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专题12 平面向量综合-2022年新高考数学高频考点 题型专项练习(新高考适用)
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这是一份专题12 平面向量综合-2022年新高考数学高频考点 题型专项练习(新高考适用)，文件包含专题12平面向量综合解析版docx、专题12平面向量综合原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共129页， 欢迎下载使用。
专题12 平面向量综合必刷100题
(初级)1-30题
一、单选题
1．已知，向量，若，则实数（ ）
A． B． C．-2 D．2
【答案】D
【分析】
由，可得，用坐标表示数量积，即得解
【详解】
由
可得
，因为，所以.
故选：D
2．设中边上的中线为，点满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
由中线向量公式得到；由，利用线型运算得到，进而利用向量的减法运算得到结论.
【详解】
因为中边上的中线为，
所以，
因为，所以，
所以，
所以，
所以．
故选：.
3．若平面向量两两的夹角相等，且，则（ ）
A．2 B．5 C．2或5 D．或
【答案】C
【分析】
分类讨论，再由向量求模公式，即可求解.
【详解】
当两两的夹角均为0°时，显然；当两两的夹角均为120°时，，
故选：C.
4．在菱形中，、分别是、的中点，若，，则（ ）
A．0 B． C．4 D．
【答案】B
【分析】
以为基底表示有关向量，然后利用数量积的运算和定义求解.
【详解】
设,则.
，
故选：B.
5．如图，点在半径为的上运动，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
建立适当的坐标系，设，利用向量的坐标运算得到m,n与α的关系，进而得到m+n关于α的三角函数表达式，利用辅助角公式整理后，根据三角函数的性质求得其最大值.
【详解】
以为原点､的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系，
则有，.
设，则.
由题意可知
所以.
因为，所以，
故的最大值为.
6．已知向量满足，则与夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先求得，再利用向量夹角公式，结合向量数量积的运算计算即可得到答案.
【详解】
，
∴=1，
所以，
故向量与的夹角为.
故选：B.
7．已知，，，则在方向上的投影为（ ）
A．1 B．5 C． D．
【答案】A
【分析】
由的坐标求出和，进而利用投影的定义求解即可．
【详解】
∵，，
则，
∴，，
∴在方向上的投影为：.
故选：A.
8．在中，，且，则取最小值时的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
对平方，利用平面向量的数量积公式和已知条件，可知，根据二次函数的性质，即可求出结果.
【详解】
因为
所以当时，取最小值.
故选：B.
9．在中，点是线段上靠近点的三等分点，点在线段上，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据平面向量的三角形法则可得，进而，再根据和点是线段上靠近点的三等分点，利共线定理可得，，再结合平面向量的三角形法则，即可求出结果.
【详解】
根据题意，作出图形，如图所示．
因为
所以
又，所以
所以
又点是线段上靠近点的三等分点，所以，
所以．
故选:B.
10．已知点，若过点的直线l交圆于C：于A，B两点，则的最大值为（ ）
A．12 B． C．10 D．
【答案】A
【分析】
设出的中点，根据垂径定理即可求出点的轨迹方程是以为圆心，1为半径的圆，再利用圆的性质求出的最大值，再由向量的运算性质即可求解．
【详解】
由已知圆的方程可得：圆心，半径为，
设的中点为，则由圆的性质可得：，
即，而，，
所以，
即点的轨迹方程为，
设为的中点，则，半径为1，
所以的最大值为，
又，
所以的最大值为12，
故选：A
11．以下四个命题中正确的是（ ）
A．若，则三点共线
B．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底
C．
D．为直角三角形的充要条件是
【答案】B
【分析】
对于,，， 三点共线时，，故不正确；
对于， 不共线，所以构成空间的另一个基底，故正确；
对于，表示与共线的向量，表示与共线的向量，故不正确；
对于，时，为直角，反之也可以是，为直角，故不正确.
【详解】
对于A：，，三点共线时，，
，
，，三点共线不成立，故A不正确；
对于B：若为空间的一个基底，
则不共线，
不共线，
构成空间的另一个基底，故B正确；
对于C：假设，
不妨设，
则，
因为向量不一定共线，故C不正确；
对于D，时，为直角，
故为直角三角形，反之也可以是，为直角，
故D不正确.
故选：B.
12．已知向量、满足，且，则在方向上的投影是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
在等式两边同时平方，求出的值，进而可得出在方向上的投影为.
【详解】
，在等式两边平方并化简得，，
因此，在方向上的投影为.
故选：D.
13．在△ABC中，已知AB=3，AC=5，△ABC的外接圆圆心为O，则
A．4 B．8 C．10 D．16
【答案】B
【分析】
画出图形，并将和中点，和中点连接，从而得到，，根据数量积的计算公式以及条件即可得出，，从而，从而可得到的值.
【详解】
如图，取中点，中点，并连接，，
则，，
，
，
.
故选：B
14．已知向量与向量不共线，，对任意，恒有，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设向量的坐标为，代入题中向量等式，解出 x,y之间的关系式，再逐项验证答案.
【详解】
设，则
可化简为
根据题意，恒成立
即，恒成立
，解得
，选项A错误；
，选项B错误；
，选项C正确；
，选项D错误.
故选：C.
15．如图所示，矩形的对角线相交于点，点在线段上且，若（，），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
以为基底表示出，求得，，从而确定正确答案.
【详解】
因为四边形为矩形，，所以，所以，因为（，），所以，，所以．
故选：A
二、多选题
16．已知平面向量、、为三个单位向量，且，若（），则的取值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】
建立如图坐标系，以向量、作为一组垂直的单位基底可以表示单位圆上任一点C（表示由x轴非负半轴旋转到OC所形成的角）构成的向量，，求出、、的坐标，列出等式，结合两角和的正弦公式和正弦函数的值域即可得出结果.
【详解】
依题意，、是一组垂直的单位向量，如图建立坐标系，
向量、作为一组垂直的单位基底可以表示单位圆上任一点C（表示由x轴非负半轴旋转到OC所形成的角）构成的向量，，
因为，，，，
所以，故，，
故，故可以是选项中的，1，．
故选：ABC．
17．下列说法中错误的是（ ）
A．已知，，则与可以作为平面内所有向量的一组基底
B．若与共线，则在方向上的投影为
C．若两非零向量，满足，则
D．平面直角坐标系中，，，，则为锐角三角形
【答案】ABD
【分析】
结合向量基底定义，投影的运算，及模的转化，夹角的运算分别检验各选项即可判断．
【详解】
对于A，，所以，故不能作为平面内所有向量的一组基底，错误；
对于B，与共线，则在方向上的投影为，所以错误；
对于，两非零向量，满足，则，则，
成立；
对于，，，，则，，，
，
，
，
所以为钝角，
则为钝角三角形，错误；
故选：．
18．设，是两个非零向量，下列四个命题为真命题的是（ ）
A．若，则和的夹角为
B．若，则和的夹角为
C．若，则和方向相同
D．若，则和b的夹角为钝角
【答案】ABC
【分析】
利用向量加减法的几何意义，判断A、B的正误；两向量模的性质判断C，由向量的夹角与数量积间的关系判定判断D.
【详解】
解：，，，构成等边三角形，A正确；
由向量加法的平行四边形法则可知，和的夹角为，B正确；，则与同向，C正确；
若，则和的夹角为钝角或者，D错误，
故选：ABC.
19．在中，有如下四个命题正确的有（ ）
A．若，则为锐角三角形
B．若，则的形状为直角三角形
C．内一点G满足，则G是的重心
D．若，则点P必为的外心
【答案】BC
【分析】
对于A，由可得角为锐角，从而可判断，对于B，对两边平方化简，再结合余弦定理可得结论，对于C，由向量加法和共线及三角形重心概念判断，对于D，由向量运算性质和三角形垂心概念可判断
【详解】
解：对于A，由，得，所以，所以角为锐角，但不能判断三角形为锐角三角形，所以A错误，
对于B，因为，所以，即，所以,得，因为，所以，所以三角形为直角三角形，所以B正确，
对于C，因为，所以，所以（为的中点），所以三点共线，所以点在边的中线上，同理，可得点在其它两边的中线上，所以G是的重心，所以C正确，
对于D，因为，所以，,所以，所以点在边的高上，同理可得点 也在其它两边的高上，所以点为的垂心，所以D错误，
故选：BC
20．已知向量是两个非零向量，在下列条件中，一定能使共线的是（ ）
A．且
B．存在相异实数，使
C．（其中实数x，y满足）
D．已知梯形ABCD，其中
【答案】AB
【分析】
选项A：根据，即可得出，从而得出共线；选项B：可得出都不等于0，并得出，从而得出共线；选项C：当，时，满足选项的条件，显然得不出共线；对于选项D：显然得不出共线．
【详解】
解：A．联立和消去向量可得出 ，
∴，且，所以共线.
B．∵都是非零向量，且，，
∴都不为0，所以，所以共线.
C．当 时，满足，此时对任意的向量都有，∴得不出共线；
D．∵在梯形中AB与CD不一定平行，∴得不出共线．
故选：A B．
第II卷（非选择题）
三、填空题
21．已知在中，，则___________.
【答案】
【分析】
设，根据，得到和，结合向量的数量积的运算公式，即可求解.
【详解】
如图所示，设，可得，
因为，可得，
，
所以.
故答案为：.
22．在中，点满足，当点在线段上移动时，若，则的最小值是________．
【答案】/0.9
【分析】
根据题意画出图形，利用表示出，再设，；用分别表示出求出与，再将其代入，可得，然后利用二次函数的性质即可求的最小值．
【详解】
如图所示，
中，，
∴，
又点点在线段上移动，设，，
∴，
又，∴，
∴，
∴当时，取到最小值，最小值为.
故答案为：．
23．在中，点D是边的中点，点G在上，且是的重心，则用向量､表示为___________.
【答案】
【分析】
根据三角形重心的性质可知，，再根据向量减法即可求出．
【详解】
在中，点D是边的中点，点G在上，且是的重心，
所以，
．
故答案为：．
24．已知点G为△ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且＝x，＝y，求的值为________．
【答案】3
【分析】
以为基底，由G是的重心和M，G，N三点共线，可得，即求.
【详解】
根据条件：，
如图设D为BC的中点，则
因为G是的重心，，
，
又M，G，N三点共线，
，即.
故答案为：3.
25．如图，在菱形中，，．已知，，，则______．
【答案】
【分析】
利用向量的线性运算以及向量数量积的定义即可求解.
【详解】
因为，，
所以，，
所以．
又，所以．
因为，，
所以
．
故答案为：
四、解答题
26．已知，，．
（1）求与的夹角θ；
（2）求；
（3）若，求实数λ的值．
【答案】
（1）
（2）
（3）
【分析】
（1）利用数量积的运算律即可求解；
（2）由（1）中的结果结合模平方之后转化为数量积运算即可求解；
（3）由向量垂直得出数量积为零的等式，进而求出实数λ的值.
（1）
解：∵ 即
又因为，
∴64-8×4×3cosθ+27=43，
∴．
∵θ∈[0，π]，
∴．
（2）
解：由（1）得．
（3）
解：∵，
∴，
∴
即，
∴3λ=10，
∴．
27．已知O，A，B是不共线的三点，且
（1）若m+n=1，求证：A，P，B三点共线；
（2）若A，P，B三点共线，求证：m+n=1.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由原式可代换为，再由，两式联立变形即可求证；
（2）由A，P，B三点共线，可得，变形得，整理成关于的表达式，再结合，由对应关系即可求证
【详解】
（1）证明：
若m+n=1，则，，
故，即，
，即共线，又有公共点，则A，P，B三点共线；
（2）证明：
若A，P，B三点共线，则存在实数λ，使得，变形得，即，，又，，故
28．如图，已知D，E，F分别为的三边，，的中点，求证：．
【答案】证明见解析
【分析】
利用向量加法的三角形法则，在图形中寻找回路，即可证明．
【详解】
由题意知，，，
由题意可知，．
．
29．已知向量，，.
（1）若点，，能够成三角形，求实数应满足的条件；
（2）若为直角三角形，且为直角，求实数的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
(1)点，，能构成三角形，则这三点不共线，即与不共线，利用向量共线的坐标公式计算即可．
(2)为直角三角形，且为直角，则，利用向量的数量积坐标公式计算即可．
【详解】
（1）已知向量，，，
若点，，能构成三角形，则这三点不共线，即与不共线.
，，
故知，
∴实数时，满足条件.
（2）若为直角三角形，且为直角，则，
∴，
解得.
30．设的内角A，B，C的对边长a，b，c成等比数列，，延长至D使.
（1）求的大小；
（2）求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）先根据，得到；①再结合成等比数列得到；②二者联立即可求出的大小；
（2）上面的二者联立求得，得到其为正三角形，再结合二次函数的性质即可求得结论．
【详解】
（1）依题可得：，，
①
又因为长a，b，c成等比数列，所以，由正弦定理得：②
①②得：，
化简得：，解得：，又，所以，
（2）①②得：，即，即，即三角形为正三角形，
设的边长为x，由已知可得，
则
（当且仅当时取等号）.
的取值范围.
(中级)1-40题
一、单选题
1．设、、为非零不共线向量，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
由题意化简得到，整理得恒成立，结合二次函数的性质，结合，即可求解.
【详解】
由向量、、为非零不共线向量，若，
则，可得，
化简得，
即恒成立，
令，
则
，即，
所以
故选：D.
2．在平面直角坐标系中，已知点．若动点M满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
设，求出动点轨迹方程，然后用三角换元法表示出，计算，并由两角和的正弦公式变形，由正弦函数性质求得范围．
【详解】
设，则由，得M的方程为，设，
则．
故选：D．
3．已知是边长为2的正方形，为平面内一点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据给定条件建立平面直角坐标系，利用向量运算的坐标表示即可计算作答.
