为，则。
10、已知曲线在点处的切线与曲线相切，则。
解：本题的关健是利用公切线得到两条曲线的交点.
，代，得切线的斜率，又对，，
代入切线与曲线方程
，得。
11、设是数列的前项和，且
，则。
(变形构造等差数列)
解：，
为一公差的等差数列，
通项，。
12、为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形的直角边所在直线与都垂直，斜边以直线为旋转轴旋转，有下列结论:
(1)直线与成角时，与成角，
(2)直线与成角时，与成角，
(3)直线与所成角的最小值为角，
(4)直线与所成角的最大值为角，
其中正确的是.
解：作一圆锥，取母线，圆内取一边长为的正方形，圆锥的高为，圆的半径，当直线与成角时，得四个等边三角形，则与成角，当直线转到的中点弧时，直线与所成角的最小值为角，选(2)(3).
13、在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上。若，则的最大值为
解：解法一：本法的关健是用向量、圆的参数方程及点到直线的距离或辅助角公式得的最大值。
1、作矩形，设动点，，，，
2、由，
得，
3、连，作，交于，由，及三角形等面积法得，，
4、由圆心，得圆的普通方程为
，
5、圆的参数方程为 ，
6、，
的最大值为3。
解法二：本法的关健是用解析几何的方法并拓展。
1、连，设在上，且为以点为圆心且与相切的切点，，，，
2、
3、的直线方程为，代，，即，
4、过点作的平行线，交圆于，的直线方程为，代，得，
5、连交圆于得为最大值。
解法三：该法用线性规划的方法并拓展。
令，圆心到直线的距离
，
的最大值为3。
五、解答证明题分析
（1）关于三角函数题或数列题
1、按出题的长规21年应是三角函数题，注意题目可能是求三角形周长或面积的取值范围，参考17年的17题，第一问很简单，第二问求较难，下面给出简单的解法，过点作边上的高
延长，垂足设为，由（1）知，，有，，（凯里学院杨孝斌）
于是有，故为的中点，
又，于是有为的中位线，
即为的中点，有。
2、也可参考19年的文、理科18题。
的内角所对边分别为，已知
(1)求，(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围。
该题第一问是常规解法，第二问有些新颖但较难，解题思路是用面积公式、两次使用正弦定理及极限思想求参数的取值范围从而得面积的取值范围。全省文、理科平均分分别为2.3分、4.55分，说明考生知识的迁移能力太差，分数应有更大的提升空间。
解：（1）由题设及正弦定理得：
，
因，所以：
，
由，可得：
，
故，
又， 得， 因此；
（2）的面积为：
，
又由正弦定理得：
，
由于为锐角三角形，故，，
又，所以，得：
，，
因此面积的取值范围是：。
解法二：数形结合的极限图解法（杨孝斌）
由（1），为锐角三角形，故，，又，所以，
令，得一直角边分别为，的直角三角形，其面积为，令，得一直角边分别的直角三角形，其面积为，
因此面积的取值范围是：。
解法三：余弦定理解法（贵大附中杨武宗）
因为,，，
将分别代入,及，
得出，取交集解得，
故的取值范围是。
解法四：正弦定理综合
得出因为，所以
所以：解得或。
当时三角形为钝角三角形，舍去，
所以，故的取值范围是。
解法五：数学建模
如右图2，因为，，以,
则直线所在的直线方程为
设点，则
因为为锐角三角形，
由图可知从移动的过程中
故的取值范围是
解法六：
如右图2，因为,，以,
则直线所在的直线方程为
设点，则，
因为为锐角三角形，
解得
故的取值范围是
3、也可参考20年二卷的17题，
在中，，
(1)求，
(2)若，求周长的最大值。
解：（1）由正弦定理可得，
故，由，故，
（2）由余弦定理得
，即：
，因，
当且仅当时取等号
解得，得。
4、设数列满足，，
（1）计算，，猜想的通项公式并加以证明，（2）求数列的前项和。
(全省平均分为6.205分、满分仅1870人，占0.37%)
解：（1），，猜想，
下面用数学归纳法当时，成立，
设时，，当时，
，
故所以对，有。
或由已知条件：
由，左、右累加得，
所以对所有正整数，有。
（2）法一：(错位相加法)，由（1）得
，故
，
，作差得
，故
。
法二（裂项相消法）
记，
观察数列的特征，可以设，令
对比得，解得，
所以存在，满足，于是
法三：（函数导数法）由，
令，两边对求导，得
，所以：
法四：（构造法）由，得
，令，则，
设，
得，对比，得，解得，
所以，因此数列是以为首项，为公比的等比数列，从而，所以，
故。
5、设等比数列满足，，
（1）求的通项公式，
（2）记为数列的前项和，若
，求。（全省平均分为5.267分）
解：（1）设的公比为，则，
由已知得：
，，解得，，
所以的通项公式为，
（2）由（1）得，故，
由，得：
，即：
，解得（舍去），。
6、设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项，（1）求的公比；
（2）若，求数列的前项和。
解：（1）设的公比为，由题设得，即，所以，解得（舍去），，故的公比为。
（2）设为的前项和，
由（1）及题设可得，，所以：
，
.，
可得
所以。
7、数列满足，，若
，则。
解：在等式中，令，可得
，所以，故是以2为首项，以2为公比的等比数列，则，故有：
得，，选。
8、北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三段，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）的块数为
解：设每层第环的扇面形石板的块数为，第一层共有环，则是以为首项，以为公差的等差数列，故：
