第二章直线和圆的方程章末检测含解析

章末检测(二)　直线和圆的方程

(时间：120分钟　满分：150分)

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知过点M(－2，a)，N(a，4)的直线的斜率为－，则|MN|＝(　　)

A．10　　　　　　　 B．180

C．6  D．6

解析：选D　由kMN＝＝－，解得a＝10，即M(－2，10)，N(10，4)，所以|MN|＝＝6，故选D.

2．若圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心位于第三象限，那么直线x＋ay＋b＝0一定不经过(　　)

A．第一象限  B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

解析：选D　圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心为，由于圆心位于第三象限，所以a<0，b>0.直线方程x＋ay＋b＝0可化为y＝－x－.因为－>0，－>0，所以直线不经过第四象限．

3．经过点(1，0)且圆心是两直线x＝1与x＋y＝2的交点的圆的方程为(　　)

A．(x－1)2＋y2＝1

B．(x－1)2＋(y－1)2＝1

C．x2＋(y－1)2＝1

D．(x－1)2＋(y－1)2＝2

解析：选B　由得即所求圆的圆心坐标为(1，1)．由该圆过点(1，0)，得其半径为1，故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1.

4．如果圆x2＋y2＋ax＋by＋c＝0(a，b，c不全为零)与y轴相切于原点，那么(　　)

A．a＝0，b≠0，c≠0  B．b＝c＝0，a≠0

C．a＝c＝0，b≠0  D．a＝b＝0，c≠0

解析：选B　符合条件的圆的方程为＋y2＝，即x2＋y2＋ax＝0.所以b＝0，a≠0，c＝0.

5．过直线y＝x＋1上的点P作圆C：(x－1)2＋(y－6)2＝2的两条切线l1，l2，当直线l1，l2关于直线y＝x＋1对称时，|PC|＝(　　)

A．1  B．2

C．1＋  D．2

解析：选B　圆心C(1，6)不在直线y＝x＋1上．由圆的性质，两条切线l1，l2关于直线CP对称．又由已知，两条切线l1，l2关于直线l：y＝x＋1对称，所以CP⊥l，由点到直线的距离公式可得|PC|＝2，故选B.

6．直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是(　　)

A．x＋2y－1＝0  B．2x＋y－1＝0

C．2x＋y－3＝0  D．x＋2y－3＝0

解析：选D　将“关于直线对称的两条直线”转化为“关于直线对称的两点”，在直线x－2y＋1＝0上取一点P(3，2)，点P关于直线x＝1的对称点P′(－1，2)必在所求直线上，只有选项D满足．

7．直线y＝kx＋1与圆(x－2)2＋(y－1)2＝4相交于P，Q两点．若|PQ|≥2，则实数k的取值范围是(　　)

A.  B.

C．[－1，1]  D．[－，3]

解析：选C　若|PQ|≥2，则圆心(2，1)到直线y＝kx＋1的距离d≤ ＝，即≤，解得－1≤k≤1.

8．由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为(　　)

A．1  B．2

C.  D．3

解析：选C　设圆心为C(3，0)，P为直线上一动点，过P向圆引切线，切点为N，如图，所以|PN|min＝()min＝，又|PC|min＝＝2，

所以|PN|min＝.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

9．若P，Q分别为l1：3x＋4y＋5＝0，l2：ax＋8y＋c＝0上的动点，且l1∥l2，下面说法正确的有(　　)

A．直线l2的斜率为定值

B．当c＝25时，|PQ|的最小值为

C．当|PQ|的最小值为1时，c＝20

D．c≠10

解析：选ABD　∵l1∥l2，∴＝且≠，∴a＝6，c≠10，故A、D正确；易知|PQ|的最小值为两平行直线间的距离d，当c＝25时，d＝＝，故B正确；同理，当|PQ|的最小值为1时，d＝＝1，解得c＝20或c＝0，故C错误．

10．已知直线l：x－y＋1＝0，则下列结论正确的是(　　)

A．直线l的倾斜角是

B．若直线m：x－y＋1＝0，则l⊥m

C．点(，0)到直线l的距离是2

D．过点(2，2)与直线l平行的直线方程是 x－y－4＝0

解析：选CD　对于A，直线l：x－y＋1＝0的斜率k＝tan ＝，故直线l的倾斜角是，故A错误；

对于B，因为直线m：x－y＋1＝0的斜率k′＝，kk′＝1≠－1，故直线l与直线m不垂直，故B错误；

对于C，点(，0)到直线l的距离d＝＝2，故C正确；

对于D，过点(2，2)与直线l平行的直线方程是y－2＝(x－2)，整理得x－y－4＝0，故D正确．

综上所述，正确的选项为C、D.