【详解】
是边长为2的正方形，则以点A为原点，直线AB，AD分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图：
则，设点，
，
于是得：，
当时，取得最小值，
所以的最小值是.
故选：B
4．已知点为正所在平面上一点，且满足，若的面积与的面积比值为，则的值为（ ）
A． B．
C．2 D．3
【答案】B
【分析】
如图，分别是对应边的中点，对所给的向量等式进行变形，根据变化后的条件得到，由于正三角形，结合题目中的面积关系得到，，由面积之比，分所成的比，从而得出的值．
【详解】
，
．
如图，，分别是对应边的中点，
由平行四边形法则知，，
故，
在正三角形中，
，
，
且三角形与三角形的底边相等，面积之比为,
所以，得．
故选：B
5．已知直线：与圆：的交点为，，点是圆上一动点，设点，则的最大值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【分析】
先把圆的一般方程转化为标准方程可得，可得直线恒过圆心，即，利用向量加法的三角不等式，分析即得解
【详解】
圆：化成，
故点，，
直线：恒过圆心，
所以，
所以，
当且仅当和同向共线，且点为圆上最高点时，等号成立
故选：B
6．已知平面向量满足，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据已知条件可得，，，设，，，可得点的轨迹为圆，由圆的性质即可求解.
【详解】
因为，所以，，
，因为，所以，
设，，，
，，
所以，
即，
所以点在以为圆心，半径的圆上，
表示圆上的点与定点的距离，
所以的最小值为，
故选：D.
7．已知向量，，为平面向量，，且使得与所成夹角为，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】
先根据已知条件求出向量，的夹角，建立平面直角坐标系，设，，设，，，根据线性运算可得，，，结合正弦定理可求出点的轨迹，当三点共线时取得最大值，即可求解.
【详解】
因为，所以，可得，
因为，所以，
如图所示：在平面直角坐标系中，，，
不妨设，，延长到使得，则，
点为平面直角坐标系中的点，，则，，
则满足题意时，，结合点，为定点，且，
由正弦定理可得：，可得，
则点的轨迹是以为圆心，为半径的优弧上，
当三点共线，即点位于图中点位置时，取得最大值，
其最大值为，
故选：A.
8．非零向量，满足，且，则为（ ）
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．等边三角形
【答案】D
【分析】
先根据，判断出的角平分线与垂直，进而推断三角形为等腰三角形进而根据向量的数量积公式求得，判断出三角形的形状．
【详解】
，，分别为单位向量，
的角平分线与垂直，
，
，
，
，
为等边三角形．
故选：D．
9．在中，，，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由已知数量积相等求得，取中点D，从而求得中线的长，可表示为的函数，由三角函数知识得取值范围．
【详解】
在中，，即，取中点D，即，则
又BD是中线，所以是等腰三角形，BA=BC.由，即，
，
则，
由，则，所以.
故选：C．
10．已知的三个内角分别为，，，动点满足，，则动点的轨迹一定经过的（ ）
A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心
【答案】A
【分析】
利用正弦定理变形向量等式，再利用向量加法、向量减法的意义即可判断作答.
【详解】
在中，令线段BC的中点为M，由正弦定理得：，
由得：，
即，而，，则，
于是得与同向共线，而它们有公共起点，即动点P的轨迹是射线AM(除A点外)，又重心在线段AM上，
所以动点的轨迹一定经过的重心.
故选：A
11．已知平面向量满足，，，若对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
由向量的模的运算得：易得，又对于任意实数，不等式恒成立，即对于任意实数，不等式恒成立，由二次不等式恒成立问题得：△，即可得到答案；
【详解】
解：由，，，得，
又对于任意实数，不等式恒成立，
即对于任意实数，不等式恒成立，
即对于任意实数，不等式恒成立，
即△，解得：或，
故选：B.
12．已知A、B、C是平面上不共线的三点，O为△ABC的外心，动点P满足，则点P的轨迹一定过△ABC的（ ）
A．内心 B．垂心 C．重心 D．AC边的中点
【答案】C
【分析】
设△ABC的重心为G，则，结合题设，利用平面向量的运算法则可得，即G、P、C三点共线，从而可得结果.
【详解】
设△ABC的重心为G，∵，
∴
，
∴，∴G、P、C三点共线，故选C．
13．平面内及一点满足，则点是的（ ）
A．重心 B．内心 C．外心 D．垂心
【答案】B
【分析】
由可得，，从而可知，是角平分线，即可得点的性质.
【详解】
解：由知，，
即，即 ，则是 的角平分线，
同理，即，则是的角平分线，
则点是的内心.
故选:B.
14．设点是的重心，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由点是的重心可得,利用正弦定理可得,则,即,可得,进而利用余弦定理求解即可.
【详解】
因为点是的重心,
所以,
因为,
由正弦定理可得,
所以,
即,故,则,
则由余弦定理可得.
故选:B
15．若直线过△的重心，且，，其中，，则的最小值是（ ）．
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】
直线过△的重心得到，由已知化简得，利用三点共线得到，再运用基本不等式求解可得.
【详解】
如图：连接并延长交于点，所以点是中点
,又，
,又，
,因为三点共线
，
当且仅当 即 时，等号成立.
故选：B
16．在中，，，且，，则点的轨迹一定通过的（ ）
A．重心 B．内心
C．外心 D．垂心
【答案】A
【分析】
过C作，交AB于H，取AB中点D，连接CD，所以，根据向量的线性运算法则，化简可得，根据三角形的性质，分析即可得答案.
【详解】
过C作，交AB于H，取AB中点D，连接CD，如图所示：
根据三角函数定义可得，
因为，
所以，即，
即点P的轨迹在中线CD上，而三角形三边中线的交点为该三角形的重心，
所以点的轨迹一定通过的重心.
故选：A
17．在中，角、、的对边分别为、、，若，，点是的重心，且，则（ ）
A．或 B． C．或 D．
【答案】C
【分析】
利用二倍角的余弦公式以及诱导公式求出，可得出或，然后由点是的重心，得出，两边平方后化简得出，然后分或两种情况讨论，求出的值，由余弦定理可求出的值.
【详解】
，，
整理得，解得或（舍去）.
或.
又点是的重心，则，
等式两边平方得，
，，，整理得.
①当时，则有，解得，
由余弦定理得，则；
②当时，则有，解得，
由余弦定理得，则.
因此，或.
故选：C.
18．在中，是的中点，是的中点，过点作一直线分别与边，交于，，若，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用与共线，存在实数，使，把用表示，然后由基本不等式得最小值．
【详解】
解：在中，为边的中点，为的中点，
，
，
，
同理，，
与共线，
存在实数，使，
即，
即，
解得，，
，
当且仅当，即时，“”成立，
的最小值是．
故选：C．
19．已知圆的半径为2，A为圆内一点，，B，C为圆上任意两点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设为和的夹角，则，由的范围可得答案.
【详解】
如图，连接，，
设为和的夹角.
则
且，
由，当时，有最小值；
当时，有最大值为10.
故选：C.
20．已知，，，若对任意实数，（）恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据条件由进行数量积的运算即可求出，然后根据可得出对任意实数，即可得到恒成立，然后根据及解出的范围即可．
【详解】
解：，
，，
，
对任意实数，，
对任意的实数，，
对任意的实数，恒成立，
，解得或，
因为，所以
实数的范围为：．
故选：．
二、多选题
21．数学家欧拉于1765年在其著作《三角形中的几何学》首次指出：的外心，重心，垂心，依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为欧拉线. 若，，则下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】
根据欧拉线定理可判断A；利用向量的加、减运算可判断B；利用向量的数量积可判断C；利用向量的加法运算以及欧拉线定理可判断D.
【详解】
A，由题意可得，即，故A正确；
B，由是的重心可得,
所以，故B错误；
C，过的外心分别作的垂线，垂足为，如图，
易知分别是的中点，则
，故C正确；
D，因为是的重心，所以，
故
，
由欧拉线定理可得,
所以，故D正确.
故选：ACD
22．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知△ABC的外心为O，重心为G，垂心为H，M为BC中点，且AB=4，AC=2，则下列各式正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】
利用三角形外心、重心、垂心的性质，结合平面向量的线性运算法则以及平面向量的数量积的定义及运算律逐项分析即可求出结果.
【详解】
由G是三角形ABC的重心可得，所以=，故A项错误；
过三角形ABC的外心O分别作AB、AC的垂线，垂足为D、E，如图（1），易知D、E分别是AB、AC的中点，则
，故B项正确；
因为G是三角形ABC的重心，所以有，故，
由欧拉线定理可得，故C项正确；
如图（2），由可得，即，则有，D项正确，
故选：BCD.
23．在中，，，下述四个结论中正确的是（ ）
A．若为的重心，则
B．若为边上的一个动点，则为定值2
C．若，为边上的两个动点，且，则的最小值为
D．已知为内一点，若，且，则的最大值为2
【答案】AC
【分析】
A.以A为坐标原点，分别以AB，AC所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，由为的重心，结合向量的数乘运算判断；B.设，把用含t的代数式表示判断；C.不妨设M靠近B，，求得M，N的坐标，得到关于x的函数，利用二次函数求值判断；D. 由结合BP=1，得到，再令，转化为，利用三角函数的性质求解判断.
【详解】
如图，以A为坐标原点，分别以AB，AC所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，
则，因为为的重心，所以，则 ，
所以 ，所以，故A正确；
设，则，则，
，故B错误；
不妨设M靠近B，，得，
则，当时，的最小值为：故C正确；
由，且P为内一点，BP=1，则，即，
令，则，
因为，则，所以，
所以的范围是，故D错误.
故选：AC
24．已知为所在平面内一点，且，，是边的三等分点靠近点，，与交于点，则（ ）
A．
B．
C．
D．的最小值为-6
【答案】ABD
【分析】
由题意得，由向量线性运算知，故A正确；根据，，三点共线可知，是的中点，是靠近的四等分点，可推出，B正确；根据等边三角形求得，可知，C错误；建立直角坐标系，利用坐标运算可得，可求得最小值-6，D正确.
【详解】
解：∵，∴
又∵是边的三等分点靠近点
∴
∴，故选项A正确；
设，则
∵，，三点共线
∴，故
∴是的中点
∴
又∵，，三点共线，所以为靠近的四等分点
∴，故选项B正确；
∵是边长为4的等边三角形
∴
∴，故选项C不正确；
以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴，过点且与垂直的直线为轴建立平面直角坐标系，则点，，，设点，则
∴最小值为-6，故选项D正确.
故选：ABD．
25．在中，角、、所对的边分别是、、，点是其所在平面内一点，（ ）
A．若，则点在的中位线上
B．若，则为的重心
C．若，则为锐角三角形
D．若，则是等腰三角形
【答案】ABD
【分析】
由平面向量的线性运算以及向量共线基本定理可判断A选项的正误；利用三角形重心的向量表示可判断B选项的正误；利用特殊值法可判断C选项的正误；利用正弦定理边角互化可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，，则，
即，
设、的中点分别为、，则，故点在的中位线上，A对；
对于B选项，设为的中点，则，
所以，，故为的重心，B对；
对于C选项，取，，，则满足，但，此时，为直角三角形，C错；
对于D选项，，由正弦定理可得，
，，则，，可得，
所以，为等腰三角形，D对.
故选：ABD.
26．下列说法中错误的为（ ）
A．已知，且与夹角为锐角，则
B．点为的内心，且，则为等腰三角形；
C．若与平行，在方向上的投影为
D．若非零，满足则与的夹角是
【答案】ACD
【分析】
对于A，分析得到且，故A错误；
对于B, 分析得到，所以为等腰三角形，所以B正确；
对于C， 在方向上的正射影的数量为，故C错误；
对于D，与的夹角为，故D错误．
【详解】
解：对于A，，且与夹角为锐角，
，
且时与的夹角为，所以且，故A错误；
对于B,
所以，所以为等腰三角形，所以B正确；
对于C，若，则在方向上的正射影的数量为，故C错误；
对于D，因为，两边平方得，，
则，，
故，而向量的夹角范围为，，得与的夹角为，故D错误．
故选：ACD
27．如图，ABCD中，AB=1，AD=2，∠BAD=，E为CD的中点，AE与DB交于F，则下列叙述中，一定正确的是（ ）
A．在上的投影向量为(0，0) B．
C． D．若，则
【答案】ABC
【分析】
由余弦定理求出，再由勾股定理逆定理得到，即可判断A；
根据平面向量基本定理判断B，根据平面向量数量积的运算律计算即可判断C，首先根据数量积的运算律求出，即可求出，即可判断D．
【详解】
解：对于A，因为，
因为，所以，即，
在上的投影向量为，故A正确；
对于B，因为，
设，
因为B，F，D三点共线，所以，所以，
所以，所以B正确；
对于C，，C正确；
对于D，因为，
所以，如果，又因为，
所以，不满足，故D不正确.
故选：
28．已知是△所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则是△的重心
B．若向量，且，则△是正三角形
C．若是△的外心，，，则的值为-8
D．若，则
【答案】BCD
【分析】
由平面向量数量积的性质及运算，逐一检验可得解．
【详解】
对于选项，因为，所以，即，，同理，，则是△的垂心，故错误；
对于选项，设的中点为，，即，，，为△的重心，
又，为的外心．故△的形状是等边三角形，故正确；
对于选项，如图，过作，垂足分别为，，
则，分别是，的中点，
则；故正确；
对于选项，延长至，使；延长至，使，则，为△的重心，
，
，，，
，故正确．
故选：．
第II卷（非选择题）
三、填空题
29．如图，△ABC中，，，，为△ABC重心，P为线段BG上一点，则的最大值为___________.
