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专题16 数列放缩证明不等式-2022年新高考数学高频考点 题型专项练习(新高考适用)
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这是一份专题16 数列放缩证明不等式-2022年新高考数学高频考点 题型专项练习(新高考适用)，文件包含专题16数列放缩证明不等式解析版docx、专题16数列放缩证明不等式原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共145页， 欢迎下载使用。
专题16 数列放缩证明不等式必刷100题
1-100题
提示:几种常见的数列放缩方法：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）
；
（10）
；
（11）；
（12）.
一、单选题
1．2018年9月24日，英国数学家M.F阿帝亚爵在“海德堡论坛”展示了他“证明”黎曼猜想的过程，引起数学界震动，黎曼猜想来源于一些特殊数列求和.记无穷数列的各项的和，那么下列结论正确的是
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由时，，由裂项相消求和以及不等式的性质可得,排除，再由前3项的和排除，，从而可得到结论.
【详解】
由时，，
可得，
时，，可得,排除，
由，可排除,故选C.
2．已知数列满足，，且，，则下列说法中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
分析得出，可判断出CD选项的正误；分析得出，利用累加法可判断出A选项的正误；当时，分析得出，利用放缩法可判断D选项的正误.
【详解】
由已知，数列满足，，且，，
即，
故，
由，，有，，故与同号，
因为，则，，，
以此类推可知，对任意的，，
所以，，则，所以，，D错；
，C对；
因为，则，，，，
累加得，所以，，可得，A对；
当时，，
故，B对.
故选：D.
3．已知数列满足，，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
利用数列的单调性可判断A选项的正误；利用放缩法得出，，利用放缩法可判断BCD选项的正误.
【详解】
由，可得出，，，
以此类推可知，对任意的，，所以，，即，
所以，数列为单调递增数列，故，A错；
在等式的两边同时除以可得，其中且，
所以，，，，，
累加得，所以，，则，故.
故D错误；
对于，
所以，，，，，
累加得，可得，则，
所以，，故， .
故选：B.
4．已知数列满足，，若，对任意的，恒成立，则的最小值为（ ）．
A． B． C． D．3
【答案】D
【分析】
先根据已知的递推关系式得到，然后结合基本不等式得到，进而得到，最后利用此不等式对放缩，并利用等比数列的前项和公式求解即可．
【详解】
由，得，
又，所以．
由，
可得，当且仅当时等号成立，
因为，，
所以，所以，
所以，
所以，
所以．
又对任意的，恒成立，
所以，
故的最小值为3．
故选：D
5．已知数列的前项和为，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，则 B．当时，则
C．当时，则 D．当时，则
【答案】B
【分析】
利用不等式放缩和裂项相消法对各选项进行分析和计算，即可求出结果.
【详解】
对于选项A，当时，，
所以，故选项A错误；
对于选项B，当时，，
又，所以
所以
，故选项B正确；
对于选项C，当时，，
所以
，故选项C错误；
对于选项D，当时，，
所以
，故选项D错误；
故选：B.
第II卷（非选择题）
二、解答题
6．已知数列满足，.
（1）证明：数列为等差数列；
（2）设，证明：.
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析
【分析】
（1）根据1，结合等差数列的定义可证结论；
（2）由（1）知，，根据放大后裂项求和，可证不等式成立.
【详解】
（1）因为，
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列.
（2）由（1）知，，
所以，当时，，
所以.
7．已知数列的前n项和为，对任意正整数n，点都在函数的图象上，且在点处的切线的斜率为.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）把点的坐标代入函数的解析式中，结合进行求解即可；
（2）根据导数的几何意义，运用放缩法，结合等比数列前项和公式进行证明即可.
【详解】
（1）解：依题意可知，当时，
，
当时，也符合上式，
∴；
（2）证明：∵，∴，，∴，
∴，
∴原不等式成立.
8．已知等差数列的前n项和为，且，又．
求数列的通项公式；
若数列满足，求证：数列的前n项和．
【答案】（1）（2）证明见解析
【分析】
直接利用等差数列前n项和公式求出数列的公差，进一步求出数列的通项公式．
利用等比数列的求和公式和放缩法的应用求出数列的和．
【详解】
解：设的公差为d,因为，又．
所以，解得．
故．
证明：由于，所以，
所以．
9．已知等差数列满足，，的前n项和为．
（1）求及；
（2）记，求证：．
【答案】（1），
（2）见详解
【分析】
（1）利用等差数列的通项公式和前项和公式可求解。
（2）由（1）的结论，利用裂项求和即可得出，再利用单调性即可证明结论。
【详解】
（1）设等差数列的公差为d，，
解得 ，
（2）由（1）可知：
所以 ，
10．公差不为0的等差数列的前项和为，若，，，成等比．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，证明对任意的，恒成立．
【答案】（1）；（2）见解析．
【详解】
试题分析：（1）由已知，把此等式用公差表示出来，解得后可得通项公式；（2）由（1）计算出，为了证明不等式，要想办法求出和，但此和不可能求出，为了证不等式，由（），这样和通过放缩后就可求得，从而证得不等式成立．
试题解析：（1）设数列的公差为
由题
∵，∴
（2）由（1）得，∴，当时，成立.
当时，，
∴成立，
所以对任意的正整数，不等式成立．
考点：等差数列的通项公式，放缩法证明不等式．
11．已知数列{an}的前n项和为 Sn（n∈N*），且a1＝2．数列{bn}满足b1＝0，b2＝2，，n＝2，3，…．
（Ⅰ）求数列 {an} 的通项公式；
（Ⅱ）求数列 {bn} 的通项公式；
（Ⅲ）证明：对于 n∈N*，．
【答案】（Ⅰ）＝2n，（Ⅱ），（Ⅲ）见解析.
【分析】
（Ⅰ）利用Sn，可得2Sn＝（n+1）an，再写一式2Sn+1＝（n+2）an+1，两式相减可得，利用叠乘法，可求数列 {an} 的通项公式；
（Ⅱ）根据b1＝0，b2＝2，，利用叠乘法，可求数列 {bn} 的通项公式；
（Ⅲ）先证明，再利用等比数列的求和公式，即可得到结论．
【详解】
（Ⅰ）解：∵Sn，∴2Sn＝（n+1）①，
∴2Sn+1＝（n+2）②，
∴①﹣②可得2＝（n+2）﹣（n+1），
∴
当n≥2时，
∵＝2
∴数列 {} 的通项公式为＝2n；
（Ⅱ）解：∵b1＝0，b2＝2，，n≥2，
∴n≥3时，
＝0，＝2满足上式，
∴数列 {} 的通项公式为；
（Ⅲ）证明：
当k≥2时，
∴
∵＝0，
∴2n﹣1﹣1
∴对于n∈N*，
12．已知函数的导函数，数列的前项和为，点均在函数的图象上．若
（1）当时，试比较与的大小；
（2）记试证.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据条件得到解析式，得到，再求出的通项，从而得到的通项，再对二项展开，从而得到与的大小；（2）对进行放缩，然后得到的值，证明不等式.
【详解】
（1）
.
，
故，
当时，，
当时，适合上式，
因此.
从而，
当时，
故
（2），，
.
13．已知数列满足．
⑴求;
⑵求数列的通项公式；
⑶证明：
【答案】解：⑴；⑵；⑶证明过程见详解．
【分析】
⑴根据，逐项求解，即可求出结果；
⑵由，得到是等比数列，进而可求出结果.
⑶先由
得到．
再由放缩法，即可得出结果.
【详解】
(1)因为数列满足
所以，，故．
⑵因为
所以
所以是以为首项，2为公比的等比数列．
可得
即．
(3)因为
所以．
又因为
所以
故此．
14．数列满足：；数列满足：，且.
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，证明：；
（3）设，证明：.
【答案】
（1） ，
（2）证明见解析
（3）证明见解析
【分析】
（1）当时，,与条件等式两边相减，即得数列的通项公式，再利用累乘法求数列的通项公式；
（2）利用错位相减法求得，再利用单调性证明得解；
（3）只需证明，再通过放缩和裂项相消证明不等式.
（1）
当时，;
当时，
与条件等式两边相减，得
所以.
所以=1,
.
故有
所求通项公式分别为和
（2）
①
②
①-②：
所以，
所以
所以递增
所以
又当时，
所以
（3）
只需证明
当时，.
所以
故原不等式成立
15．在下列条件：①数列的任意相邻两项均不相等，且数列为常数列，②，③中，任选一个，补充在横线上，并回答下面问题.
已知数列的前n项和为，___________.
（1）求数列的通项公式和前n项和；
（2）设，数列的前n项和记为，证明：.
【答案】
（1），；
（2）证明见解析.
【分析】
（1）选①：由题意，，所以或，又因为数列的任意相邻两项均不相等，且，所以数列为，即，
构造等比数列即可求解；选②：由，，两式相减可得，以下过程与①相同；选③：由，可得，
又，时，，所以，因为，所以也满足上式，所以，即，以下过程与①相同.
然后由分组求和法可得前n项和；
（2）由（1）求出，，则，利用裂项相消求和法求出前n项和记为即可证明.
（1）
解：选①：因为，数列为常数列，
所以，解得或，
又因为数列的任意相邻两项均不相等，且，
所以数列为，
所以，即，
所以，又，
所以是以为首项，公比为的等比数列，
所以，即；
选②：因为，，
所以两式相减可得，即，以下过程与①相同；
选③：由，可得，
又，时，，所以，
因为，所以也满足上式，
所以，即，以下过程与①相同；
所以；
（2）
解：由（1）知，，
所以，
所以
.
16．已知各项均为正数的数列的前项和满足，且，.
（1）求的通项公式；
（2）设数列满足，并记为的前项和，求证：，.
【答案】
（1）
（2）证明见解析
【分析】
（1）由项和转换可得，结合，可得，分析即得解；
（2）由可得，利用对数运算性质可得，利用放缩即得证
（1）
由，
结合，因此，
由，
得，又，得，
从而是首项为2公差为3的等差数列，
故的通项公式为.
（2）
由，故
即
可得，从而
，
∵，
∴，
于是
，
∴.
17．已知数列中，，
（1）求的通项公式；
（2）设， ，求证：
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据当时，变形为，得到数列等比数列，再利用累加法求解；
（2）由（1）得到时，，再利用裂项相消法求解.
【详解】
（1）因为
当时，变形为，
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，
所以，
所以，
，
所以.
（2）由（1）知：当时，，
所以，
.
18．数列满足，是的前n项的和，．
（1）求；
（2）证明：．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【分析】
（1）通过累乘法求通项，再求前n项和即可.
（2）通过二项展开式直接放缩即可求解．
【详解】
解：（1）当时，由
②-①得，即．
，
又得，故．
（2）证明：
因此，
另一方面，易证
则．
因此，有，当时，，左边等号成立．
19．已知各项均为正数的数列的前n项和为，且，
（1）求证：；
（2）求证：．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】
（1）运用基本不等式放缩；
（2）放缩后构造成等差数列求和．
【详解】
（1）在条件中，令，得，，，
又由条件，有，上述两式相减，
注意到得．
，，故，
，，
，即证．
（2），，
；
．
20．已知数列的首项，，、、．
（1）证明：对任意的，，、、；
（2）证明：.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）推出数列是等比数列，确定该数列的首项和公比，可求出数列的通项公式，进而可求得的通项公式，然后利用配方法可证得结论成立；
（2）取，由（1）中的结论结合等比数列求和可证得所证不等式成立.
【详解】
（1）对任意的，，则，
因为，可得，，，
以此类推，可知，对任意的，，且有，
所以，数列是等比数列，且首项为，公比为，
所以，，解得，，
对任意的，，
，得证；
（2）由（1）可知，对任意的，
有
取，
所以，，故原不等式成立.
21．已知数列满足，.
（1）证明：数列是等差数列；
（2）令，证明：.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）依题意可得，再两边取倒数，即可得到，从而得证；
（2）由（1）可得，则，利用放缩法得到，再利用裂项相消法求和即可得证；
【详解】
解：（1）因为，所以，
因为，所以﹐
所以
所以
又因为.所以是以1为首项，公差为1的等差数列.
（2）由（1）得，所以，
所以，所以，
所以
即.
22．已知正项数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，证明：当时，.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）利用结合已知条件可得，而，从而得，进而可求出数列的通项公式；
（2）由（1）可得，则，再利用放缩法可得，从则得，化简可得结果
【详解】
（1）由得，则
，
化简得
，
又，故
.
当时，解得，因此数列的通项公式为.
（2）由题意，.
由于，且，
所以
，
化简得
.
23．已知数列的前n项和为，若.
（1）求通项公式；
（2）若，为数列的前n项和，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）先求首项，再应用与的关系，构造两式并相减消去，得到递推关系从而证明是等比数列，求出通项公式；
（2）化简通项，法一放缩变形为可裂项形式，再裂项求和证明不等式，注意放缩成立条件，法二放缩为等比数列再公式法求和.
【详解】
（1）由①，令，得.
当时，有②，①②两式相减得，
即，又，则，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故；
（2）法一：，
当时，，
当时，，
，则
故
.
综上，.
法二：
由真分数性质，若则，
， ，
.故命题得证.
24．已知数列满足，，.
（1）设，求证：数列是等比数列；
（2）设数列的前项和为，求证：，.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）直接利用定义证明即得证；
（2）分析得到，再利用等比数列求和得证.
【详解】
解：（1），，
则，
又，
所以数列是等比数列；
（2）由（1）得，，，
，，
，，
，
当时，，
又，
综上，，.
25．已知数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）递推相减之后得到，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，则．
（2）先由放缩法得到，进而累加相消得出结果.
【详解】
（1）因为，
所以，
两式相减得，因此．
当时，，又，则，
所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，则．
（2）由（1）得，
则．
26．已知数列的前n项和为，，．
（1）求证为等比数列；
（2）求证：．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由已知得，即，可证明是等比数列；
（2）有（1）知，即，合理利用放缩然后利用裂项相消可得证明.
【详解】
证明：（1）∵数列的前n项和为，，，∴，
∴，，∴是以为首项，以4为公比的等比数列．
（2）∵是以为首项，以4为公比的等比数列，∴，∴．∴．
，，所以，
当时，
∴
．
综上所述，．
27．已知数列的前项和为，，数列是公差为的等差数列.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求证：对于任意的，.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.
【分析】
（1）由，所以，可得， 当时有，又，即可得解；
（2） 首先由，通过放缩和裂项可得：
，求和即可得解.
【详解】
（Ⅰ）数列是公差为的等差数列，且 ，
可得，，
，又，
（Ⅱ）
，
当时，
，
又
，
又，
28．已知数列满足，，，.
（1）（i）证明：数列是等差数列；
（ii）求数列的通项公式；
（2）记，，，证明：当时，.