，设为的前项的和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为、、，因为下层比中层多块，所以：
，即：
，
得，故，
，选。
（2）2020年文、理科18题考概率统计，该题常规且较简单，文、理科全省平均分分别为7.255分、8.677分，虽较高仍有提升空间，理科第3题求一组样本数据的最大标准差、用公式计算四种情形中的方差，由于数学期望都相同，只需比较的大小即可，实际上可以用观察分析法，由于，当时标准差最大，即可选；第4题建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数的模型，为最大确诊病例数，当时，标志着已初步遏制疫情，利用指数函数即对数函数的性质容易计算出其天数，选，该题结合防疫充分体现了数学的科学价值和应用价值。21年概率统计题可参考17年的18题，即酸奶的供需问题及19、20年乒乓球、羽毛球比赛问题及各种类型的统计题，争取得高分。
2020年一卷概率考题
甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下，累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束。
经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为，
（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率。
解：（1）甲连胜四场的概率为；
（2）根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛，
比赛四场结束，共有三种情况：
甲连胜四场的概率为，
乙连胜四场的概率为，
丙上场后连胜三场的概率为，
所以需要进行第五场比赛的概率为；
（3）丙最终获胜，有两种情况：
比赛四场结束且丙最终获胜的概率为，
比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，
概率分别为，，，
因此丙最终获胜的概率为。
（3）2020年文、理科立体几何题比较新颖，一改往年的平行、垂直题，而是证明点在平面内（理科第一问、文科第二问），由于考生应变能力较差，文、理科全省平均分分别为1.679分、4.118分，是近几年最低的，理科考生第一问可参考文科第二问的解答，构造平行四边形即可证明，理科第二问、文科第一问较常规，容易给出解答。近几年文、理科立体几何题都有些变化，请同学们打好相关的基础知识才能应对其变化。
1、如图，在长方体中，点、分别在棱，上，且，，
证明：（1）当时，，（文科）
（2）点在平面内，（文、理科））
（3）若，，，求二面角
的正弦值。（理科）
解：（1）如图，连结，，因为，
所以四边形为正方形，故，
又因平面，于是，
所以平面，由于平面，
所以；
（2）法一：如图，在棱上取点，使
，连结，，，
因为，，，，则，，于是得为平行四边形，故，
因为，，，，则，，，，于是得为平行四边形，故，
于是，，四点共面，
即点在平面内，
法二：设，，，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立坐标系，连结，则，，
，，
，，
，，四点共面，
即点在平面内，
（3）由已知得，，，，，，，
，，
设为平面的法向量，，
取，
设为平面的法向量，，
取，
因为，所以二面角的正弦值为。
（4）2020年文、理科解析几何题相同，第一问较简单，容易得分，第二问仔细分析解题的思路也不难，点在直线上及、得出和的坐标就能求出二种情形下的面积但考生自信心不强，加上计算量大，得分较低，文、理科全省平均分分别为1.891分、3.097分，考生仍要加强解几的训练，攻下第一问、争取得第二问的部分分。
1、已知椭圆：的离心率为，
，分别为的左、右顶点。（1）求的方程，
（2）若点在上，点在直线上，且，，求的面积。
解：该题考查椭圆的基本性质、面积公式、数学运算，是高频考试题型。
（1）由题得，解得：
，所以的方程为；
（2）设，，由对称性可设，由题意知，又由已知可得，直线的斜率为，因，所以，
直线的方程为，，
所以，，
因为，所以，
代入的方程，解得或，
由直线的方程得或，
故点，的坐标分别为，，及
，，
，直线的方程为，点到直线的距离为，故，
，直线的方程为，点到直线的距离为，故，
综上：。
（5）2020年文科导数应用题第一问求导后要讨论的取值，及时单增不难，时的单调性要分段讨论较复杂但并不难；理科导数应用题第一问很容易，文、理科导数应用题第二问考查学生逻辑推理的分析能力，由于是三次多项式，数形结合讨论零点就容易分析出零点的取值范围及证明所有零点的绝对值不大于1，故解题思路的培养很重要。
文、理科全省平均分分别为2.331分、3.392分，仍可提高。
引例：设函数有二个零点，则的取值范围是
解：当时，，
与有二个零点矛盾，
当时，，得，，是极小值点，
由，，，，
故当，即或时
有二个零点，所以选。
1、已知函数，
（1）讨论的单调性，
（2）若有三个零点，求的取值范围。
解：（1），
当时，，故在单调递增；
当时，，
故在单调递增；
当时，令，得，或，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
（2）由（1）知当时，在单调递增，不可能有三个零点；
当时，为的极大值点，
为的极小值点，
此时，，
且，
，
，
根据的单调性，当且仅当时，
有三个零点，即，
解得，故的取值范围为。
2、设函数，曲线在点
的切线与轴垂直，（1）求，
（2）若有一个绝对值不大于1的零点，证明：的所有零点的绝对值都不大于1.
