2021届西藏拉萨高三二模数学试卷及答案

2021届西藏拉萨高三二模数学试卷及答案

一、单选题

1．已知集合，，则集合（       ）

A． B． C． D．

2．已知复数，则的共轭复数为（       ）

A． B．

C． D．

3．设随机变量，满足，若，，则和分别等于（       ）

A．2，8 B．7，8 C．7，32 D．7，35

4．已知向量，则为（       ）

A． B． C． D．

5．已知等比数列中，，，则公比（       ）

A．－2 B．2 C．3 D．3或－3

6．已知抛物线的焦点为、点在上，且，则点到轴的距离为（       ）

A．2 B．4 C．6 D．8

7．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（       ）

A． B．

C． D．

8．已知减函数，若，则实数m的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

9．在平面直角坐标系中，双曲线的右焦点为，过点且垂直于轴的直线交双曲线的一条渐近线于点，若，则双曲线的离心率为（       ）

A． B． C．2 D．

10．某大型建筑工地因施工噪音过大，被周围居民投诉.现环保局要求其整改，降低声强.已知声强（单位：）)表示声音在传播途径中每平方米面积上的声能流密度，声强级（单位：）与声强的函数关系式为，其中为正实数.已知时，.若整改后的施工噪音的声强为原声强的，则整改后的施工噪音的声强级降低了（       ）

A． B． C． D．

11．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且平面，，，，则球的表面积为（       ）

A． B．

C． D．

12．设函数，直线是曲线的切线，则的最大值是（       ）

A． B． C． D．

二、双空题

13．在我国古代数学名著《九章算术》中，把底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵．如图，现在一堑堵，，，则线段的长度为______；点在棱上运动，则的周长的最小值为______．

三、填空题

14．已知命题：，，则的否定是______．

15．的展开式中所有二项式系数之和为，则该展开式中的常数项为_______（用数字作答）

16．已知等差数列的前项和为，且，，记的前项和为，则______．

四、解答题

17．在中，角，，所对的边分别为，，，且满足．

（l）求角；

（2）已知，，求的面积．

18．某企业有甲、乙、丙三个部门，其员工人数分别为6，9，12，员工隶属于甲部门．现在医务室通过血检进行一种流行疾病的检查，已知该种疾病随机抽取一人血检呈阳性的概率为，且每个人血检是否呈阳性相互独立．

（1）现采用分层抽样的方法从中抽取9人进行前期调查，求从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人，并求员工被抽到的概率；

（2）将甲部门的6名员工随机平均分成2组，先将每组的血样混在一起化验，若结果呈阴性，则可断定本组血样全部为阴性，不必再化验；若结果呈阳性，则本组中至少有一人呈阳性，再逐个化验．记为甲部门此次检查中血样化验的总次数，求的分布列和期望．

19．已知在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，，，且，点为线段的中点．

（1）求证：平面；

（2）若为的中点，求与平面所成角的正弦值．

20．已知椭圆的短轴长为2，离心率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）直线与椭圆交于，两点，若（为坐标原点），求实数的值．

21．已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若当时，恒成立，求实数的取值范围．

22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．

（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；

（2）求曲线上的点到直线的距离的最大值．

23．已知函数．

（1）解不等式；

（2）记的最小值为，若正实数，满足，求证：．

参考答案：

1．B

【解析】

【分析】

解不等式求得集合，由交集定义可得结果.

【详解】

，，

.

故选：B.

2．A

【解析】

【分析】

根据复数除法运算得，进而即可得答案.

【详解】

根据复数除法运算得：，则．

故选：A．

3．C

【解析】

【分析】

利用期望和方差的性质直接得解.

【详解】

因为,，，

所以，．

故选：C．

4．B

【解析】

【分析】

首先求出的坐标，再根据夹角公式计算可得；

【详解】

解：因为.

所以

所以

故选：.

5．C

【解析】

【分析】

由可得，即可求出公比.

【详解】

设数列的公比为，因为为等比数列，

所以，所以，

所以，解得．

故选：C．

6．B

【解析】

【分析】

设，由抛物线的定义知，求得，进而求得，即可得解.