11．已知圆C1：x2＋y2＝r2与圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)交于不同的A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，下列结论正确的有(　　)

A．a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0

B．2ax1＋2by1＝a2＋b2

C．x1＋x2＝a

D．y1＋y2＝2b

解析：选ABC　由题意，圆C2的方程可化为C2：x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，

两圆的方程相减可得直线AB的方程为2ax＋2by－a2－b2＝0，即2ax＋2by＝a2＋b2.

分别把A(x1，y1)，B(x2，y2)两点坐标代入可得2ax1＋2by1＝a2＋b2，2ax2＋2by2＝a2＋b2，

两式相减可得2a(x1－x2)＋2b(y1－y2)＝0，即a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0，所以选项A、B是正确的；

由圆的性质可得，线段AB与线段C1C2互相平分，所以x1＋x2＝a，y1＋y2＝b，所以选项C是正确的，选项D是不正确的．故选A、B、C.

12．已知一组圆Ck：(x－1)2＋(y－k)2＝k4(k∈N*)，下列说法正确的有(　　)

A．存在k，使圆与x轴相切

B．存在一条直线与所有的圆均相交

C．存在一条直线与所有的圆均不相交

D．所有的圆均不经过原点

解析：选ABD　根据题意得圆Ck的圆心为(1，k)，半径为k2(k∈N*)．

对于A，当k＝k2，即k＝1时，圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆与x轴相切，故A正确；

对于B，直线x＝1经过圆的圆心(1，k)，直线x＝1与所有的圆都相交，故B正确；

对于C，圆Ck＋1的圆心为(1，k＋1)，半径为(k＋1)2，圆Ck与圆Ck＋1的圆心距d＝1，半径之差为2k＋1，2k＋1>1，所以圆Ck内含于圆Ck＋1，若k取无穷大，则可以认为所有直线都与圆Ck相交，故C错误；

对于D，将(0，0)代入圆的方程，则有1＋k2＝k4，不存在k∈N*使上式成立，故所有圆均不经过原点，故D正确．

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)

13．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，则该圆过点(3，5)的最短弦长为________．

解析：将圆的一般方程化为标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，圆心坐标为(3，4)，半径r＝5.设点P为(3，5)，圆心为M，分析可得当过点P(3，5)的直线与过点P与圆心的直线垂直时，弦长最短，则弦长l＝2×＝4.

答案：4

14．不论k为何实数，直线(2k－1)x－(k＋3)y－(k－11)＝0恒通过一个定点，这个定点的坐标是________．

解析：直线(2k－1)x－(k＋3)y－(k－11)＝0，即k(2x－y－1)＋(－x－3y＋11)＝0.

根据k的任意性可得解得

∴不论k取何实数时，直线(2k－1)x－(k＋3)y－(k－11)＝0都经过一个定点(2，3)．

答案：(2，3)

15．若圆O：x2＋y2＝5与圆O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长为________．

解析：连接OO1，记AB与OO1的交点为C，如图所示，在Rt△OO1A中，|OA|＝，|O1A|＝2，

∴|OO1|＝5，∴|AC|＝＝2，∴|AB|＝4.

答案：4

16．若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，过点(a，b)作圆C的切线，则切线长的最小值是________．

解析：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝2.由题意，得直线2ax＋by＋6＝0过圆心C(－1，2)，即－2a＋2b＋6＝0，所以b＝a－3.点(a，b)与圆心(－1，2)的距离为，所以由点(a，b)向圆C所作切线的长为＝＝≥4，当且仅当a＝2时等号成立，所以切线长的最小值为4.

答案：4

四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)已知直线l经过点P(－2，1)，且与直线x＋y＝0垂直．

(1)求直线l的方程；

(2)若直线m与直线l平行且点P到直线m的距离为，求直线m的方程．

解：(1)由题意得直线l的斜率为1，

故直线l的方程为y－1＝x＋2，即x－y＋3＝0.

(2)由直线m与直线l平行，

可设直线m的方程为x－y＋c＝0(c≠3)，

由点到直线的距离公式得＝，

即|c－3|＝2，解得c＝1或c＝5.

故直线m的方程为x－y＋1＝0或x－y＋5＝0.