【答案】20
【分析】
延长交于，由为△ABC重心，得为的中点，则可得，设，可得，分别把用基底表示，再由数量积的运算结合二次函数求最值可得的最大值
【详解】
延长交于，
因为为△ABC重心，所以为的中点，
所以,
设，因为P为线段BG上一点，所以，
因为为△ABC重心，所以，
因为,
，
所以
其对称轴为，
所以当时，取得最大值20，
故答案为：20
30．在中，下列命题中正确的有：___________
①；
②若，则为锐角三角形；
③是所在平面内一定点，动点满足，，则动点一定过的重心；
④是内一定点，且，则；
⑤若，且，则为等边三角形.
【答案】③⑤
【分析】
利用平面向量的减法可判断①的正误；利用平面向量数量积判断出为锐角，可判断②的正误；根据平面向量共线的基本定理可判断③的正误；确定点的位置，可判断④的正误；分析可得出，求出角的值，可判断⑤的正误.
【详解】
①，①错误；
②若，则为锐角，但无法确定、的大小，为锐角三角形不正确，②错误；
③由动点满足，得，
设点为的中点，则，即，
为的中线，过的重心，③正确；
④设为中点，连接，则是的中线，由③可知，
由已知且得，
即、、三点共线，且为的中点，
在中，是边上的中线，可得.
同理可得中，，所以，，
由此可得，所以，，④错误；
⑤因为，
可得，因为、，，
因为，且，所以，，
因此，为等边三角形，⑤正确.
故答案为：③⑤.
31．已知向量，是平面内的两个非零向量，则当取最大值时，与夹角为________．
【答案】/
【分析】
根据，结合平面向量数量积的运算性质推出，再根据题意以及等号成立条件，即可求解.
【详解】
∵向量，是平面内的两个非零向量，
∴，当且仅当时取等号，
∴，即，
∴，即，当且仅当时取等号，即，则与夹角为，
∴当取最大值时，与夹角为.
故答案为：.
32．点为所在平面内一点，，，若的面积为，则的最小值是________．
【答案】
【分析】
在中，根据题意化简得到，根据的面积为，求得，再根据，得到，设，结合点与点连线的斜率， 利用直线与半圆相切，即可求解.
【详解】
在中，设角对的三边分别为，
由，
又由，可得且，解得，
因为的面积为，所以，可得，
由，可得
，
设，其中
因为表示点与点连线的斜率，
如图所示，当过点与半圆相切时，此时斜率最大，
在直角中，，可得，
所以斜率的最大值为，
所以的最大值为，所以，所以，
即的最小值为.
故答案为：.
33．①若，，，为锐角，则实数的取值范围是
②点在所在的平面内，若，则点为的垂心
③点在所在的平面内，若，，分别表示，的面积，则
④点在所在的平面内，满足且，则点是的外心.
以上命题为假命题的序号是___________.
【答案】①④/④①
【分析】
①：利用向量夹角的坐标公式表示写出关于的关系式，由求的范围，注意排除的情况；②：证得， ，，可判断正误；③：若分别是的中点，结合已知得，再过作上的高，由线段比例确定高的比例即可；④：,,,由等的几何意义及已知条件得,.
【详解】
①：,，由为锐角，故，且与不共线，所以且，故①错误；
②：因为，所以，即，因此，同理，，所以点为的垂心
，故②正确；
③：若分别是的中点，则，，所以，故，即共线且，过作上的高，易知，则，所以，故③正确；
④：如下图，，则，，由已知条件知：，，易知为△的内心，故④错误；
故答案为：①④.
34．如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若，则________.
【答案】
【分析】
以和所在的直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，求得和，得到、的坐标，结合向量的数量积的运算公式，即可求解.
【详解】
如图所示，以和所在的直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，
因为，可得，
所以为的中点，
可得，则，所以
又由，
可得，
所以，所以，
则.
35．已知向量，满足，，则的最大值是________.
【答案】
【分析】
先换元，转化为直线与椭圆相切的问题,通过数形结合求解.
【详解】
设，则 ，
=，
，
令，
则，即
设
结合图形可知当直线，与相切时，有最大值.
整理得，
有，解得（ 舍去）
将代入方程得，
解得
即的最大值为
故答案为：
36．已知平面向量，的夹角为45°，且，则的最小值是___________.
【答案】
【分析】
设，则点在一条直线上运动，，于是问题转化为将军饮马问题，把点关于直线对称过去，设为，则最小值为的长
【详解】
解：如图所示，设，则三点共线，且，设，因为平面向量，的夹角为45°，
所以点在一条直线上运动，且这条直线与的夹角为45°，设这条直线为，
所以，，
所以，
设点关于直线的对称点为，连接交直线与点，连接交直线与点，
所以，当点与点重合时，不等式取等号，
在中，，
由余弦定理得，
所以，
所以的最小值为，
故答案为：
四、解答题
37．平面直角坐标系xOy中，已知向量，，，且．
（1）若已知M（1，1），N（y+1，2），y∈[0，2]，则求出的范围；
（2）若，求四边形ABCD的面积．
【答案】(1) (2)16
【分析】
（1）由可得．故
，，将问题转化为二次函数的最值求解；（2）由于，，再根据条件求出的值，进而确定出的坐标，然后根据求解．
【详解】
（1）由题意得=（x+4，y﹣2），，
∵，
∴（x+4）y﹣（y﹣2）x=0，
整理得即x+2y=0．
∴ =，y∈[0，2]．
结合二次函数的知识可得．
∴ 的范围是．
（2）由题意，，
∵，
∴（x+6）（x﹣2）+（y+1）（y﹣3）=0，
即x2+y2+4x﹣2y﹣15=0，
由，解得或，
当 时，，，则；
当 时，，，则．
综上可得 四边形ABCD的面积为16．
38．在中，角所对边分别为，，，，且为边上的中线，点在上，满足.
（1）求及线段的长；
（2）求的面积.
【答案】
（1），
（2）
【分析】
（1）根据正弦定理和条件可得，再利用余弦定理可得线段的长；
（2）先由题得为的角平分线，过作的垂线，垂足分别为，则，再利用求出，通过可得答案.
（1）
由正弦定理得，则，
又
解得（负值舍去）
即.
（2）
由得为的角平分线，
过作的垂线，垂足分别为，则
又
，得
.
39．已知向量与的夹角为，且，．
（1）若向量与共线，求实数的值；
（2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围．
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）由与共线，得到，然后由，即，根据，不共线求解；
（2）法一：根据与的夹角为锐角，由且与的夹角不为求解；法二：设与的夹角为，然后由即求解．
（1）
解：因为与共线，所以，
即存在实数，使得，即，
因为，不共线，所以解得，
故．
（2）
法一：因为与的夹角为锐角，
所以且与的夹角不为．
首先，
因为，
所以，解得；
其次当时，由（1）得与的夹角为，所以，
所以的取值范围为．
法二：设与的夹角为，由已知得．
因为，，
．
．
所以，
解得，，
所以的取值范围为．
40．在等边中，，点为的中点，交于点.
（1）证明：点为的中点；
（2）若，求的面积.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）设，由平面向量的线性运算结合向量共线的推论求得，即可求证；
（2）由平面向量的共线定理，向量的数量积的运算性质，结合三角形面积公式即可求解
【详解】
（1）证明：设，
点为的中点，
，
.
，，三点共线，
，
，
点为的中点.
（2）由（1）知，.
设，
，，三点共线
，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
(高级)1-30题
一、单选题
1．如图，在等腰△中，已知分别是边的点，且，其中且，若线段的中点分别为，则的最小值是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据几何图形中线段对应向量的线性关系，可得，，又且且，可得关于的函数式，由二次函数的性质即可求的最小值.
【详解】
在等腰△中，，则，
∵分别是边的点，
∴，，而，
∴两边平方得：，而，
∴，又，即，
∴当时，最小值为，即的最小值为.
故选：C
2．在中，，点在边上，且，设，则当取最大值时，（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据，利用两角和与差的正弦公式化简得到，进而求得A，根据点在边上，且，得到，再由余弦定理结合两边平方，得到，令，得到，用导数法求得最大值时a，b，c的关系，再利用正弦定理求解.
【详解】
因为，
所以，即，
因为，
所以，，
因为，
所以，
因为点在边上，且，
所以，
设，
则，
在中，由余弦定理得，
，
所以，
即，
即，
所以，
令，得，
则，令，解得，
当时，，当时，，
所以当时，取得最大值，此时，
所以，解得，
在中，由正弦定理得，解得，
即.
故选：B
3．已知为单位向量，且，若非零向量满足，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
设，，由，计算可得，设，，由，计算可得，可推出时，等号成立，计算可得，结合，可求出，从而可求出的最大值.
【详解】
由题意，可设，，则，
由，可得，整理得，
设，，
由，可得，
即，所以，
当时，或，
即或，
因为，所以不符合题意，
故时，.
而，
因为，所以，
当时，等号成立，此时，
因为，所以，即，
所以.
故选：D.
4．如图，在平面四边形中，，，，，，若点F为边上的动点，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【分析】
建立平面直角坐标系，设出点坐标，求得的表达式，进而求得的最小值.
【详解】
以为原点建立如图所示平面直角.
依题意，，，
在三角形中，由余弦定理得
.
所以，所以.
而，所以.
在三角形中，由余弦定理得.
所以，所以.
在三角形中，，所以三角形是等边三角形，
所以.
所以，设
依题意令，即，
所以，所以，
所以
.
对于二次函数，其对称轴为，开口向上，所以当时，有最小值，也即有最小值为.
故选：B
5．在中，已知，，的面积为6，若为线段上的点（点不与点，点重合），且，则的最小值为（ ）.
A．9 B． C． D．
【答案】C
【分析】
先根据题意得，，进而得，，，，，进而得，，故，再根据为线段上的点得，最后结合基本不等式求解即可得答案.
【详解】
解：因为，所以，
因为的面积为，所以，
所以，
所以，，，
由于，
所以，
所以，
所以由余弦定理得：，即.
所以，
因为为线段上的点（点不与点，点重合），
所以，根据题意得
所以
所以
，
当且仅当，即时等号成立，
所以.
故选：C.
6．在中，已知，，，为线段上的一点，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由sinB=cosA•sinC化简可求 cosC=0 即C=90°，再由，S△ABC=6可得bccosA=9，可求得c=5，b=3，a=4，考虑建立直角坐标系，由P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得,由，为单位向量，可得，，可得,可得，则由，利用基本不等式求解最小值．
【详解】
中设，，
，，
即，
，
，，
，，
，，
，根据直角三角形可得，，
，，，
以所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴建立直角坐标系可得，，，P为直线上的一点，
则存在实数使得,
设，，则，，,
,
，则,
,
故所求的最小值为,
故选：D.
7．已知O是所在平面上的一点，若（其中P是所在平面内任意一点），则O点是的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】B
【分析】
将所给向量表达式进行变形,表示成与方向上的单位向量的形式,由向量加法运算的性质即可知O在角平分线上,即可得解.
【详解】
因为
则,即
移项可得
即
则
因为
所以
化简可得,即
设为方向上的单位向量,为方向上的单位向量
所以,
则
所以
则在的角平分线上
同理可知 在的角平分线上
因而为的内心
故选:B
8．已知向量，，满足，在方向上的投影为2，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
设，向量的夹角为，可得，即可求出，不妨设，，设，由，整理可知点的轨迹是以为圆心，半径的圆，而，结合圆的性质，可求出的最小值.
【详解】
设，向量的夹角为，则，则，
因为，所以.
不妨设，，设，
则，整理得，
所以点的轨迹是以为圆心，半径的圆，记圆心为，
又，即，
当直线过圆心，且垂直于轴时，可取得最小值，即.
故选：A.
9．已知的内角分别为，，且的内切圆面积为，则的最小值为（ ）
A． B．8 C． D．
【答案】A
【分析】
利用三角恒等变换可得，由题设有内切圆半径，进而可得，由三角形面积公式、向量数量积的定义，可得，再由余弦定理及基本不等式求的范围，进而可得的最小值.
【详解】
由题设，，又
∴，又，故，则，
又的内切圆面积为，若内切圆半径为，对应边分别为，
∴，则，易知：，
∵，
∴，又，即，
∵，当且仅当时等号成立，
∴，即，可得，
∴，在时等号成立.
∴的最小值为6.
故选：A
10．如图，在等腰梯形中，，，，点，分别为，的中点.如果对于常数，在等腰梯形的四条边上，有且只有8个不同的点使得成立，那么的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
建立坐标系，设的坐标，根据得到关于的方程，根据的位置分四种情况讨论方程解得情况．
【详解】
解：以所在直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，
则梯形的高为，，，，，，．
（1）当在上时，设，，则，．
于是，
当时，方程有一解，当时，有两解；
（2）当在上时，设，，则，．
于是，
当时，方程有一解，当时，有两解；
（3）当在上时，直线方程为，
设，，则，．
于是．
当或时，方程有一解，当时，方程有两解；
（4）当在上时，直线的方程为，
设，，则，．
于是．
当或时，方程有一解，当时，方程有两解；
综上，若使梯形上有8个不同的点满足成立，
则的取值范围是，，，，，．
故选：．
11．已知平面向量，，（与不共线），满足，，设，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
设，由已知条件判断出，即是等腰直角三角形，以为坐标原点，所在的边为轴的正半轴建立平面直角坐标系，则，，得，再由得，设，求出范围可得答案
【详解】
设，则，
，
所以，即是等腰直角三角形，以为坐标原点，
所在的边为轴的正半轴建立平面 直角坐标系，如图，
则，，因为，所以，
因为，所以，
所以，，
两式相加得，
所以，
因为，所以设，
所以，
因为不共线，所以不共线，所以，
所以，，
，
所以，
故选：A.