【详解】

由题知抛物线的焦点为，准线方程为

设，则，∴，

，即点到轴的距离为．

故选：B．

7．C

【解析】

【分析】

先将化为正弦型，然后由可得答案.

【详解】

，

故．

故选：C．

8．C

【解析】

【分析】

根据函数奇偶性和单调性，列出不等式即可求出范围.

【详解】

易知为R上的奇函数，且在R上单调递减，

由，得，

于是得，解得.

故选:C.

9．A

【解析】

【分析】

根据题意得出，再利用已知条件结合两点之间距离公式得，即，即可得出结果.

【详解】

由题意得，该双曲线的一条渐近线为，不妨设在第一象限

将代入，得，故，

由，得，即

故，该双曲线的离心率为.

故选：A

【点睛】

关键点点睛：本题考查双曲线的离心率的计算，考查双曲线的渐近线方程，考查计算能力，熟悉离心率公式以及是解题的关键，属于一般题.

10．D

【解析】

【分析】

求出的值，可得出关于的函数关系式，设施工噪音原来的声强为，声强级为，整改后的声强为，声强级为，利用对数的运算性质计算出，即可得出结论.

【详解】

由已知得，解得，故.

设施工噪音原来的声强为，声强级为，整改后的声强为，声强级为，

则.

故选：D.

11．D

【解析】

【分析】

根据平面BCD，得到，，再由，，，得到，则三棱锥截取于一个长方体，然后由长方体的外接球即为三棱锥的外接球求解

【详解】

因为平面，

所以，，

所以，

在中，，

所以．如图所示：

三棱锥的外接球即为长方体的外接球，

设球的半径为，

则，

解得，

所以球的表面积为．

故选：D．

【点睛】

空间几何体与球接、切问题的求解方法

(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．

(2)若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，且，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解．

12．D

【解析】

【分析】

求出导函数，设切点，写出切线方程，把用表示，得出的表达式，再构造新函数．利用导数求得最大值．

【详解】

由题得.设切点，

则;

则切线方程为

即

又因为是曲线的切线

所以

则.

令.

则.

则有时，在上递减;

时，在上递增﹐

所以时，取最大值

即的最大值为.

故选：D．

【点睛】

关键点点睛：本题考查导数的几何意义，考查用导数求函数的最值．解题关键是掌握求切线方程的方法，设切点为，求出切线方程，可把表示为的函数，然后再由导数求得最大值．

13．     3    

【解析】

【分析】

利用勾股定理可求的长度，把侧面展开，利用侧面展开图可求的周长的最小值.

【详解】

由堑堵的定义可知，

所以，所以．

，

所以最小时，的周长最小，

将面与面展开在一个平面内，如图：

连接，与的交点即为，

则此时最小，此时，

所以，

所以周长的最小值为．

故答案为：.

14．，

【解析】

【分析】

根据存在量词命题的否定为全称量词命题，即可判断；

【详解】

解：命题：，为存在量词命题，其否定为，

故答案为：，

15．

【解析】

【分析】

二项式系数之和为求出n，再利用通项公式求出常数项.

【详解】

∵的展开式中所有二项式系数之和为

∴，

∴展开式的常数项为.

故答案为：6

【点睛】

二项式定理类问题的处理思路：利用二项展开式的通项进行分析．

16．

【解析】

【分析】

根据，求得数列的公差，从而求得得通项，然后利用列项项消的方法求的前20项的和.

【详解】

设等差数列的公差为，，∴，

，∴，

∴，

∴

故答案为：．

【点睛】

方法点睛：求数列和常用的方法：

（1）等差等比数列：分组求和法；（2）倒序相加法；

（3）（数列为等差数列）：裂项相消法；

（4）等差等比数列：错位相减法.

17．（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）由正弦定理化边为角，结合化简可得，即可求出角；

（2）由余弦定理可求得，即可求出面积.

【详解】

解：（1）由，得，

由正弦定理得，

即，

即，

又，所以，

因为为三角形内角，所以．

（2）由余弦定理得，即，

即，所以，

所以．

【点睛】

关键点睛：本题考查正余弦定理的应用，解题的关键是利用正弦定理化边为角处理已知条件.

