2022高考数学二轮复习专题：解题模型专练——由元素集合关系求参数范围

这是一份2022高考数学二轮复习专题：解题模型专练——由元素集合关系求参数范围，共14页。试卷主要包含了下列关系中，正确的是等内容，欢迎下载使用。

一．元素与集合关系的判断（共5小题）
1．下列关系中，正确的是（ ）
A．﹣2∈{0，1}B．C．π∈RD．5∈∅
2．已知集合A＝{x|2x﹣3＜3x}，B＝{x|x≥2}，有以下结论：①﹣3∈A，②3∉B，③B⊆A．其中错误的是（ ）
A．①③B．②③C．①②D．①②③
3．已知集合A＝{2，﹣5，3a+1，a2}，B＝{a+5，9，1﹣a，4}，若A∩B＝{4}，则实数a的取值的集合为（ ）
A．{1，2，﹣2}B．{1，2}C．{1，﹣2}D．{1}
4．已知集合A＝{a+1，a2+4a﹣9，2021}，若﹣4∈A，则实数a的值为（ ）
A．﹣5B．1C．5或﹣1D．﹣5或1
5．（多选）已知集合A＝{x|ax2+2x+1＝0}至多有一个元素，则实数a的值可以是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
二．集合的表示法（共1小题）
6．用|A|表示非空集合A中元素的个数，定义，若A＝{0，1}，B＝{x|（x2+ax）（x2+ax+3）＝0}，A*B＝1，则实数a的所有可能取值构成集合S，则S＝ （请用列举法表示）．
三．子集与真子集（共2小题）
7．若集合A＝{a1，a2，a3}⊆M，且满足a1+a2+a3＝a1•a2•a3，则称A为集合M的三元“调和子集”，自然数集合N的所有三元“调和子集”个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．已知集合，则集合A的非空真子集个数为 ．
四．集合的包含关系判断及应用（共5小题）
9．已知集合A＝{6，8，9}，则下列关系正确的是（ ）
A．6∈AB．7∈BC．8∉AD．9∉A
10．若A，B，C为三个集合，A∩B＝B∪C，则一定有（ ）
A．A⊆CB．C⊆AC．A≠CD．A＝∅
11．已知集合A＝{x|x2＞4}，B＝{x|x3＞8}，则（ ）
A．﹣2∈AB．3∉BC．A＝BD．A⊇B
12．从①；②；③A＝{x|lg2（1﹣x）＜2}三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解．
问题：已知集合 ______，集合B＝{x|﹣a＜x＜a+5}．
（Ⅰ）当a＝2时，求A∪B；
（Ⅱ）若A⊆B，求实数a的取值范围．
13．已知函数f（x）＝x2﹣2kx+k的两个零点为a，b，且a＜b．
（1）设集合A＝{x|f（x）≤0}，B＝{x|lg2x＜1}，若A∩B＝A，求实数k的取值范围；
（2）若b＝ta，t∈[2，4]，求实数k的取值范围．
五．集合的相等（共3小题）
14．已知集合A＝{x|x2+ax+b＝0}，B＝{3}，若A＝B，则实数a+b＝ ．
15．已知函数f（x）＝x2+ax+b（a，b∈R），设A＝{x|f（x）≤a}，B＝{x|f（f（x））≤a}，若A＝B≠∅成立，则实数a的最大值是 ．
16．已知函数f（x）＝x2+ax+b（a，b∈R），设A＝{x|f（x）≤a}，B＝{x|f（f（x））≤a}，若A＝B≠∅成立，则实数a的最大值是 ．
六．集合关系中的参数取值问题（共2小题）
17．已知集合A＝{1，a}，B＝{x|0＜x＜2}，且A∩B有2个子集，则实数a的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，0]B．（0，1）∪（1，2]
C．[2，+∞）D．（﹣∞，0]∪[2，+∞）
