2021-2022学年河南省豫南重点高中高二上学期精英对抗赛理科数学试题含解析

豫南重点高中2021-2022学年高二上学期精英对抗赛

理科数学试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在答题卡上；

2.答选择题时选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮檫干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效；

3.答主观题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效；

4.考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是（    ）

A．若，则                B．若，，则

C．若，则           D．若，则

2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为. 若，，，则角（　　）

A．            B．            C．或            D．或

3．已知首项为最小正整数，公差不为零的等差数列中，，，依次成等比数列，则的值是（    ）

A．             B．            C．            D．58

4．已知△ABC中，角所对的边分别为，若△ABC的面积为，，则的值为（    ）

A．              B．             C．             D．

5．在△ABC中，，，边上的中线的长度为，则△ABC的面积为（    ）

A．            B．           C．             D．

6．一弹球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)（    ）

A．300米           B．299米         C．199米          D．166米

7．在△ABC中，，则△ABC是（    ）

A．等腰三角形         B．直角三角形   C．等腰或直角三角形       D．等边三角形
8．《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.如图所示的图形，在AB上取一点，使得，，过点作交圆周于D，连接OD.作交OD于.则下列不等式可以表示的是

A．             B．

C．          D．

9．设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意的n∈N*，都有＝，则＋的值为（    ）

A．           B．           C．           D．

10．已知，，且，则的最小值为（    ）

A．            B．            C．4            D．6

11．已知数列的前n项和为，且，若，则数列的最大值为（    ）

A．第5项         B．第6项         C．第7项         D．第8项

12.数列满足，，. 设，记表示不超过的最大整数．设，若不等式，对恒成立，则实数的最大值为（    ）

A．         B．         C．         D．

二、填空题

13．现从8名学生干部中选出3名同学分别参加全校“资源”、“生态”和“环保”三个夏令营活动，则不同的选派方案的种数是________．（用数字作答）

14．已知，的取值如下表所示：

若与线性相关，且回归直线方程为，则表格中实数的值为____________.

15．50张彩票中只有2张中奖票，今从中任取n张，为了使这n张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5，n至少为________．

16．裴波那契数列（Fibonaccisequence）又称黄金分割数列，因为数学家列昂纳多•裴波那契以兔子繁殖为例子引入，故又称为“兔子数列”，在数学上裴波那契数列被以下递推方法定义：数列{an}满足：a1＝a2＝1，an+2＝an+an+1，现从该数列的前40项中随机抽取一项，则能被3整除的概率是_______

三、解答题（本题共6小题，共计70分，其中第17小题10分，其余每小题12分。解

答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 已知直线的方程为.

（1）求过点且与直线平行的直线的程；

（2）求直线与的交点，并求这个点到直线的距离.

18. 在中，内角的对边分别是，已知，.

（1）若，求角的大小；

（2）若，求边及面积.

19. 已知等差数列中，，，且，，成等比数列

（1）求的通项公式；

（2）已知，前n项和为，若，求n的最大值.

20. 如图所示，在直三棱柱中，，，，

．

（1）证明：平面；

（2）若是棱的中点，在棱上是否存在一点，使∥平面？

 证明你的结论．

21. 已知坐标平面上两个定点，，动点满足：．

（1）求点轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；

（2）记(1)中的轨迹为，过点的直线被所截得的线段的长为，

求直线的方程．

22．已知椭圆的离心率为，点与椭圆的左、右顶点

构成等腰直角三角形．

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与椭圆交于两点，为坐标原点，直线的

斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由．

理科参考答案

1．A

【分析】

利用基本不等式可推出A正确；利用不等式的性质可推出B不正确；作差后，可知当时，C不正确；当时，D不正确.

【详解】

对于A，因为，所以，，所以，故A正确；

对于B，若，则，又，所以，故B不正确；

对于C，因为，，

所以当时，，此时，故C不正确；

对于D，当时，不成立，故D不正确.

故选：A

2．D

【分析】

由正弦定理即可求解．

【详解】

在中，由正弦定理可得，

所以，

因为，所以，

因为，所以或，

故选：D.

3．A

【分析】

由已知得和，可求出，利用等差数列的通项公式得到.

【详解】

设公差不为零的等差数列的公差为d，则有，

因为，，依次成等比数列，，

所以有，即，整理得，

因为，所以，，

因此，

故选：A.

4．D

【分析】

利用三角形的面积公式整理得出，利用二倍角的正弦和余弦公式化简得出，结合角的取值范围可求得结果.

【详解】

在中，因为，则，

，则，则，

所以，，可得，，故.

故选：D.

5．B

【分析】

根据题设条件结合余弦定理可求得，从而可得，结合三角形面积公式，即可求解.

【详解】

∵，，边上的中线的长度为

∴根据余弦定理可得，即，解得

∴

∴的面积为

故选：B

6．A

【分析】

根据题意，得到小球经过的里程，结合等比数列的求和公式，即可求解.

【详解】

由题意，可得小球10次着地共经过的路程为：

米

故选：A.

7．C

【分析】

根据，利用正弦定理转化为：，整理为再转化为角判断.

【详解】

因为，

所以由正弦定理得：，

所以 ，

即 ，

所以或 ，

所以或，

所以是等腰或直角三角形.