解：（1），由题意得，
即：，；
（2）由（1），，
令，解得，或，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
为的极大值点，极大值，
为的极小值点，极小值，
因为，所以当时，
由图形易知，只有大于1的零点，
因为，所以当时，
由图形易知，只有小于-1的零点，
由题设可知，
当时，只有两个零点，或，
当时，只有两个零点，或，
当时，有三个零点，，由图且有：，，或，
综上，若有一个绝对值不大于1的零点，则的所有零点的绝对值都不大于1。
3、已知函数，
（1）讨论的单调性（19年卷三文、理科）
（2）当，时，记在区间的最大值为，最小值为，求的取值范围（文科）
（3）是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为？若存在，求出的所有值，若不存在，说明理由。（理科）
该题的第一问是常规解法，由于题设为三次函数，且三次方的系数大于零，若有两个驻点（单调区间的分界点、可能的极值点），则单调区间必为增减增，第二问判定最大小值求参数的值也较常规，关健是要分区间讨论，既是重点、又是难点，得分较低，全省平均分为文科2.177分、理科4.044分。一般函数题第一问并不难，关键是考生对该类题具有恐惧心，故应调整好心态，争取得第一问的分数。
解：（1），
令，得，或，
、若，则当时，，
在，单调递增；当时，，在单调递减，
、若，，在单调递增，
、若，则当时，，
在，单调递增；
当时，，在单调递减。
（2）当，时，由（1）知在单调递减，在单调递增，所以在区间的最大值为或，即，
最小值为，
所以，
当时，单调递减，
的取值范围是，
当时，单调递增，
的取值范围是，
综上：的取值范围是。
（3）满足题设条件的存在。
、当时，由（1）知，在单调递增，所以在区间的最小值为，
最大值为，此时满足题设条件当且仅当，，即，，
、当时，由（1）知，在单调递减，所以在区间的最大值为，
最小值为，此时满足题设条件当且仅当，，即，，
、当时，由（1）知，在先减后增，所以在区间的最大值为或为，最小值为，
若，，则，矛盾，
若，，，
则或或，矛盾，
综上：当且仅当，或，时，
在区间的最小值为且最大值为。
（6）文、理科得分很低的是参数方程及极坐标和不等式题。
1、在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数，且），与坐标轴交于、两点，（1）求，（2）极坐标系中，求直线的极坐标方程。
解：（1）由是与坐标轴的交点，
令，因，解得，，
所以与轴的交点为，
令，因，解得，，
所以与轴的交点为，
故；
（2）由（1）直线的截距式的直线方程为：，将，代入得：的极坐标方程为。
由于曲线的参数方程、都是的二次函数，用惯性思维消去较难，该题变化大，是一个怪题，20年的不等式23题很常规，第一问比较容易、第二问巧用基本不等式即可证明。
2、设、、，，，
（1）证明：，（2）用表示、、的最大值，证明：
解：（1）由题设均不为零，所以
（2）不妨设，因，，所以，
由，得，
故，即。
建议以极坐标、参数方程为主的考生把不等式题作为备选，以防不测。
全省平均分为文科0.986分、理科2.184分。（22题文科1.42分、理科2.63分；23题 文科0.28分、理科0.82分）
六、解答证明题注意事项
1、我们制定评分细则的原则是：按知识点和解题的能力及解题的思路来确定给分点。即根据该考题的解答过程所涉及到的主要知识点和运算、化简的能力来确定给分点。解答证明题6个，建议同学们先攻第17、18、19、22或23题及20、21题的第一问，选择性的按自己的能力争取得高分。
2、同学们越是感觉简单的地方越要叙述清楚，得分所涉及到的知识点、必要的公式及解答的过程一定不能少，切记要避免会而不全、无意识的丢分。
3、解答证明题前面过程中的表达式、计算的数字、应用的公式、定理，尤其是影响后面结果的，特别要注意其准确性，否则丢分较多。