18．已知集合A＝{x|2﹣a≤x≤2+a}，B＝{x|4x2+12x﹣7≤0}．
（1）求集合B的补集∁RB；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数a的取值范围．
七．充分条件、必要条件、充要条件（共4小题）
19．“x≥a”是“x≥2”的必要不充分条件，则a的取值范围为（ ）
A．（3，+∞）B．（﹣∞，2）C．（﹣∞，2]D．[0，+∞）
20．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣8＜0}，非空集合B＝{x|﹣2＜x＜3+m}，若x∈B是x∈A成立的一个充分而不必要条件，则实数m的取值范围是 ．
21．已知命题：“∃x∈R使x2﹣ax+4≤0成立”是真命题．
（1）求实数a的取值集合A；
（2）设不等式的解集为B，若x∈B是x∈∁UA的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
22．已知集合A＝{x|2a﹣1≤x≤a+1}，B＝{x|0≤x≤3}．
（1）若a＝1，求A∪B；
（2）给出以下两个条件：①A∪B＝B；②“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件．
在以上两个条件中任选一个，补充到横线处，求解下列问题：
若_______，求实数a的取值范围．
八．复合命题及其真假（共1小题）
23．已知p：函数f（x）＝ln[（a﹣1）x2+（a﹣1）x+2]的定义域为R，q：对任意x∈（3，5），都有函数g（x）＝x﹣﹣1＞0．
（1）若“p且q”是真命题，求实数a的取值范围；
（2）若“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，求实数a的取值范围．
九．一元二次不等式及其应用（共1小题）
24．已知集合A＝{x|x＜﹣1或x＞4}，B＝{x|x2﹣3mx+2m2＜0（m＞0）}，若B⊆A，则实数m的取值范围为（ ）
A．（4，+∞）B．[4，+∞）C．（2，+∞）D．[2，+∞）
参考答案
一．元素与集合关系的判断（共5小题）
1．【分析】根据元素与集合的关系，用∈∉符号，可得结论．
【解答】解：根据元素与集合的关系，用∈∉符号，
﹣2∉{0，1}，∉Z，π∈R，5∉∅，可知C正确．
故选：C．
【点评】本题考查元素与集合的关系，比较基础．
2．【分析】化简A＝{x|2x﹣3＜3x}＝{x|x＞﹣3}，从而判断元素与集合，集合与集合的关系．
【解答】解：A＝{x|2x﹣3＜3x}＝{x|x＞﹣3}，B＝{x|x≥2}，
故﹣3∉A，3∈B，B⊆A；
故选：C．
【点评】本题考查了元素与集合，集合与集合的关系的判断，属于基础题．
3．【分析】由题意得4∈A，再分类讨论并检验即可．
【解答】解：∵A∩B＝{4}，∴4∈A，
①若3a+1＝4，则a＝1；
则A＝{2，﹣5，4，1}，
B＝{6，9，0，4}，成立；
②若a2＝4，则a＝2或﹣2；
当a＝2时，A＝{2，﹣5，7，4}，B＝{7，9，﹣1，4}，不成立；
当a＝﹣2时，3a+1＝﹣5，不成立；
综上所述，a＝1，
即实数a的取值的集合为{1}，
故选：D．
【点评】本题考查了集合的运算及元素与集合间关系的判断，属于基础题．
4．【分析】由﹣4∈A，可得a+1＝﹣4或a2+4a﹣9＝﹣4，分别求解a后验证集合中元素的特性得答案．
【解答】解：集合A＝{a+1，a2+4a﹣9，2021}，﹣4∈A，
当a+1＝﹣4时，即a＝﹣5时，此时a2+4a﹣9＝25﹣20﹣9＝﹣4＝a+1，故a＝﹣5不满足题意，
