新课标2022版高考数学总复习第二章函数第三节函数的奇偶性与周期性课件理

这是一份新课标2022版高考数学总复习第二章函数第三节函数的奇偶性与周期性课件理，共60页。

学习要求:1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义.2.了解周期性、最小正周期的概念和几何意义.3.会运用函数的图象判断函数的奇偶性.4.会判断、应用简单函数的周期性.
2.周期性(1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的 任何值时,都有⑤    f(x+T)=f(x)    ,那么就称函数y=f(x)为周期函数,T为这个函 数的周期.(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么 这个最小的正数就叫做它的最小正周期.
1.奇(偶)函数定义的等价形式(1)f(-x)=f(x)⇔f(-x)-f(x)=0⇔ =1⇔f(x)为偶函数,其中f(x)≠0.(2)f(-x)=-f(x)⇔f(-x)+f(x)=0⇔ =-1⇔f(x)为奇函数,其中f(x)≠0.
2.函数奇偶性的常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间 上具有相反的单调性.(3)在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.
3.函数周期性的常用结论对f(x)的定义域内任意自变量x:(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>0).(2)若f(x+a)= ,则T=2a(a>0).
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).(1)函数y=x2在x∈(0,+∞)上是偶函数. (　　)(2)若f(x)是定义在R上的奇函数,则f(-x)+f(x)=0. (　　)(3)偶函数的图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点. (　　)(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件. (　　)
2.(新教材人教A版必修第一册P84例6改编)函数f(x)= -x的图象关于 (　　)A.y轴对称　　　    B.直线y=-x对称C.坐标原点对称　　　    D.直线y=x对称
解析    ∵f(-x)=- +x=- =-f(x),且定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),∴f(x)为奇函数.∴f(x)的图象关于坐标原点对称.
3.已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是 (　　)A.- 　　　    B. 　　　    C. 　　　    D.- 
解析    因为f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,所以a-1+2a=0,所以a = .又f(-x)=f(x),所以b=0,所以a+b= .
4.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时, f(x)=2x3+x2,则f(2)=　    　    .
解析　依题意得f(-2)=2×(-2)3+(-2)2=-12,又函数f(x)是奇函数,所以f(2)=-f(-2)=12.
5.(2019课标全国Ⅱ,14,5分)已知f(x)是奇函数,且当x<0时, f(x)=-eax.若f(ln 2)=8, 则a=　　　    .
解析　由x>0可得-x<0,由f(x)是奇函数可知f(-x)=-f(x),∴x>0时, f(x)=-f(-x)=-[-ea(-x)]=e-ax,则f(ln 2)=e-aln 2=8,∴-aln 2=ln 8=3ln 2,∴a=-3.
6.若f(x)是定义在R上的周期为3的函数,且f(x)= 则f(a+1)的值为　　　    .
解析　因为f(x)是定义在R上的周期为3的函数,所以f(0)=f(3),所以a=0,所以f(a+1)的值为12+1+0=2.
  典例1　已知函数f(x)=x3+sin x+1(x∈R),若f(a)=2,则f(-a)的值为 (　　)A.3　　　    B.0　　　    C.-1　　　    D.-2
典例2　判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)= ;(2)f(x)=lg2(1+4x)-x;(3)f(x)=lg2( -3x).
解析　(1)因为f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),其关于原点对称,且f(-x)= = = =-f(x),所以f(x)为奇函数.(2)因为f(x)的定义域为R,且f(-x)=lg2(1+4-x)+x=lg2 +x=lg2(1+4x)-lg24x+x=lg2(1+4x)-x=f(x),所以f(x)为偶函数.(3)因为f(x)的定义域为R,且f(-x)=lg2( +3x)=lg2 =-f(x),所以f(x)为奇函数.
1.判断函数奇偶性的两个必备条件(1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先 考虑定义域;(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系.在判断函数奇偶性的过程中,可以将问题转化为f(x)+f(-x)或f(x)-f(-x)的形式, 看f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数)是否成立.
2.利用函数的奇偶性可解决的4个问题(1)求函数值:将待求函数值利用奇偶性转化到已知区间上求函数值.(2)求解析式:将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求解 析式.(3)求解析式中的参数:利用待定系数法求解,根据f(x)±f(-x)=0得到关于参数的 恒等式,由系数的对等性得参数的方程或方程组,进而得出参数的值.(4)画函数图象:利用奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象.
1.(2020浙江,4,4分)函数y=xcs x+sin x在区间[-π,π]上的图象可能是 (　　)
解析    设f(x)=xcs x+sin x,定义域关于原点对称,且满足f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数,图象关于原点对称,排除C、D;又f(π)=πcs π+sin π=-π,排除B,故 选A.