4、对于难度较大的解析几何及导数应用的第二问，尽量展现你的知识点、公式、定理，争取得该题的部份分。近几年的解析几何题及函数题，难度可能有所降低，仔细分析，认真解答，有可能得较高的分数。
5、对于计算题，主要是考查其结果，有些过程及详细的证明不作苛刻的要求，只要有正确的数字即可。如16年文科第19立体几何题的第二问求四面体的体积时，直接判断四面体的高为即可得3分，直接判断底面三角形的高为即可得1分，写出面积及体积公式也可得1分；证明不等式时用数形结合的方法也可得高分，如16年文科第21题的第二、三问不等式证明当时，；
及，证明当时，。
用数形结合的方法基本上没有扣分。
6、高考题中常出现求最值问题，一般可归类以下几种方法：
（1）若遇三角函数及参数方程和极坐标方程求最值问题，可用辅助角公式，化成一个三角函数就可求出；
（2）灵活应用均值不等式，形式虽多样化，但认真总结，仍能掌握；
（3）最值问题一定在特殊情况下，特殊图形中取得，如果应用得当，可使求解简单化；
（4）用求导数方法解决最值问题。
例如已知三角形的一边及对角求三角形面积的最大值问题，
的面积，
，，若，
又已知三角形的一边及对角，求三角形的另两边和或周长的取值范围问题，
由，
及 ，，
，
得，
代2014年省适应性试题，当时，
解得，则。
等式成立的充分必要条件是，为一个等腰三角形，最大面积为。
一般对于底边边长固定，顶角固定的三角形面积最大时一定是等腰三角形，当顶角，底边边长，由
，
或由
解方程得及
（13年试题）
七、结合多年评卷分析给老师几点建议如何提高考生解题的能力：
1、老师首先考虑如何教好学生！数学之美，在于把复杂的问题简单化。老师之美，不单是把难题解得通俗易懂、自身的学术造诣较高，要以创新能力培养目标、以思维能力训练为核心、以解题能力提升为重点、以数学表达交流为切入，在校长、书记的支持和领导下、数学团队的老师们要以德施教、以情优教，更要激发学生学习数学的热情、提高学生学习数学的兴趣！教会学生思考解题的思路、体验解题的过程、准确的表达题目的要求，并注意其时效性，要使学生安心、放心、舒心、暖心和顺心，要对学生交心、诚心、真心、热心和爱心，学生学得完美，要有信心、决心、恒心、耐心、上进心，即提高考生解题的综合能力，真正做到教、学融合！
2、加强基础知识的教学、强化基本能力（特别是数学核心素养的数学运算及数学直观想象能力）的训练，尤其加强读懂题目、对题目已知条件的理解、破题能力、解题的关健思路训练，高三学生在吕传汉教授推广获全国教学成果一等奖“三教”引领“情境-问题”教学促进学生“长见识、悟道理”实践探索中深刻体会“一题一课、多解变式”对高考的帮助。
3、预测命题趋势，重视数学核心素养逻辑推理能力的培养和训练，一定要善于总结成功的经验、失败的教训、从失败中取胜和注重应变能力、关键能力的培养。
4、新课改试卷难度不大，考生应依纲扣本，高三年级老师组织学生复习和冲刺要突出最基本概念、基本方法、基本规侓、所有的知识点和运算、化简、表述能力、迁移能力、看图能力，避免偏差。
5、学校要加强纪侓性和对学生的人性化管理。老师要着重培养学生认真仔细审题，要教会学生分析思考解题的思路，会用知识点解题，教会学生亲身体验解题的全过程以加强学生的运算化简能力、总结经验教训及教会学生准确的表达以提高其情商和创新能力。
6、号召考生一定要分分必争，
2020年理科一本线为480分， 479分的人数为585人，二本线为384分， 383分的人数为1013人，文科一本线为548分， 547分的人数为213人，二本线为463分， 462分的人数为728人，可见一分之差多么使人沮丧！
2019年理科一本线为470分， 469分的人数为545人，二本线为369分， 368分的人数为976人，文科一本线为542分， 541分的人数为225人，二本线为453分， 452分的人数为677人，可见一分之差难倒多少放飞梦想的考生！
2018年理科一本线为484分，该分数考生人数为575人，483分的人数为553人，二本线为379分，该分数考生人数为817人，378分的人数为942人，文科一本线为575分，该分数考生人数为210人，574分的人数为203人，二本线为477分，该分数考生人数为561人，476分的人数为572人，可见一分之差多么令人懊悔！