当a2+4a﹣9＝﹣4时，解得a＝﹣5（舍去）或a＝1，
当a＝1时，此时a+1＝2，满足题意，
故a＝1．
故选：B．
【点评】本题考查元素与集合关系的判断，考查了集合中元素的特性，是基础题．
5．【分析】集合A的元素就是方程ax2+2x+1＝0的解，所以a＝0时，显然满足条件；a≠0时，要使集合A至多一个元素，即ax2+2x+1＝0至多一个解，所以Δ＝4﹣4a≤0，所以解出该不等式和并a＝0，即可得到实数a取值的集合．
【解答】解：当a＝0时，A＝{﹣}，符合题意；
当时，a≥1，此时方程ax2+2x+1＝0至多有一个解，集合A至多有一个元素，
∴A至多有一个元素时，a的取值集合是{a|a≥1或a＝0}．
故选：BCD．
【点评】考查一元二次方程的解的情况和判别式△的关系，考查了分类讨论思想，属基础题．
二．集合的表示法（共1小题）
6．【分析】根据题意，可得|A|＝2，则可通过讨论|A|与|B|的大小，进而得到结果，具体过程详见解析．
【解答】解：根据题意，A＝{0，1}，则有|A|＝2，
又因为B＝{x|（x2+ax）（x2+ax+3）＝0}，
即得|B|表示方程（x2+ax）（x2+ax+3）＝0实数根的个数，
解这个方程得①x2+ax＝0，或②x2+ax+3＝0
解方程①得x1＝0，x2＝a，
解方程②得，若a2﹣12＞0，即或时，方程有两个不等实根分别为，；
若a2﹣12＝0，即或时，方程有且只有一个实根；
若a2﹣12＜0，即时，方程没有实数根．
综上可得，（I）当或时，|B|＝4；
（II）当或时，|B|＝3；
（III）当a＝0时，|B|＝1
所以（1）当|A|≥|B|时，A*B＝|A|﹣|B|＝1，即得|B|＝1，
此时可得a＝0；
（2）当|A|＜|B|时，即得|B|＝3，此时可得或；
故答案为：{0，}．
【点评】本题主要考查一元二次方程根的求解，以及分类讨论在解题中的使用，属于中档题．
三．子集与真子集（共2小题）
7．【分析】设A＝{a1，a2，a3}是自然数集N上的一个3元“调和子集”，不妨设a1＜a2＜a3，分a1＝0和a1∈N*两种情况，分别求解即可．
【解答】解：设A＝{a1，a2，a3}是自然数集N上的一个3元“调和子集”，不妨设a1＜a2＜a3，
①若a1＝0，则a2∈N*，故a1+a2+a3＝a1a2a3不成立；
②若a1∈N*，则a1a2a3＝a1+a2+a3＜3a3，可得a1a2＜3，
满足a1a2＜3的正整数只能是a1＝1，a2＝2，
代入a1a2a3＝a1+a2+a3，可得a3＝3，
所以自然数集N的所有3元“调和子集”为{1，2，3}．
故选：A．
【点评】本题考查了集合的新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可，属于中档题．
8．【分析】先对集合A化简，即可求解A的非空真子集个数．
【解答】解：∵集合，
∴A＝{9，10，11}，
∴集合A的非空真子集个数为23﹣1﹣1＝6．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查子集与真子集，属于基础题．
四．集合的包含关系判断及应用（共5小题）
9．【分析】利用元素与集合是属于和不属于的关系进行求解．
【解答】解：∵集合A＝{6，8，9}，
∴6∈A，
故选：A．
【点评】此题主要考查集合中元素与集合的关系，是一道基础题．
10．【分析】本题可通过判断集合A，B，C之间的关系进行判断，具体过程详见解析．
【解答】解：假设集合M＝A∩B，
则有M⊆A，且M⊆B，
又因为A∩B＝B∪C，
所以B⫋M，C⫋M，
由此可见，C⊆A．
故选：B．
【点评】本题主要考查集合间的基本关系，以及集合运算，属于简单题．