【答案】（1）（i）证明见解析；（ii）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）（i）根据与相除可得，变形得，从而可证数列是等差数列；
（ii）根据（i）中等差数列的通项公式可得结果；
（2）求出，根据可证，根据可证.
【详解】
（1）（i）当时，，
所以，
两式相除得，
所以，所以，
所以.
又，故，故也成立.
∴，
∴为等差数列
（ii）由（i）得，，即.
（2）因为，
∴
∴
，
又，
所以，
.
29．已知数列满足，，数列是公比为正数的等比数列，，且，，8成等差数列.
（1）求数列，的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和.
（3）若数列满足，求证：.
【答案】（1），；（2）；（3）证明见解析.
【分析】
（1）证明数列是等差数列，即得数列的通项公式，求出即得数列的通项公式；
（2）先求出，再利用裂项相消法求出数列的和；
（3）利用放缩法证明不等式即可.
【详解】
（1）数列满足，，
所以（常数），
所以数列是等差数列，
故，
数列是公比为的正数的等比数列，，且，，8成等差数列．
所以，解得．
所以．
故，.
（2）数列满足，
所以，
．
（3）数列满足，
所以，
，
，
，
．
30．已知数列的首项，其前项和为，且满足，，其中．
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：．
【答案】（1）；（2）答案见解析
【分析】
(1)由题可得，又有当时，得，所以，故可判断数列是公比为4的等比数列，则可得其通项公式；
（2）由（1）得，利用不等式放缩得，叠加即可证明.
【详解】
（1）因为，
所以当时，，所以；
又当时，，所以，得，
故有，
所以数列是公比为4的等比数列，则有；
（2）由（1）得
因为，
所以，
又，
所以
，
综上所以有
31．已知数列满足，的前项和满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前项和为，证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由求得，令，由得出，两式作差可得出，推导出数列是等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列的通项公式，进而可求得数列的通项公式；
（2）推导出，然后利用放缩法结合等比数列的求和公式可证得成立.
【详解】
（1）当时，，，
当时，，，作差得，
整理得，且，
又，所以，数列是以为首项，以为公比等比数列，，
因此，；
（2）当时，；
当时，，
.
综上所述，对任意的，.
32．已知数列，满足，
（1）若，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式：
（2）若，
（i）求证：；
（ii）
【答案】（1）证明见解析；；（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.
【分析】
（1）将代入化简，得到即可求解；
（2）判断数列的单调性可得，通过适当放缩得到和，进一步化简可得结果.
【详解】
（1）∵
∴与同号，
∴，
∴，即
∴数列是等差数列，公差为，首项为
∴；
∴，
（2）（i）由（1）知
∵
∴是递减数列，且
∴
（ii），
∴，
∴，
由（i）知
∴，
∴
综上所述，
33．已知数列满足，，
（1）求;
（2）若数列满足，，求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【分析】
（1）用累乘法求得通项；
（2）求出满足不等式，从开始用放缩法，然后利用累加法求和可证结论．
【详解】
（1）由题意（），
∴，也适合．
所以（）；
（2）由已知，，，
当时，，
因此，
则
综上，．
34．设等差数列的前项和为，.
（1）求与；
（2）设，证明：.
【答案】（1），；（2）证明见解析．
【分析】
（1）把已知用和表示后解得，然后可得通项公式和前项和公式；
（2）写出，利用放缩法有，然后求和可证明不等式成立．
【详解】
（1）设等差数列的公差为，则由得，解得，∴，；
（2）由（1），
∴
．
35．已知数列满足：，，.
（1）求证是等差数列并求；
（2）求数列的前项和；
（3）求证：.
【答案】（1）证明见解析，；（2）；（3）证明见解析.
【分析】
（1）利用等差数的定义结合已知的递推式证明即可；
（2）由（1）可知，然后利用错位相减法求；
（3）由及可得，从而再利用放缩法可证得结果.
【详解】
（1）证明：，
∴是首项为，公差为1的等差数列，
∴，∴.
（2）∵，
∴，
两式相减得：，
，
∴.
（3）证明：∵，∴，∴，
当时，，∴，
∴，
∴
.
36．已知数列满足，
（1）求证：是等比数列；并写出的通项公式
（2）求证：对任意，有
【答案】（1）见解析，（2）见解析
【分析】
（1）由已知式求得，写出，然后作差得递推关系，凑配后可得是等比数列，从而可得通项公式．
（2）用放缩法求和，但前2项不放缩．
【详解】
（1）证明：，，
时，，相减可得：，即，
变形为：
时也成立.是等比数列，首项为3，公比为3．∴，
∴．
（2）
37．已知是正项等比数列的前n项和，且，是，的等差中项．
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：．
【答案】（1）（2）见解析
【分析】
（1）由题得，解方程组得，，即得数列的通项公式；
（2）①当，2时不等式显然成立；②当时，，再证明即得解.
【详解】
（1）设数列的公比为q，由题意得，
则，
因为，所以两边同时除以得
，
因为，所以，
代入，
解得，所以．
（2）①当，2时不等式显然成立；
②当时，．
所以
综合得原不等式成立.
38．已知数列满足，前项和满足是正项等比数列，且是和的等比中项.
（1）求数列和的通项公式；
（2）求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析；
【分析】
（1）根据题中的条件利用数列的通项与前n项和的关系求解数列的通项公式，根据等比中项的概念求解数列的公比，从而得到其通项公式；
（2）根据（1）中的结论合理放缩，结合等比数列的求和公式证明结论.
【详解】
（1）当时，由，
得，
相减得.
当时，符合上式，.
设的公比为，
由题意得，即，
又.
（2）证明：由题意得，
.
39．已知各项均为正数的数列满足：，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，，求；
（3）若数列满足，，求证：.
【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.
【分析】
（1）利用递推公式，结合累加法即可容易求得通项公式；
（2）根据（1）中所求，结合裂项求和法即可容易求得；
（3）利用（1）中所求，即可求得，以及，对进行放缩，即可容易求得.
【详解】
（1）∵，∴，
∴，
∴，
当时，也适合，
∴.
（2）由（1）知，
∴.
（3）∵，
所以，
令，所以，
因为，所以，
所以，
所以.
40．已知数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列的前项和为，证明：．
【答案】（1）．（2）见解析
【分析】
（1）令求得的值，令，由得出，两式相减得出，由此可得出数列为常数列，进而可求得数列的通项公式；
（2）利用放缩法得出，再利用不等式的基本性质和裂项求和法可证得所证不成立成立.
【详解】
（1）当时，，即，
当时，①，
②，
①②，得：，即，
，且，
数列是以每一项均为的常数列，则，即；
（2）由（1）得，，
.
41．已知各项为正数的数列满足：且．
（1）证明：数列为等差数列．
（2）若，证明：对一切正整数n，都有
【答案】（1）证明见解析．（2）证明见解析．
【分析】
（1）根据所给递推公式，将式子变形，即可由等差数列定义证明数列为等差数列.
（2）根据数列为等差数列，结合等差数列通项公式求法求得通项公式，并变形后令.由求得的取值范围，即可表示出，由不等式性质进行放缩，求得后，即可证明不等式成立.
【详解】
（1）证明：各项为正数的数列满足：
则，，
同取倒数可得，
所以，
由等差数列定义可知数列为等差数列．
（2）证明： 由（1）可知数列为等差数列．，
则数列是以为首项，以为公差的等差数列.
则，
令，
因为，
所以，
则，
所以，
所以
，
所以
由不等式性质可知，若，则总成立，
因而，
所以
所以
不等式得证.
42．已知数列满足：，.
（I）求证：数列是等比数列；
（II）设的前项和为，求证.
【答案】（I）证明见解析；（II）证明见解析.
【分析】
（I）证明出为非零常数，即可得出结论；
（II）利用（I）中的结论，确定数列的首项和公比，求出该数列的通项公式，进而得出，利用放缩法得出，然后分和两种情况证明不等式，由此可得出结论.
【详解】
（I），，
因此，数列是等比数列；
（II），所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，
，，
当时，；
当时，，
.
综上所述，对任意的，.
43．记 为等差数列 的前 项和，若 ， .
（1）求 和 ；
（2）当 时，证明： .
【答案】（1） ，；；（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据 ，，利用“”法求解.
（2）由（1）知，，则，再利用数列求和证明.
【详解】
（1）设公差为 ，则 ，
解得 ，
所以 ，；
（2）当 时， ，
所以当 时，
，
，
，
当 时， .
综上所述，原命题成立.
44．已知正项数列满足，.
（1）证明：数列是等比数列；
（2）证明：.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）将题干中的等式因式分解后得出，由此得出，再利用定义证明出数列为等比数列；
（2）求出，利用放缩法得出，结合等比数列的求和公式可证明出结论成立.
【详解】
（1），.
，，，即，
则有且，
数列是以为首项，以为公比的等比数列；
（2）由（1）得，即，得，
.
45．已知数列的前n项和记为，且满足n、、成等差数列．
Ⅰ求，的值，并证明：数列是等比数列；
Ⅱ证明：．
【答案】(I)；见解析 (II) 见解析
【分析】
Ⅰ先根据已知条件把1，2代入，即可求出前两项，再根据n、、成等差数列，得到一个新等式，两个相结合即可证明结论．
Ⅱ根据第一问的结论得到数列的通项，对通项进行适当的放缩即可证明．
【详解】
解：Ⅰ由已知n、、成等差数列，可得；
令，可得，令，可得，，；
得：，即；
，；
有，可得．
数列是以2为首项，2为公比的等比数列．
Ⅱ由Ⅰ，．
．
．
．
．
．
46．给定数列，若满足且，且对于任意的，都有，则称数列为“指数型数列”．
1已知数列的通项公式，证明：为“指数型数列”；
2若数列满足：，；
①判断数列是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由；
②若数列的前项和为，证明：.
【答案】(1) 证明见解析；(2) ①数列是“指数型数列”， 证明见解析；②证明见解析
【分析】
1利用“指数型数列”的定义即可证明是指数型数列；（2）①数列是“指数型数列”，证明即得证；②先由题得，再利用等比数列的求和公式即得解证.
【详解】
(1)解：对于数列，任意，，
所以是指数型数列.
(2)①数列是“指数型数列”， 证明如下：
，，
所以数列是等比数列，，
，故数列是“指数型数列”．
②由①可得，；
故.
47．已知数列中，，其前项的和为，且当时，满足．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）证明：．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析
【分析】
（1）当n≥2时，Sn﹣Sn﹣1⇒Sn﹣Sn﹣1＝Sn•Sn﹣1（n≥2），取倒数，可得1，利用等差数列的定义即可证得：数列{}是等差数列；
（2）利用进行放缩并裂项求和即可证明
【详解】
（1）当时，，
，即
从而构成以1为首项，1为公差的等差数列．
（2）由（1）可知，，．
则当时．
故当时
又当时，满足题意，故．
法二：则当时，
那么
又当时，，当时，满足题意.
48．已知函数，数列中，若，且.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）设数列的前项和为，求证：.
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）将代入到函数表达式中，得，两边都倒过来，即可证明数列是等比数列；
（2）由（1）得出an的通项公式，然后根据不等式＜在求和时进行放缩法的应用，再根据等比数列求和公式进行计算，即可证出．
【详解】
（1）由函数，在数列中，若，得：，
上式两边都倒过来，可得：＝＝﹣2，
∴﹣1＝﹣2﹣1＝﹣3＝3（﹣1）．∵﹣1＝3．
∴数列是以3为首项，3为公比的等比数列．
（2）由（1），可知：＝3n，∴an＝，n∈N*．
∵当n∈N*时，不等式＜成立．
∴Sn＝a1+a2+…+an＝＝＝﹣•＜．
∴．
49．设为数列的前项和，．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【分析】
（1）令，由求出的值，再令，由得，将两式相减并整理得，计算出为非零常数可证明出数列为等比数列；
（2）由（1）得出，可得出，利用放缩法得出，利用等比数列求和公式分别求出数列和的前项和，从而可证明出所证不等式成立.
【详解】
（1）当时，，解得；
当时，由得，
上述两式相减得，整理得.
则，且.
所以，数列是首项为，公比为的等比数列；
（2）由（1）可知，则．
因为，
所以.
又因为，
所以．
综上，．
50．已知数列中，，其前项和满足：．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令，数列的前项和为，证明：对于任意的，都有．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析
【分析】
（Ⅰ）由，可得，即数列时以1为首项公比为2的等比数列，即可求解．（Ⅱ），当时，，当时，，即有．
【详解】
（Ⅰ）由，于是，
当时,，
即，
，∵，数列为等比数列，
∴，即．
（Ⅱ），
∴当时，，
当时，显然成立，
综上，对于任意的，都有．
51．已知数列的各项均不为零．设数列的前项和为，数列的前项和为，且，．
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）证明数列是等比数列，并求的通项公式；
（Ⅲ）证明：.
【答案】（Ⅰ）2，4；（Ⅱ）证明见解析，；（Ⅲ）证明见解析.
【分析】
（Ⅰ）直接给n赋值求出，的值；（Ⅱ）利用项和公式化简，再利用定义法证明数列是等比数列，即得等比数列的通项公式；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，再利用等比数列求和证明不等式.
【详解】
（Ⅰ），令，得，，；
令，得，即，，．
证明：（Ⅱ），①
，②
②①得：，
，，
从而当时，，④
③④得：，即，，．
又由（Ⅰ）知，，，．
数列是以2为首项，以为公比的等比数列，则.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，
因为当时，，所以.
于是.
52．数列前项和为，已知
（1）求数列的通项公式；
（2）证明．
【答案】（1） ；（2）证明见详解.
【分析】
(1)由已知结合可得，变形得，利用叠加法可求.
(2)由可得，用放缩法证明不等式.
【详解】
(1)由,得，
以上两式相减得，
则.
两边同除以，可得.
，
，
…，
，
以上个式子相加得，
又，则，
所以.
(2)证明：因为，
所以.
所以.
记，
则，
当时，，
可得，
所以.
所以.
53．已知数列满足，.
(1)若为不恒カ0的等差数列，求；
(2)若，证明：.
【答案】（1）1；（2）证明见解析.
【分析】
(1)通过对变形、整理可以知道,设,利用等式恒成立列方程组求解即可；(2)利用放缩可以知道,通过叠加可以知道,利用，并项相加可以得到.
【详解】
(1)数列为不恒为0的等差数列,
可设,
,
,
,
,
,
整理得:,
,
计算得出: 或 (舍),
，
；
(2)易知,
,
，
两端同时除以,得：，
，
，
，
叠加得：，
又
，
又，
，
，
.
54．数列的前n项和为，且满足，
Ⅰ求通项公式；
Ⅱ记，求证：．
【答案】Ⅰ；Ⅱ见解析
【解析】
【分析】
Ⅰ直接利用递推关系式求出数列的通项公式．
Ⅱ利用等比数列的前n项和公式和放缩法求出数列的和．
【详解】
解：Ⅰ，
当时，，
得，
又，
，
数列是首项为1，公比为2的等比数列，
；
证明：Ⅱ，
，
时，，
，
同理：，
故：．
55．已知正项数列满足.
