高中数学人教版新课标A选修2-12.4抛物线课后复习题

这是一份高中数学人教版新课标A选修2-12.4抛物线课后复习题，共6页。试卷主要包含了3　抛物线，1　抛物线及其标准方程等内容，欢迎下载使用。


知识梳理
1．抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离________的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的________，直线l叫做抛物线的________．
2．抛物线的标准方程
(1)方程y2＝±2px，x2＝±2py(p>0)叫做抛物线的________方程．
(2)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标是__________，准线方程是__________，开口方向________．
(3)抛物线y2＝－2px(p>0)的焦点坐标是____________，准线方程是__________，开口方向________．
(4)抛物线x2＝2py(p>0)的焦点坐标是________，准线方程是__________，开口方向________．
(5)抛物线x2＝－2py(p>0)的焦点坐标是________，准线方程是________，开口方向________．
作业设计
一、选择题
1．抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是( )
A.eq \f(|a|,4) B.eq \f(|a|,2) C．|a| D．－eq \f(a,2)
2．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1上，则抛物线方程为( )
A．y2＝8x B．y2＝4x
C．y2＝2x D．y2＝±8x
3．抛物线y2＝2px(p>0)上一点M到焦点的距离是a(a>eq \f(p,2))，则点M的横坐标是( )
A．a＋eq \f(p,2) B．a－eq \f(p,2)
C．a＋p D．a－p
4．过点M(2,4)作与抛物线y2＝8x只有一个公共点的直线l有( )
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
5．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝2 D．x＝－2
6．设抛物线y2＝2x的焦点为F，过点M(eq \r(3)，0)的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|＝2，则△BCF与△ACF的面积之比eq \f(S△BCF,S△ACF)等于( )
A．eq \f(4,5) B．eq \f(2,3) C．eq \f(4,7) D．eq \f(1,2)
二、填空题
7．抛物线x2＋12y＝0的准线方程是__________．
8．若动点P在y＝2x2＋1上，则点P与点Q(0，－1)连线中点的轨迹方程是__________．
9．已知抛物线x2＝y＋1上一定点A(－1,0)和两动点P，Q，当PA⊥PQ时，点Q的横坐标的取值范围是______________．
三、解答题
10．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值，并写出抛物线的焦点坐标和准线方程．
11．求焦点在x轴上且截直线2x－y＋1＝0所得弦长为eq \r(15)的抛物线的标准方程．
能力提升
12．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为( )
A．eq \f(1,2) B．1 C．2 D．4
13．求与圆(x－3)2＋y2＝9外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程．
反思感悟
1．四个标准方程的区分：焦点在一次项字母对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定．当系数为正时，开口方向为坐标轴的正方向；系数为负时，开口方向为坐标轴的负方向．
2．焦点在y轴上的抛物线的标准方程x2＝2py通常又可以写成y＝ax2，这与以前学习的二次函数的解析式是完全一致的，但需要注意的是，由方程y＝ax2来求其焦点和准线时，必须先化成标准形式．
§2.3 抛物线
2．3.1 抛物线及其标准方程
答案
知识梳理
1．相等 焦点 准线
2．(1)标准 (2)(eq \f(p,2)，0) x＝－eq \f(p,2) 向右
(3)(－eq \f(p,2)，0) x＝eq \f(p,2) 向左
(4)(0，eq \f(p,2)) y＝－eq \f(p,2) 向上
(5)(0，－eq \f(p,2)) y＝eq \f(p,2) 向下
作业设计
1．B [因为y2＝ax，所以p＝eq \f(|a|,2)，即该抛物线的焦点到其准线的距离为eq \f(|a|,2)，故选B.]
2．D [由题意知抛物线的焦点为双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1的顶点，即为(－2,0)或(2,0)，所以抛物线的方程为y2＝8x或y2＝－8x.]
3．B [由抛物线的定义知：点M到焦点的距离a等于点M到抛物线的准线x＝－eq \f(p,2)的距离，所以点M的横坐标即点M到y轴的距离为a－eq \f(p,2).]
4．C [容易发现点M(2,4)在抛物线y2＝8x上，这样l过M点且与x轴平行时，或者l在M点处与抛物线相切时，l与抛物线有一个公共点，故选C.]