11．【分析】先求解集合A，B，再利用元素与集合的关系和集合与集合的关系判断即可．
【解答】解：A＝{x|x2＞4}＝{x|x＜﹣2或x＞2}，
B＝{x|x3＞8}＝{x|x＞2}，
∴﹣2∉A，3∈B，B⊆A．
故选：D．
【点评】本题考查不等式的解法，元素与集合的关系和集合与集合的关系，属于基础题．
12．【分析】（Ⅰ）选①，先解分式不等式，再由并集的定义求出A∪B；选②，先解指数不等式，再由并集的定义求出A∪B；选③，先解对数不等式，再由并集的定义求出A∪B；
（Ⅱ）由A⊆B，列出不等关系，求出a的取值范围．
【解答】解：选择①可得A＝{x|﹣3＜x＜1}；
选择②可得A＝{x|﹣3＜x＜1}；
选择③可得A＝{x|﹣3＜x＜1}；
（Ⅰ）A＝{x|﹣3＜x＜1}，
当a＝2时，B＝{x|﹣2＜x＜7}，
所以A∪B＝{x|﹣3＜x＜7}；
（Ⅱ）若A⊆B，
解得a≥3，
a的取值范围是[3，+∞）．
【点评】本题考查了分式不等式、指数不等式、对数不等式的解法，重点考查了集合的运算，属基础题．
13．【分析】（1）问题等价于函数f（x）＝x2﹣2kx+k的两个零点为a，b，且0＜a＜b＜2，转化为二次方程根的分布问题；
（2）根据韦达定理可构建k关于t的函数，借助对勾函数的单调性可得结果．
【解答】解：（1）由题意可知A＝{x|a≤x≤b}，B＝{x|0＜x＜2}，
因为A∩B＝A，所以A⊆B，所以0＜a＜b＜2，
∴，可得，
解得1＜k＜，
实数k的取值范围为（1，）；
（2）由Δ＞0，可知k＜0或k＞1，由题意可知，
将b＝ta代入得，得4k＝，
即k＝（t++2），令g（t）＝t+（t∈[2，4]），
因为g（t）在[2.4]上单调递增，
所以g（2）≤g（t）≤g（4），即≤g（t），
综上可知，是，
实数k的取值范围[，]．
【点评】本题考查的知识点是集合的包含关系应用，集合关系中的参数问题，难度中档．
五．集合的相等（共3小题）
14．【分析】由A＝B，可得Δ＝a2﹣4b＝0且9+3a+b＝0，然后求出a，b即可．
【解答】解：∵A＝B，∴Δ＝a2﹣4b＝0且9+3a+b＝0．
解得a＝﹣6，b＝9．则实数a+b＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了集合相等、一元二次方程的实数根与判别式的关系，属于基础题．
15．【分析】化简不等式f（x）≤a，得x2+ax+b﹣a≤0，由题意知Δ＝a2﹣4（b﹣a）≥0，然后按方程解的个数分类讨论，结合复合函数的性质求解即可．
【解答】解：∵f（x）＝x2+ax+b，
∴f（x）≤a可化为x2+ax+b≤a，即x2+ax+b﹣a≤0，
∵A＝B≠∅，∴Δ＝a2﹣4（b﹣a）≥0；
①当Δ＝a2﹣4（b﹣a）＝0时，x2+ax+b﹣a＝（x+）2≤0；
故A＝{﹣}，故B＝{﹣}，即f（x）＝﹣只有一个解﹣，
即x2+ax++a+＝0只有一个解﹣，
故a2﹣4（+a+）＝0，故a＝0；
②当Δ＝a2﹣4（b﹣a）＞0时，
设方程x2+ax+b﹣a＝0的两根为x1，x2（x1＜x2），
故A＝[x1，x2]，B＝{x|f（f（x））≤a}＝{x|x1≤f（x）≤x2}，
∵A＝B；∴x2＝a且x1≤f（﹣），
∵x2＝a，∴a2+a•a+b﹣a＝0，故b＝a﹣2a2，
故方程可化为x2+ax﹣2a2＝0，其解为x1＝﹣2a，x2＝a（a＞0）；
∴x1≤f（﹣），∴﹣2a≤﹣+a﹣2a2，解得，a≤；
综上所述，0≤a≤；
故实数a的最大值是；
故答案为：．
【点评】本题考查了复合函数的应用及二次函数的性质，同时应用了分类讨论的思想与转化思想，属于中档题．