（1）求证:，且当时，；
（2）求证:.
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【分析】
（1）由a1﹣a12=a2＞0，解得0＜a1＜1．用数学归纳法证明即可，
（2）记f（x）=ln（1+x）﹣，x＞0，求导，利用导数判定单调性，再利用放缩法即可证明．
【详解】
证明：（1）由，解得．
下用数学归纳法证明：当时，
①当时，．
所以不等式成立；
②假设当时，不等式成立，即
则当时，有
,
.
则当时，不等式也成立．
综合①②，当时，都有．
（2）记
当时，
所以在上是增函数，则，即
令，则，
从而有．
56．已知数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和，a1＝b1＝1，S2＝.
(1)若b2是a1，a3的等差中项，求数列{an}与{bn}的通项公式；
(2)若an∈N＋，数列{}是公比为9的等比数列，求证：＋＋＋…＋＜.
【答案】（1）an＝2n－1，bn＝3n－1或an＝6－5n，bn＝(－4)n－1.（2）证明见解析．
【分析】
（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.利用等比数列的性质求出d，q，再求出通项公式.（2）利用数列{ban}是公比为9的等比数列，求出d＝2，q＝3.再放缩成能利用裂项求和的方法即可.
【详解】
(1)解：设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.
因为S2＝，所以a1＋a1＋d＝.
而a1＝b1＝1，则q(2＋d)＝12.①
因为b2是a1，a3的等差中项，
所以a1＋a3＝2b2，
即1＋1＋2d＝2q，
即1＋d＝q.②
联立①②，
解得或
所以an＝1＋(n－1)·2＝2n－1，bn＝3n－1或an＝1＋(n－1)·(－5)＝6－5n，bn＝(－4)n－1.
(2)证明：因为an∈N＋，
ban＝b1qan－1＝q1＋(n－1)d－1＝q(n－1)d，
所以＝＝qd＝9，即qd＝32.③
由(1)，知q(2＋d)＝12，即q＝.④
因为a1＝1，an∈N＋，所以d∈N.
根据③④，知q＞1且q为正整数．
所以d可为0或1或2或4.但同时满足③④两个等式的只有d＝2，q＝3，
所以an＝2n－1，Sn＝＝n2.
所以＝＜＝(n≥2)．
当n≥2时，
＋＋…＋＜1＋＋＋＋…＋
＝1＋
＝1＋＝－＜.
显然，当n＝1时上式也成立．
故n∈N＋，＋＋…＋＜.
57．已知数列，，二次函数的对称轴为.
(1) 证明：数列是等差数列，并求的通项公式；
（2）设，求证：.
【答案】（1）（2）见解析
【分析】
(1)先由题得，再利用等差数列的定义证明数列是等差数列，并求的通项公式.(2)，先证明. 因为，再证明.
【详解】
由已知得，整理得，
左右同时乘以得，，
所以是以2为首项，2为公差的等差数列，
所以.
（2），，k=1,2,…n；所以
又因为， k=1,2,…n；
所以；
所以
58．已知数列的前项和满足：.
（1）数列的通项公式；
（2）设，且数列的前项和为，求证： .
【答案】（1）；（2）见解析．
【解析】
试题分析：
(1)结合通项公式与前n项和的关系可得数列是首项为，公比也为的等比数列，则.
(2)指数裂项求和放缩可得，据此裂项求和可得．据此即可证得题中的结论.
试题解析：
（1）解：当时， ，所以，
当时， ，即， ， ，
所以数列是首项为，公比也为的等比数列，
所以.
（2）证明： ．
由，
所以，
所以．
因为，所以，即．
59．已知数列满足，，．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求证：．
【答案】见解析
【解析】
试题解析：证明：（1）∵，
∴，
∴3 分
∴ 数列{}是以为首项，以1为公差的等差数列． 5 分
证法 2：由已知
即，
即（常数） 3 分
∴ 数列{}是以为首项，以1为公差的等差数列． 5分
（2）由（1）得，
所以， 6分
一方面， ∵7 分
∴ 9分
另一方面， ∵11分
∴
13分
故不等式成立． 14 分
60．数列满足，.
（1）求的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）设，求证：.
【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.
【解析】
试题分析：（1）分别令，，可得；（2）借助题设条件运用数列的递推关系求解；（3）借助题设运用放缩法和不等式的性质推证.
试题解析：
（1）令，得；令，有，得；
令，有，得.
（2）∵， （1）式
所以，当时，，（2）式
两式相减得：，∴.
当时，也适合，
∴.
（3），
当时，；当时，；
当时，，
，
综合可得：.
61．设数列的前项和为.已知,,.
(Ⅰ) 求的值；
(Ⅱ) 求数列的通项公式；
(Ⅲ) 证明:对一切正整数,有.
【答案】(Ⅰ) 4(Ⅱ) (Ⅲ)见解析
【详解】
(Ⅰ) 依题意,,又,所以；
(Ⅱ) 当时,,
两式相减得
整理得,即,又
故数列是首项为,公差为的等差数列,
所以,所以.
(Ⅲ) 当时,；当时,；
当时,,此时
综上,对一切正整数,有.
(1)直接将n换为2代入递推式求解；（2）借助进行递推转化，进而构造数列为等差数列是解题的关键，考查了学生对式子的操作能力和转化能力.(3)借助放缩法进行证明，放缩的关键是
62．已知函数，数列满足，，.
（1）求证：；
（2）求证：.
【答案】（1）见详解；（2）见详解.
【分析】
（1）先用数学归纳法证明；再的正负即可得出结论；
（2）用放缩法得到，进而可证明结论成立.
【详解】
（1）首先用数学归纳法证明，
时，显然成立；
假设，则，因为在上单调递增，所以
即也有成立.
从而，所以；
（2）
，
所以，
.
63．已知数列{an}满足.
(Ⅰ)若方程f(x)=x的解称为函数y=f(x)的不动点,求an+1=f(an)的不动点的值；
(Ⅱ)若,求证：数列{lnbn}是等比数列，并求数列{bn}的通项．
(Ⅲ)当任意时，求证：.
【答案】(Ⅰ)0或1或；(Ⅱ)答案见解析；(Ⅲ)证明见解析.
【分析】
(Ⅰ)由题意解方程即可确定不动点；
(Ⅱ)利用递推关系结合等比数列的定义可得数列是等比数列，据此即可确定数列的通项公式；
(Ⅲ)结合指数函数的增长速度比一次函数的增长速度快，利用放缩法结合等比数列前n项和公式即可证得题中的结论.
【详解】
(Ⅰ)由方程an+1=f(an)得,
解得an=0,或an=−1,或an=1.
(Ⅱ)，
，
两式相除得，据此可得，
由可以得到，则，
又，得.
故数列是以为首项，3为公比的等比数列.
.
从而.
(Ⅲ)对于任意，，
从而.
64．数列{an}满足a1=1,an+1=3an+2n．
（1）求证数列{an+2n}是等比数列；
（2）证明：对一切正整数n，有1a1+1a2+…+1an<32．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
试题分析：（1）可在递推式an+1=3an+2n的两边同时加上2n+1可得an+1+2n+1=3(an+2n)，由等比数列的定义可得证得{an+2n}是以3等比数列的等比数列；（2）根据（1）求得{an}的通项公式an=3n−2n同时放缩为3n−2n>2n(n≥2)，所以1an<12n(n≥2)，对cn=12n求和即可.
试题解析：(1)由an+1=3an+2n有,,又,
所以是以3位首项,3为公比的等比数列
(2)由(1)知
又,
故
65．已知数列满足条件：,
（1）判断数列是否为等比数列；
（2）若，令,
证明
【答案】（1）当时，不是等比数列当时，是等比数列；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由题意得 ，讨论，两种情况，利用等比数列的定义可得结论；（2）由⑴知，
可得，根据裂项相消法求和，再由放缩法可得结论.
【详解】
（1）由题意得
又
所以，当时，不是等比数列
当时，是以为首项，2为公比的等比数列．
（2）由⑴知，
故
66．已知数列中，，
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：．
【答案】(1) (2)详见解析
【分析】
(1)本题可通过得出，然后根据以及等比数列的定义即可得出数列的通项公式，最后根据数列的通项公式即可得出结果；
(2)本题可通过放缩法将转化为，再通过等比数列前项和公式即可得出结果．
【详解】
(1)因为，所以，，
因为，所以数列是以为首项、为公比的等比数列，
所以，．
(2) 由(1)可知
，
所以成立．
67．已知数列满足：是公差为1的等差数列，且
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求证：
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由于是公差为1的等差数列，可得，又化简可求数列{an}的通项公式；
（2），从而可利用叠加法求解可得．
【详解】
（1）∵是公差为1的等差数列，
∴，
∵
∴；
（2）因为，
＜2-1．
68．已知正项数列满足：﹣＝1，（n∈N+，n≥2），且a1＝4．
（1）求的通项公式；
（2）求证＜1（n∈N+）
【答案】（1）＝（n+1）2；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）由等差数列的定义可知数列是首项是2，公差为1的等差数列，从而求出的通项公式，即可求出{an}的通项公式；
（2）根据，代入，可证得不等式成立．
【详解】
（1）已知正项数列满足：﹣＝1，（n∈N+，n≥2），且a1＝4．
得数列是首项是2，公差为1的等差数列，∴
∴＝（n+1）2
（2）证明：
∴＜1﹣﹣+…+﹣＝1﹣＜1
69．已知等差数列的各项均为正数，＝3，前n项和为Sn，是等比数列，＝1，且b2S2＝64，b3S3＝960．
（1）求数列与的通项公式；
（2）求证：对一切都成立．
【答案】（1）＝2n+1，＝8n﹣1；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）由为等差数列，为等比数列，根据＝3，＝1，且b2S2＝64，b3S3＝960．列出，d，，q的关系式，求出，d，，q即可；
（2）由（1）得数列的前n项和Sn，再由裂项相消法计算，最后用放缩法即可证明.
【详解】
（1）设等差数列的公差为d（d＞0），等比数列的公比为q，
则，解得或（舍）
所以＝3+2（n﹣1）＝2n+1，＝8n﹣1．
（2）因为Sn＝3+5+…+（2n+1）＝n（n+2）
所以
＝
＝．
故对一切都成立．
70．已知正项数列的前项和为，满足．
（1）求数列的前项和；
（2）记，证明：．
【答案】
（1）
（2）证明见解析
【分析】
（1）根据，整理后，根据等差数列的性质可知是首项为1，公差为1的等差数列
（2）先对进行放缩，然后利用分母有理化进行裂项后求和.
（1）
解：由题意得：
等式两边同乘，得
整理得，由，得，即是首项为1，公差为1的等差数列
∴，；
（2）
，
∴，
，
∴，
综上可证：．
71．已知数列满足，且点在函数的图象上．
（1）求证：是等比数列，并求的通项公式：
（2）若，数列的前n项和为，求证：．
【答案】（1）证明见解析；；（2）证明见解析．
【分析】
（1）由题意得，推得，即可证明是等比数列，然后结合等比数列的定义和通项公式即可求得结果；
（2）推得，由不等式的性质和等比数列的求和公式、数列的单调性，即可求证.
【详解】
（1）由点在函数的图象上，
可得，
所以，即，
也即，
由，所以，
所以是首项和公比均为的等比数列，
则，
所以；
（2），
所以，
．
72．已知数列满足，且当时，．
（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）记，，证明：当时，．
【答案】（1）证明见解析，；（2）证明见解析.
【分析】
（1）作比构造出新数列的递推关系，从而满足等差数列定义，求得通项公式.
（2）求出Tn，Sn，利用放缩法把Sn变成可以裂项求和的和式，从而证得不等式.
【详解】
（1）因为当时，，所以，
上述两式相除，可得，所以，
所以，所以，
又，所以，，，所以，
所以，所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，所以．
（2）因为，
所以，
所以
，
所以当时，．
73．已知数列满足，．
（1）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
（2）求证：．
【答案】（1）证明见解析；；（2）证明见解析．
【分析】
（1）由题得，即得数列为等比数列，再求数列的通项公式；
（2）对分类讨论利用放缩法求证.
【详解】
（1）因为，
所以，
又，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
即，故．
（2）由，，得，
当且为偶数时，，
所以
；
当且为奇数时，为偶数，则，
由于，则．
综上，．
74．已知正项数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，数列的前项和为，，求证：．
【答案】（1），；（2）证明见解析.
【分析】
（1）先求首项，再应用与的关系，构造两式并相减消去，得到递推关系从而证明是等差数列，求出通项公式；
（2）法一：化简通项，放缩变形为可裂项形式，再裂项求和证明不等式；法二：数学归纳法证明.
【详解】
（1）当时，，解得或（舍去）；
当时，由，两式相减得，
即，又，所以，
所以数列是首项为，公差为1的等差数列，故，．
（2）由（1）得，
故，
法一：由
所以，
即．
法二： 当时，，，不等式成立；
假设当时，不等式成立，即，
那么当时，
要证，只需证，
即证明，
.
，所以当时，不等式成立．
综上，故对任意恒成立．
75．数列满足，，，.
（1）求，及(用表示)；
（2）设，求证：；
（3）求证：.
【答案】（1），，；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【分析】
（1）由递推关系及可得，，按奇数项、偶数项分别求通项.
（2）由（1）所求通项可得，进一步可得通项，再进行放缩变换即可.
（3）依（2）进行放缩可求和即可得证.
【详解】
（1）依题意，.
由知，数列是首项为2.公比为2的等比数列.
所以.
因此，
.
故数列的通项公式为.
（2）证明：由（1）知，，
当时，
.
（3）证明：
.
76．已知是公比的等比数列，且满足，，数列满足：.
（1）求数列和的通项公式；
（2）令，求证：.
【答案】（1）；；（2）证明见解析.
【分析】
（1）先根据条件解得即得通项公式；利用条件可得，再与原式两式相减可得的通项公式；
（2）先放缩，再利用裂项相消法证得不等式.
【详解】
解：（1）因为是公比的等比数列，所以
因为，，所以，，
所以
当时，，
当时①
②
将②乘2得到③
①－③，得，所以
因为当时，，所以
（2）因为
而，
所以
因此
77．设数列的前项和为，且满足，.
（1）求（用表示）；
（2）求证：当时，不等式成立.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据，代入即得，整理可得，为等差数列，即可得解；
（2）代入整理，通过放缩即可证明.
【详解】
解：（1）∵，
∴，
∴，
∴，为首项为为首项，公差为等差数列，
∴.
（2）∵，
∴时，，
时，.