7、建议考生做题不要太多，而在精，不要搞题海战，而应分类按模型解题。每做一题时，首先要思考解题思路、可能涉及到的知识点及哪一类模型，体验解题过程，精确表达出来，同时可参考2015、2016、2017、2018、2019年全国三卷、二卷的考题，部分一卷考题，注意评卷的给分点，文科考生可参考理科数学的简单题，理科考生可参考文科数学的难题，解答后要善于分析总结并作好笔记，哪些知识应该补充完善，哪些是自己的盲点，学习固然要努力，但更要善于学习。
8、高考是对考生综合能力的测试，是考聪明人的，我称之为智慧高考。每一个考生对自己要有一个准确的定位，每年的高考题（就算是2019年网上疯传的特难的全国各类考题，仔细研究难度也不是太大，但较新颖）都有110分到120分可归类于基本简单和中等难度的考题，经过我们对数学成绩的统计分析，我省有90%左右高考文科学生、85%左右的理科学生的数学成绩在100分以下，故我省90%的高中学生主要精力应放在基础数学，重点复习基本简单和中等难度的考题，经过老师的培养、学生的努力是可以争取及格的。考生做选择题及填空题时要充分发挥自己的智商，特值法、图解法、分析计算法、排除法、猜题法等各种方法都可以尝试。做解答及证明题时要充分发挥自己的情商和胆商，把自己懂得的知识表述清楚，尤其是可能的得分点与评卷老师沟通，抓住30%的基本简单题和50%的中等难度题分，20%的难度大的题尽力得部份分，即在考试中沉着冷静，每分必争，尽量争取数学成绩得高分。由于新课标高考数学试卷已实施了六年，新课标高考数学的基本知识点仍可参考2013-2019年二、三卷的考点，要多积累掌握的知识点，如点到平面的距离公式其中是平面外的一点、是平面内的一点、是平面的法向量、换底面换高求立体的体积、解析几何中的点差法、通径点、对抛物线，过焦点的直线与抛物线相交于，两点，代入抛物线得：，
有，则 ：
，
其中是直线与轴交角，
，，
，
及 ，考生可求出直线与椭圆，与圆，与双曲线联立求解的一元二次方程，及利用参数方程的几何意义求距离等，椭圆的中点弦公式为，其中，，中点为，为直线的斜率，双曲线的中点弦公式为，抛物线的中点弦公式为，
由椭圆第二定义的焦半径公式
对，，
导数应用题要本着先几何后代数即数形结合的方法来解题，第一问只要掌握基本知识，是可以得分的，第二问从来没有简单过，但也要尽其所能得部份分。
考生应加强求导公式和求导法则的记忆，求导后函数符号判定、单调区间判定、极（最）大、小值判定、函数零点及导函数零点的判定、导数应用的训练，常用的不等式(有些可直接应用)，
当时，，或 ，
，
及变形，
当时，有，
当时，，或，
文科函数题难度有所降低，考生把握题型，如一元三次多项式的增减单调区间的判定、求极大小值、乘积函数、分式函数的求导、判定函数零点个数及所在区间、结合函数的几何图形讨论参数范围，
数学程度较好的同学可补充二阶导数、求极限，罗必达法则等大学选修课程，查缺补漏，要会总结成功的经验和失败的教训，做题一定要有所收获。注意以后考题会增加中外数学文化的内容。
建议与希望
（1）调整好心理状态，释放自己，以良好心态、快乐心态，只要努力就行，放下包袱轻松面对高考。希望同学们以极大的兴趣、勤奋、坚持，一切皆有可能，机会是要靠创造和争取的。
（2）提高基础知识点掌握的能力，综合分析的能力，破解题目的能力，运算化简的能力，灵活应变的能力，预测结果的能力，合理安排时间的能力，调整心态的能力，学会思考、会体验、会表达，综合应用，查缺补漏，注意近几年考题新增减的内容,多深思题目给你带来的启迪，总结经验，举一反三。
（3）解题时间巧安排：选择题、填空题控制在(45)60分钟以内，解答证明题每题(12)10分钟，把握时间。
（4）以高考题引路，领悟复习重点，应首选近五年的课标高考试题，以考题为基本作研究和推广，这是课本及任何资料中的题目不能替代的，寻找得分增长点，规范答案，给同学们一个平台，希望创造奇迹。
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