2022届江苏省盐城、淮安、宿迁、如东等地高三上学期第一次大联考数学试题（含解析）

2022届江苏省盐城 、淮安、 宿迁 等地高三上学期第一次联考

数学

注意事项：

1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”.

2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑﹔如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.

3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案﹔然后再写上新答案﹔不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求怍答无效.

4. 考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

一、选择题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 复数z满足，则（    ）

A. 1 B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据复数的除法及复数模的定义求解即可.

【详解】由题意可知，

所以，

故选：D

2. 设集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】分别解不等式求出集合，再进行交集运算即可求解.

【详解】因为，

，

所以，

故选：C.

3. 若二项式的展开式中所有项的系数和为，则展开式中二项式系数最大的项为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】令可求得的值，再根据二项式系数的性质结合展开式的通项可求得二项式系数最大的项.

【详解】令可得，

所以，展开式有项，

所以二项式展开式中二项式系数最大的为第项，

，

故选：A.

4. 航天之父､俄罗斯科学家齐奥科夫斯基（K.E.Tsiolkovsky）于1903年给出火箭最大速度的计算公式.其中，是燃料相对于火箭的喷射速度，是燃料的质量，是火箭（除去燃料）的质量，v是火箭将燃料喷射完之后达到的速度.已知，则当火箭的最大速度可达到时，火箭的总质量（含燃料）至少是火箭（除去燃料）的质量的（    ）倍.

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】将已知条件，代入中，转化为指数形式，计算的值即可求解.

【详解】由题意可知：，，

代入可得，

所以，可得，

可得，即，

所以，

所以火箭的总质量（含燃料）的质量是火箭（除去燃料）的质量的倍，

故选：A.

5. 在中，“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意构造函数利用导数判断其单调性，即可判断.

【详解】由可构造函数

则，即函数在定义域上单调递增,

所以在中由可得，即，

反之亦可推出，

所以“”是“”的充要条件.

故选：C

6. 已知向量，满足，且，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】设向量，夹角为，由已知可得，根据数量积的定义以及运算律将其展开化简可得，结合的范围即可得的取值范围.

【详解】由可得即，

设向量，夹角为，则，

由数量积的定义可得：，

因为，所以，

所以，

当时，显然成立；

当时，可得，

因为，所以，因为，

所以，即，可得，

所以，

所以的取值范围是：，

故选：B.

7. 已知双曲线C的离心率为，，是C的两个焦点，P为C上一点，，若的面积为，则双曲线C的实轴长为（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 6

【答案】B

【解析】

【分析】由题意及，可得，，又，所以，然后利用余弦定理求出，进而可得，最后由三角形的面积公式即可求解.

【详解】解：由题意，，所以，，

又离心率，，

所以，，

所以，

所以，实轴长，

故选：B.

8. 已知函数是定义在R上的偶函数，且在上是减函数，，则不等式的解集是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据函数的性质，结合函数的零点，解抽象不等式.

【详解】因为函数是偶函数，在上是减函数，所以在上是增函数，，

时，，，

则或.

当时，，得时；

当时，，此时.

故选:D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 数据显示，全国城镇非私营单位就业人员平均工资在2011年为40000元，到了2020年，为97379元，比上年增长7.6%.根据下图提供的信息，下面结论中正确的是（    ）

2011-2020年城镇非私营单位就业人员年平均工资及增速

A. 2011年以来，全国城镇非私营单位就业人员平均工资逐年增长

B. 工资增速越快，工资的绝对值增加也越大

C. 与2011年相比，2019年全国城镇非私营单位就业人员平均工资翻了一番多

D. 2018年全国城镇非私营单位就业人员平均工资首次突破90000元

【答案】AC

【解析】

【分析】由图中数据对各选项逐一分析即可得答案.

【详解】解：对选项A：由图可知，2011年以来，全国城镇非私营单位就业人员平均工资逐年增长，只是每年增速有变化，故选项A正确；

对选项B：工资增速越快，工资的绝对值增加也越大，这是错误的，工资的绝对值的增加还与上一年的工资水平有关系，故选项B错误；

对选项C：根据数据2019年全国城镇非私营单位就业人员平均工资元，故选项C正确；

对选项D：根据数据2018年全国城镇非私营单位就业人员平均工资为元，所以全国城镇非私营单位就业人员平均工资首次突破90000元应为2019年，故选项D错误.