78．已知函数，满足：①对任意，都有；
②对任意都有．
（1）试证明：为上的单调增函数；
（2）求；
（3）令，试证明：
【答案】（1）证明见解析；（2）66；（3）证明见解析.
【分析】
（1）对①中等式变形，利用定义法判断出的单调性；
（2）先假设，根据条件确定出的值，即可求解出的值，再结合（1）的单调性确定出的值，由此计算出结果；
（3）根据条件判断出为等比数列并求解出通项公式，利用不等式以及二项展开式采用放缩方法证明不等式.
【详解】
解：（1） 由①知，对任意，都有 ，
由于，从而，所以函数为上的单调增函数；
（2）令，则，显然，否则，与矛盾.
从而，而由，即得.
又由（1）知，即.
于是得，又，从而，即.
又由知.
于是，
，，
，，
， 由于，
而且由（1）知，函数为单调增函数，因此.
从而.
（3），
，.
即数列是以为首项，以为公比的等比数列.
∴
于是，显然，
另一方面，
从而.
综上所述，.
79．已知正项数列满足，.
（1）试比较与的大小，并说明理由；
（2）设数列的前项和为，证明：当时，.
【答案】（1），理由见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）推导出数列是等比数列，确定该数列的首项和公比，求得数列的通项公式，可求得，然后利用作差法可比较出与的大小；
（2）利用不等式的性质得出，然后分和，结合放缩法以及等比数列的求和公式证明出，即可证得结论成立.
【详解】
（1），即，，
，则且，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，
，可得，
，；
（2）当时，；
当时，由（1）可得，
则.
综上所述，对任意的，.
80．已知数列满足．
（1）求数列的通项；
（2）设，若，求证：．
【答案】（1），；（2）证明见解析．
【分析】
（1）由已知式，用代换得，相减后可求得，同时要验证也符合此表达式即可；
（2）求出，用放缩法求和，一个放缩是，
另一个放缩是，放缩求和后可证得不等式成立．
【详解】
（1）∵①，
∴时，②，
①－②得，，
又，也适合上式，
∴，；
（2）由（1）得，
由，
得，
∴，
又，，
，，
，∴，
综上，．
81．已知数列和满足，且对任意的，，.
（1）求，及数列的通项公式；
（2）记，， 求证：，.
【答案】（1）；；.；（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据递推关系，，得，再利用等比数列通项公式，即可得答案；
（2）求出，再利用错位相减法求和，进行不等式的证明；
【详解】
（1）根据，，得，
根据，得，即，
故，.同理可得，，.
根据，，得，即.
又，故数列是以1为首项，3为公比的等比数列，.
所以.
（2）由（1）知，.
当时，，成立；
当时，
根据，
得：.
令 ①
则 ②
①-②得：
.
所以.
所以，当时，.
又，
所以，当时，.
综上所述，对任意，恒有.
82．已知数列的前n项和为，已知，．
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）先根据和项与通项关系得，再根据等差数列定义以及通项公式得，即得结果；
（2）先利用放缩得，（），再利用裂项相消法证得结果.
【详解】
解：（1）因为，
所以，
故，
即，
又因为，所以，
故为等差数列，即，亦即；
（2）显然
当时，，
故
83．正项数列的前项和为，满足对每个，成等差数列，且成等比数列.
（1）求的值；
（2）求的通项公式；
（3）求证：
【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析
【分析】
（1）根据对和成立，得到两个方程，根据成等比数列得到一个方程，三个方程联立组成方程组可解得；
（2）根据当时，可得，再两边除以后，可得为等比数列，利用等比数列的通项公式可求得结果；
（3）利用进行放缩后，再根据等比数列的求和公式可得结果.
【详解】
（1）由已知得
因为，所以
（2）因为成等差数列，
所以
当时，
又符合上式，所以
是首项为，公比为的等比数列
（3）因为，当时，
易知时，原不等式成立；当时，
综上，原不等式成立.
84．数列，，
（1）是否存在常数，，使得数列是等比数列，若存在，求出，的值，若不存在，说明理由.
（2）设，，证明：当时，.
【答案】（1）存在；，（2）证明见解析；
【分析】
（1）设，，由题设导出．存在，使得数列是等比数列．
（2），，当时，由得，由此能够导出当时，．
【详解】
解：（1）设可化为，
即
故解得
可化为
又
故存在，使得数列是等比数列
（2）证明：由（1）得，
故
时，
现证.
当时，，而，，
故时不等式成立
当时，由得
，
综上可得当时，.
85．已知数列满足.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）证明；
（Ⅲ）证明：.
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）证明见解析.
【分析】
（Ⅰ）由，可得证.
（Ⅱ）利用得，可得证；.
（Ⅲ）由，可得证.
【详解】
（Ⅰ），所以.
（Ⅱ）当时，由得，所以，不等式成立；
当时，由得，所以
，
所以.
（Ⅲ），所以，当时，
.
又因为，
所以对一切成立.
86．已知数列的各项均为正数，其前项和为，且满足，，．
（1）求、的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）证明：对一切正整数，有．
【答案】（1），；（2）；（3）证明详见解析．
【分析】
（1）由得，，解得，同理可得；
（2）当时，，可得，化简构造数列为常数数列，求出的通项公式；
（3）当时，，利用放缩法证明不等式.
【详解】
（1）由得，，又，所以；
当时，得，解得；
（2），当时，，
所以，
化简得：，所以，
即，
又，所以，
故数列为常数数列，所以，得；
（3），当时，，
数列为等差数列，
所以，
当时，，原不等式成立，
当时，，
所以
，原不等式成立，
综上，对一切正整数，有．
87．已知数列满足，且.
（1）证明：；
（2）证明：.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；
【分析】
（1）对题中的递推关系合理化简证明结论；
（2）根据（1）中的结论利用累加法化简证明结论.
【详解】
证明：（1）由题得，
故，
由，
可知，
所以与同号，又，故.
（2）由（1）知，
故，
所以.
因为，
所以，
，
相加得.
所以，即，
于是，
因为，，
.
又由题知，故当时，；
当时，；
当时，
综上，.
88．已知数列、满足，，，．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）设数列的前项和为，求证：；
（Ⅲ）设数列的前项和为，求证：当时，．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）证明见解析.
【分析】
（Ⅰ）推导出数列，可得出，利用基本不等式可得出，再由可得出，利用作差法证得，进而可证得结论；
（Ⅱ）由可得出，结合可推导出，进而得出，再利用放缩法可证得结论成立；
（Ⅲ）由可推导出，进而可得出，再利用累加法及等比数列的求和公式即可证明．
【详解】
（Ⅰ）因为，则为常数数列，
又，，且，则，
故，，易知，
所以（当且仅当时取等号），
因为，因此．
又，所以；
（Ⅱ）由，有，
又，则，则；
故，即，
所以，
当时，；
当时，，
因此，的前项和；
（Ⅲ）由，得，
又，则，故，
所以，
因此，的前项和．
89．已知数列满足，，．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）证明：；
（Ⅲ）若，记数列的前项和为，证明：．
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）详见解析．
【分析】
（Ⅰ）利用导数证明出不等式对任意的恒成立，然后利用数学归纳法可证得；
（Ⅱ）利用分析法，得出，然后构造函数，利用导数证明出在区间上单调递增，进而可得出，即可证得结论；
（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）可推导出，再由可得出，再利用放缩法结合等比数列的求和公式证明结论．
【详解】
（Ⅰ）设，其中，，
所以，函数在区间上单调递增，则，则.
再用数学归纳法证明.
①因为，所以，由知；
②假设当时，，
则当时，因为，所以，
由得，
综上由①②知对一切恒成立；
（Ⅱ）要证，即证，其中，
令，则，
所以，函数在区间上单调递增，从而，
即，得证；
（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）知，.
因为当时，，
又，所以，所以，
构造数列，则，即，
所以，数列从第项开始单调递减，此时，，则，
则，可得，
从而，
又时，，所以得证．
90．在数列中，已知，其中.
（1）求的值，并证明：；
（2）证明：；
（3）设，求证：.
【答案】（1），证明见解析.（2）证明见解析.（3）证明见解析
【分析】
（1）根据题中的条件，利用作商法证明；
（2）通过合理放缩利用裂项相消法证明结论；
（3）根据（2）中的结论合理放缩利用裂项相消法证明结论或合理放缩后得到等比数列，利用等比数列的求和公式证明结论.
【详解】
证明：（1）由题意得.
，
所以.
当且仅当时取等号，但，∴，故.
（2）
由（1）知得，
于是.
又
，
故.
（3）由（2）知，
令，
则，
当时，成立；
当时，，即.
综上可知，.
91．已知数列满足：，，前项和为的数列满足：，，又.
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：.
【答案】（1）； （2）证明见解析.
【分析】
（1）由题意，变形可得，故，即得数列是等比数列，即可求得结论；
（2）由题意可得，故只需证，故利用放缩法求得的范围，即可得出结论．
【详解】
（1），
，易知，
两边同除以得，
又，
可得
又，
故
（2），
，
故只需证，
由条件
一方面：当时
当，时，
另一方面：当，时，所以
当，时，
92．已知数列，.
(1)记，证明:是等比数列；
(2)当是奇数时，证明:；
(3)证明:.
【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析
【分析】
（1）对递推关系进行变形得，从而证明是等比数列；
（2）由(1)得，代入所证式子，再利用放缩法进行证明；
（3）由(2)可知，对分偶数和奇数计论，放缩法和等比数列求和，即可证明结论.
【详解】
(1)∵，∴，且
所以，数列是首项为，公比为3的等比数列.
(2)由(1)可知
当k是奇数时，
(3)由(2)可知，
当为偶数时，
当为奇数时，
所以.
93．已知数列满足,,,.
(1)证明:数列是等比数列;
(2)求数列的通项公式;
(3)证明:.
【答案】(1)证明见解析;(2);(3)证明见解析.
【分析】
（1）由，得，即可得到本题答案；（2）由，得，即可得到本题答案；（3）当时，满足题意；若n是偶数，由，可得；当n是奇数,且时，由，可得，综上，即可得到本题答案.
【详解】
(1)因为，所以，
因为，所以，
所以数列是等比数列；
(2)因为，所以，
所以，
又因为，所以，所以是以为首项，
为公比的等比数列，所以，
所以；
(3)①当时，；
②若n是偶数，
则，
所以当n是偶数时，
；
③当n是奇数，且时，
；
综上所述，当时，.
94．已知数列的首项，其前和为，且满足.
（1）用表示的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）当时，证明：对任意，都有.
【答案】(1) (2) (3)证明见解析
【分析】
（1）令即可求解；
（2）当时，通过作差法可求得，再书写一项，通过两式作差可得，分类讨论的奇偶，即可求解；
（3）可结合放缩法公式，，分别对化简后的表达式
进行放缩，
再结合裂项公式，的特点即可进一步求解
【详解】
（1）由条件得，.
（2）由条件得，
两式相减得，
故，
两式再相减得，
构成以为首项，公差为的等差数列；
构成以为首项，公差为的等差数列；
由（1）得；
由条件得，得，
从而，
解法2：
设，即
则有
时，，即
（3）证明：当时，且，由（2）可知
①当时，
②当时，
，
.
95．已知数列，的前项和分别为，，且，，．
（1）求，的通项公式；
（2）求证：．
【答案】（1），；
（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据，以及等差数列和等比数列的定义，确定数列，分别为等比数列和等差数列，再根据，，列方程组，求解，，从而确定，的通项公式．
（2）根据，确定以及的表达式，对进行放缩，，再利用裂项相消法求出，从而得证.
【详解】
（1）∵
∴．
故为等比数列，为等差数列，公差和公比均为．
由，得，解得或（舍去）．
故，．
∴为以2为首项，2为公比的等比数列，；
为以1为首项，2为公差的等差数列，．
（2）证明：∵，∴．
故
．即证．
96．已知数列，，的前n项和为．
（1）若，，求证：，其中，；
（2）若对任意均有，求的通项公式；
（3）若对任意均有，求证：．
【答案】（1）证明见解析 ；（2） ；（3）证明见解析.
【分析】
（1）求出数列的通项公式，代入所证明的不等式转化求解即可；
（2）利用递推关系，说明是首项为，公比为3的等比数列，然后求解即可；
（3）化简数列的递推关系式，得出是首项为1，公差为1的等差数列，求出的通项公式，用倒序相加法求数列的前项和，利用（1）结论进行放缩，然后证明即可.
【详解】
解：（1）由已知为等差数列，且，
，
即
；
（2）
所以是首项为，公比为3的等比数列，
故，
，
；
（3）
即是首项为1，公差为1的等差数列，
故，
记，
由（1）知
，
证明：
又
，
即，
故
两式相加得
，
即.
97．已知数列，，，设，其中表示不大于的最大整数．设，数列的前项和为．求证：
（1）判断与的大小，并说明理由；
（2）证明：；
（3）证明：当时，．
【答案】（1），证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【分析】
（1）先猜想：，再用数学归纳法证明即可．
（2）先求，由（1）即可证明．
（3）由，确定，
再由，根据（2）由不等式证明放缩法即可求出范围．
【详解】
（1）猜想：．
用数学归纳法证明如下：
（ⅰ）当时，，结论成立；
（ⅱ）假设时结论成立，即，则，，则时,结论成立．
（ⅲ）由（ⅰ）（ⅱ）可得，对任意，成立．
（2）．
（3）易求得，，，于是，，，，
，，，，
，所以．
．
，有，
，
．
又，
而，
．
综上，当时，．
98．已知数列中，.
（1）证明：是等比数列；
（2）当是奇数时，证明：；
（3）证明：.
【答案】(1)见解析.
(2)见解析.
(3)见解析.
【解析】
分析：（1）由可得，由此可得数列为等比数列．（2）结合（1）中所得的数列的通项公式，利用放缩法证明即可．（3）根据（2）中的结论分为偶数和为奇数两种情况分别转化为等比数列的求和问题可证得结论成立．
详解：（1）∵
∴，
又，
∴数列是首项为，公比为2的等比数列．
(2)由（1）可知故．
当是奇数时，
．
(3)由（2）可知，
当为偶数时，，
∴
．
当为奇数时，，且，
∴
．
综上可得．
99．已知数列满足：．
（1）证明：当时，；
（2）证明：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】
（1）由可得，
所以，
，
……
，
，
以上各式两边分别相乘得，
又，所以，故当时，．
（2）要证不等式，
可先设法求和：，再进行适当的放缩，显然，
因为，所以，所以，
所以 ，
因为，所以，又，所以，
所以，所以．
100．已知数列满足，，，记，分别是数列，的前项和，证明：当时，（1）；（2）；（3）.
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析.
【分析】
（1）作差，证明单调递减即可得证；
（2）将递推公式变形，，再求和，即可得证；
（3）对作出适当放缩，再求和，即可得证.