12．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与双曲线在第二象限的交点为，若，则双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由得，由此求得的坐标，将的坐标代入双曲线方程，化简求得，从而求得双曲线的渐近线方程.
【详解】
依题意，
所以，
，设直线的倾斜角为，则为钝角，，
结合解得，
设，则，
，
将点坐标代入双曲线方程得，而，
所以，
化简得，
，
，
，，
所以双曲线的渐近线方程为.
故选：A
13．半径为的圆上有三点、、满足，点是圆内一点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
设与交于点，由得四边形是菱形，是对角线中点，用和其他向量表示并计算数量积后可得＝，由点与的位置关系可得的取值范围，得结论．
【详解】
如图， 与交于点，由得： ，
所以四边形是菱形，且，则，，
由图知，，而，
∴，
同理，，而，
∴，
∴，
∵点是圆内一点，则，∴，
故选：A.
14．已如平面向量、、，满足，，，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
作，，，取的中点，连接，分析出为等边三角形，可求得，计算得出，利用圆的几何性质求出面积的最大值，即可得出结果.
【详解】
如下图所示，作，，，取的中点，连接，
以点为圆心，为半径作圆，
，，，
所以，为等边三角形，
为的中点，，所以，的底边上的高为，
，，
所以，，
所以，
，
由圆的几何性质可知，当、、三点共线且为线段上的点时，
的面积取得最大值，此时，的底边上的高取最大值，即，则，
因此，的最大值为.
故选：B.
15．平面上的两个向量和，，，，若向量，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由题意得出，画出图形，取的中点D，求出，说明C在以D为圆心的圆上，利用求O点到圆上点的最大值的方法即可求出.
【详解】
∵，∴，
∵，，，
∴，取的中点D，且，如图所示：
则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴C在以D为圆心，为半径的圆上，
∴的最大值为.
故选:B.
二、多选题
16．对于给定的，其外心为，重心为，垂心为，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．过点的直线交于，若，，则
D．与共线
【答案】ACD
【分析】
根据外心在AB上的射影是AB的中点，利用向量的数量积的定义可以证明A正确；利用向量的数量积的运算法则可以即，在一般三角形中易知这是不一定正确的，由此可判定B错误；利用三角形中线的定义，线性运算和平面向量基本定理中的推论可以证明C正确；利用向量的数量积运算和向量垂直的条件可以判定与垂直，从而说明D正确.
【详解】
如图，设AB中点为M,则,
,故A正确；
等价于等价于,即，
对于一般三角形而言，是外心，不一定与垂直，比如直角三角形中，
若为直角顶点，则为斜边的中点，与不垂直.故B错误；
设的中点为,
则，
∵E,F,G三点共线，，即,故C正确；
,
与垂直,又,∴与共线，故D正确.
故选：ACD.
17．如图，直角的斜边BC长为2，，且点B，C分别在x轴正半轴和y轴正半轴上滑动，点A在线段BC的右上方则（ ）
A．有最大值也有最小值 B．有最大值无最小值
C．有最小值无最大值 D．无最大值也无最小值
【答案】BD
【分析】
设，则，所以，， .由化简为根据的范围可判断A；由化简为根据的范围可判断B；由化简为根据的范围可判断C；由化简为根据的范围可判断D.
【详解】
由题意，，所以，设，
则的补角即与x轴正半轴的夹角，
所以，，，
所以，
，
由于，所以，
当得时，取最大值为1，无最小值，
有最大值为，无最小值，
故有最大值无最小值，即A错误；
所以，
由于，所以，
当得时，取最大值为1，无最小值，
的最大值为，无最小值，
故有最大值无最小值，故B 正确；
，
由于，所以，
当得时，取最大值1，无最小值，
此时有最大值，无最小值，
即有最大值无最小值，故C错误；
，
由于，所以，
所以，既无最大值也无最小值，D 正确.
故选：BD.
18．在中，，，、的交点为，过作动直线分别交线段、于、两点，若，，则的不可能取到的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】
先证明结论：当为直线外一点时，、、三点共线，.计算出，设，结合，可得出，然后将与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，即可得出结论.
【详解】
先证明结论：当为直线外一点时，、、三点共线，.
充分性：若、、三点共线，则存在，使得，即，所以，，
因为，则，充分性成立；
必要性：因为且，
所以，，即，所以，，
所以，、、三点共线.
本题中，取的中点，连接，如下图所示：
、分别为、的中点，则且，
，，即，
，即，，，
，，
、、三点共线，为直线外一点，则且.
，，则，
所以，，可得，由可得，
由基本不等式可得.
当且仅当时，等号成立.
所以，的最小值为，ABC选项均不满足.
故选：ABC.
19．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内的一点，、、的面积分别为、、，则.若是锐角内的一点，、、是的三个内角，且点满足，则（ ）
A．为的垂心
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】
首先可根据得出，用相同的方式得出、，即可得出A正确，然后作辅助线，根据、即可得出B正确，再然后通过正弦定理得出，即，用相同的方式得出，即可得出C错误，最后结合解三角形面积公式以及B项得出、、，根据“奔驰定理”得出，结合C项即可得出D正确.
【详解】
A项：，即，
，，，
同理可得，，
故为的垂心，A正确；
B：如图，延长交于点，延长交于点，延长交于点，
因为，所以，，
因为，所以，，
则
，B正确；
C项：在中，由正弦定理易知，
因为，，
所以，
即，，
同理可得，
故，C错误；
D项：，同理可得，，
则
，
同理可得，，
因为，
所以将、、代入，可得，
因为，
所以，
故成立，D正确，
故选：ABD.
20．对于△，其外心为，重心为，垂心为，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．向量与共线
D．过点的直线分别与、交于、两点，若，，则
【答案】BCD
【分析】
A：由外心的性质，结合向量数量积的几何意义判断；B：根据的几何意义即可判断正误；C：应用向量数量积的运算律及定义化简，再根据判断正误；D：根据平面向量基本定理可得，再由三点共线即可证.
【详解】
A：为外心，则，仅当时才有，错误；
B：由，又，故，正确；
C：，即与垂直，又，所以与共线，正确；
D：，又三点共线，则，故，正确.
故选：BCD
21．已知平面向量满足，，，对任意的实数，均有的最小值为，则下列说法正确的是（ ）
A．与夹角的余弦值为 B．的最小值为2
C．的最小值为2 D．若时，这样的有3个
【答案】AC
【分析】
首先根据向量的垂直关系建立平面直角坐标系，利用向量的坐标法来解决本题，给出向量和，再根据已知条件给出向量终点C点的轨迹方程为；
对于A选项，可以通过向量，的坐标表示，结合夹角余弦的计算公式得到结果；
对于B选项，，利用函数思想给出向量模长的最小值为1；
对于C选项：因为表示抛物线上的点到和距离之和，再结合抛物线的定义，利用数形结合可以求出的最小值为2；
对于D选项：可得(舍负)，代入抛物线方程得到：，所以，
故这样的有2个.
【详解】
因为，，，所以，
在平面直角坐标系中令，
设，过点作,垂足为，
则而,
所以,
由抛物线的定义知：点在以为焦点，为准线的抛物线上运动且方程为
对于A:因为，
所以与夹角余弦值：
，故A对；
对于B:
当时，取得最小值，最小值为1，故B错；
对于C：，表示抛物线上的点到和距离之和，
由抛物线的定义知：
所以，故C对；
对于D：
所以，又因为，所以，
代入抛物线方程得到：，所以，
故这样的有2个，故D错.
故选：AC
第II卷（非选择题）
三、填空题
22．已知平面向量满足：，当与所成角最大时，则______
【答案】
【分析】
方法一：记，，，由条件可得，由此确定点C的轨迹，则与的夹角为，证明当C为过，两点的圆与圆相外切时的切点时，最大，设圆的半径为，再由正弦定理可得，利用余弦定理求得，由此可得，方法二：以O为原点，OA，OB为x，y轴建立坐标系，求点C的轨迹，则与的夹角为，证明当C为过，两点的圆与圆相外切时的切点时，最大，由求点E的坐标，由此可求.
【详解】
解：记，，，
则，
即点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆．过，两点的圆与圆相外切，记切点为，此时最大（如图）．
下证上述结论：取圆上不同于切点的点，因为在圆的外面，
所以．
下面求当最大时，的值．
记圆的半径为，则．
所以只需求出圆的半径为即可．
法一：如右图，为弦的中点，
在中，由余弦定理求得，
，则．
在中，，，，，
由余弦定理得，．
即．
法二：如图建系，，，，点在以为圆心，1为半径的圆上．
以为弦长作圆，当圆与圆外切时最大．
圆心在弦的中垂线上，设，
则，
即，
化简得，即或（舍去），
此时，得．
故答案为：.
23．已知中，，，且的最小值为，则__________.
【答案】3
【分析】
由题可知，向量与均为单位向量且互相垂直，再利用数形结合进行求解.
【详解】
记，，则表示与同方向的单位向量.又，则B、D、E三点共线.
当与垂直时，有最小值，所以.所以.
故答案为：3.
24．在平面内，若有，，则的最大值为________．
【答案】
【分析】
由条件可以求得，从而可作，并连接，取的中点，连接，则有，根据条件可以得到，可作，并连接，，从而可以得到，即点在以为直径的圆上，从而得出当在上的投影最大时，最大．通过计算，即得出在上的投影最大值，从而得出的最大值.
【详解】
解：根据条件，；
；
，如图，作，则，连接，取的中点，连接，则；
由得，；
；
作，连接，，则；
；
点在以为直径的圆上；
当运动到圆的最右侧时，在上的投影最大，即最大；
又,
又,且,
所以,
所以在上的最大投影为，
所以,
故答案为：
25．已知，是非零不共线的向量，设，定义点集，当，时，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的最小值为______.
【答案】.
【分析】
由，可得，，共线，再由向量的数量积的几何意义可得为的平分线，由角平分线的性质定理可得，可得的轨迹为圆，求得圆的直径与的关系，即可得到所求最值．
【详解】
解：由，
可得，，共线，
由，
可得，
即有，
则为的平分线，
由角平分线的性质定理可得，
即的轨迹为圆心在上的圆，
由，可得，
由，可得，
可得，
由函数在上递增，可得，
即有，
即，由题意可得，
故的最小值为．
故答案为：．
26．如图，在△ABC中，，，，直线FM交AE于点G，直线MC交AE于点N，若△MNG是边长为1的等边三角形，则___________.
【答案】
【分析】
假设，首先根据向量共线求得，同理得，，最后由于，,从而计算即可.
【详解】
解：设，
而，
所以，
，
因为，所以，
得，
所以.
同理，所以.
，
，
,
所以.
27．如图，在△中，，，．若为△内部的点且满足，则________．
【答案】
【分析】
根据已知的向量关系先分析出，然后通过设，根据相似三角形以及正弦定理找到的关系，从而可求解出的结果.
【详解】
因为，所以，
所以，
所以，
所以，所以，
即，同理可知：，
不妨设，所以，
又因为，，，所以，
所以，所以，
所以，所以，所以；
在中，，
所以，所以，
又在中，，
所以，所以，
所以，所以，
又因为，所以，
又因为，所以，
所以.
故答案为：.
28．在三角形 中， 的三个内角 的对边分别是 ，则下列给出的五个命题：
①若，，且与夹角为锐角，则；
②若，则为等腰三角形；
③点O是三角形ABC所在平面内一点，且满足，则点O是三角形ABC的重心；
④，，若，则为锐角三角形；
⑤若为的外心，.
其中正确的命题是：_______________________．（填写正确结论的编号）
【答案】④⑤/⑤④
【分析】
利用向量夹角的坐标表示计算判断①；利用正弦定理边化角推理判断②；利用向量数量积运算判断③；
利用数量积及三角变换判断④；由三角形外心结合数量积运算判断⑤即可作答.
【详解】
①若与夹角为锐角，则且与不共线，即，即且，①不正确；
②在中，，由正弦定理得，即，
而，则或，即或，为等腰或直角三角形，②不正确；
③由得，，即，
同理可得，，则点O是的垂心，③不正确；
④，，则，
而，则有，
必有，角都是锐角，因此为锐角三角形，④正确；
⑤若为的外心，过O作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，如图，则，，
则，同理：，
则，⑤正确.
故答案为：④⑤
四、解答题
29．已知为的外心，求证..
【答案】证明见解析
【分析】
以为坐标原点，A为轴的正半轴，设，结合三角形所在边的直线方程，利用叉积运算，分别得到，进而得到，再结合三角形面积公式和证明即可.
【详解】
如图，以为坐标原点，A为轴的正半轴，
在轴的上方，则，直线的方程是，
因为点与点必在直线的同侧，且，
所以有，得.
直线的方程是，由于点与点必在直线的同侧，且，
所以有，得.
于是，
又，
，
，
又，
所以.证毕.
30．在△ABC中，重心为G，垂心为H，外心为I．
（1）若△ABC三个顶点的坐标为，，，证明：G，H，I三点共线；
（2）对于任斜三角形ABC，G，H，I三点是否都共线，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）共线，证明见解析.
【分析】
（1）分别求出G，H，I三点的坐标，利用斜率相等，即可证明结论；
（2）以线段所在直线为轴，线段的中垂线为轴，建立直角坐标系，设
，，的坐标分别为，，，，，利用共线向量基本定理，即可得证；
【详解】
（1）易得：，，，
，，
，G，H，I三点共线；
（2）以线段所在直线为轴，线段的中垂线为轴，建立直角坐标系，设
，，的坐标分别为，，，，，则
设外心，垂心的坐标为，，的中点为，
，，的坐标分别为，，，，，
，，的坐标为，，
，，，，
由，
则，
即，
外心的坐标为，垂心的坐标为，
，，，，得，
，，三点共线.