故选：AC.

10. 已知函数，，若，则（    ）

A.

B.

C.

D.

【答案】AC

【解析】

【分析】对选项A、B，利用指数幂的运算性质即可判断选项A正确，选项B错误；

对选项C、利用在R上单调递增即可判断，选项C正确；

对选项D、根据，且，由凹凸性有，又，由凹凸性有即可判断选项D错误；

【详解】解：对选项A：因为，所以，故选项A正确；

对选项B：因为，所以，故选项B错误；

对选项C：由题意，因为，所以在R上单调递增，

不妨设，则，所以，即，故选项C正确；

对选项D：因为，且，所以由凹凸性有，

又，所以由凹凸性有，

所以有，

即，

即，故选项D错误；

故选：AC.

11. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，….设第层有个球，从上往下层球的总数为，则（    ）

A.  B.

C. ， D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据，，的值，可得，利用累加法可得，再计算前项的和可判断A；由递推关系可判断B；由可判断C；利用裂项求和可判断D，进而可得正确选项.

【详解】因为，

，

，

……，

，

以上个式子累加可得：，

所以，故选项A正确；

由递推关系可知：，故选项B不正确；

当，，故选项C正确；

因为，

所以

，故选项D正确；

故选：ACD.

12. 已知函数若存在实数，，，（）满足，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】CD

【解析】

【分析】首先画出函数的图象，根据函数零点的个数，判断A；根据函数的对称性，判断B；根据函数绝对值函数的性质，代入零点后，得，化简后即可判断C；根据选项C，再结合基本不等式，判断D.

【详解】，，所以，

，，，如图，画出函数的图象，

，则，A错；

，关于对称，，B错；

，，.

，即，C对；

，，，D对；

故选：CD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 若随机变量，且，写出一个符合条件的___________.

【答案】（答案不唯一）

【解析】

【分析】由二项分布的期望公式可得，写出一个符合条件的值即可.

【详解】因为随机变量，所以，

所以一个符合条件的，

故答案为：（答案不唯一）

14. 直线过抛物线的焦点F，且与C交于A，B两点，则___________.

【答案】8

【解析】

【分析】由题意，求出，然后联立直线与抛物线方程，由韦达定理及即可求解.

【详解】解：因为抛物线的焦点坐标为，

又直线过抛物线的焦点F，

所以，抛物线的方程为，

由，得，所以，

所以.

故答案为：8.

15. 已知，，则___________.

【答案】

【解析】

【分析】首先求，再根据降幂公式，即可求的值.

【详解】，则，，.

，

.

故答案为：

16. 现有一块正四面体形状的实心木块，其棱长为.车工师傅欲从木块的某一个面向内部挖掉一个体积最大的圆柱，则当圆柱底面半径___________时，圆柱的体积最大，且最大值为___________.

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】设圆柱上底面圆心为，下底面圆心为，为正四面体底面中心，

圆柱的上底面与正四面体侧面的交点N在侧面中线上，圆柱底面半径为r，高为h，由，利用三角形相似可得，从而可得，最后利用导数即可求解.

【详解】解：设圆柱上底面圆心为，下底面圆心为，为正四面体底面中心，

圆柱的上底面与正四面体侧面的交点N在侧面中线上，

正四面体棱长为9，.

，，，

设圆柱底面半径为r，高为h，

由，得，

，

令，

，令，

时，

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 在中，已知，，.

（1）求；

（2）若点D在边上，且满足，求.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）已知两边及夹角，由余弦定理即可求解；

（2）由，可得，结合（1）问结论，由余弦定理可得，再利用平方关系求出，最后根据，所以利用两角差的正弦公式即可求解.

详解】解：（1）结合已知条件，由余弦定理可得.

（2），，

，，

.