【详解】
（1）由及知，故，
∴，；
（2）由，得，从而
，
又∵，∴，；
（3）由（2）知，，由，得，∴当时，，
由此，
又∵，∴，另一方面，由，得，
综上，.
专题16 数列放缩证明不等式必刷100题
1-100题
提示:几种常见的数列放缩方法：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）
；
（10）
；
（11）；
（12）.
一、单选题
1．2018年9月24日，英国数学家M.F阿帝亚爵在“海德堡论坛”展示了他“证明”黎曼猜想的过程，引起数学界震动，黎曼猜想来源于一些特殊数列求和.记无穷数列的各项的和，那么下列结论正确的是
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由时，，由裂项相消求和以及不等式的性质可得,排除，再由前3项的和排除，，从而可得到结论.
【详解】
由时，，
可得，
时，，可得,排除，
由，可排除,故选C.
2．已知数列满足，，且，，则下列说法中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
分析得出，可判断出CD选项的正误；分析得出，利用累加法可判断出A选项的正误；当时，分析得出，利用放缩法可判断D选项的正误.
【详解】
由已知，数列满足，，且，，
即，
故，
由，，有，，故与同号，
因为，则，，，
以此类推可知，对任意的，，
所以，，则，所以，，D错；
，C对；
因为，则，，，，
累加得，所以，，可得，A对；
当时，，
故，B对.
故选：D.
3．已知数列满足，，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
利用数列的单调性可判断A选项的正误；利用放缩法得出，，利用放缩法可判断BCD选项的正误.
【详解】
由，可得出，，，
以此类推可知，对任意的，，所以，，即，
所以，数列为单调递增数列，故，A错；
在等式的两边同时除以可得，其中且，
所以，，，，，
累加得，所以，，则，故.
故D错误；
对于，
所以，，，，，
累加得，可得，则，
所以，，故， .
故选：B.
4．已知数列满足，，若，对任意的，恒成立，则的最小值为（ ）．
A． B． C． D．3
【答案】D
【分析】
先根据已知的递推关系式得到，然后结合基本不等式得到，进而得到，最后利用此不等式对放缩，并利用等比数列的前项和公式求解即可．
【详解】
由，得，
又，所以．
由，
可得，当且仅当时等号成立，
因为，，
所以，所以，
所以，
所以，
所以．
又对任意的，恒成立，
所以，
故的最小值为3．
故选：D
5．已知数列的前项和为，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，则 B．当时，则
C．当时，则 D．当时，则
【答案】B
【分析】
利用不等式放缩和裂项相消法对各选项进行分析和计算，即可求出结果.
【详解】
对于选项A，当时，，
所以，故选项A错误；
对于选项B，当时，，
又，所以
所以
，故选项B正确；
对于选项C，当时，，
所以
，故选项C错误；
对于选项D，当时，，
所以
，故选项D错误；
故选：B.
第II卷（非选择题）
二、解答题
6．已知数列满足，.
（1）证明：数列为等差数列；
（2）设，证明：.
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析
【分析】
（1）根据1，结合等差数列的定义可证结论；
（2）由（1）知，，根据放大后裂项求和，可证不等式成立.
【详解】
（1）因为，
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列.
（2）由（1）知，，
所以，当时，，
所以.
7．已知数列的前n项和为，对任意正整数n，点都在函数的图象上，且在点处的切线的斜率为.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）把点的坐标代入函数的解析式中，结合进行求解即可；
（2）根据导数的几何意义，运用放缩法，结合等比数列前项和公式进行证明即可.
【详解】
（1）解：依题意可知，当时，
，
当时，也符合上式，
∴；
（2）证明：∵，∴，，∴，
∴，
∴原不等式成立.
8．已知等差数列的前n项和为，且，又．
求数列的通项公式；
若数列满足，求证：数列的前n项和．
【答案】（1）（2）证明见解析
【分析】
直接利用等差数列前n项和公式求出数列的公差，进一步求出数列的通项公式．
利用等比数列的求和公式和放缩法的应用求出数列的和．
【详解】
解：设的公差为d,因为，又．
所以，解得．
故．
证明：由于，所以，
所以．
9．已知等差数列满足，，的前n项和为．
（1）求及；
（2）记，求证：．
【答案】（1），
（2）见详解
【分析】
（1）利用等差数列的通项公式和前项和公式可求解。
（2）由（1）的结论，利用裂项求和即可得出，再利用单调性即可证明结论。
【详解】
（1）设等差数列的公差为d，，
解得 ，
（2）由（1）可知：
所以 ，
10．公差不为0的等差数列的前项和为，若，，，成等比．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，证明对任意的，恒成立．
【答案】（1）；（2）见解析．
【详解】
试题分析：（1）由已知，把此等式用公差表示出来，解得后可得通项公式；（2）由（1）计算出，为了证明不等式，要想办法求出和，但此和不可能求出，为了证不等式，由（），这样和通过放缩后就可求得，从而证得不等式成立．
试题解析：（1）设数列的公差为
由题
∵，∴
（2）由（1）得，∴，当时，成立.
当时，，
∴成立，
所以对任意的正整数，不等式成立．
考点：等差数列的通项公式，放缩法证明不等式．
11．已知数列{an}的前n项和为 Sn（n∈N*），且a1＝2．数列{bn}满足b1＝0，b2＝2，，n＝2，3，…．
（Ⅰ）求数列 {an} 的通项公式；
（Ⅱ）求数列 {bn} 的通项公式；
（Ⅲ）证明：对于 n∈N*，．
【答案】（Ⅰ）＝2n，（Ⅱ），（Ⅲ）见解析.
【分析】
（Ⅰ）利用Sn，可得2Sn＝（n+1）an，再写一式2Sn+1＝（n+2）an+1，两式相减可得，利用叠乘法，可求数列 {an} 的通项公式；
（Ⅱ）根据b1＝0，b2＝2，，利用叠乘法，可求数列 {bn} 的通项公式；
（Ⅲ）先证明，再利用等比数列的求和公式，即可得到结论．
【详解】
（Ⅰ）解：∵Sn，∴2Sn＝（n+1）①，
∴2Sn+1＝（n+2）②，
∴①﹣②可得2＝（n+2）﹣（n+1），
∴
当n≥2时，
∵＝2
∴数列 {} 的通项公式为＝2n；
（Ⅱ）解：∵b1＝0，b2＝2，，n≥2，
∴n≥3时，
＝0，＝2满足上式，
∴数列 {} 的通项公式为；
（Ⅲ）证明：
当k≥2时，
∴
∵＝0，
∴2n﹣1﹣1
∴对于n∈N*，
12．已知函数的导函数，数列的前项和为，点均在函数的图象上．若
（1）当时，试比较与的大小；
（2）记试证.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据条件得到解析式，得到，再求出的通项，从而得到的通项，再对二项展开，从而得到与的大小；（2）对进行放缩，然后得到的值，证明不等式.
【详解】
（1）
.
，
故，
当时，，
当时，适合上式，
因此.
从而，
当时，
故
（2），，
.
13．已知数列满足．
⑴求;
⑵求数列的通项公式；
⑶证明：
【答案】解：⑴；⑵；⑶证明过程见详解．
【分析】
⑴根据，逐项求解，即可求出结果；
⑵由，得到是等比数列，进而可求出结果.
⑶先由
得到．
再由放缩法，即可得出结果.
【详解】
(1)因为数列满足
所以，，故．
⑵因为
所以
所以是以为首项，2为公比的等比数列．
可得
即．
(3)因为
所以．
又因为
所以
故此．
14．数列满足：；数列满足：，且.
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，证明：；
（3）设，证明：.
【答案】
（1） ，
（2）证明见解析
（3）证明见解析
【分析】
（1）当时，,与条件等式两边相减，即得数列的通项公式，再利用累乘法求数列的通项公式；
（2）利用错位相减法求得，再利用单调性证明得解；
（3）只需证明，再通过放缩和裂项相消证明不等式.
（1）
当时，;
当时，
与条件等式两边相减，得
所以.
所以=1,
.
故有
所求通项公式分别为和
（2）
①
②
①-②：
所以，
所以
所以递增
所以
又当时，
所以
（3）
只需证明
当时，.
所以
故原不等式成立
15．在下列条件：①数列的任意相邻两项均不相等，且数列为常数列，②，③中，任选一个，补充在横线上，并回答下面问题.
已知数列的前n项和为，___________.
（1）求数列的通项公式和前n项和；
（2）设，数列的前n项和记为，证明：.
【答案】
（1），；
（2）证明见解析.
【分析】
（1）选①：由题意，，所以或，又因为数列的任意相邻两项均不相等，且，所以数列为，即，
构造等比数列即可求解；选②：由，，两式相减可得，以下过程与①相同；选③：由，可得，
又，时，，所以，因为，所以也满足上式，所以，即，以下过程与①相同.
然后由分组求和法可得前n项和；
（2）由（1）求出，，则，利用裂项相消求和法求出前n项和记为即可证明.
（1）
解：选①：因为，数列为常数列，
所以，解得或，
又因为数列的任意相邻两项均不相等，且，
所以数列为，
所以，即，
所以，又，
所以是以为首项，公比为的等比数列，
所以，即；
选②：因为，，
所以两式相减可得，即，以下过程与①相同；
选③：由，可得，
又，时，，所以，
因为，所以也满足上式，
所以，即，以下过程与①相同；
所以；
（2）
解：由（1）知，，
所以，
所以
.
16．已知各项均为正数的数列的前项和满足，且，.
（1）求的通项公式；
（2）设数列满足，并记为的前项和，求证：，.
【答案】
（1）
（2）证明见解析
【分析】
（1）由项和转换可得，结合，可得，分析即得解；
（2）由可得，利用对数运算性质可得，利用放缩即得证
（1）
由，
结合，因此，
由，
得，又，得，
从而是首项为2公差为3的等差数列，
故的通项公式为.
（2）
由，故
即
可得，从而
，
∵，
∴，
于是
，
∴.
17．已知数列中，，
（1）求的通项公式；
（2）设， ，求证：
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据当时，变形为，得到数列等比数列，再利用累加法求解；
（2）由（1）得到时，，再利用裂项相消法求解.
【详解】
（1）因为
当时，变形为，
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，
所以，
所以，
，
所以.
（2）由（1）知：当时，，
所以，
.
18．数列满足，是的前n项的和，．
（1）求；
（2）证明：．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【分析】
（1）通过累乘法求通项，再求前n项和即可.
（2）通过二项展开式直接放缩即可求解．
【详解】
解：（1）当时，由
②-①得，即．
，
又得，故．
（2）证明：
因此，
另一方面，易证
则．
因此，有，当时，，左边等号成立．
19．已知各项均为正数的数列的前n项和为，且，
（1）求证：；
（2）求证：．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】
（1）运用基本不等式放缩；
（2）放缩后构造成等差数列求和．
【详解】
（1）在条件中，令，得，，，
又由条件，有，上述两式相减，
注意到得．
，，故，
，，
，即证．
（2），，
；
．
20．已知数列的首项，，、、．
（1）证明：对任意的，，、、；
（2）证明：.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）推出数列是等比数列，确定该数列的首项和公比，可求出数列的通项公式，进而可求得的通项公式，然后利用配方法可证得结论成立；
（2）取，由（1）中的结论结合等比数列求和可证得所证不等式成立.
【详解】
（1）对任意的，，则，
因为，可得，，，
以此类推，可知，对任意的，，且有，
所以，数列是等比数列，且首项为，公比为，
所以，，解得，，
对任意的，，
，得证；
（2）由（1）可知，对任意的，
有
取，
所以，，故原不等式成立.
21．已知数列满足，.
（1）证明：数列是等差数列；
（2）令，证明：.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）依题意可得，再两边取倒数，即可得到，从而得证；
（2）由（1）可得，则，利用放缩法得到，再利用裂项相消法求和即可得证；
【详解】
解：（1）因为，所以，
因为，所以﹐
所以
所以
又因为.所以是以1为首项，公差为1的等差数列.
（2）由（1）得，所以，
所以，所以，
所以
即.
22．已知正项数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，证明：当时，.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）利用结合已知条件可得，而，从而得，进而可求出数列的通项公式；
（2）由（1）可得，则，再利用放缩法可得，从则得，化简可得结果
【详解】
（1）由得，则
，
化简得
，
又，故
.
当时，解得，因此数列的通项公式为.
（2）由题意，.
由于，且，
所以
，
化简得
.
23．已知数列的前n项和为，若.
（1）求通项公式；
（2）若，为数列的前n项和，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）先求首项，再应用与的关系，构造两式并相减消去，得到递推关系从而证明是等比数列，求出通项公式；
（2）化简通项，法一放缩变形为可裂项形式，再裂项求和证明不等式，注意放缩成立条件，法二放缩为等比数列再公式法求和.
【详解】
（1）由①，令，得.
当时，有②，①②两式相减得，
即，又，则，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故；
（2）法一：，
当时，，
当时，，
，则
故
.
综上，.
法二：
由真分数性质，若则，
， ，
.故命题得证.
24．已知数列满足，，.
（1）设，求证：数列是等比数列；
（2）设数列的前项和为，求证：，.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）直接利用定义证明即得证；
（2）分析得到，再利用等比数列求和得证.
【详解】
解：（1），，
则，
又，
所以数列是等比数列；
（2）由（1）得，，，
，，
，，
，
当时，，
又，
综上，，.
25．已知数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）递推相减之后得到，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，则．
（2）先由放缩法得到，进而累加相消得出结果.
【详解】
（1）因为，
所以，
两式相减得，因此．
当时，，又，则，
所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，则．
（2）由（1）得，
则．
26．已知数列的前n项和为，，．
（1）求证为等比数列；
（2）求证：．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由已知得，即，可证明是等比数列；
（2）有（1）知，即，合理利用放缩然后利用裂项相消可得证明.
【详解】
证明：（1）∵数列的前n项和为，，，∴，
∴，，∴是以为首项，以4为公比的等比数列．
（2）∵是以为首项，以4为公比的等比数列，∴，∴．∴．
，，所以，
当时，
∴
．
综上所述，．
27．已知数列的前项和为，，数列是公差为的等差数列.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求证：对于任意的，.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.
【分析】
（1）由，所以，可得， 当时有，又，即可得解；
（2） 首先由，通过放缩和裂项可得：
，求和即可得解.
【详解】
（Ⅰ）数列是公差为的等差数列，且 ，
可得，，
，又，
（Ⅱ）
，
当时，
，
又
，
又，
28．已知数列满足，，，.
（1）（i）证明：数列是等差数列；
（ii）求数列的通项公式；
（2）记，，，证明：当时，.
【答案】（1）（i）证明见解析；（ii）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）（i）根据与相除可得，变形得，从而可证数列是等差数列；
（ii）根据（i）中等差数列的通项公式可得结果；
（2）求出，根据可证，根据可证.