专题12 平面向量综合必刷100题
(初级)1-30题
一、单选题
1．已知，向量，若，则实数（ ）
A． B． C．-2 D．2
【答案】D
【分析】
由，可得，用坐标表示数量积，即得解
【详解】
由
可得
，因为，所以.
故选：D
2．设中边上的中线为，点满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
由中线向量公式得到；由，利用线型运算得到，进而利用向量的减法运算得到结论.
【详解】
因为中边上的中线为，
所以，
因为，所以，
所以，
所以，
所以．
故选：.
3．若平面向量两两的夹角相等，且，则（ ）
A．2 B．5 C．2或5 D．或
【答案】C
【分析】
分类讨论，再由向量求模公式，即可求解.
【详解】
当两两的夹角均为0°时，显然；当两两的夹角均为120°时，，
故选：C.
4．在菱形中，、分别是、的中点，若，，则（ ）
A．0 B． C．4 D．
【答案】B
【分析】
以为基底表示有关向量，然后利用数量积的运算和定义求解.
【详解】
设,则.
，
故选：B.
5．如图，点在半径为的上运动，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
建立适当的坐标系，设，利用向量的坐标运算得到m,n与α的关系，进而得到m+n关于α的三角函数表达式，利用辅助角公式整理后，根据三角函数的性质求得其最大值.
【详解】
以为原点､的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系，
则有，.
设，则.
由题意可知
所以.
因为，所以，
故的最大值为.
6．已知向量满足，则与夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先求得，再利用向量夹角公式，结合向量数量积的运算计算即可得到答案.
【详解】
，
∴=1，
所以，
故向量与的夹角为.
故选：B.
7．已知，，，则在方向上的投影为（ ）
A．1 B．5 C． D．
【答案】A
【分析】
由的坐标求出和，进而利用投影的定义求解即可．
【详解】
∵，，
则，
∴，，
∴在方向上的投影为：.
故选：A.
8．在中，，且，则取最小值时的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
对平方，利用平面向量的数量积公式和已知条件，可知，根据二次函数的性质，即可求出结果.
【详解】
因为
所以当时，取最小值.
故选：B.
9．在中，点是线段上靠近点的三等分点，点在线段上，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据平面向量的三角形法则可得，进而，再根据和点是线段上靠近点的三等分点，利共线定理可得，，再结合平面向量的三角形法则，即可求出结果.
【详解】
根据题意，作出图形，如图所示．
因为
所以
又，所以
所以
又点是线段上靠近点的三等分点，所以，
所以．
故选:B.
10．已知点，若过点的直线l交圆于C：于A，B两点，则的最大值为（ ）
A．12 B． C．10 D．
【答案】A
【分析】
设出的中点，根据垂径定理即可求出点的轨迹方程是以为圆心，1为半径的圆，再利用圆的性质求出的最大值，再由向量的运算性质即可求解．
【详解】
由已知圆的方程可得：圆心，半径为，
设的中点为，则由圆的性质可得：，
即，而，，
所以，
即点的轨迹方程为，
设为的中点，则，半径为1，
所以的最大值为，
又，
所以的最大值为12，
故选：A
11．以下四个命题中正确的是（ ）
A．若，则三点共线
B．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底
C．
D．为直角三角形的充要条件是
【答案】B
【分析】
对于,，， 三点共线时，，故不正确；
对于， 不共线，所以构成空间的另一个基底，故正确；
对于，表示与共线的向量，表示与共线的向量，故不正确；
对于，时，为直角，反之也可以是，为直角，故不正确.
【详解】
对于A：，，三点共线时，，
，
，，三点共线不成立，故A不正确；
对于B：若为空间的一个基底，
则不共线，
不共线，
构成空间的另一个基底，故B正确；
对于C：假设，
不妨设，
则，
因为向量不一定共线，故C不正确；
对于D，时，为直角，
故为直角三角形，反之也可以是，为直角，
故D不正确.
故选：B.
12．已知向量、满足，且，则在方向上的投影是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
在等式两边同时平方，求出的值，进而可得出在方向上的投影为.
【详解】
，在等式两边平方并化简得，，
因此，在方向上的投影为.
故选：D.
13．在△ABC中，已知AB=3，AC=5，△ABC的外接圆圆心为O，则
A．4 B．8 C．10 D．16
【答案】B
【分析】
画出图形，并将和中点，和中点连接，从而得到，，根据数量积的计算公式以及条件即可得出，，从而，从而可得到的值.
【详解】
如图，取中点，中点，并连接，，
则，，
，
，
.
故选：B
14．已知向量与向量不共线，，对任意，恒有，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设向量的坐标为，代入题中向量等式，解出 x,y之间的关系式，再逐项验证答案.
【详解】
设，则
可化简为
根据题意，恒成立
即，恒成立
，解得
，选项A错误；
，选项B错误；
，选项C正确；
，选项D错误.
故选：C.
15．如图所示，矩形的对角线相交于点，点在线段上且，若（，），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
以为基底表示出，求得，，从而确定正确答案.
【详解】
因为四边形为矩形，，所以，所以，因为（，），所以，，所以．
故选：A
二、多选题
16．已知平面向量、、为三个单位向量，且，若（），则的取值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】
建立如图坐标系，以向量、作为一组垂直的单位基底可以表示单位圆上任一点C（表示由x轴非负半轴旋转到OC所形成的角）构成的向量，，求出、、的坐标，列出等式，结合两角和的正弦公式和正弦函数的值域即可得出结果.
【详解】
依题意，、是一组垂直的单位向量，如图建立坐标系，
向量、作为一组垂直的单位基底可以表示单位圆上任一点C（表示由x轴非负半轴旋转到OC所形成的角）构成的向量，，
因为，，，，
所以，故，，
故，故可以是选项中的，1，．
故选：ABC．
17．下列说法中错误的是（ ）
A．已知，，则与可以作为平面内所有向量的一组基底
B．若与共线，则在方向上的投影为
C．若两非零向量，满足，则
D．平面直角坐标系中，，，，则为锐角三角形
【答案】ABD
【分析】
结合向量基底定义，投影的运算，及模的转化，夹角的运算分别检验各选项即可判断．
【详解】
对于A，，所以，故不能作为平面内所有向量的一组基底，错误；
对于B，与共线，则在方向上的投影为，所以错误；
对于，两非零向量，满足，则，则，
成立；
对于，，，，则，，，
，
，
，
所以为钝角，
则为钝角三角形，错误；
故选：．
18．设，是两个非零向量，下列四个命题为真命题的是（ ）
A．若，则和的夹角为
B．若，则和的夹角为
C．若，则和方向相同
D．若，则和b的夹角为钝角
【答案】ABC
【分析】
利用向量加减法的几何意义，判断A、B的正误；两向量模的性质判断C，由向量的夹角与数量积间的关系判定判断D.
【详解】
解：，，，构成等边三角形，A正确；
由向量加法的平行四边形法则可知，和的夹角为，B正确；，则与同向，C正确；
若，则和的夹角为钝角或者，D错误，
故选：ABC.
19．在中，有如下四个命题正确的有（ ）
A．若，则为锐角三角形
B．若，则的形状为直角三角形
C．内一点G满足，则G是的重心
D．若，则点P必为的外心
【答案】BC
【分析】
对于A，由可得角为锐角，从而可判断，对于B，对两边平方化简，再结合余弦定理可得结论，对于C，由向量加法和共线及三角形重心概念判断，对于D，由向量运算性质和三角形垂心概念可判断
【详解】
解：对于A，由，得，所以，所以角为锐角，但不能判断三角形为锐角三角形，所以A错误，
对于B，因为，所以，即，所以,得，因为，所以，所以三角形为直角三角形，所以B正确，
对于C，因为，所以，所以（为的中点），所以三点共线，所以点在边的中线上，同理，可得点在其它两边的中线上，所以G是的重心，所以C正确，
对于D，因为，所以，,所以，所以点在边的高上，同理可得点 也在其它两边的高上，所以点为的垂心，所以D错误，
故选：BC
20．已知向量是两个非零向量，在下列条件中，一定能使共线的是（ ）
A．且
B．存在相异实数，使
C．（其中实数x，y满足）
D．已知梯形ABCD，其中
【答案】AB
【分析】
选项A：根据，即可得出，从而得出共线；选项B：可得出都不等于0，并得出，从而得出共线；选项C：当，时，满足选项的条件，显然得不出共线；对于选项D：显然得不出共线．
【详解】
解：A．联立和消去向量可得出 ，
∴，且，所以共线.
B．∵都是非零向量，且，，
∴都不为0，所以，所以共线.
C．当 时，满足，此时对任意的向量都有，∴得不出共线；
D．∵在梯形中AB与CD不一定平行，∴得不出共线．
故选：A B．
第II卷（非选择题）
三、填空题
21．已知在中，，则___________.
【答案】
【分析】
设，根据，得到和，结合向量的数量积的运算公式，即可求解.
【详解】
如图所示，设，可得，
因为，可得，
，
所以.
故答案为：.
22．在中，点满足，当点在线段上移动时，若，则的最小值是________．
【答案】/0.9
【分析】
根据题意画出图形，利用表示出，再设，；用分别表示出求出与，再将其代入，可得，然后利用二次函数的性质即可求的最小值．
【详解】
如图所示，
中，，
∴，
又点点在线段上移动，设，，
∴，
又，∴，
∴，
∴当时，取到最小值，最小值为.
故答案为：．
23．在中，点D是边的中点，点G在上，且是的重心，则用向量､表示为___________.
【答案】
【分析】
根据三角形重心的性质可知，，再根据向量减法即可求出．
【详解】
在中，点D是边的中点，点G在上，且是的重心，
所以，
．
故答案为：．
24．已知点G为△ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且＝x，＝y，求的值为________．
【答案】3
【分析】
以为基底，由G是的重心和M，G，N三点共线，可得，即求.
【详解】
根据条件：，
如图设D为BC的中点，则
因为G是的重心，，
，
又M，G，N三点共线，
，即.
故答案为：3.
25．如图，在菱形中，，．已知，，，则______．
【答案】
【分析】
利用向量的线性运算以及向量数量积的定义即可求解.
【详解】
因为，，
所以，，
所以．
又，所以．
因为，，
所以
．
故答案为：
四、解答题
26．已知，，．
（1）求与的夹角θ；
（2）求；
（3）若，求实数λ的值．
【答案】
（1）
（2）
（3）
【分析】
（1）利用数量积的运算律即可求解；
（2）由（1）中的结果结合模平方之后转化为数量积运算即可求解；
（3）由向量垂直得出数量积为零的等式，进而求出实数λ的值.
（1）
解：∵ 即
又因为，
∴64-8×4×3cosθ+27=43，
∴．
∵θ∈[0，π]，
∴．
（2）
解：由（1）得．
（3）
解：∵，
∴，
∴
即，
∴3λ=10，
∴．
27．已知O，A，B是不共线的三点，且
（1）若m+n=1，求证：A，P，B三点共线；
（2）若A，P，B三点共线，求证：m+n=1.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由原式可代换为，再由，两式联立变形即可求证；
（2）由A，P，B三点共线，可得，变形得，整理成关于的表达式，再结合，由对应关系即可求证
【详解】
（1）证明：
若m+n=1，则，，
故，即，
，即共线，又有公共点，则A，P，B三点共线；
（2）证明：
若A，P，B三点共线，则存在实数λ，使得，变形得，即，，又，，故
28．如图，已知D，E，F分别为的三边，，的中点，求证：．
【答案】证明见解析
【分析】
利用向量加法的三角形法则，在图形中寻找回路，即可证明．
【详解】
由题意知，，，
由题意可知，．
．
29．已知向量，，.
（1）若点，，能够成三角形，求实数应满足的条件；
（2）若为直角三角形，且为直角，求实数的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
(1)点，，能构成三角形，则这三点不共线，即与不共线，利用向量共线的坐标公式计算即可．
(2)为直角三角形，且为直角，则，利用向量的数量积坐标公式计算即可．
【详解】
（1）已知向量，，，
若点，，能构成三角形，则这三点不共线，即与不共线.
，，
故知，
∴实数时，满足条件.
（2）若为直角三角形，且为直角，则，
∴，
解得.
30．设的内角A，B，C的对边长a，b，c成等比数列，，延长至D使.
（1）求的大小；
（2）求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）先根据，得到；①再结合成等比数列得到；②二者联立即可求出的大小；
（2）上面的二者联立求得，得到其为正三角形，再结合二次函数的性质即可求得结论．
【详解】
（1）依题可得：，，
①
又因为长a，b，c成等比数列，所以，由正弦定理得：②
①②得：，
化简得：，解得：，又，所以，
（2）①②得：，即，即，即三角形为正三角形，
设的边长为x，由已知可得，
则
（当且仅当时取等号）.
的取值范围.
(中级)1-40题
一、单选题
1．设、、为非零不共线向量，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
由题意化简得到，整理得恒成立，结合二次函数的性质，结合，即可求解.
【详解】
由向量、、为非零不共线向量，若，
则，可得，
化简得，
即恒成立，
令，
则
，即，
所以
故选：D.
2．在平面直角坐标系中，已知点．若动点M满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
设，求出动点轨迹方程，然后用三角换元法表示出，计算，并由两角和的正弦公式变形，由正弦函数性质求得范围．
【详解】
设，则由，得M的方程为，设，
则．
故选：D．
3．已知是边长为2的正方形，为平面内一点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据给定条件建立平面直角坐标系，利用向量运算的坐标表示即可计算作答.