2.若函数f(x)=(k-2)x2+(k-1)x+2是定义在[a,b]上的偶函数,则k+a+b=　　    .
3.判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=3x+3-x;(2)f(x)= + ;(3)f(x)= 
解析　(1)因为f(x)的定义域为R,且f(-x)=3-x+3x=f(x),所以f(x)为偶函数.(2)因为f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),其关于原点对称,且f(-x)= + = + , f(-x)+f(x)=0,所以f(x)为奇函数.(3)显然函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),其关于原点对称.∵当x<0时,-x>0,则f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f(x);当x>0时,-x<0,
则f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x).综上可知,对于定义域内任意的x,总有f(-x)=-f(x),∴函数f(x)为奇函数.
典例3　设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意的实数x,恒有f(x+2)=-f(x),当x ∈[0,2]时, f(x)=2x-x2.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)计算:f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 020).
解析　(1)因为f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x).所以f(x)的最小正周期为4.(2)f(0)=0, f(1)=1, f(2)=0, f(3)=f(-1)=-f(1)=-1.又因为f(x)是周期为4的周期函数, 所以f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=……=f(2 016)+f(2 017)+f(2 018)+f(2 019)=0,所以f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 020)=f(2 020)=f(0)=0.
解析　因为对任意x∈R,都有f(x+2)= ,所以f(x+4)=f(x+2+2)= = =f(x),所以f(x)的最小正周期为4.
◆变式探究1　若本典例中条件变为“f(x+2)= ”,求函数f(x)的最小正周期.
解析　因为对任意x∈R,都有f(x+2)=- ,所以f(x+4)=f(x+2+2)=- =- =f(x),所以f(x)的最小正周期为4.
◆变式探究2　若本典例条件变为“f(x+2)=- ”,求函数f(x)的最小正周期.
◆变式探究3　在本典例条件下,求f(x)(x∈[2,4])的解析式.解析　当x∈[-2,0]时,-x∈[0,2],由已知得f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2,又f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x)=-2x-x2,所以f(x)=x2+2x,x∈[-2,0].又当x∈[2,4]时,x-4∈[-2,0],所以f(x-4)=(x-4)2+2(x-4).又f(x)是周期为4的周期函数,所以f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8.故x∈[2,4]时, f(x)=x2-6x+8.
方法技巧函数周期性的判断与应用(1)判断:判断函数的周期性只需证明f(x+T)=f(x)(T≠0),便可得函数是周期函 数,且周期为T.(2)应用:根据函数的周期性,可以由函数局部的性质得到函数整体的性质,在 解决具体问题时,要注意结论:若T是函数的周期,则kT(k∈Z且k≠0)也是函数 的周期.
1.(2020湖北武汉二中模拟)函数f(x)满足f(x+4)=f(x)(x∈R),且在区间(-2,2]上, f(x)=  则f(f(15))的值为　　　    .
解析　∵f(x+4)=f(x),∴函数f(x)的周期为4,∴f(15)=f(-1)= , f  =cs = ,∴f(f(15))=f  = .
2.已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0≤x<2时, f(x)=x3-x,则函数y =f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为　　    .
解析　当0≤x<2时,令f(x)=x3-x=x(x2-1)=0,所以y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x1=0,x2=1.当2≤x<4时,0≤x-2<2,又f(x)的最小正周期为2,所以f(x-2)=f(x),所以f(x)=(x-2)(x-1)(x-3),所以当2≤x<4时,y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x3=2,x4=3.同理可得,当4≤x<6时,y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x5=4,x6=5.当x7=6时,也符合题意.综上可知,共有7个交点.
角度一　函数的单调性与奇偶性的综合问题典例4　(1)已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减, f(1)=-1,若f(2x-1)≥-1,则x的 取值范围是 (　　)A.(-∞,-1]　　　    B.[1,+∞)C.[0,1]　　　    D.(-∞,0]∪[1,+∞)(2)已知函数f(x)=ex-e-x+x3,则不等式f(2x+1)+f(4-x)<0的解集为　　　　　　    .