【详解】
（1）（i）当时，，
所以，
两式相除得，
所以，所以，
所以.
又，故，故也成立.
∴，
∴为等差数列
（ii）由（i）得，，即.
（2）因为，
∴
∴
，
又，
所以，
.
29．已知数列满足，，数列是公比为正数的等比数列，，且，，8成等差数列.
（1）求数列，的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和.
（3）若数列满足，求证：.
【答案】（1），；（2）；（3）证明见解析.
【分析】
（1）证明数列是等差数列，即得数列的通项公式，求出即得数列的通项公式；
（2）先求出，再利用裂项相消法求出数列的和；
（3）利用放缩法证明不等式即可.
【详解】
（1）数列满足，，
所以（常数），
所以数列是等差数列，
故，
数列是公比为的正数的等比数列，，且，，8成等差数列．
所以，解得．
所以．
故，.
（2）数列满足，
所以，
．
（3）数列满足，
所以，
，
，
，
．
30．已知数列的首项，其前项和为，且满足，，其中．
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：．
【答案】（1）；（2）答案见解析
【分析】
(1)由题可得，又有当时，得，所以，故可判断数列是公比为4的等比数列，则可得其通项公式；
（2）由（1）得，利用不等式放缩得，叠加即可证明.
【详解】
（1）因为，
所以当时，，所以；
又当时，，所以，得，
故有，
所以数列是公比为4的等比数列，则有；
（2）由（1）得
因为，
所以，
又，
所以
，
综上所以有
31．已知数列满足，的前项和满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前项和为，证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由求得，令，由得出，两式作差可得出，推导出数列是等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列的通项公式，进而可求得数列的通项公式；
（2）推导出，然后利用放缩法结合等比数列的求和公式可证得成立.
【详解】
（1）当时，，，
当时，，，作差得，
整理得，且，
又，所以，数列是以为首项，以为公比等比数列，，
因此，；
（2）当时，；
当时，，
.
综上所述，对任意的，.
32．已知数列，满足，
（1）若，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式：
（2）若，
（i）求证：；
（ii）
【答案】（1）证明见解析；；（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.
【分析】
（1）将代入化简，得到即可求解；
（2）判断数列的单调性可得，通过适当放缩得到和，进一步化简可得结果.
【详解】
（1）∵
∴与同号，
∴，
∴，即
∴数列是等差数列，公差为，首项为
∴；
∴，
（2）（i）由（1）知
∵
∴是递减数列，且
∴
（ii），
∴，
∴，
由（i）知
∴，
∴
综上所述，
33．已知数列满足，，
（1）求;
（2）若数列满足，，求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【分析】
（1）用累乘法求得通项；
（2）求出满足不等式，从开始用放缩法，然后利用累加法求和可证结论．
【详解】
（1）由题意（），
∴，也适合．
所以（）；
（2）由已知，，，
当时，，
因此，
则
综上，．
34．设等差数列的前项和为，.
（1）求与；
（2）设，证明：.
【答案】（1），；（2）证明见解析．
【分析】
（1）把已知用和表示后解得，然后可得通项公式和前项和公式；
（2）写出，利用放缩法有，然后求和可证明不等式成立．
【详解】
（1）设等差数列的公差为，则由得，解得，∴，；
（2）由（1），
∴
．
35．已知数列满足：，，.
（1）求证是等差数列并求；
（2）求数列的前项和；
（3）求证：.
【答案】（1）证明见解析，；（2）；（3）证明见解析.
【分析】
（1）利用等差数的定义结合已知的递推式证明即可；
（2）由（1）可知，然后利用错位相减法求；
（3）由及可得，从而再利用放缩法可证得结果.
【详解】
（1）证明：，
∴是首项为，公差为1的等差数列，
∴，∴.
（2）∵，
∴，
两式相减得：，
，
∴.
（3）证明：∵，∴，∴，
当时，，∴，
∴，
∴
.
36．已知数列满足，
（1）求证：是等比数列；并写出的通项公式
（2）求证：对任意，有
【答案】（1）见解析，（2）见解析
【分析】
（1）由已知式求得，写出，然后作差得递推关系，凑配后可得是等比数列，从而可得通项公式．
（2）用放缩法求和，但前2项不放缩．
【详解】
（1）证明：，，
时，，相减可得：，即，
变形为：
时也成立.是等比数列，首项为3，公比为3．∴，
∴．
（2）
37．已知是正项等比数列的前n项和，且，是，的等差中项．
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：．
【答案】（1）（2）见解析
【分析】
（1）由题得，解方程组得，，即得数列的通项公式；
（2）①当，2时不等式显然成立；②当时，，再证明即得解.
【详解】
（1）设数列的公比为q，由题意得，
则，
因为，所以两边同时除以得
，
因为，所以，
代入，
解得，所以．
（2）①当，2时不等式显然成立；
②当时，．
所以
综合得原不等式成立.
38．已知数列满足，前项和满足是正项等比数列，且是和的等比中项.
（1）求数列和的通项公式；
（2）求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析；
【分析】
（1）根据题中的条件利用数列的通项与前n项和的关系求解数列的通项公式，根据等比中项的概念求解数列的公比，从而得到其通项公式；
（2）根据（1）中的结论合理放缩，结合等比数列的求和公式证明结论.
【详解】
（1）当时，由，
得，
相减得.
当时，符合上式，.
设的公比为，
由题意得，即，
又.
（2）证明：由题意得，
.
39．已知各项均为正数的数列满足：，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，，求；
（3）若数列满足，，求证：.
【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.
【分析】
（1）利用递推公式，结合累加法即可容易求得通项公式；
（2）根据（1）中所求，结合裂项求和法即可容易求得；
（3）利用（1）中所求，即可求得，以及，对进行放缩，即可容易求得.
【详解】
（1）∵，∴，
∴，
∴，
当时，也适合，
∴.
（2）由（1）知，
∴.
（3）∵，
所以，
令，所以，
因为，所以，
所以，
所以.
40．已知数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列的前项和为，证明：．
【答案】（1）．（2）见解析
【分析】
（1）令求得的值，令，由得出，两式相减得出，由此可得出数列为常数列，进而可求得数列的通项公式；
（2）利用放缩法得出，再利用不等式的基本性质和裂项求和法可证得所证不成立成立.
【详解】
（1）当时，，即，
当时，①，
②，
①②，得：，即，
，且，
数列是以每一项均为的常数列，则，即；
（2）由（1）得，，
.
41．已知各项为正数的数列满足：且．
（1）证明：数列为等差数列．
（2）若，证明：对一切正整数n，都有
【答案】（1）证明见解析．（2）证明见解析．
【分析】
（1）根据所给递推公式，将式子变形，即可由等差数列定义证明数列为等差数列.
（2）根据数列为等差数列，结合等差数列通项公式求法求得通项公式，并变形后令.由求得的取值范围，即可表示出，由不等式性质进行放缩，求得后，即可证明不等式成立.
【详解】
（1）证明：各项为正数的数列满足：
则，，
同取倒数可得，
所以，
由等差数列定义可知数列为等差数列．
（2）证明： 由（1）可知数列为等差数列．，
则数列是以为首项，以为公差的等差数列.
则，
令，
因为，
所以，
则，
所以，
所以
，
所以
由不等式性质可知，若，则总成立，
因而，
所以
所以
不等式得证.
42．已知数列满足：，.
（I）求证：数列是等比数列；
（II）设的前项和为，求证.
【答案】（I）证明见解析；（II）证明见解析.
【分析】
（I）证明出为非零常数，即可得出结论；
（II）利用（I）中的结论，确定数列的首项和公比，求出该数列的通项公式，进而得出，利用放缩法得出，然后分和两种情况证明不等式，由此可得出结论.
【详解】
（I），，
因此，数列是等比数列；
（II），所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，
，，
当时，；
当时，，
.
综上所述，对任意的，.
43．记 为等差数列 的前 项和，若 ， .
（1）求 和 ；
（2）当 时，证明： .
【答案】（1） ，；；（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据 ，，利用“”法求解.
（2）由（1）知，，则，再利用数列求和证明.
【详解】
（1）设公差为 ，则 ，
解得 ，
所以 ，；
（2）当 时， ，
所以当 时，
，
，
，
当 时， .
综上所述，原命题成立.
44．已知正项数列满足，.
（1）证明：数列是等比数列；
（2）证明：.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）将题干中的等式因式分解后得出，由此得出，再利用定义证明出数列为等比数列；
（2）求出，利用放缩法得出，结合等比数列的求和公式可证明出结论成立.
【详解】
（1），.
，，，即，
则有且，
数列是以为首项，以为公比的等比数列；
（2）由（1）得，即，得，
.
45．已知数列的前n项和记为，且满足n、、成等差数列．
Ⅰ求，的值，并证明：数列是等比数列；
Ⅱ证明：．
【答案】(I)；见解析 (II) 见解析
【分析】
Ⅰ先根据已知条件把1，2代入，即可求出前两项，再根据n、、成等差数列，得到一个新等式，两个相结合即可证明结论．
Ⅱ根据第一问的结论得到数列的通项，对通项进行适当的放缩即可证明．
【详解】
解：Ⅰ由已知n、、成等差数列，可得；
令，可得，令，可得，，；
得：，即；
，；
有，可得．
数列是以2为首项，2为公比的等比数列．
Ⅱ由Ⅰ，．
．
．
．
．
．
46．给定数列，若满足且，且对于任意的，都有，则称数列为“指数型数列”．
1已知数列的通项公式，证明：为“指数型数列”；
2若数列满足：，；
①判断数列是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由；
②若数列的前项和为，证明：.
【答案】(1) 证明见解析；(2) ①数列是“指数型数列”， 证明见解析；②证明见解析
【分析】
1利用“指数型数列”的定义即可证明是指数型数列；（2）①数列是“指数型数列”，证明即得证；②先由题得，再利用等比数列的求和公式即得解证.
【详解】
(1)解：对于数列，任意，，
所以是指数型数列.
(2)①数列是“指数型数列”， 证明如下：
，，
所以数列是等比数列，，
，故数列是“指数型数列”．
②由①可得，；
故.
47．已知数列中，，其前项的和为，且当时，满足．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）证明：．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析
【分析】
（1）当n≥2时，Sn﹣Sn﹣1⇒Sn﹣Sn﹣1＝Sn•Sn﹣1（n≥2），取倒数，可得1，利用等差数列的定义即可证得：数列{}是等差数列；
（2）利用进行放缩并裂项求和即可证明
【详解】
（1）当时，，
，即
从而构成以1为首项，1为公差的等差数列．
（2）由（1）可知，，．
则当时．
故当时
又当时，满足题意，故．
法二：则当时，
那么
又当时，，当时，满足题意.
48．已知函数，数列中，若，且.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）设数列的前项和为，求证：.
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）将代入到函数表达式中，得，两边都倒过来，即可证明数列是等比数列；
（2）由（1）得出an的通项公式，然后根据不等式＜在求和时进行放缩法的应用，再根据等比数列求和公式进行计算，即可证出．
【详解】
（1）由函数，在数列中，若，得：，
上式两边都倒过来，可得：＝＝﹣2，
∴﹣1＝﹣2﹣1＝﹣3＝3（﹣1）．∵﹣1＝3．
∴数列是以3为首项，3为公比的等比数列．
（2）由（1），可知：＝3n，∴an＝，n∈N*．
∵当n∈N*时，不等式＜成立．
∴Sn＝a1+a2+…+an＝＝＝﹣•＜．
∴．
49．设为数列的前项和，．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【分析】
（1）令，由求出的值，再令，由得，将两式相减并整理得，计算出为非零常数可证明出数列为等比数列；
（2）由（1）得出，可得出，利用放缩法得出，利用等比数列求和公式分别求出数列和的前项和，从而可证明出所证不等式成立.
【详解】
（1）当时，，解得；
当时，由得，
上述两式相减得，整理得.
则，且.
所以，数列是首项为，公比为的等比数列；
（2）由（1）可知，则．
因为，
所以.
又因为，
所以．
综上，．
50．已知数列中，，其前项和满足：．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令，数列的前项和为，证明：对于任意的，都有．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析
【分析】
（Ⅰ）由，可得，即数列时以1为首项公比为2的等比数列，即可求解．（Ⅱ），当时，，当时，，即有．
【详解】
（Ⅰ）由，于是，
当时,，
即，
，∵，数列为等比数列，
∴，即．
（Ⅱ），
∴当时，，
当时，显然成立，
综上，对于任意的，都有．
51．已知数列的各项均不为零．设数列的前项和为，数列的前项和为，且，．
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）证明数列是等比数列，并求的通项公式；
（Ⅲ）证明：.
【答案】（Ⅰ）2，4；（Ⅱ）证明见解析，；（Ⅲ）证明见解析.
【分析】
（Ⅰ）直接给n赋值求出，的值；（Ⅱ）利用项和公式化简，再利用定义法证明数列是等比数列，即得等比数列的通项公式；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，再利用等比数列求和证明不等式.
【详解】
（Ⅰ），令，得，，；
令，得，即，，．
证明：（Ⅱ），①
，②
②①得：，
，，
从而当时，，④
③④得：，即，，．
又由（Ⅰ）知，，，．
数列是以2为首项，以为公比的等比数列，则.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，
因为当时，，所以.
于是.
52．数列前项和为，已知
（1）求数列的通项公式；
（2）证明．
【答案】（1） ；（2）证明见详解.
【分析】
(1)由已知结合可得，变形得，利用叠加法可求.
(2)由可得，用放缩法证明不等式.
【详解】
(1)由,得，
以上两式相减得，
则.
两边同除以，可得.
，
，
…，
，
以上个式子相加得，
又，则，
所以.
(2)证明：因为，
所以.
所以.
记，
则，
当时，，
可得，
所以.
所以.
53．已知数列满足，.
(1)若为不恒カ0的等差数列，求；
(2)若，证明：.
【答案】（1）1；（2）证明见解析.
【分析】
(1)通过对变形、整理可以知道,设,利用等式恒成立列方程组求解即可；(2)利用放缩可以知道,通过叠加可以知道,利用，并项相加可以得到.
【详解】
(1)数列为不恒为0的等差数列,
可设,
,
,
,
,
,
整理得:,
,
计算得出: 或 (舍),
，
；
(2)易知,
,
，
两端同时除以,得：，
，
，
，
叠加得：，
又
，
又，
，
，
.
54．数列的前n项和为，且满足，
Ⅰ求通项公式；
Ⅱ记，求证：．
【答案】Ⅰ；Ⅱ见解析
【解析】
【分析】
Ⅰ直接利用递推关系式求出数列的通项公式．
Ⅱ利用等比数列的前n项和公式和放缩法求出数列的和．
【详解】
解：Ⅰ，
当时，，
得，
又，
，
数列是首项为1，公比为2的等比数列，
；
证明：Ⅱ，
，
时，，
，
同理：，
故：．
55．已知正项数列满足.