【详解】
是边长为2的正方形，则以点A为原点，直线AB，AD分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图：
则，设点，
，
于是得：，
当时，取得最小值，
所以的最小值是.
故选：B
4．已知点为正所在平面上一点，且满足，若的面积与的面积比值为，则的值为（ ）
A． B．
C．2 D．3
【答案】B
【分析】
如图，分别是对应边的中点，对所给的向量等式进行变形，根据变化后的条件得到，由于正三角形，结合题目中的面积关系得到，，由面积之比，分所成的比，从而得出的值．
【详解】
，
．
如图，，分别是对应边的中点，
由平行四边形法则知，，
故，
在正三角形中，
，
，
且三角形与三角形的底边相等，面积之比为,
所以，得．
故选：B
5．已知直线：与圆：的交点为，，点是圆上一动点，设点，则的最大值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【分析】
先把圆的一般方程转化为标准方程可得，可得直线恒过圆心，即，利用向量加法的三角不等式，分析即得解
【详解】
圆：化成，
故点，，
直线：恒过圆心，
所以，
所以，
当且仅当和同向共线，且点为圆上最高点时，等号成立
故选：B
6．已知平面向量满足，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据已知条件可得，，，设，，，可得点的轨迹为圆，由圆的性质即可求解.
【详解】
因为，所以，，
，因为，所以，
设，，，
，，
所以，
即，
所以点在以为圆心，半径的圆上，
表示圆上的点与定点的距离，
所以的最小值为，
故选：D.
7．已知向量，，为平面向量，，且使得与所成夹角为，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】
先根据已知条件求出向量，的夹角，建立平面直角坐标系，设，，设，，，根据线性运算可得，，，结合正弦定理可求出点的轨迹，当三点共线时取得最大值，即可求解.
【详解】
因为，所以，可得，
因为，所以，
如图所示：在平面直角坐标系中，，，
不妨设，，延长到使得，则，
点为平面直角坐标系中的点，，则，，
则满足题意时，，结合点，为定点，且，
由正弦定理可得：，可得，
则点的轨迹是以为圆心，为半径的优弧上，
当三点共线，即点位于图中点位置时，取得最大值，
其最大值为，
故选：A.
8．非零向量，满足，且，则为（ ）
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．等边三角形
【答案】D
【分析】
先根据，判断出的角平分线与垂直，进而推断三角形为等腰三角形进而根据向量的数量积公式求得，判断出三角形的形状．
【详解】
，，分别为单位向量，
的角平分线与垂直，
，
，
，
，
为等边三角形．
故选：D．
9．在中，，，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由已知数量积相等求得，取中点D，从而求得中线的长，可表示为的函数，由三角函数知识得取值范围．
【详解】
在中，，即，取中点D，即，则
又BD是中线，所以是等腰三角形，BA=BC.由，即，
，
则，
由，则，所以.
故选：C．
10．已知的三个内角分别为，，，动点满足，，则动点的轨迹一定经过的（ ）
A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心
【答案】A
【分析】
利用正弦定理变形向量等式，再利用向量加法、向量减法的意义即可判断作答.
【详解】
在中，令线段BC的中点为M，由正弦定理得：，
由得：，
即，而，，则，
于是得与同向共线，而它们有公共起点，即动点P的轨迹是射线AM(除A点外)，又重心在线段AM上，
所以动点的轨迹一定经过的重心.
故选：A
11．已知平面向量满足，，，若对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
由向量的模的运算得：易得，又对于任意实数，不等式恒成立，即对于任意实数，不等式恒成立，由二次不等式恒成立问题得：△，即可得到答案；
【详解】
解：由，，，得，
又对于任意实数，不等式恒成立，
即对于任意实数，不等式恒成立，
即对于任意实数，不等式恒成立，
即△，解得：或，
故选：B.
12．已知A、B、C是平面上不共线的三点，O为△ABC的外心，动点P满足，则点P的轨迹一定过△ABC的（ ）
A．内心 B．垂心 C．重心 D．AC边的中点
【答案】C
【分析】
设△ABC的重心为G，则，结合题设，利用平面向量的运算法则可得，即G、P、C三点共线，从而可得结果.
【详解】
设△ABC的重心为G，∵，
∴
，
∴，∴G、P、C三点共线，故选C．
13．平面内及一点满足，则点是的（ ）
A．重心 B．内心 C．外心 D．垂心
【答案】B
【分析】
由可得，，从而可知，是角平分线，即可得点的性质.
【详解】
解：由知，，
即，即 ，则是 的角平分线，
同理，即，则是的角平分线，
则点是的内心.
故选:B.
14．设点是的重心，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由点是的重心可得,利用正弦定理可得,则,即,可得,进而利用余弦定理求解即可.
【详解】
因为点是的重心,
所以,
因为,
由正弦定理可得,
所以,
即,故,则,
则由余弦定理可得.
故选:B
15．若直线过△的重心，且，，其中，，则的最小值是（ ）．
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】
直线过△的重心得到，由已知化简得，利用三点共线得到，再运用基本不等式求解可得.
【详解】
如图：连接并延长交于点，所以点是中点
,又，
,又，
,因为三点共线
，
当且仅当 即 时，等号成立.
故选：B
16．在中，，，且，，则点的轨迹一定通过的（ ）
A．重心 B．内心
C．外心 D．垂心
【答案】A
【分析】
过C作，交AB于H，取AB中点D，连接CD，所以，根据向量的线性运算法则，化简可得，根据三角形的性质，分析即可得答案.
【详解】
过C作，交AB于H，取AB中点D，连接CD，如图所示：
根据三角函数定义可得，
因为，
所以，即，
即点P的轨迹在中线CD上，而三角形三边中线的交点为该三角形的重心，
所以点的轨迹一定通过的重心.
故选：A
17．在中，角、、的对边分别为、、，若，，点是的重心，且，则（ ）
A．或 B． C．或 D．
【答案】C
【分析】
利用二倍角的余弦公式以及诱导公式求出，可得出或，然后由点是的重心，得出，两边平方后化简得出，然后分或两种情况讨论，求出的值，由余弦定理可求出的值.
【详解】
，，
整理得，解得或（舍去）.
或.
又点是的重心，则，
等式两边平方得，
，，，整理得.
①当时，则有，解得，
由余弦定理得，则；
②当时，则有，解得，
由余弦定理得，则.
因此，或.
故选：C.
18．在中，是的中点，是的中点，过点作一直线分别与边，交于，，若，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用与共线，存在实数，使，把用表示，然后由基本不等式得最小值．
【详解】
解：在中，为边的中点，为的中点，
，
，
，
同理，，
与共线，
存在实数，使，
即，
即，
解得，，
，
当且仅当，即时，“”成立，
的最小值是．
故选：C．
19．已知圆的半径为2，A为圆内一点，，B，C为圆上任意两点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设为和的夹角，则，由的范围可得答案.
【详解】
如图，连接，，
设为和的夹角.
则
且，
由，当时，有最小值；
当时，有最大值为10.
故选：C.
20．已知，，，若对任意实数，（）恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据条件由进行数量积的运算即可求出，然后根据可得出对任意实数，即可得到恒成立，然后根据及解出的范围即可．
【详解】
解：，
，，
，
对任意实数，，
对任意的实数，，
对任意的实数，恒成立，
，解得或，
因为，所以
实数的范围为：．
故选：．
二、多选题
21．数学家欧拉于1765年在其著作《三角形中的几何学》首次指出：的外心，重心，垂心，依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为欧拉线. 若，，则下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】
根据欧拉线定理可判断A；利用向量的加、减运算可判断B；利用向量的数量积可判断C；利用向量的加法运算以及欧拉线定理可判断D.
【详解】
A，由题意可得，即，故A正确；
B，由是的重心可得,
所以，故B错误；
C，过的外心分别作的垂线，垂足为，如图，
易知分别是的中点，则
，故C正确；
D，因为是的重心，所以，
故
，
由欧拉线定理可得,
所以，故D正确.
故选：ACD
22．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知△ABC的外心为O，重心为G，垂心为H，M为BC中点，且AB=4，AC=2，则下列各式正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】
利用三角形外心、重心、垂心的性质，结合平面向量的线性运算法则以及平面向量的数量积的定义及运算律逐项分析即可求出结果.
【详解】
由G是三角形ABC的重心可得，所以=，故A项错误；
过三角形ABC的外心O分别作AB、AC的垂线，垂足为D、E，如图（1），易知D、E分别是AB、AC的中点，则
，故B项正确；
因为G是三角形ABC的重心，所以有，故，
由欧拉线定理可得，故C项正确；
如图（2），由可得，即，则有，D项正确，
故选：BCD.
23．在中，，，下述四个结论中正确的是（ ）
A．若为的重心，则
B．若为边上的一个动点，则为定值2
C．若，为边上的两个动点，且，则的最小值为
D．已知为内一点，若，且，则的最大值为2
【答案】AC
【分析】
A.以A为坐标原点，分别以AB，AC所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，由为的重心，结合向量的数乘运算判断；B.设，把用含t的代数式表示判断；C.不妨设M靠近B，，求得M，N的坐标，得到关于x的函数，利用二次函数求值判断；D. 由结合BP=1，得到，再令，转化为，利用三角函数的性质求解判断.
【详解】
如图，以A为坐标原点，分别以AB，AC所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，
则，因为为的重心，所以，则 ，
所以 ，所以，故A正确；
设，则，则，
，故B错误；
不妨设M靠近B，，得，
则，当时，的最小值为：故C正确；
由，且P为内一点，BP=1，则，即，
令，则，
因为，则，所以，
所以的范围是，故D错误.
故选：AC
24．已知为所在平面内一点，且，，是边的三等分点靠近点，，与交于点，则（ ）
A．
B．
C．
D．的最小值为-6
【答案】ABD
【分析】
由题意得，由向量线性运算知，故A正确；根据，，三点共线可知，是的中点，是靠近的四等分点，可推出，B正确；根据等边三角形求得，可知，C错误；建立直角坐标系，利用坐标运算可得，可求得最小值-6，D正确.
【详解】
解：∵，∴
又∵是边的三等分点靠近点
∴
∴，故选项A正确；
设，则
∵，，三点共线
∴，故
∴是的中点
∴
又∵，，三点共线，所以为靠近的四等分点
∴，故选项B正确；
∵是边长为4的等边三角形
∴
∴，故选项C不正确；
以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴，过点且与垂直的直线为轴建立平面直角坐标系，则点，，，设点，则
∴最小值为-6，故选项D正确.
故选：ABD．
25．在中，角、、所对的边分别是、、，点是其所在平面内一点，（ ）
A．若，则点在的中位线上
B．若，则为的重心
C．若，则为锐角三角形
D．若，则是等腰三角形
【答案】ABD
【分析】
由平面向量的线性运算以及向量共线基本定理可判断A选项的正误；利用三角形重心的向量表示可判断B选项的正误；利用特殊值法可判断C选项的正误；利用正弦定理边角互化可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，，则，
即，
设、的中点分别为、，则，故点在的中位线上，A对；
对于B选项，设为的中点，则，
所以，，故为的重心，B对；
对于C选项，取，，，则满足，但，此时，为直角三角形，C错；
对于D选项，，由正弦定理可得，
，，则，，可得，
所以，为等腰三角形，D对.
故选：ABD.
26．下列说法中错误的为（ ）
A．已知，且与夹角为锐角，则
B．点为的内心，且，则为等腰三角形；
C．若与平行，在方向上的投影为
D．若非零，满足则与的夹角是
【答案】ACD
【分析】
对于A，分析得到且，故A错误；
对于B, 分析得到，所以为等腰三角形，所以B正确；
对于C， 在方向上的正射影的数量为，故C错误；
对于D，与的夹角为，故D错误．
【详解】
解：对于A，，且与夹角为锐角，
，
且时与的夹角为，所以且，故A错误；
对于B,
所以，所以为等腰三角形，所以B正确；
对于C，若，则在方向上的正射影的数量为，故C错误；
对于D，因为，两边平方得，，
则，，
故，而向量的夹角范围为，，得与的夹角为，故D错误．
故选：ACD
27．如图，ABCD中，AB=1，AD=2，∠BAD=，E为CD的中点，AE与DB交于F，则下列叙述中，一定正确的是（ ）
A．在上的投影向量为(0，0) B．
C． D．若，则
【答案】ABC
【分析】
由余弦定理求出，再由勾股定理逆定理得到，即可判断A；
根据平面向量基本定理判断B，根据平面向量数量积的运算律计算即可判断C，首先根据数量积的运算律求出，即可求出，即可判断D．
【详解】
解：对于A，因为，
因为，所以，即，
在上的投影向量为，故A正确；
对于B，因为，
设，
因为B，F，D三点共线，所以，所以，
所以，所以B正确；
对于C，，C正确；
对于D，因为，
所以，如果，又因为，
所以，不满足，故D不正确.
故选：
28．已知是△所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则是△的重心
B．若向量，且，则△是正三角形
C．若是△的外心，，，则的值为-8
D．若，则
【答案】BCD
【分析】
由平面向量数量积的性质及运算，逐一检验可得解．
【详解】
对于选项，因为，所以，即，，同理，，则是△的垂心，故错误；
对于选项，设的中点为，，即，，，为△的重心，
又，为的外心．故△的形状是等边三角形，故正确；
对于选项，如图，过作，垂足分别为，，
则，分别是，的中点，
则；故正确；
对于选项，延长至，使；延长至，使，则，为△的重心，
，
，，，
，故正确．
故选：．
第II卷（非选择题）
三、填空题
29．如图，△ABC中，，，，为△ABC重心，P为线段BG上一点，则的最大值为___________.