考点三　函数性质的综合应用
解析　(1)由题意可得f(2x-1)≥f(1),∵函数f(x)为偶函数,∴f(|2x-1|)≥f(1),又函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,∴|2x-1|≤1,解得0≤x≤1.故选C.(2)由题意得f(x)的定义域为R,且f(-x)=e-x-ex-x3=-f(x),所以函数f(x)是奇函数,因 为f '(x)=ex+e-x+3x2>0,所以函数f(x)是定义域上的增函数,所以由f(2x+1)<-f(4-x) =f(x-4),得2x+1角度二　函数的周期性与奇偶性的综合问题典例5    (2018课标全国Ⅱ文,12,5分)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数, 满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=(　　)A.-50　　　    B.0　　　    C.2　　　    D.50
解析　∵f(x)是定义域为R的奇函数,∴f(0)=0,且f(-x)=-f(x),①又∵f(1-x)=f(1+x),∴f(-x)=f(2+x),②由①②得f(2+x)=-f(x),③∴f(4+x)=-f(2+x),④由③④得f(x)=f(x+4),∴f(x)的最小正周期为4,对于f(1+x)=f(1-x),令x=1,得f(2)=f(0)=0;
令x=2,得f(3)=f(-1)=-f(1)=-2;令x=3,得f(4)=f(-2)=-f(2)=0.故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0-2+0=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12×0+f(1)+f(2)=0+2+0=2.故选C.
角度三　函数的周期性与对称性的综合问题典例6　已知定义在R上的偶函数f(x)满足:当x∈(-1,0]时, f(x)=2x,且f(x+1)的图 象关于原点对称,则f  =(　　)A. 　　　    B. 　　　    C.- 　　　    D.- 
解析　由题意可知函数f(x)的图象关于直线x=0和点(1,0)对称,所以函数f(x)的 周期为4,则f =f =f =-f =-f =- =- ,故选C.
规律总结函数性质的综合应用问题的常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶性的综合.注意函数单调性及奇偶性的定义,以及奇、 偶函数图象的对称性.(2)周期性与奇偶性的综合.此类问题多考查求值问题,常利用函数的奇偶性 及周期性进行变换.(3)对称性与周期性的综合.解决此类问题时通常先利用周期性转化自变量所 在的区间,然后利用奇偶性求解.
1.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x)=f(2-x),当x∈[0,1]时, f(x)=4x-1,则f  = (　　)A.0　　　    B.1　　　    C.-1　　　    D.- 
解析    由题意知f(x)的图象关于原点对称,且其对称轴为x=1,故f(x)是周期 为4的周期函数,则f =f(2.5+8)=f(2.5)=f(2-2.5)=f(-0.5)=-f(0.5)=-(40.5-1)=-1,故选C.
2.已知f(x+2)是偶函数, f (x)在(-∞,2)上单调递减,f(0)=0,则f(2-3x)>0的解集是  (　　)A. ∪(2,+∞)　　　    B. C. 　　　    D. ∪ 
解析    因为f(x+2)是偶函数,所以f(x)的图象关于直线x=2对称,所以由f(0) =0得f(4)=0,又f(x)在(-∞,2)上单调递减,所以f(x)在[2,+∞)上单调递增,当2-3x≥2即x≤0时,由f(2-3x)>0得f(2-3x)>f(4),所以2-3x>4,解得x<- ;当2-3x<2即x>0时,由f(2-3x)>0得f(2-3x)>f(0),所以2-3x<0,解得x> ,综上所述, f(2-3x)>0的解集是 ∪ .
3.函数y=f(x)满足对任意x∈R都有f(x+2)=f(-x)成立,且函数y=f(x-1)的图象关于 点(1,0)对称, f(1)=4,则f(2 016)+f(2 017)+f(2 018)的值为　　　    .
解析　∵y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,∴y=f(x)的图象关于点(0,0)对称,∴f(x)为奇函数.又∵f(x+2)=f(-x),∴f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=f(x),∴y=f(x)是以4为周期的周期函数.∴f(2 016)=f(504×4)=0, f(2 017)=f(504×4+1)=f(1)=4, f(2 018)=f(504×4+2)=f(2) =-f(0)=0.故答案为4.
微专题——抽象函数的性质及应用　　抽象函数是高中数学的难点,也是近几年考试中的热点和重点,尤其函数 的奇偶性、周期性、对称性结合的题目往往都比较难,让人感觉无从下手.抽象函数是指没有给出具体的函数解析式,只给出它的一些特征、性质或一 些特殊关系式的函数,所以做抽象函数的题目需要有逻辑思维能力、丰富的 想象力以及灵活运用函数知识的能力. 
角度一　抽象函数的单调性典例1    (2020甘肃静宁一中校级期末)已知偶函数f(x)在区间(-∞,0]上单调递 减,则满足f(2x-1)≤f(x)的x的取值范围是 (　　)A.[1,+∞)　　　    B.(-∞,1] C. ∪[1,+∞)　　　    D. 