（1）求证:，且当时，；
（2）求证:.
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【分析】
（1）由a1﹣a12=a2＞0，解得0＜a1＜1．用数学归纳法证明即可，
（2）记f（x）=ln（1+x）﹣，x＞0，求导，利用导数判定单调性，再利用放缩法即可证明．
【详解】
证明：（1）由，解得．
下用数学归纳法证明：当时，
①当时，．
所以不等式成立；
②假设当时，不等式成立，即
则当时，有
,
.
则当时，不等式也成立．
综合①②，当时，都有．
（2）记
当时，
所以在上是增函数，则，即
令，则，
从而有．
56．已知数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和，a1＝b1＝1，S2＝.
(1)若b2是a1，a3的等差中项，求数列{an}与{bn}的通项公式；
(2)若an∈N＋，数列{}是公比为9的等比数列，求证：＋＋＋…＋＜.
【答案】（1）an＝2n－1，bn＝3n－1或an＝6－5n，bn＝(－4)n－1.（2）证明见解析．
【分析】
（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.利用等比数列的性质求出d，q，再求出通项公式.（2）利用数列{ban}是公比为9的等比数列，求出d＝2，q＝3.再放缩成能利用裂项求和的方法即可.
【详解】
(1)解：设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.
因为S2＝，所以a1＋a1＋d＝.
而a1＝b1＝1，则q(2＋d)＝12.①
因为b2是a1，a3的等差中项，
所以a1＋a3＝2b2，
即1＋1＋2d＝2q，
即1＋d＝q.②
联立①②，
解得或
所以an＝1＋(n－1)·2＝2n－1，bn＝3n－1或an＝1＋(n－1)·(－5)＝6－5n，bn＝(－4)n－1.
(2)证明：因为an∈N＋，
ban＝b1qan－1＝q1＋(n－1)d－1＝q(n－1)d，
所以＝＝qd＝9，即qd＝32.③
由(1)，知q(2＋d)＝12，即q＝.④
因为a1＝1，an∈N＋，所以d∈N.
根据③④，知q＞1且q为正整数．
所以d可为0或1或2或4.但同时满足③④两个等式的只有d＝2，q＝3，
所以an＝2n－1，Sn＝＝n2.
所以＝＜＝(n≥2)．
当n≥2时，
＋＋…＋＜1＋＋＋＋…＋
＝1＋
＝1＋＝－＜.
显然，当n＝1时上式也成立．
故n∈N＋，＋＋…＋＜.
57．已知数列，，二次函数的对称轴为.
(1) 证明：数列是等差数列，并求的通项公式；
（2）设，求证：.
【答案】（1）（2）见解析
【分析】
(1)先由题得，再利用等差数列的定义证明数列是等差数列，并求的通项公式.(2)，先证明. 因为，再证明.
【详解】
由已知得，整理得，
左右同时乘以得，，
所以是以2为首项，2为公差的等差数列，
所以.
（2），，k=1,2,…n；所以
又因为， k=1,2,…n；
所以；
所以
58．已知数列的前项和满足：.
（1）数列的通项公式；
（2）设，且数列的前项和为，求证： .
【答案】（1）；（2）见解析．
【解析】
试题分析：
(1)结合通项公式与前n项和的关系可得数列是首项为，公比也为的等比数列，则.
(2)指数裂项求和放缩可得，据此裂项求和可得．据此即可证得题中的结论.
试题解析：
（1）解：当时， ，所以，
当时， ，即， ， ，
所以数列是首项为，公比也为的等比数列，
所以.
（2）证明： ．
由，
所以，
所以．
因为，所以，即．
59．已知数列满足，，．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求证：．
【答案】见解析
【解析】
试题解析：证明：（1）∵，
∴，
∴3 分
∴ 数列{}是以为首项，以1为公差的等差数列． 5 分
证法 2：由已知
即，
即（常数） 3 分
∴ 数列{}是以为首项，以1为公差的等差数列． 5分
（2）由（1）得，
所以， 6分
一方面， ∵7 分
∴ 9分
另一方面， ∵11分
∴
13分
故不等式成立． 14 分
60．数列满足，.
（1）求的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）设，求证：.
【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.
【解析】
试题分析：（1）分别令，，可得；（2）借助题设条件运用数列的递推关系求解；（3）借助题设运用放缩法和不等式的性质推证.
试题解析：
（1）令，得；令，有，得；
令，有，得.
（2）∵， （1）式
所以，当时，，（2）式
两式相减得：，∴.
当时，也适合，
∴.
（3），
当时，；当时，；
当时，，
，
综合可得：.
61．设数列的前项和为.已知,,.
(Ⅰ) 求的值；
(Ⅱ) 求数列的通项公式；
(Ⅲ) 证明:对一切正整数,有.
【答案】(Ⅰ) 4(Ⅱ) (Ⅲ)见解析
【详解】
(Ⅰ) 依题意,,又,所以；
(Ⅱ) 当时,,
两式相减得
整理得,即,又
故数列是首项为,公差为的等差数列,
所以,所以.
(Ⅲ) 当时,；当时,；
当时,,此时
综上,对一切正整数,有.
(1)直接将n换为2代入递推式求解；（2）借助进行递推转化，进而构造数列为等差数列是解题的关键，考查了学生对式子的操作能力和转化能力.(3)借助放缩法进行证明，放缩的关键是
62．已知函数，数列满足，，.
（1）求证：；
（2）求证：.
【答案】（1）见详解；（2）见详解.
【分析】
（1）先用数学归纳法证明；再的正负即可得出结论；
（2）用放缩法得到，进而可证明结论成立.
【详解】
（1）首先用数学归纳法证明，
时，显然成立；
假设，则，因为在上单调递增，所以
即也有成立.
从而，所以；
（2）
，
所以，
.
63．已知数列{an}满足.
(Ⅰ)若方程f(x)=x的解称为函数y=f(x)的不动点,求an+1=f(an)的不动点的值；
(Ⅱ)若,求证：数列{lnbn}是等比数列，并求数列{bn}的通项．
(Ⅲ)当任意时，求证：.
【答案】(Ⅰ)0或1或；(Ⅱ)答案见解析；(Ⅲ)证明见解析.
【分析】
(Ⅰ)由题意解方程即可确定不动点；
(Ⅱ)利用递推关系结合等比数列的定义可得数列是等比数列，据此即可确定数列的通项公式；
(Ⅲ)结合指数函数的增长速度比一次函数的增长速度快，利用放缩法结合等比数列前n项和公式即可证得题中的结论.
【详解】
(Ⅰ)由方程an+1=f(an)得,
解得an=0,或an=−1,或an=1.
(Ⅱ)，
，
两式相除得，据此可得，
由可以得到，则，
又，得.
故数列是以为首项，3为公比的等比数列.
.
从而.
(Ⅲ)对于任意，，
从而.
64．数列{an}满足a1=1,an+1=3an+2n．
（1）求证数列{an+2n}是等比数列；
（2）证明：对一切正整数n，有1a1+1a2+…+1an<32．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
试题分析：（1）可在递推式an+1=3an+2n的两边同时加上2n+1可得an+1+2n+1=3(an+2n)，由等比数列的定义可得证得{an+2n}是以3等比数列的等比数列；（2）根据（1）求得{an}的通项公式an=3n−2n同时放缩为3n−2n>2n(n≥2)，所以1an<12n(n≥2)，对cn=12n求和即可.
试题解析：(1)由an+1=3an+2n有,,又,
所以是以3位首项,3为公比的等比数列
(2)由(1)知
又,
故
65．已知数列满足条件：,
（1）判断数列是否为等比数列；
（2）若，令,
证明
【答案】（1）当时，不是等比数列当时，是等比数列；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由题意得 ，讨论，两种情况，利用等比数列的定义可得结论；（2）由⑴知，
可得，根据裂项相消法求和，再由放缩法可得结论.
【详解】
（1）由题意得
又
所以，当时，不是等比数列
当时，是以为首项，2为公比的等比数列．
（2）由⑴知，
故
66．已知数列中，，
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：．
【答案】(1) (2)详见解析
【分析】
(1)本题可通过得出，然后根据以及等比数列的定义即可得出数列的通项公式，最后根据数列的通项公式即可得出结果；
(2)本题可通过放缩法将转化为，再通过等比数列前项和公式即可得出结果．
【详解】
(1)因为，所以，，
因为，所以数列是以为首项、为公比的等比数列，
所以，．
(2) 由(1)可知
，
所以成立．
67．已知数列满足：是公差为1的等差数列，且
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求证：
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由于是公差为1的等差数列，可得，又化简可求数列{an}的通项公式；
（2），从而可利用叠加法求解可得．
【详解】
（1）∵是公差为1的等差数列，
∴，
∵
∴；
（2）因为，
＜2-1．
68．已知正项数列满足：﹣＝1，（n∈N+，n≥2），且a1＝4．
（1）求的通项公式；
（2）求证＜1（n∈N+）
【答案】（1）＝（n+1）2；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）由等差数列的定义可知数列是首项是2，公差为1的等差数列，从而求出的通项公式，即可求出{an}的通项公式；
（2）根据，代入，可证得不等式成立．
【详解】
（1）已知正项数列满足：﹣＝1，（n∈N+，n≥2），且a1＝4．
得数列是首项是2，公差为1的等差数列，∴
∴＝（n+1）2
（2）证明：
∴＜1﹣﹣+…+﹣＝1﹣＜1
69．已知等差数列的各项均为正数，＝3，前n项和为Sn，是等比数列，＝1，且b2S2＝64，b3S3＝960．
（1）求数列与的通项公式；
（2）求证：对一切都成立．
【答案】（1）＝2n+1，＝8n﹣1；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）由为等差数列，为等比数列，根据＝3，＝1，且b2S2＝64，b3S3＝960．列出，d，，q的关系式，求出，d，，q即可；
（2）由（1）得数列的前n项和Sn，再由裂项相消法计算，最后用放缩法即可证明.
【详解】
（1）设等差数列的公差为d（d＞0），等比数列的公比为q，
则，解得或（舍）
所以＝3+2（n﹣1）＝2n+1，＝8n﹣1．
（2）因为Sn＝3+5+…+（2n+1）＝n（n+2）
所以
＝
＝．
故对一切都成立．
70．已知正项数列的前项和为，满足．
（1）求数列的前项和；
（2）记，证明：．
【答案】
（1）
（2）证明见解析
【分析】
（1）根据，整理后，根据等差数列的性质可知是首项为1，公差为1的等差数列
（2）先对进行放缩，然后利用分母有理化进行裂项后求和.
（1）
解：由题意得：
等式两边同乘，得
整理得，由，得，即是首项为1，公差为1的等差数列
∴，；
（2）
，
∴，
，
∴，
综上可证：．
71．已知数列满足，且点在函数的图象上．
（1）求证：是等比数列，并求的通项公式：
（2）若，数列的前n项和为，求证：．
【答案】（1）证明见解析；；（2）证明见解析．
【分析】
（1）由题意得，推得，即可证明是等比数列，然后结合等比数列的定义和通项公式即可求得结果；
（2）推得，由不等式的性质和等比数列的求和公式、数列的单调性，即可求证.
【详解】
（1）由点在函数的图象上，
可得，
所以，即，
也即，
由，所以，
所以是首项和公比均为的等比数列，
则，
所以；
（2），
所以，
．
72．已知数列满足，且当时，．
（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）记，，证明：当时，．
【答案】（1）证明见解析，；（2）证明见解析.
【分析】
（1）作比构造出新数列的递推关系，从而满足等差数列定义，求得通项公式.
（2）求出Tn，Sn，利用放缩法把Sn变成可以裂项求和的和式，从而证得不等式.
【详解】
（1）因为当时，，所以，
上述两式相除，可得，所以，
所以，所以，
又，所以，，，所以，
所以，所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，所以．
（2）因为，
所以，
所以
，
所以当时，．
73．已知数列满足，．
（1）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
（2）求证：．
【答案】（1）证明见解析；；（2）证明见解析．
【分析】
（1）由题得，即得数列为等比数列，再求数列的通项公式；
（2）对分类讨论利用放缩法求证.
【详解】
（1）因为，
所以，
又，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
即，故．
（2）由，，得，
当且为偶数时，，
所以
；
当且为奇数时，为偶数，则，
由于，则．
综上，．
74．已知正项数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，数列的前项和为，，求证：．
【答案】（1），；（2）证明见解析.
【分析】
（1）先求首项，再应用与的关系，构造两式并相减消去，得到递推关系从而证明是等差数列，求出通项公式；
（2）法一：化简通项，放缩变形为可裂项形式，再裂项求和证明不等式；法二：数学归纳法证明.
【详解】
（1）当时，，解得或（舍去）；
当时，由，两式相减得，
即，又，所以，
所以数列是首项为，公差为1的等差数列，故，．
（2）由（1）得，
故，
法一：由
所以，
即．
法二： 当时，，，不等式成立；
假设当时，不等式成立，即，
那么当时，
要证，只需证，
即证明，
.
，所以当时，不等式成立．
综上，故对任意恒成立．
75．数列满足，，，.
（1）求，及(用表示)；
（2）设，求证：；
（3）求证：.
【答案】（1），，；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【分析】
（1）由递推关系及可得，，按奇数项、偶数项分别求通项.
（2）由（1）所求通项可得，进一步可得通项，再进行放缩变换即可.
（3）依（2）进行放缩可求和即可得证.
【详解】
（1）依题意，.
由知，数列是首项为2.公比为2的等比数列.
所以.
因此，
.
故数列的通项公式为.
（2）证明：由（1）知，，
当时，
.
（3）证明：
.
76．已知是公比的等比数列，且满足，，数列满足：.
（1）求数列和的通项公式；
（2）令，求证：.
【答案】（1）；；（2）证明见解析.
【分析】
（1）先根据条件解得即得通项公式；利用条件可得，再与原式两式相减可得的通项公式；
（2）先放缩，再利用裂项相消法证得不等式.
【详解】
解：（1）因为是公比的等比数列，所以
因为，，所以，，
所以
当时，，
当时①
②
将②乘2得到③
①－③，得，所以
因为当时，，所以
（2）因为
而，
所以
因此
77．设数列的前项和为，且满足，.
（1）求（用表示）；
（2）求证：当时，不等式成立.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据，代入即得，整理可得，为等差数列，即可得解；
（2）代入整理，通过放缩即可证明.
【详解】
解：（1）∵，
∴，
∴，
∴，为首项为为首项，公差为等差数列，
∴.
（2）∵，
∴时，，
时，.
78．已知函数，满足：①对任意，都有；
②对任意都有．
（1）试证明：为上的单调增函数；
（2）求；
（3）令，试证明：
【答案】（1）证明见解析；（2）66；（3）证明见解析.