18. 2021年1至4月，教育部先后印发五个专门通知，对中小学生手机､睡眠､读物､作业､体质管理作出规定.“五项管理”是“双减”工作的一项具体抓手，是促进学生身心健康､解决群众急难愁盼问题的重要举措.为了在“控量”的同时力求“增效”，提高作业质量，某学校计划设计差异化作业.因此该校对初三年级的400名学生每天完成作业所用时间进行统计，部分数据如下表：

（1）求，，的值，并根据题中的列联表，判断是否有95%的把握认为完成作业所需时间在90分钟以上与性别有关？

（2）学校从完成作业所需时间在90分钟以上的学生中用分层抽样的方法抽取9人了解情况，甲老师再从这9人中选取3人进行访谈，求甲老师选取的3人中男生人数大于女生人数的概率.

附：.

【答案】（1），，，没有95%的把握认为完成作业所需时间在90分钟以上与性别有关；（2）.

【解析】

【分析】（1）根据表格直接计算，，的值，由表格中的数据计算与临界值比较即可判断；

（2）由计算可知抽取的9人中，男生：4人，女生：5人，符合题意的情况有：①男生2人，女生1人；②男生3人，女生0人；再计算两种情况的概率之和即可求解.

【详解】（1）由可得；

由可得；由可得；

所以 列联表如下：

，

所以没有95%的把握认为完成作业所需时间在90分钟以上与性别有关.

（2）抽取的9人中，男生：人，女生：人，

男生人数大于女生人数的情况分为：

①男生2人，女生1人；②男生3人，女生0人；

所以所求概率.

19. 已知为数列的前n项的积，且，为数列的前n项的和，若（，）.

（1）求证：数列是等差数列；

（2）求的通项公式.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

【分析】（1）由及可得，由等差数列的定义即可证得数列是等差数列；

（2）由（1）可得，从而有，从而由已知可得时，，进而可得时，，检验即可得答案.

【详解】解：（1）证明：，.

，

是等差数列.

（2）由（1）可得，.

时，；

时，.

而，，，均不满足上式.

（）.

20. 如图，在直三棱柱中，，，M为中点.

（1）记平面与平面的交线为l，证明：；

（2）求二面角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

【分析】（1）先根据线面平行的判断定理证明平面，再根据线面平行的性质定理即可证明；

（2）取中点E，连接，过E作于点F，连接，先证明平面，再证明平面AEF，从而可得即为所求二面角，在直角中解三角形即可得二面角的正弦值.

【详解】解：（1）证明：在直三棱柱中，.

平面，平面，

平面，平面，平面平面，

.

（2）取中点E，连接，过E作于点F，连接

，，又平面，.

，平面，，

又，所以平面AEF，所以AF，

即为所求二面角.

因为，

由.

，，

.

21. 已知函数其导函数为.

（1）当时，求的最大值；

（2）若有两个极值点，求a的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）求出，再利用导数判断其单调性即可求出最大值；

（2）由题意问题转化为函数导数在上有两个变号零点，分和两种情形讨论，重点利用导数继续研究时导函数的单调性，利用导数判断函数的零点情形.

【详解】（1）当时，，.

令，，.

且当时，，单调递增，单调递增；当时，，单调递减，单调递减，

.

（2）.

令，，

有两个极值点，

在上有两个变号零点.

①当时，，在上单调递减，不可能有两个零点，舍去.

②当时，令.

且当时，，单调递增，当时，，单调递减.

要使有两个零点，必有.

当时，注意到，.

在和上各有一个零点，，

且当时，，单调递减；当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

在和处分别取得极小值和极大值，有两个极值点，符合题意.

综上：a的取值范围为.

22. 在平面直角坐标系中，已知椭圆（）的右焦点为，离心率为.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若过点F的直线l交C于A，B两点，线段的中点为M，分别过A，B作C的切线，，且与交于点P，证明：O，P，M三点共线.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）根据离心率及焦点求出即可得椭圆标准方程；

（2）设直线l的方程为：，联立方程后结合根与系数的关系计算即可证明三点共线.

【详解】（1），椭圆方程为.

（2）由题意知斜率不为0，设直线l的方程为：，，，，，

由，

即.

，，

.

直线的方程为：①，

直线的方程为②，

，

，

，

，即O，P，M三点共线.