故选：C

【点睛】

本题主要考查正弦定理判断三角形的形状，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

8．A

【分析】

根据圆的性质、射影定理求出CD和DE的长度，利用CD>DE即可得到答案.

【详解】

连接DB，因为AB是圆O 的直径，所以，所以在中，中线，由射影定理可得，所以.

在中，由射影定理可得，即，

由得，

故选A.

【点睛】

本题考查圆的性质、射影定理的应用，考查推理能力，属于中档题.

9．C

【分析】

根据等差数列的性质及等差数列前n项和的性质，逐步化简，即可得到本题答案．

【详解】

由题意可知b3＋b13＝b5＋b11＝b1＋b15＝2b8，

∴＋＝＝＝＝＝＝

故选：C．

10．C

【分析】

由基本不等式得出关于的不等式，解之可得．

【详解】

因为，

所以，当且仅当时取等号．

，解得或（舍去），

所以，即的最小值.4．此时．

故选：C．

11．D

【分析】

由先求出，从而得出，由讨论出其单调性，从而得出答案.

【详解】

当时，；

由，当时，，

两式相减，可得，

解得，当时，也符合该式，故．

所以

由，解得；又，所以，所以，当时，，故，因此最大项为，

故选：D．

12．C

【详解】

由题意得：，

，又，

数列是以为首项，为公比的等比数列，，

又，，…，，，

，；

，，

，

，

，，，，

对恒成立，，则实数的最大值为.

故选：C.

【点睛】

关键点点睛：本题考查函数与导数、数列的综合应用问题，解题关键是能够采用构造法、累加法求得数列的通项公式，进而确定求和方法为裂项相消法，从而求得的形式.

13．336

【分析】

根据排列定义及公式即可求解．

【详解】

从8名学生干部中选出3名同学排列的种数为，故共有336种不同的选派方案．

故答案为：336

14．3.8

【分析】

利用线性回归分析方程经过样本中心点，直接带入即可求解.

【详解】

因为，，所以，解得.

故答案为：3.8.

15．15

【分析】

根据超几何分布概率公式列出不等式，进而解出n.

【详解】

用X表示中奖票数，

P(X≥1)＝，

所以，解得n≥15.

故答案为：15.

16．

【分析】

列举出数列{an}的前40项及其中能被3整除的数，代入公式，即可求得概率．

【详解】

解：在数学上裴波那契数列被以下递推方法定义：数列{an}满足：a1＝a2＝1，an+2＝an+an+1，

∴数列{an}的前40项为：

1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，

10946，17711，28657，46368，75025，121393，196418，317811，514229，832040，1346269，

2178309，3524578，5702887，9227465，14930352，24157817，39088169，63245986，10334155，

其中能被3整除的有10个，分别为：3，21，144，987，6765，46368，317811，1346269，2178309，14930352．

∴从该数列的前40项中随机抽取一项，则能被3整除的概率是P＝．

故答案为：

三、解答题：

17. 解：(1)设与直线平行的直线方程为,把代入，得，解得,

∴所求直线方程为.　　　　　　　　　　…………………5分

(2)解方程组得　　　　　　　　  …………………7分

∴直线与的交点为,　　　　　…………………8分

点到直线的距离.　………10分

18.解：（1）由正弦定理，得

解得.   　　　　　　　　　　　　　　　　　…………………2分

又∵，   则， 　　　　　　　　　　　　　…………………4分

.　 　　　　　　　　　　　　　…………………6分

　（备注：若B没有去掉，扣2分）

（2）由余弦定理，得 整理得

又∵，∴.　　　　　　　　　　　　　　　　　…………………10分

由==.　　　　　　　　　　…………………12分

（备注：正确写出余弦定理给2分；先用正弦定理求出，得出直角三形）

19. 解：（1），，成等比数列，，

又，，，

，又，解得：，　　…………………3分

；　　　　　　　…………………5分

（2）由（1）可得：，……………7分　　

，……10分

，整理可得：，解得：，

，　　的最大值为.　　　　　　　…………………12分

20. 证明：（1）∵，∴．

∵三棱柱为直三棱柱，∴．

∵，∴平面．

∵平面，∴，　∵BC∥B1C1，∥则．

在中，，，∴．

∵，∴四边形为正方形．

∴．

∵，∴ 平面． 　　　　…………………6分

（2）当点为棱的中点时，平面．

证明如下：如图，取中点，连、、，

∵、、分别为、、的中点，

∴EF∥AB1

∵平面，平面，

∴EF∥平面，同理可证FD∥平面．

∵，∴平面∥平面．

∵平面，∴DE∥平面．　　　　　　　　…………………12分

21．解：(1)由得，

化简得：，点M的轨迹以为圆心，以为半径的圆。

　　　　　　　　　　　　…………………5分　　（没有说明轨迹扣1分）

（2）当直线的斜率不存在时，直线符合题意；

当直线的斜率存在时，设的方程为：，即，

由圆心到直线的距离等于，解得，

直线方程为

所求的直线的方程为：或.…………………12分　　

（没有直线扣2分）

22．解：（1）椭圆离心率为，即，

∵点与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形，

∴，综上有：，，故椭圆方程为.  ……………4分

（2）由直线与椭圆交于两点，联立方程：

，整理得，……………5分

设，则

，……………7分

，

，              ……………9分

，……10分

原点到的距离，                            ……………11分

为定值.   ……………12分