5．B [∵y2＝2px的焦点坐标为(eq \f(p,2)，0)，
∴过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－eq \f(p,2)，即x＝y＋eq \f(p,2)，将其代入y2＝2px得
y2＝2py＋p2，即y2－2py－p2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2p，∴eq \f(y1＋y2,2)＝p＝2，∴抛物线的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.]
6．A [如图所示，设过点M(eq \r(3)，0)的直线方程为y＝k(x－eq \r(3))，代入y2＝2x并整理，
得k2x2－(2eq \r(3)k2＋2)x＋3k2＝0，
则x1＋x2＝eq \f(2\r(3)k2＋2,k2).
因为|BF|＝2，所以|BB′|＝2.
不妨设x2＝2－eq \f(1,2)＝eq \f(3,2)是方程的一个根，
可得k2＝eq \f(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)－\r(3)))2)，
所以x1＝2.
eq \f(S△BCF,S△ACF)＝eq \f(\f(1,2)|BC|·d,\f(1,2)|AC|·d)＝eq \f(|BC|,|AC|)＝eq \f(|BB′|,|AA′|)
＝eq \f(2,2＋\f(1,2))＝eq \f(4,5).]
7．y＝3
解析 抛物线x2＋12y＝0，即x2＝－12y，故其准线方程是y＝3.
8．y＝4x2
9．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
解析 由题意知，设P(x1，xeq \\al(2,1)－1)，Q(x2，xeq \\al(2,2)－1)，
又A(－1,0)，PA⊥PQ，－*6]＝(－x，－2－y)，eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PQ,\s\up6(→))＝0，
即(－1－x1,1－xeq \\al(2,1))·(x2－x1，xeq \\al(2,2)－xeq \\al(2,1))＝0，
也就是(－1－x1)·(x2－x1)＋(1－xeq \\al(2,1))·(xeq \\al(2,2)－xeq \\al(2,1))＝0.
∵x1≠x2，且x1≠－1，∴上式化简得x2＝eq \f(1,1－x1)－x1＝eq \f(1,1－x1)＋(1－x1)－1，
由基本不等式可得x2≥1或x2≤－3.
10．解 设抛物线方程为y2＝－2px (p>0)，
则焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))，由题意，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＝6p，,\r(m2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3－\f(p,2)))2)＝5，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(p＝4，,m＝2\r(6)，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(p＝4，,m＝－2\r(6).))
故所求的抛物线方程为y2＝－8x，m＝±2eq \r(6).
抛物线的焦点坐标为(－2,0)，准线方程为x＝2.
11．解 设所求抛物线方程为y2＝ax (a≠0)． ①
直线方程变形为y＝2x＋1， ②
设抛物线截直线所得弦为AB.
②代入①，整理得4x2＋(4－a)x＋1＝0，
则|AB|＝ eq \r(1＋22\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a－4,4)))2－4×\f(1,4))))＝eq \r(15).
解得a＝12或a＝－4.
∴所求抛物线方程为y2＝12x或y2＝－4x.
12．C [本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系．
方法一 由抛物线的标准方程得准线方程为x＝－eq \f(p,2).
∵准线与圆相切，圆的方程为(x－3)2＋y2＝16，
∴3＋eq \f(p,2)＝4，∴p＝2.
方法二 作图可知，抛物线y2＝2px (p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切于点(－1,0)，
所以－eq \f(p,2)＝－1，p＝2.]
13．解 设定圆圆心M(3,0)，半径r＝3，动圆圆心P(x，y)，半径为R，则由已知得下列等式
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|PM|＝R＋3,|x|＝R))，
∴|PM|＝|x|＋3.
当x>0时，上式几何意义为点P到定点M的距离与它到直线x＝－3的距离相等，
∴点P轨迹为抛物线，焦点M(3,0)，准线x＝－3，
∴p＝6，抛物线方程为y2＝12x.
当x<0时，|PM|＝3－x，
动点P到定点M的距离等于动点P到直线x＝3的距离，点P轨迹为x轴负半轴，
当x＝0时，不符合题意，舍去．
∴所求轨迹方程为y2＝12x (x>0)或y＝0 (x<0)．
题号
1
2
3
4
5
6
答案