解析    根据题意,偶函数f(x)在区间(-∞,0]上单调递减,则f(x)在[0,+∞)上 单调递增,则f(2x-1)≤f(x)⇒f(|2x-1|)≤f(|x|)⇒|2x-1|≤|x|⇒(2x-1)2≤x2,解得 ≤x≤1,即x的取值范围是 .故选D.
 根据题意,结合函数的奇偶性与单调性分析可得f(2x-1)≤f(x)⇒f(|2x-1|)≤f(|x|) ⇒|2x-1|≤|x|⇒(2x-1)2≤x2,解得x的取值范围.典例2    (2019湖北武汉期末)若a= ,b= ,c=lg2 ,定义在R上的奇函数
f(x)满足:对任意的x1,x2∈[0,+∞)且x1≠x2,都有  <0,则f(a), f(b), f(c)的大小顺序为 (　　)A.f(b)f(b)>f(a) C.f(c)>f(a)>f(b)　    D.f(b)>f(c)>f(a)
解析    根据题意,函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈[0,+∞)且x1≠x2,都有  <0,则f(x)在[0,+∞)上为减函数,又f(x)为定义在R上的奇函数,所以函数f(x)在(-∞,0]上为减函数,所以函数f(x)在R上为减函数,因为c=lg2 <0,a= = ,b= ,所以a>b>0>c,故f(c)>f(b)>f(a).故选B.
 根据题意,由函数单调性的定义可得f(x)在[0,+∞)上为减函数,结合函数的奇 偶性可得函数f(x)在R上为减函数,又由题意可得a>b>0>c,再结合函数的单调 性分析可得答案. 
A. 　　　    B.[-2,-1]　　　    C. 　　　    D. 
(2020天津第二十五中学3月模拟)已知定义在R上的函数f(x),若函数y=f(x+2) 为偶函数,且f(x)对任意的x1,x2∈[2,+∞)(x1≠x2),都有  <0,若f(a)≤f(3a+1),则实数a的取值范围是 (　　)
解析    因为函数y=f(x+2)为偶函数,所以函数f(x)的图象关于直线x=2对称,因为f(x)对任意的x1,x2∈[2,+∞)(x1≠x2),都有  <0,所以函数f(x)在[2,+∞)上为减函数,所以函数f(x)在(-∞,2)上是增函数,则f(a)≤f(3a+1)⇒|a-2|≥|3a-1|,解得- ≤a≤ .即实数a的取值范围是 .故选A. 
典例3    (2020陕西汉中一模)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数, f =f ,当x∈ 时, f(x)=lg2(-3x+1),则f(2 020)= (　　)A.4　　　    B.lg27　　　    C.2　　　    D.-2
角度二　抽象函数的周期性
解析    根据题意, f(x)满足f =f ,即f(x+3)=f(x),函数f(x)是周期为3的周期函数,则f(2 020)=f(1+2 019)=f(1),又f(x)为奇函数,所以f(1)=-f(-1)=-lg2(3+1)=-2,故选D.  
典例4　已知函数f(x)对任意的x∈R满足f(x+2)=f(-x), f(x+1)=f(x)·f(x+2),且f(x)>0,若f(1)=4,则f(2 019)+f(2 020)= (　　)A. 　　　    B.2　　　    C. 　　　    D.4
根据题意,分析可得f(x+3)=f(x),函数f(x)是周期为3的周期函数,进而可得f(2 020)=f(1+2 019)=f(1),结合函数的奇偶性与解析式分析可得答案.
解析    根据题意, f(x+1)=f(x)·f(x+2),则有f(x+2)=f(x+1)·f(x+3),变形可得f(x+2)=f(x)·f(x+2)·f(x+3),又f(x)>0,所以f(x)·f(x+3)=1,所以f(x+3)= ,故f(x+6)= =f(x),即函数f(x)是周期为6的周期函数,则f(2 019)=f(3+336×6)=f(3), f(2 020)=f(4+336×6)=f(4),故f(2 019)+f(2 020)=f(3)+f(4).由f(x+3)= ,令x=1可得f(4)= = ;由f(x+1)=f(x)·f(x+2)和f(x+2)=f(-x),令x=0可得f(1)=f(0)·f(2)=4且f(0)=f(2), f(x)>0,
则f(0)=f(2)=2,则f(3)= = ,故f(3)+f(4)= + = .故选A.
 根据题意,由f(x+1)=f(x)·f(x+2)分析可得f(x+2)=f(x+1)·f(x+3),进而可得f(x+3)=  ,则有f(x+6)= =f(x),即函数f(x)是周期为6的周期函数,进而可得f(2 019)+f(2 020)=f(3)+f(4),再利用赋值法求得f(3)和f(4),最后相加即可得答案. 
