第11讲 函数的单调性与最值-【新教材】2022新高一同步（初升高）衔接讲义（原卷+解析）
展开第11讲 函数的单调性与最值
一、单调性概念及性质
1．单调性的概念（一般地，设函数的定义域为，区间.）
名称 | 定义 | 几何意义 | 图形表示 |
增函数 | 如果，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递增. | 的图象在区间上呈上升趋势 | |
减函数 | 如果，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递减. | 的图象在区间上呈下降趋势 |
2.单调区间的定义
如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做函数的单调区间．
3.证明函数在某个区间上的单调性的方法步骤：
①设元——设是给定区间内的任意两个数，且;
②作差——计算化简至最简（方便判断因式正负）；
③判号——判断的正负，若符号不确定，则进行分类讨论；
④定论——根据符号下结论.
- 判断函数单调性的方法：
（1）定义法；
（2）图像法；
（3）性质法：①与具有相同的单调性；
②与，当时单调性相同；当时，单调性相反；
③当，都是增(减)函数时，是增(减)函数；
④当恒不为零时，与具有相反的单调性；
⑤当时，与具有相同的单调性．
例1.若函数的定义域为且满足，则函数在上为( )
A．增函数 B．减函数 C．先增后减 D．不能确定
例2.函数在上的图像如图所示，请写出函数的单调区间.
例3.利用函数单调性的定义，判断并证明下列函数的单调性.
（1） （2）
例4.研究函数的性质.
例5.判断下列函数的单调性，并求其单调区间.
（1） （2） （3）
二、函数最值
- 函数最大值的概念：一般地，设函数的定义域为.如果存在实数满足：
①，都有；②，使得.那么称是的最大值.
- 函数最小值的概念：一般地，设函数的定义域为.如果存在实数满足：
①，都有；②，使得.那么称是的最小值.
例6.如图为函数的图像，指出它的最大值、最小值.
例7.求下列函数的值域.
（1） （2）
例8.
(1) 若函数的单调减区间是，求实数的取值范围；
(2) 若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围.
例9.已知函数在区间上是减函数，求实数的取值范围．
例10. 已知函数．若对任意，恒成立，试求的取值范围．
例11. 若函数的定义域为，且在上是减函数，则下列不等式成立的是( )
A. B.
C. D.
例12. 已知函数是定义在区间上的减函数，解不等式．
例13. 设函数，其中为常数.
（1）对任意，当时，，求实数的取值范围；
（2）在（1）的条件下，求在区间上的最小值.
例14. 定义在上的函数满足，且当时，.
（1）求的值；
（2） 求证：；
（3） 求证：在上是增函数；
（4） 若，解不等式；
（5）比较与的大小.
跟踪训练
- 下列函数在区间上是增函数的是（ ）
A. B. C. D.
- 已知在区间是增函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
- 函数的图象的对称轴为直线，则 （ ）
A. B.
C. D.
(1) 若函数在上是减函数，则实数的取值范围是_______.
(2) 若函数在区间上为减函数，则实数的取值范围是_______.
- 求函数在区间上的值域是_______.
(1) 函数在区间的最大值为4，则________.
(2) 若函数在上递增，在上递减，则 ___ .
(3) 已知函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是______.
- 函数的单调递增区间是________，单调递减区间是________．
- 已知是定义在上的减函数，则应满足 （ ）
A. B. C. D.
- 若函数与在上都是减函数，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
- 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
- 已知函数的值域为，则实数的取值范围是 .
- 已知函数.
（1）当时，求的最小值；
（2）当时，求的最小值；
（3）若为正常数，求的最小值.
- 利用函数单调性的定义，证明函数在区间上是增函数．
- 已知函数对任意，总有，且当时，
，.
(1) 求证：是上的减函数；
(2) 求是上的最大值和最小值.
- 设，当时，恒成立，求的取值范围．
- 已知函数是定义在上的增函数，且，解不等式.