【答案】20
【分析】
延长交于，由为△ABC重心，得为的中点，则可得，设，可得，分别把用基底表示，再由数量积的运算结合二次函数求最值可得的最大值
【详解】
延长交于，
因为为△ABC重心，所以为的中点，
所以,
设，因为P为线段BG上一点，所以，
因为为△ABC重心，所以，
因为,
，
所以
其对称轴为，
所以当时，取得最大值20，
故答案为：20
30．在中，下列命题中正确的有：___________
①；
②若，则为锐角三角形；
③是所在平面内一定点，动点满足，，则动点一定过的重心；
④是内一定点，且，则；
⑤若，且，则为等边三角形.
【答案】③⑤
【分析】
利用平面向量的减法可判断①的正误；利用平面向量数量积判断出为锐角，可判断②的正误；根据平面向量共线的基本定理可判断③的正误；确定点的位置，可判断④的正误；分析可得出，求出角的值，可判断⑤的正误.
【详解】
①，①错误；
②若，则为锐角，但无法确定、的大小，为锐角三角形不正确，②错误；
③由动点满足，得，
设点为的中点，则，即，
为的中线，过的重心，③正确；
④设为中点，连接，则是的中线，由③可知，
由已知且得，
即、、三点共线，且为的中点，
在中，是边上的中线，可得.
同理可得中，，所以，，
由此可得，所以，，④错误；
⑤因为，
可得，因为、，，
因为，且，所以，，
因此，为等边三角形，⑤正确.
故答案为：③⑤.
31．已知向量，是平面内的两个非零向量，则当取最大值时，与夹角为________．
【答案】/
【分析】
根据，结合平面向量数量积的运算性质推出，再根据题意以及等号成立条件，即可求解.
【详解】
∵向量，是平面内的两个非零向量，
∴，当且仅当时取等号，
∴，即，
∴，即，当且仅当时取等号，即，则与夹角为，
∴当取最大值时，与夹角为.
故答案为：.
32．点为所在平面内一点，，，若的面积为，则的最小值是________．
【答案】
【分析】
在中，根据题意化简得到，根据的面积为，求得，再根据，得到，设，结合点与点连线的斜率， 利用直线与半圆相切，即可求解.
【详解】
在中，设角对的三边分别为，
由，
又由，可得且，解得，
因为的面积为，所以，可得，
由，可得
，
设，其中
因为表示点与点连线的斜率，
如图所示，当过点与半圆相切时，此时斜率最大，
在直角中，，可得，
所以斜率的最大值为，
所以的最大值为，所以，所以，
即的最小值为.
故答案为：.
33．①若，，，为锐角，则实数的取值范围是
②点在所在的平面内，若，则点为的垂心
③点在所在的平面内，若，，分别表示，的面积，则
④点在所在的平面内，满足且，则点是的外心.
以上命题为假命题的序号是___________.
【答案】①④/④①
【分析】
①：利用向量夹角的坐标公式表示写出关于的关系式，由求的范围，注意排除的情况；②：证得， ，，可判断正误；③：若分别是的中点，结合已知得，再过作上的高，由线段比例确定高的比例即可；④：,,,由等的几何意义及已知条件得,.
【详解】
①：,，由为锐角，故，且与不共线，所以且，故①错误；
②：因为，所以，即，因此，同理，，所以点为的垂心
，故②正确；
③：若分别是的中点，则，，所以，故，即共线且，过作上的高，易知，则，所以，故③正确；
④：如下图，，则，，由已知条件知：，，易知为△的内心，故④错误；
故答案为：①④.
34．如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若，则________.
【答案】
【分析】
以和所在的直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，求得和，得到、的坐标，结合向量的数量积的运算公式，即可求解.
【详解】
如图所示，以和所在的直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，
因为，可得，
所以为的中点，
可得，则，所以
又由，
可得，
所以，所以，
则.
35．已知向量，满足，，则的最大值是________.
【答案】
【分析】
先换元，转化为直线与椭圆相切的问题,通过数形结合求解.
【详解】
设，则 ，
=，
，
令，
则，即
设
结合图形可知当直线，与相切时，有最大值.
整理得，
有，解得（ 舍去）
将代入方程得，
解得
即的最大值为
故答案为：
36．已知平面向量，的夹角为45°，且，则的最小值是___________.
【答案】
【分析】
设，则点在一条直线上运动，，于是问题转化为将军饮马问题，把点关于直线对称过去，设为，则最小值为的长
【详解】
解：如图所示，设，则三点共线，且，设，因为平面向量，的夹角为45°，
所以点在一条直线上运动，且这条直线与的夹角为45°，设这条直线为，
所以，，
所以，
设点关于直线的对称点为，连接交直线与点，连接交直线与点，
所以，当点与点重合时，不等式取等号，
在中，，
由余弦定理得，
所以，
所以的最小值为，
故答案为：
四、解答题
37．平面直角坐标系xOy中，已知向量，，，且．
（1）若已知M（1，1），N（y+1，2），y∈[0，2]，则求出的范围；
（2）若，求四边形ABCD的面积．
【答案】(1) (2)16
【分析】
（1）由可得．故
，，将问题转化为二次函数的最值求解；（2）由于，，再根据条件求出的值，进而确定出的坐标，然后根据求解．
【详解】
（1）由题意得=（x+4，y﹣2），，
∵，
∴（x+4）y﹣（y﹣2）x=0，
整理得即x+2y=0．
∴ =，y∈[0，2]．
结合二次函数的知识可得．
∴ 的范围是．
（2）由题意，，
∵，
∴（x+6）（x﹣2）+（y+1）（y﹣3）=0，
即x2+y2+4x﹣2y﹣15=0，
由，解得或，
当 时，，，则；
当 时，，，则．
综上可得 四边形ABCD的面积为16．
38．在中，角所对边分别为，，，，且为边上的中线，点在上，满足.
（1）求及线段的长；
（2）求的面积.
【答案】
（1），
（2）
【分析】
（1）根据正弦定理和条件可得，再利用余弦定理可得线段的长；
（2）先由题得为的角平分线，过作的垂线，垂足分别为，则，再利用求出，通过可得答案.
（1）
由正弦定理得，则，
又
解得（负值舍去）
即.
（2）
由得为的角平分线，
过作的垂线，垂足分别为，则
又
，得
.
39．已知向量与的夹角为，且，．
（1）若向量与共线，求实数的值；
（2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围．
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）由与共线，得到，然后由，即，根据，不共线求解；
（2）法一：根据与的夹角为锐角，由且与的夹角不为求解；法二：设与的夹角为，然后由即求解．
（1）
解：因为与共线，所以，
即存在实数，使得，即，
因为，不共线，所以解得，
故．
（2）
法一：因为与的夹角为锐角，
所以且与的夹角不为．
首先，
因为，
所以，解得；
其次当时，由（1）得与的夹角为，所以，
所以的取值范围为．
法二：设与的夹角为，由已知得．
因为，，
．
．
所以，
解得，，
所以的取值范围为．
40．在等边中，，点为的中点，交于点.
（1）证明：点为的中点；
（2）若，求的面积.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）设，由平面向量的线性运算结合向量共线的推论求得，即可求证；
（2）由平面向量的共线定理，向量的数量积的运算性质，结合三角形面积公式即可求解
【详解】
（1）证明：设，
点为的中点，
，
.
，，三点共线，
，
，
点为的中点.
（2）由（1）知，.
设，
，，三点共线
，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
(高级)1-30题
一、单选题
1．如图，在等腰△中，已知分别是边的点，且，其中且，若线段的中点分别为，则的最小值是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据几何图形中线段对应向量的线性关系，可得，，又且且，可得关于的函数式，由二次函数的性质即可求的最小值.
【详解】
在等腰△中，，则，
∵分别是边的点，
∴，，而，
∴两边平方得：，而，
∴，又，即，
∴当时，最小值为，即的最小值为.
故选：C
2．在中，，点在边上，且，设，则当取最大值时，（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据，利用两角和与差的正弦公式化简得到，进而求得A，根据点在边上，且，得到，再由余弦定理结合两边平方，得到，令，得到，用导数法求得最大值时a，b，c的关系，再利用正弦定理求解.
【详解】
因为，
所以，即，
因为，
所以，，
因为，
所以，
因为点在边上，且，
所以，
设，
则，
在中，由余弦定理得，
，
所以，
即，
即，
所以，
令，得，
则，令，解得，
当时，，当时，，
所以当时，取得最大值，此时，
所以，解得，
在中，由正弦定理得，解得，
即.
故选：B
3．已知为单位向量，且，若非零向量满足，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
设，，由，计算可得，设，，由，计算可得，可推出时，等号成立，计算可得，结合，可求出，从而可求出的最大值.
【详解】
由题意，可设，，则，
由，可得，整理得，
设，，
由，可得，
即，所以，
当时，或，
即或，
因为，所以不符合题意，
故时，.
而，
因为，所以，
当时，等号成立，此时，
因为，所以，即，
所以.
故选：D.
4．如图，在平面四边形中，，，，，，若点F为边上的动点，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【分析】
建立平面直角坐标系，设出点坐标，求得的表达式，进而求得的最小值.
【详解】
以为原点建立如图所示平面直角.
依题意，，，
在三角形中，由余弦定理得
.
所以，所以.
而，所以.
在三角形中，由余弦定理得.
所以，所以.
在三角形中，，所以三角形是等边三角形，
所以.
所以，设
依题意令，即，
所以，所以，
所以
.
对于二次函数，其对称轴为，开口向上，所以当时，有最小值，也即有最小值为.
故选：B
5．在中，已知，，的面积为6，若为线段上的点（点不与点，点重合），且，则的最小值为（ ）.
A．9 B． C． D．
【答案】C
【分析】
先根据题意得，，进而得，，，，，进而得，，故，再根据为线段上的点得，最后结合基本不等式求解即可得答案.
【详解】
解：因为，所以，
因为的面积为，所以，
所以，
所以，，，
由于，
所以，
所以，
所以由余弦定理得：，即.
所以，
因为为线段上的点（点不与点，点重合），
所以，根据题意得
所以
所以
，
当且仅当，即时等号成立，
所以.
故选：C.
6．在中，已知，，，为线段上的一点，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由sinB=cosA•sinC化简可求 cosC=0 即C=90°，再由，S△ABC=6可得bccosA=9，可求得c=5，b=3，a=4，考虑建立直角坐标系，由P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得,由，为单位向量，可得，，可得,可得，则由，利用基本不等式求解最小值．
【详解】
中设，，
，，
即，
，
，，
，，
，，
，根据直角三角形可得，，
，，，
以所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴建立直角坐标系可得，，，P为直线上的一点，
则存在实数使得,
设，，则，，,
,
，则,
,
故所求的最小值为,
故选：D.
7．已知O是所在平面上的一点，若（其中P是所在平面内任意一点），则O点是的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】B
【分析】
将所给向量表达式进行变形,表示成与方向上的单位向量的形式,由向量加法运算的性质即可知O在角平分线上,即可得解.
【详解】
因为
则,即
移项可得
即
则
因为
所以
化简可得,即
设为方向上的单位向量,为方向上的单位向量
所以,
则
所以
则在的角平分线上
同理可知 在的角平分线上
因而为的内心
故选:B
8．已知向量，，满足，在方向上的投影为2，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
设，向量的夹角为，可得，即可求出，不妨设，，设，由，整理可知点的轨迹是以为圆心，半径的圆，而，结合圆的性质，可求出的最小值.
【详解】
设，向量的夹角为，则，则，
因为，所以.
不妨设，，设，
则，整理得，
所以点的轨迹是以为圆心，半径的圆，记圆心为，
又，即，
当直线过圆心，且垂直于轴时，可取得最小值，即.
故选：A.
9．已知的内角分别为，，且的内切圆面积为，则的最小值为（ ）
A． B．8 C． D．
【答案】A
【分析】
利用三角恒等变换可得，由题设有内切圆半径，进而可得，由三角形面积公式、向量数量积的定义，可得，再由余弦定理及基本不等式求的范围，进而可得的最小值.
【详解】
由题设，，又
∴，又，故，则，
又的内切圆面积为，若内切圆半径为，对应边分别为，
∴，则，易知：，
∵，
∴，又，即，
∵，当且仅当时等号成立，
∴，即，可得，
∴，在时等号成立.
∴的最小值为6.
故选：A
10．如图，在等腰梯形中，，，，点，分别为，的中点.如果对于常数，在等腰梯形的四条边上，有且只有8个不同的点使得成立，那么的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
建立坐标系，设的坐标，根据得到关于的方程，根据的位置分四种情况讨论方程解得情况．
【详解】
解：以所在直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，
则梯形的高为，，，，，，．
（1）当在上时，设，，则，．
于是，
当时，方程有一解，当时，有两解；
（2）当在上时，设，，则，．
于是，
当时，方程有一解，当时，有两解；
（3）当在上时，直线方程为，
设，，则，．
于是．
当或时，方程有一解，当时，方程有两解；
（4）当在上时，直线的方程为，
设，，则，．
于是．
当或时，方程有一解，当时，方程有两解；
综上，若使梯形上有8个不同的点满足成立，
则的取值范围是，，，，，．
故选：．
11．已知平面向量，，（与不共线），满足，，设，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
设，由已知条件判断出，即是等腰直角三角形，以为坐标原点，所在的边为轴的正半轴建立平面直角坐标系，则，，得，再由得，设，求出范围可得答案
【详解】
设，则，
，
所以，即是等腰直角三角形，以为坐标原点，
所在的边为轴的正半轴建立平面 直角坐标系，如图，
则，，因为，所以，
因为，所以，
所以，，
两式相加得，
所以，
因为，所以设，
所以，
因为不共线，所以不共线，所以，
所以，，
，
所以，
故选：A.