18．（1）分别抽人，人，人，；（2）分布列见解析，.

【解析】

【分析】

（1）根据分层抽样规则求出从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取的人数，再根据古典概型的概率公式计算可得；

（2）记“每组血样化验结果呈阴性”为事件，利用相互独立事件的概率公式求出，则可取值，分别求出概率，列出分布列，求出数学期望即可；

【详解】

（1）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为，

由于采用分层抽样的方法从中抽取人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取人，人，人.

记事件：“员工被抽到”，由于每位员工被抽到的概率相等，

所以员工被抽到的概率为.

（2）甲部门的6名员工随机平均分成2组，每组3人，记“每组血样化验结果呈阴性”为事件，

由于每个人血检是否呈阳性相互独立，所以，

则可取值：2，5，8，

﹔

，

所以的分布列为下表：

则的期望为．

【点睛】

方法点睛：本题考查分层抽样，古典概率､相互独立事件的概率以及离散型随机变量的分布列和数学期望，求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定的取值情况，然后利用排列，组合，概率知识求出取各个值时对应的概率，对应服从某种特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，考查学生逻辑推理能力与计算能力，属于中档题.

19．（1）证明见解析；（2）.

【解析】

【分析】

（1）可得，取中点，连接，然后可得平面，然后可得平面，然后得到即可；

（2）取中点，以为坐标原点，，，方向分别为，，轴正方向，建立空间直角坐标系，然后算出的坐标和平面法向量的坐标，然后可算出答案.

【详解】

（1）∵为等边三角形，

为中点，

∴，

取中点，连接，则，

∵平面平面，平面平面，

∴平面，

∴，

又∵，，

∴平面，

∵平面，

∴．

又∵，

∴平面．

（2）由（1）可知，取中点，

则，即，，两两垂直，

以为坐标原点，，，方向分别为，，轴正方向，建立空间直角坐标系，

，，，，，，

，，

设为平面的法向量，

，

令，得，，

，

，

设与平面所成角为，

，

∴与平面所成角的正弦值为．

20．（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）根据条件可得，解出即可.

（2）设，，联立直线与椭圆的方程消元，然后韦达定理可得、，然后由可算出答案.

【详解】

（1）设焦距为，由已知得

解得，，

故椭圆的方程为．

（2）设，，

联立得．

，，，

，

因为，所以，

所以，

即，

解得，

即实数的值为．

21．（1）答案见解析；（2）.

【解析】

【分析】

（1）先求函数定义域，在求导得，再据导数符号与函数单调性的关系即可得答案；

（2）根据题意将问题转化为恒成立问题，进而令，求函数的范围即可得答案.

【详解】

解：（1）的定义域为，

，

令，得，此时单调递增，

令，得，此时单调递减．

故的单调递增区间为，单调递减区间为．

（2），即恒成立，

即恒成立，

令，

则

，

令，，

所以在上单调递增，

即，

因此，即在上单调递增，

，于是．

故的取值范围是．

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调区间，不等式恒成立问题，考查运算求解能力，回归转化思想，是中档题.本题第二问解题的关键在于将问题转化为恒成立，进而令，求函数的范围问题.

22．（1），；（2）.

【解析】

【分析】

（1）根据曲线的参数方程消去参数可得曲线的普通方程，将直线的极坐标方程展开再将代入可得的直角坐标方程；

（2）设，利用点到直线距离公式求出距离，即可求出最大值.

【详解】

解：（1）根据曲线的参数方程消去参数可得曲线的普通方程为．

将直线：展开化为，

即，

将代入，可得，即．

即直线的直角坐标方程为．

（2）设，

则点到直线的距离

，

则当时，取得最大值，

即曲线上的点到直线的距离的最大值为．

23．（1）或；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）分类讨论去绝对值即可求解；

（2）根据绝对值不等式可求出，再利用基本不等式即可证明.

【详解】

解：（1）当时，，则，故；

当时，，则，无解；

当时，，则，故．

故不等式的解集为或．

（2），

当且仅当时取等号，则可知，

所以，

所以，

当且仅当且，即，时取等号．

【点睛】

关键点睛：本题考查绝对值不等式的求解，解题的关键是分类讨论去绝对值.