18．(本小题满分12分)已知圆C：x2＋y2－2y－4＝0，直线l：mx－y＋1－m＝0.

(1)判断直线l与圆C的位置关系；

(2)若直线l与圆C交于不同两点A，B，且|AB|＝3，求直线l的方程．

解：(1)圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝5，所以圆C的圆心为C(0，1)，半径r＝，圆心C(0，1)到直线l：mx－y＋1－m＝0的距离d＝＝<1<，因此直线l与圆C相交．

(2)设圆心到直线l的距离为d，则d＝＝，

又d＝，∴＝，解得m＝±1，

所以所求直线l的方程为x－y＝0或x＋y－2＝0.

19．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，圆C的圆心在直线x－y＝0上，且圆C经过点P(2，0)和点Q(－1，)．

(1)求圆C的标准方程；

(2)求经过点M(2，1)且与圆C恰有1个公共点的直线的方程．

解：(1)由圆C的圆心在直线x－y＝0上，设圆心的坐标为(a，a)，半径为r，

则圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－a)2＝r2，

又圆C经过点P(2，0)和点Q(－1，)．

所以解得

所以圆C的标准方程为x2＋y2＝4.

(2)因为圆C的标准方程为x2＋y2＝4，

所以经过点M(2，1)且与圆C恰有1个公共点的直线与圆C相切．

当直线的斜率不存在时，直线的方程为x＝2，符合题意；

当直线的斜率存在时，设直线的方程为y－1＝k(x－2)，

所以圆心到直线的距离d＝＝2，得k＝－，

所以直线的方程为y－1＝－(x－2)，整理得3x＋4y－10＝0.综上，直线的方程为x＝2或3x＋4y－10＝0.

20．(本小题满分12分)某公园有A，B两个景点，位于一条小路(直道)的同侧，分别距小路 km和2 km，且A，B景点间相距2 km，今欲在该小路上设一观景点，使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果，则观景点应设在何处？

解：所选观景点应该保证两景点的视角最大．由平面几何知识，该点应是过A，B两点的圆与小路所在的直线相切时的切点．以小路所在直线为x轴，B点在y轴正半轴上，建立平面直角坐标系，如图．

由题意，得A(，)，B(0，2)，

设过A，B两点且与x轴相切的圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝b2(b>0)，因为圆心在线段AB的垂直平分线上，且易得线段AB的垂直平分线方程为x－y＋＝0.

所以解得或

又要求视角最大，所以a＝0，b＝，

所以圆的方程为x2＋(y－)2＝2.

令y＝0，可得切点坐标为(0，0)，

所以观景点应设在B景点在小路的射影处．

21．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0，1)，当m变化时，解答下列问题：

(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；

(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．

解：(1)不能出现AC⊥BC的情况，理由如下：

设A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2满足x2＋mx－2＝0，

所以x1x2＝－2.

又C的坐标为(0，1)，

故AC的斜率与BC的斜率之积为·＝－，

所以不能出现AC⊥BC的情况．

(2)证明：由(1)知BC的中点坐标为，

可得BC的中垂线方程为y－＝x2.

由(1)可得x1＋x2＝－m，

所以AB的中垂线方程为x＝－.

联立解得

所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为，半径r＝.

故圆在y轴上截得的弦长为2＝3，即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．

22．(本小题满分12分)已知圆M：x2＋(y－4)2＝4，P是直线l：x－2y＝0上的动点，过点P作圆M的切线PA，切点为A.

(1)当切线PA的长度为2时，求点P的坐标；

(2)若△PAM的外接圆为圆N，试问：当点P运动时，圆N是否过定点？若过定点，求出所有的定点的坐标；若不过定点，请说明理由．

解：(1)由题可知圆M的圆心为M(0，4)，半径r＝2.

设P(2b，b)，因为PA是圆M的一条切线，所以∠MAP＝90°.

在Rt△MAP中，|MP|2＝|AM|2＋|AP|2，故|MP|＝＝4.

又|MP|＝ ＝ ，

所以 ＝4，解得b＝0或b＝.

所以点P的坐标为(0，0)或.

(2)设点P的坐标为(2b，b)．

因为∠MAP＝90°，所以△PAM的外接圆圆N是以MP为直径的圆，

且MP的中点坐标为，

所以圆N的方程为(x－b)2＋＝，

即(2x＋y－4)b－(x2＋y2－4y)＝0.

由解得或

所以圆N过定点(0，4)和.