16．【分析】设不等式x2+ax+b≤a的解集为[x1，x2]，从而得出韦达定理，由f（f（x））≤a可得x1≤f（x）≤x2，要使A＝B＝[x1，x2]，即不等式x1≤f（x）≤x2的解集为[x1，x2]，则可得x1≤f（x）min＝b﹣，以及x1，x2是方程f（x）﹣x2＝0的两个根，再得出其韦达定理，比较韦达定理可得出x2＝a，从而求出x1，b与a的关系，代入x1≤f（x）min＝b﹣得出答案．
【解答】解：f（x）＝x2+ax+b＝（x+）2+b﹣，则f（x）≥b﹣，
由题意设集合A＝[x1，x2]，即不等式x2+ax+b≤a的解集为[x1，x2]，
所以x1，x2是方程x2+ax+b﹣a＝0的两个不等实数根，
则Δ＝a2﹣4（b﹣a）＞0，x1+x2＝﹣a，x1•x2＝b﹣a，
则由f（f（x））≤a可得x1≤f（x）≤x2，
由A＝B＝[x1，x2]，所以不等式x1≤f（x）≤x2的解集为[x1，x2]，
所以x1≤f（x）min＝b﹣，
x1，x2是方程f（x）﹣x2＝0，即x2+ax+b﹣x2＝0的两个不等实数根，
所以x1+x2＝﹣a，x1•x2＝b﹣x2，
故x2＝a，x1＝﹣2a，则b＝a﹣2a2，
则Δ＝a2﹣4（a﹣2a2﹣a）＝9a2＞0，则a≠0，
由x1≤b﹣，即﹣2a≤a﹣2a2﹣，即a2﹣a≤0，解得0≤a≤，
综上可得0≤a≤，所以a的最大值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了函数的性质、方程与不等式的解法、集合的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
六．集合关系中的参数取值问题（共2小题）
17．【分析】由已知确定A∩B中只有1个元素，从而得到a∉B，由此得答案．
【解答】解：∵A＝{1，a}，B＝{x|0＜x＜2}，且A∩B有2个子集，
∴A∩B中有一个元素，
∵1∈A∩B，∴a∉A∩B，则a≤0或a≥2．
即实数a的取值范围为（﹣∞，0]∪[2，+∞）．
故选：D．
【点评】本题考查子集与真子集的概念，考查交集及其运算，是基础题．
18．【分析】（1）先解B中不等式，得出x取值范围，再利用数轴，得到B的补集；
（2）由必要条件得出B是A的子集，再通过子集的概念，得出a的取值范围．
【解答】解：（1）B＝{x|4x2+12x﹣7≤0}＝{x|}，
∴∁RB＝{x|或}．
（2）“x∈A”是“x∈B”的必要条件，则B⊆A，
∴，
解得：，
即a的取值范围是．
【点评】这道题目是集合中最基本的题型，要求学生会解不等式，会利用数轴表示集合．
七．充分条件、必要条件、充要条件（共4小题）
19．【分析】“x≥a”是“x≥2”的必要不充分条件⇔[2，+∞）⫋[a，+∞），以此可求得a的取值范围．
【解答】解：“x≥a”是“x≥2”的必要不充分条件⇔[2，+∞）⫋[a，+∞），
由此可知a的取值范围为（﹣∞，2）．
故选：B．
【点评】本题考查充分、必要条件应用，考查数学运算能力及逻辑推理能力，属于基础题．
20．【分析】由充分必要条件与集合的关系得：B⫋A，列不等式组运算得解．
【解答】解：由x∈B是x∈A成立的一个充分而不必要条件，
得：B⫋A，
∵A＝{x|x2﹣2x﹣8＜0}＝（﹣2，4），
非空集合B＝{x|﹣2＜x＜3+m}，
∴，即﹣5＜m＜1，
故答案为：（﹣5，1）．
【点评】本题考查了充分必要条件与集合的关系，属基础题．
21．【分析】（1）根据题意利用判别式Δ≥0列方程求出a的取值集合；
（2）讨论3m与m+2的大小，从而求出解集B，再根据题意列出关于m的不等式，即可求出m的取值范围．
【解答】解：（1）命题：“∃x∈R使x2﹣ax+4≤0成立”是真命题，
所以Δ＝a2﹣4×4≥0，解得a≤﹣4或a≥4，