12．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与双曲线在第二象限的交点为，若，则双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由得，由此求得的坐标，将的坐标代入双曲线方程，化简求得，从而求得双曲线的渐近线方程.
【详解】
依题意，
所以，
，设直线的倾斜角为，则为钝角，，
结合解得，
设，则，
，
将点坐标代入双曲线方程得，而，
所以，
化简得，
，
，
，，
所以双曲线的渐近线方程为.
故选：A
13．半径为的圆上有三点、、满足，点是圆内一点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
设与交于点，由得四边形是菱形，是对角线中点，用和其他向量表示并计算数量积后可得＝，由点与的位置关系可得的取值范围，得结论．
【详解】
如图， 与交于点，由得： ，
所以四边形是菱形，且，则，，
由图知，，而，
∴，
同理，，而，
∴，
∴，
∵点是圆内一点，则，∴，
故选：A.
14．已如平面向量、、，满足，，，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
作，，，取的中点，连接，分析出为等边三角形，可求得，计算得出，利用圆的几何性质求出面积的最大值，即可得出结果.
【详解】
如下图所示，作，，，取的中点，连接，
以点为圆心，为半径作圆，
，，，
所以，为等边三角形，
为的中点，，所以，的底边上的高为，
，，
所以，，
所以，
，
由圆的几何性质可知，当、、三点共线且为线段上的点时，
的面积取得最大值，此时，的底边上的高取最大值，即，则，
因此，的最大值为.
故选：B.
15．平面上的两个向量和，，，，若向量，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由题意得出，画出图形，取的中点D，求出，说明C在以D为圆心的圆上，利用求O点到圆上点的最大值的方法即可求出.
【详解】
∵，∴，
∵，，，
∴，取的中点D，且，如图所示：
则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴C在以D为圆心，为半径的圆上，
∴的最大值为.
故选:B.
二、多选题
16．对于给定的，其外心为，重心为，垂心为，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．过点的直线交于，若，，则
D．与共线
【答案】ACD
【分析】
根据外心在AB上的射影是AB的中点，利用向量的数量积的定义可以证明A正确；利用向量的数量积的运算法则可以即，在一般三角形中易知这是不一定正确的，由此可判定B错误；利用三角形中线的定义，线性运算和平面向量基本定理中的推论可以证明C正确；利用向量的数量积运算和向量垂直的条件可以判定与垂直，从而说明D正确.
【详解】
如图，设AB中点为M,则,
,故A正确；
等价于等价于,即，
对于一般三角形而言，是外心，不一定与垂直，比如直角三角形中，
若为直角顶点，则为斜边的中点，与不垂直.故B错误；
设的中点为,
则，
∵E,F,G三点共线，，即,故C正确；
,
与垂直,又,∴与共线，故D正确.
故选：ACD.
17．如图，直角的斜边BC长为2，，且点B，C分别在x轴正半轴和y轴正半轴上滑动，点A在线段BC的右上方则（ ）
A．有最大值也有最小值 B．有最大值无最小值
C．有最小值无最大值 D．无最大值也无最小值
【答案】BD
【分析】
设，则，所以，， .由化简为根据的范围可判断A；由化简为根据的范围可判断B；由化简为根据的范围可判断C；由化简为根据的范围可判断D.
【详解】
由题意，，所以，设，
则的补角即与x轴正半轴的夹角，
所以，，，
所以，
，
由于，所以，
当得时，取最大值为1，无最小值，
有最大值为，无最小值，
故有最大值无最小值，即A错误；
所以，
由于，所以，
当得时，取最大值为1，无最小值，
的最大值为，无最小值，
故有最大值无最小值，故B 正确；
，
由于，所以，
当得时，取最大值1，无最小值，
此时有最大值，无最小值，
即有最大值无最小值，故C错误；
，
由于，所以，
所以，既无最大值也无最小值，D 正确.
故选：BD.
18．在中，，，、的交点为，过作动直线分别交线段、于、两点，若，，则的不可能取到的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】
先证明结论：当为直线外一点时，、、三点共线，.计算出，设，结合，可得出，然后将与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，即可得出结论.
【详解】
先证明结论：当为直线外一点时，、、三点共线，.
充分性：若、、三点共线，则存在，使得，即，所以，，
因为，则，充分性成立；
必要性：因为且，
所以，，即，所以，，
所以，、、三点共线.
本题中，取的中点，连接，如下图所示：
、分别为、的中点，则且，
，，即，
，即，，，
，，
、、三点共线，为直线外一点，则且.
，，则，
所以，，可得，由可得，
由基本不等式可得.
当且仅当时，等号成立.
所以，的最小值为，ABC选项均不满足.
故选：ABC.
19．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内的一点，、、的面积分别为、、，则.若是锐角内的一点，、、是的三个内角，且点满足，则（ ）
A．为的垂心
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】
首先可根据得出，用相同的方式得出、，即可得出A正确，然后作辅助线，根据、即可得出B正确，再然后通过正弦定理得出，即，用相同的方式得出，即可得出C错误，最后结合解三角形面积公式以及B项得出、、，根据“奔驰定理”得出，结合C项即可得出D正确.
【详解】
A项：，即，
，，，
同理可得，，
故为的垂心，A正确；
B：如图，延长交于点，延长交于点，延长交于点，
因为，所以，，
因为，所以，，
则
，B正确；
C项：在中，由正弦定理易知，
因为，，
所以，
即，，
同理可得，
故，C错误；
D项：，同理可得，，
则
，
同理可得，，
因为，
所以将、、代入，可得，
因为，
所以，
故成立，D正确，
故选：ABD.
20．对于△，其外心为，重心为，垂心为，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．向量与共线
D．过点的直线分别与、交于、两点，若，，则
【答案】BCD
【分析】
A：由外心的性质，结合向量数量积的几何意义判断；B：根据的几何意义即可判断正误；C：应用向量数量积的运算律及定义化简，再根据判断正误；D：根据平面向量基本定理可得，再由三点共线即可证.
【详解】
A：为外心，则，仅当时才有，错误；
B：由，又，故，正确；
C：，即与垂直，又，所以与共线，正确；
D：，又三点共线，则，故，正确.
故选：BCD
21．已知平面向量满足，，，对任意的实数，均有的最小值为，则下列说法正确的是（ ）
A．与夹角的余弦值为 B．的最小值为2
C．的最小值为2 D．若时，这样的有3个
【答案】AC
【分析】
首先根据向量的垂直关系建立平面直角坐标系，利用向量的坐标法来解决本题，给出向量和，再根据已知条件给出向量终点C点的轨迹方程为；
对于A选项，可以通过向量，的坐标表示，结合夹角余弦的计算公式得到结果；
对于B选项，，利用函数思想给出向量模长的最小值为1；
对于C选项：因为表示抛物线上的点到和距离之和，再结合抛物线的定义，利用数形结合可以求出的最小值为2；
对于D选项：可得(舍负)，代入抛物线方程得到：，所以，
故这样的有2个.
【详解】
因为，，，所以，
在平面直角坐标系中令，
设，过点作,垂足为，
则而,
所以,
由抛物线的定义知：点在以为焦点，为准线的抛物线上运动且方程为
对于A:因为，
所以与夹角余弦值：
，故A对；
对于B:
当时，取得最小值，最小值为1，故B错；
对于C：，表示抛物线上的点到和距离之和，
由抛物线的定义知：
所以，故C对；
对于D：
所以，又因为，所以，
代入抛物线方程得到：，所以，
故这样的有2个，故D错.
故选：AC
第II卷（非选择题）
三、填空题
22．已知平面向量满足：，当与所成角最大时，则______
【答案】
【分析】
方法一：记，，，由条件可得，由此确定点C的轨迹，则与的夹角为，证明当C为过，两点的圆与圆相外切时的切点时，最大，设圆的半径为，再由正弦定理可得，利用余弦定理求得，由此可得，方法二：以O为原点，OA，OB为x，y轴建立坐标系，求点C的轨迹，则与的夹角为，证明当C为过，两点的圆与圆相外切时的切点时，最大，由求点E的坐标，由此可求.
【详解】
解：记，，，
则，
即点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆．过，两点的圆与圆相外切，记切点为，此时最大（如图）．
下证上述结论：取圆上不同于切点的点，因为在圆的外面，
所以．
下面求当最大时，的值．
记圆的半径为，则．
所以只需求出圆的半径为即可．
法一：如右图，为弦的中点，
在中，由余弦定理求得，
，则．
在中，，，，，
由余弦定理得，．
即．
法二：如图建系，，，，点在以为圆心，1为半径的圆上．
以为弦长作圆，当圆与圆外切时最大．
圆心在弦的中垂线上，设，
则，
即，
化简得，即或（舍去），
此时，得．
故答案为：.
23．已知中，，，且的最小值为，则__________.
【答案】3
【分析】
由题可知，向量与均为单位向量且互相垂直，再利用数形结合进行求解.
【详解】
记，，则表示与同方向的单位向量.又，则B、D、E三点共线.
当与垂直时，有最小值，所以.所以.
故答案为：3.
24．在平面内，若有，，则的最大值为________．
【答案】
【分析】
由条件可以求得，从而可作，并连接，取的中点，连接，则有，根据条件可以得到，可作，并连接，，从而可以得到，即点在以为直径的圆上，从而得出当在上的投影最大时，最大．通过计算，即得出在上的投影最大值，从而得出的最大值.
【详解】
解：根据条件，；
；
，如图，作，则，连接，取的中点，连接，则；
由得，；
；
作，连接，，则；
；
点在以为直径的圆上；
当运动到圆的最右侧时，在上的投影最大，即最大；
又,
又,且,
所以,
所以在上的最大投影为，
所以,
故答案为：
25．已知，是非零不共线的向量，设，定义点集，当，时，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的最小值为______.
【答案】.
【分析】
由，可得，，共线，再由向量的数量积的几何意义可得为的平分线，由角平分线的性质定理可得，可得的轨迹为圆，求得圆的直径与的关系，即可得到所求最值．
【详解】
解：由，
可得，，共线，
由，
可得，
即有，
则为的平分线，
由角平分线的性质定理可得，
即的轨迹为圆心在上的圆，
由，可得，
由，可得，
可得，
由函数在上递增，可得，
即有，
即，由题意可得，
故的最小值为．
故答案为：．
26．如图，在△ABC中，，，，直线FM交AE于点G，直线MC交AE于点N，若△MNG是边长为1的等边三角形，则___________.
【答案】
【分析】
假设，首先根据向量共线求得，同理得，，最后由于，,从而计算即可.
【详解】
解：设，
而，
所以，
，
因为，所以，
得，
所以.
同理，所以.
，
，
,
所以.
27．如图，在△中，，，．若为△内部的点且满足，则________．
【答案】
【分析】
根据已知的向量关系先分析出，然后通过设，根据相似三角形以及正弦定理找到的关系，从而可求解出的结果.
【详解】
因为，所以，
所以，
所以，
所以，所以，
即，同理可知：，
不妨设，所以，
又因为，，，所以，
所以，所以，
所以，所以，所以；
在中，，
所以，所以，
又在中，，
所以，所以，
所以，所以，
又因为，所以，
又因为，所以，
所以.
故答案为：.
28．在三角形 中， 的三个内角 的对边分别是 ，则下列给出的五个命题：
①若，，且与夹角为锐角，则；
②若，则为等腰三角形；
③点O是三角形ABC所在平面内一点，且满足，则点O是三角形ABC的重心；
④，，若，则为锐角三角形；
⑤若为的外心，.
其中正确的命题是：_______________________．（填写正确结论的编号）
【答案】④⑤/⑤④
【分析】
利用向量夹角的坐标表示计算判断①；利用正弦定理边化角推理判断②；利用向量数量积运算判断③；
利用数量积及三角变换判断④；由三角形外心结合数量积运算判断⑤即可作答.
【详解】
①若与夹角为锐角，则且与不共线，即，即且，①不正确；
②在中，，由正弦定理得，即，
而，则或，即或，为等腰或直角三角形，②不正确；
③由得，，即，
同理可得，，则点O是的垂心，③不正确；
④，，则，
而，则有，
必有，角都是锐角，因此为锐角三角形，④正确；
⑤若为的外心，过O作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，如图，则，，
则，同理：，
则，⑤正确.
故答案为：④⑤
四、解答题
29．已知为的外心，求证..
【答案】证明见解析
【分析】
以为坐标原点，A为轴的正半轴，设，结合三角形所在边的直线方程，利用叉积运算，分别得到，进而得到，再结合三角形面积公式和证明即可.
【详解】
如图，以为坐标原点，A为轴的正半轴，
在轴的上方，则，直线的方程是，
因为点与点必在直线的同侧，且，
所以有，得.
直线的方程是，由于点与点必在直线的同侧，且，
所以有，得.
于是，
又，
，
，
又，
所以.证毕.
30．在△ABC中，重心为G，垂心为H，外心为I．
（1）若△ABC三个顶点的坐标为，，，证明：G，H，I三点共线；
（2）对于任斜三角形ABC，G，H，I三点是否都共线，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）共线，证明见解析.
【分析】
（1）分别求出G，H，I三点的坐标，利用斜率相等，即可证明结论；
（2）以线段所在直线为轴，线段的中垂线为轴，建立直角坐标系，设
，，的坐标分别为，，，，，利用共线向量基本定理，即可得证；
【详解】
（1）易得：，，，
，，
，G，H，I三点共线；
（2）以线段所在直线为轴，线段的中垂线为轴，建立直角坐标系，设
，，的坐标分别为，，，，，则
设外心，垂心的坐标为，，的中点为，
，，的坐标分别为，，，，，
，，的坐标为，，
，，，，
由，
则，
即，
外心的坐标为，垂心的坐标为，
，，，，得，
，，三点共线.
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