【分析】
（1）对①中等式变形，利用定义法判断出的单调性；
（2）先假设，根据条件确定出的值，即可求解出的值，再结合（1）的单调性确定出的值，由此计算出结果；
（3）根据条件判断出为等比数列并求解出通项公式，利用不等式以及二项展开式采用放缩方法证明不等式.
【详解】
解：（1） 由①知，对任意，都有 ，
由于，从而，所以函数为上的单调增函数；
（2）令，则，显然，否则，与矛盾.
从而，而由，即得.
又由（1）知，即.
于是得，又，从而，即.
又由知.
于是，
，，
，，
， 由于，
而且由（1）知，函数为单调增函数，因此.
从而.
（3），
，.
即数列是以为首项，以为公比的等比数列.
∴
于是，显然，
另一方面，
从而.
综上所述，.
79．已知正项数列满足，.
（1）试比较与的大小，并说明理由；
（2）设数列的前项和为，证明：当时，.
【答案】（1），理由见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）推导出数列是等比数列，确定该数列的首项和公比，求得数列的通项公式，可求得，然后利用作差法可比较出与的大小；
（2）利用不等式的性质得出，然后分和，结合放缩法以及等比数列的求和公式证明出，即可证得结论成立.
【详解】
（1），即，，
，则且，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，
，可得，
，；
（2）当时，；
当时，由（1）可得，
则.
综上所述，对任意的，.
80．已知数列满足．
（1）求数列的通项；
（2）设，若，求证：．
【答案】（1），；（2）证明见解析．
【分析】
（1）由已知式，用代换得，相减后可求得，同时要验证也符合此表达式即可；
（2）求出，用放缩法求和，一个放缩是，
另一个放缩是，放缩求和后可证得不等式成立．
【详解】
（1）∵①，
∴时，②，
①－②得，，
又，也适合上式，
∴，；
（2）由（1）得，
由，
得，
∴，
又，，
，，
，∴，
综上，．
81．已知数列和满足，且对任意的，，.
（1）求，及数列的通项公式；
（2）记，， 求证：，.
【答案】（1）；；.；（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据递推关系，，得，再利用等比数列通项公式，即可得答案；
（2）求出，再利用错位相减法求和，进行不等式的证明；
【详解】
（1）根据，，得，
根据，得，即，
故，.同理可得，，.
根据，，得，即.
又，故数列是以1为首项，3为公比的等比数列，.
所以.
（2）由（1）知，.
当时，，成立；
当时，
根据，
得：.
令 ①
则 ②
①-②得：
.
所以.
所以，当时，.
又，
所以，当时，.
综上所述，对任意，恒有.
82．已知数列的前n项和为，已知，．
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）先根据和项与通项关系得，再根据等差数列定义以及通项公式得，即得结果；
（2）先利用放缩得，（），再利用裂项相消法证得结果.
【详解】
解：（1）因为，
所以，
故，
即，
又因为，所以，
故为等差数列，即，亦即；
（2）显然
当时，，
故
83．正项数列的前项和为，满足对每个，成等差数列，且成等比数列.
（1）求的值；
（2）求的通项公式；
（3）求证：
【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析
【分析】
（1）根据对和成立，得到两个方程，根据成等比数列得到一个方程，三个方程联立组成方程组可解得；
（2）根据当时，可得，再两边除以后，可得为等比数列，利用等比数列的通项公式可求得结果；
（3）利用进行放缩后，再根据等比数列的求和公式可得结果.
【详解】
（1）由已知得
因为，所以
（2）因为成等差数列，
所以
当时，
又符合上式，所以
是首项为，公比为的等比数列
（3）因为，当时，
易知时，原不等式成立；当时，
综上，原不等式成立.
84．数列，，
（1）是否存在常数，，使得数列是等比数列，若存在，求出，的值，若不存在，说明理由.
（2）设，，证明：当时，.
【答案】（1）存在；，（2）证明见解析；
【分析】
（1）设，，由题设导出．存在，使得数列是等比数列．
（2），，当时，由得，由此能够导出当时，．
【详解】
解：（1）设可化为，
即
故解得
可化为
又
故存在，使得数列是等比数列
（2）证明：由（1）得，
故
时，
现证.
当时，，而，，
故时不等式成立
当时，由得
，
综上可得当时，.
85．已知数列满足.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）证明；
（Ⅲ）证明：.
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）证明见解析.
【分析】
（Ⅰ）由，可得证.
（Ⅱ）利用得，可得证；.
（Ⅲ）由，可得证.
【详解】
（Ⅰ），所以.
（Ⅱ）当时，由得，所以，不等式成立；
当时，由得，所以
，
所以.
（Ⅲ），所以，当时，
.
又因为，
所以对一切成立.
86．已知数列的各项均为正数，其前项和为，且满足，，．
（1）求、的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）证明：对一切正整数，有．
【答案】（1），；（2）；（3）证明详见解析．
【分析】
（1）由得，，解得，同理可得；
（2）当时，，可得，化简构造数列为常数数列，求出的通项公式；
（3）当时，，利用放缩法证明不等式.
【详解】
（1）由得，，又，所以；
当时，得，解得；
（2），当时，，
所以，
化简得：，所以，
即，
又，所以，
故数列为常数数列，所以，得；
（3），当时，，
数列为等差数列，
所以，
当时，，原不等式成立，
当时，，
所以
，原不等式成立，
综上，对一切正整数，有．
87．已知数列满足，且.
（1）证明：；
（2）证明：.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；
【分析】
（1）对题中的递推关系合理化简证明结论；
（2）根据（1）中的结论利用累加法化简证明结论.
【详解】
证明：（1）由题得，
故，
由，
可知，
所以与同号，又，故.
（2）由（1）知，
故，
所以.
因为，
所以，
，
相加得.
所以，即，
于是，
因为，，
.
又由题知，故当时，；
当时，；
当时，
综上，.
88．已知数列、满足，，，．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）设数列的前项和为，求证：；
（Ⅲ）设数列的前项和为，求证：当时，．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）证明见解析.
【分析】
（Ⅰ）推导出数列，可得出，利用基本不等式可得出，再由可得出，利用作差法证得，进而可证得结论；
（Ⅱ）由可得出，结合可推导出，进而得出，再利用放缩法可证得结论成立；
（Ⅲ）由可推导出，进而可得出，再利用累加法及等比数列的求和公式即可证明．
【详解】
（Ⅰ）因为，则为常数数列，
又，，且，则，
故，，易知，
所以（当且仅当时取等号），
因为，因此．
又，所以；
（Ⅱ）由，有，
又，则，则；
故，即，
所以，
当时，；
当时，，
因此，的前项和；
（Ⅲ）由，得，
又，则，故，
所以，
因此，的前项和．
89．已知数列满足，，．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）证明：；
（Ⅲ）若，记数列的前项和为，证明：．
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）详见解析．
【分析】
（Ⅰ）利用导数证明出不等式对任意的恒成立，然后利用数学归纳法可证得；
（Ⅱ）利用分析法，得出，然后构造函数，利用导数证明出在区间上单调递增，进而可得出，即可证得结论；
（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）可推导出，再由可得出，再利用放缩法结合等比数列的求和公式证明结论．
【详解】
（Ⅰ）设，其中，，
所以，函数在区间上单调递增，则，则.
再用数学归纳法证明.
①因为，所以，由知；
②假设当时，，
则当时，因为，所以，
由得，
综上由①②知对一切恒成立；
（Ⅱ）要证，即证，其中，
令，则，
所以，函数在区间上单调递增，从而，
即，得证；
（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）知，.
因为当时，，
又，所以，所以，
构造数列，则，即，
所以，数列从第项开始单调递减，此时，，则，
则，可得，
从而，
又时，，所以得证．
90．在数列中，已知，其中.
（1）求的值，并证明：；
（2）证明：；
（3）设，求证：.
【答案】（1），证明见解析.（2）证明见解析.（3）证明见解析
【分析】
（1）根据题中的条件，利用作商法证明；
（2）通过合理放缩利用裂项相消法证明结论；
（3）根据（2）中的结论合理放缩利用裂项相消法证明结论或合理放缩后得到等比数列，利用等比数列的求和公式证明结论.
【详解】
证明：（1）由题意得.
，
所以.
当且仅当时取等号，但，∴，故.
（2）
由（1）知得，
于是.
又
，
故.
（3）由（2）知，
令，
则，
当时，成立；
当时，，即.
综上可知，.
91．已知数列满足：，，前项和为的数列满足：，，又.
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：.
【答案】（1）； （2）证明见解析.
【分析】
（1）由题意，变形可得，故，即得数列是等比数列，即可求得结论；
（2）由题意可得，故只需证，故利用放缩法求得的范围，即可得出结论．
【详解】
（1），
，易知，
两边同除以得，
又，
可得
又，
故
（2），
，
故只需证，
由条件
一方面：当时
当，时，
另一方面：当，时，所以
当，时，
92．已知数列，.
(1)记，证明:是等比数列；
(2)当是奇数时，证明:；
(3)证明:.
【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析
【分析】
（1）对递推关系进行变形得，从而证明是等比数列；
（2）由(1)得，代入所证式子，再利用放缩法进行证明；
（3）由(2)可知，对分偶数和奇数计论，放缩法和等比数列求和，即可证明结论.
【详解】
(1)∵，∴，且
所以，数列是首项为，公比为3的等比数列.
(2)由(1)可知
当k是奇数时，
(3)由(2)可知，
当为偶数时，
当为奇数时，
所以.
93．已知数列满足,,,.
(1)证明:数列是等比数列;
(2)求数列的通项公式;
(3)证明:.
【答案】(1)证明见解析;(2);(3)证明见解析.
【分析】
（1）由，得，即可得到本题答案；（2）由，得，即可得到本题答案；（3）当时，满足题意；若n是偶数，由，可得；当n是奇数,且时，由，可得，综上，即可得到本题答案.
【详解】
(1)因为，所以，
因为，所以，
所以数列是等比数列；
(2)因为，所以，
所以，
又因为，所以，所以是以为首项，
为公比的等比数列，所以，
所以；
(3)①当时，；
②若n是偶数，
则，
所以当n是偶数时，
；
③当n是奇数，且时，
；
综上所述，当时，.
94．已知数列的首项，其前和为，且满足.
（1）用表示的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）当时，证明：对任意，都有.
【答案】(1) (2) (3)证明见解析
【分析】
（1）令即可求解；
（2）当时，通过作差法可求得，再书写一项，通过两式作差可得，分类讨论的奇偶，即可求解；
（3）可结合放缩法公式，，分别对化简后的表达式
进行放缩，
再结合裂项公式，的特点即可进一步求解
【详解】
（1）由条件得，.
（2）由条件得，
两式相减得，
故，
两式再相减得，
构成以为首项，公差为的等差数列；
构成以为首项，公差为的等差数列；
由（1）得；
由条件得，得，
从而，
解法2：
设，即
则有
时，，即
（3）证明：当时，且，由（2）可知
①当时，
②当时，
，
.
95．已知数列，的前项和分别为，，且，，．
（1）求，的通项公式；
（2）求证：．
【答案】（1），；
（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据，以及等差数列和等比数列的定义，确定数列，分别为等比数列和等差数列，再根据，，列方程组，求解，，从而确定，的通项公式．
（2）根据，确定以及的表达式，对进行放缩，，再利用裂项相消法求出，从而得证.
【详解】
（1）∵
∴．
故为等比数列，为等差数列，公差和公比均为．
由，得，解得或（舍去）．
故，．
∴为以2为首项，2为公比的等比数列，；
为以1为首项，2为公差的等差数列，．
（2）证明：∵，∴．
故
．即证．
96．已知数列，，的前n项和为．
（1）若，，求证：，其中，；
（2）若对任意均有，求的通项公式；
（3）若对任意均有，求证：．
【答案】（1）证明见解析 ；（2） ；（3）证明见解析.
【分析】
（1）求出数列的通项公式，代入所证明的不等式转化求解即可；
（2）利用递推关系，说明是首项为，公比为3的等比数列，然后求解即可；
（3）化简数列的递推关系式，得出是首项为1，公差为1的等差数列，求出的通项公式，用倒序相加法求数列的前项和，利用（1）结论进行放缩，然后证明即可.
【详解】
解：（1）由已知为等差数列，且，
，
即
；
（2）
所以是首项为，公比为3的等比数列，
故，
，
；
（3）
即是首项为1，公差为1的等差数列，
故，
记，
由（1）知
，
证明：
又
，
即，
故
两式相加得
，
即.
97．已知数列，，，设，其中表示不大于的最大整数．设，数列的前项和为．求证：
（1）判断与的大小，并说明理由；
（2）证明：；
（3）证明：当时，．
【答案】（1），证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【分析】
（1）先猜想：，再用数学归纳法证明即可．
（2）先求，由（1）即可证明．
（3）由，确定，
再由，根据（2）由不等式证明放缩法即可求出范围．
【详解】
（1）猜想：．
用数学归纳法证明如下：
（ⅰ）当时，，结论成立；
（ⅱ）假设时结论成立，即，则，，则时,结论成立．
（ⅲ）由（ⅰ）（ⅱ）可得，对任意，成立．
（2）．
（3）易求得，，，于是，，，，
，，，，
，所以．
．
，有，
，
．
又，
而，
．
综上，当时，．
98．已知数列中，.
（1）证明：是等比数列；
（2）当是奇数时，证明：；
（3）证明：.
【答案】(1)见解析.
(2)见解析.
(3)见解析.
【解析】
分析：（1）由可得，由此可得数列为等比数列．（2）结合（1）中所得的数列的通项公式，利用放缩法证明即可．（3）根据（2）中的结论分为偶数和为奇数两种情况分别转化为等比数列的求和问题可证得结论成立．
详解：（1）∵
∴，
又，
∴数列是首项为，公比为2的等比数列．
(2)由（1）可知故．
当是奇数时，
．
(3)由（2）可知，
当为偶数时，，
∴
．
当为奇数时，，且，
∴
．
综上可得．
99．已知数列满足：．
（1）证明：当时，；
（2）证明：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】
（1）由可得，
所以，
，
……
，
，
以上各式两边分别相乘得，
又，所以，故当时，．
（2）要证不等式，
可先设法求和：，再进行适当的放缩，显然，
因为，所以，所以，
所以 ，
因为，所以，又，所以，
所以，所以．
100．已知数列满足，，，记，分别是数列，的前项和，证明：当时，（1）；（2）；（3）.
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析.
【分析】
（1）作差，证明单调递减即可得证；
（2）将递推公式变形，，再求和，即可得证；
（3）对作出适当放缩，再求和，即可得证.
【详解】
（1）由及知，故，
∴，；
（2）由，得，从而
，
又∵，∴，；
（3）由（2）知，，由，得，∴当时，，
由此，
又∵，∴，另一方面，由，得，
综上，.
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