所以实数a的取值集合A＝（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）；
（2）因为不等式0（m≠1）的（x﹣3m）（x﹣m﹣2）≤0且x﹣m﹣2≠0，
①当3m＞2+m，即m＞1时，解集B＝{x|2+m＜x≤3m}，
若x∈B是x∈∁UA的充分不必要条件，则B是∁UA的真子集，
∁UA＝（﹣4，4），
所以，此时1＜m＜；
②当3m＜2+m，即m＜1时，解集B＝{x|3m≤x＜2+m}，
x∈B是x∈∁UA的充分不必要条件，则B是∁UA的真子集，
所以，此时﹣＜m＜1；
综上知，实数a的取值范围为．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了运算求解能力与分类讨论思想，是中档题．
22．【分析】（1）当a＝1时，得出集合A，然后根据并集的定义进行求解即可；
（2）若选条件①，可得出A⊆B，然后建立不等式，解出a的范围．若选择条件②，可得出A⫋B，然后建立不等式，可得出a的取值范围．
【解答】解：（1）当a＝1时，集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤3}，
所以A∪B＝{x|0≤x≤3}；
（2）若选择①A∪B＝B，则A⊆B，
因为A＝{x|2a﹣1≤x≤a+1}，
当A＝∅时，2a﹣1＞a+1，解得a＞2，
当A≠∅，又A⊆B，B＝{x|0≤x≤3}，
所以，解得≤a≤2，
所以实数a的取值范围是[，+∞）．
若选择②，“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则A⫋B，
因为A＝{x|2a﹣1≤x≤a+1}，
当A＝∅时，2a﹣1＞a+1，解得a＞2，
当A≠∅，又A⫋B，B＝{x|0≤x≤3}，
所以且等号不同时成立，解得≤a≤2，
所以实数a的取值范围是[，+∞）．
【点评】本题考查了交集、并集的定义及运算，分类讨论的数学思想，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题．
八．复合命题及其真假（共1小题）
23．【分析】（1）根据不等式恒成立转化为判别式△≤0，进行求解即可．
（2）求出命题p，q为真命题的等价条件，根据复合命题真假关系进行求解即可．
【解答】解：（1）若p是真命题，则（a﹣1）x2+（a﹣1）x+2＞0在R上恒成立．
当a﹣1＝0．即a＝1时，2＞0显然成立．
当a﹣1≠0时，解得1＜a＜9．故1≤a＜9．
若q是真命题，因为x∈（3，5），所以由，得a＜x2﹣x恒成立，所以a≤32﹣3＝6．
综上所述，当“p且q”是真命题时，实数a的取值范围为[1，6]；
（2）因为“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，所以p，q一真一假．
若p真q假，则由（1）可知，实数a的取值范围为（6，9）．
若p假q真，则由（1）可知，实数a的取值范围为（﹣∞，1）．
综上所述，当“p或q”是真命题，“p且q”是假命题时，实数a的取值范围为（﹣∞，1）∪（6，9）．
【点评】本题主要考查复合命题真假关系的应用，求出命题为真命题的等价条件是解决本题的关键．
九．一元二次不等式及其应用（共1小题）
24．【分析】B＝{x|x2﹣3mx+2m2＜0（m＞0）}＝（m，2m），结合B⊆A可解决此题．
【解答】解：∵A＝{x|x＜﹣1或x＞4}，B＝{x|x2﹣3mx+2m2＜0（m＞0）}＝（m，2m），B⊆A，
∴2m≤﹣1或m≥4，又m＞0，∴解得m∈[4，+∞）．
故选：B．
【点评】本题考查集合间关系应用，考查数学运算能力，属于中档题．