已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续的,满足f(1-x)=f(1+x), f(-x)=-f(x),且 f(x)在[0,1]上单调递增,若a=f(lg23),b=f( ),c=f(2 020),则 (　　)A.a解析    因为f(1-x)=f(1+x),所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称,又因为f(-x)=-f(x),且函数定义域关于原点对称,所以函数f(x)为奇函数,所以f(1+x)=f(1-x)=-f(x-1),令x=x-1,则f(x)=-f(x-2)①,令x=x-2,则f(x-2)=-f(x-4)②,由①②得, f(x)=f(x-4),即函数f(x)是周期为4的周期函数.又因为f(x)在[0,1]上单调递增,所以函数f(x)的大致图象如图所示,
 又lg23∈(1,2), ∈(3,4),所以a>0,b<0,又f(2 020)=f(505×4)=f(0)=0,所以c=0,故b角度三　抽象函数的零点问题 典例5　若偶函数y=f(x)(x∈R)满足f(x)=f(2-x),当x∈[-1,0]时, f(x)=1-x2,函数g(x)= 则函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[-5,5]内的零点的个数为 (　　)A.5　　　    B.6　　　    C.7　　　    D.8
解析    因为f(x)=f(2-x)以及函数为偶函数,所以函数f(x)是周期为2的周期函数.根据x∈[-1,0]时, f(x)=1-x2,且函数f(x)是周期为2的周期函数,也是偶函数,作出 f(x)在区间[-5,5]上的图象,再作出函数g(x)= 的图象,如图所示,可得函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[-5,5]内的零点的个数为6.故选B.
根据条件可判断出函数f(x)为周期是2的周期函数,再结合奇偶性,周期性和解 析式作出图象,通过数形结合转化求解即可. 
典例6　若偶函数f(x)的图象关于x= 对称,当x∈ 时, f(x)=x,则函数g(x)=f(x)-lg20|x|在[-20,20]上的零点个数是 (　　)A.18　　　    B.26　　　    C.28　　　    D.30
解析　令h(x)=lg20|x|,则h(x)为偶函数且x≠0,因为f(x)是偶函数,所以g(x)是偶函数且x≠0,由g(x)=f(x)-lg20|x|=0,得f(x)=lg20|x|,当x>0时,h(x)=lg20x,因为偶函数f(x)的图象关于x= 对称,所以f(-x)=f(x)且f(x)=f(3-x),则f(3+x)=f[3-(3+x)]=f(-x)=f(x),即f(x)是T=3的周期函数,所以x= (k∈Z)为f(x)图象的对称轴,
又因为当x∈ 时, f(x)=x,所以f(20)=f(21-1)=f(-1)=f(1)=1=h(20),当x∈[0,20]时, f(x),h(x)在同一坐标系中的图象如图所示, 可知f(x)与h(x)在[0,20]上有13个交点,即g(x)在[0,20]上有13个零点,又因为g(x)是偶函数,所以g(x)在[-20,20]上共有26个零点.故选B. 
令h(x)=lg20|x|,根据函数f(x)、h(x)为偶函数,可判断g(x)为偶函数,进而判断出f(x)的周期为3,题目等价于f(x)的图象与h(x)的图象的交点个数,画出[0,20]上的 图象即可判断出总零点个数. 典例7　已知f(x)是在R上的奇函数,满足f(x)=f(2-x),当x∈[0,1]时,函数f(x)=2x- 1,函数g(x)=f(x)-lgax(a>1)恰有3个零点,则a的取值范围是 (　　)A.(1,3)　　　    B.(3,5)　　　    C.(1,5)　　　    D.(5,9)
解析     f(x)是在R上的奇函数,满足f(x)=f(2-x),所以函数关于x=1对称, f(x)= -f(x-2),所以f(x+4)=f(x),即函数f(x)的周期为4,当x∈[0,1]时,函数f(x)=2x-1,所以 函数f(x)的图象如图所示,当a>1时,函数g(x)=f(x)-lgax恰有3个零点,就是方程f(x)=lgax解的个数为3,即y=f(x)的图象与y=lgax的图象有3个交点,结合图象得 解得a∈(5,9).故选D.
利用函数的奇偶性以及函数的对称性,画出函数的图象,通过数形结合转化求 解即可.
1.(2020贵州毕节模拟)函数f(x)满足3f(x)·f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y∈R),且f(1)= ,则f(2 020)= (　　)A. 　　　    B.- 　　　    C.- 　　　    D. 
解析    令x=n,y=1,得3f(n)·f(1)=f(n+1)+f(n-1),即f(n)=f(n+1)+f(n-1),∴f(n+1)=f(n+2)+f(n),∴f(n+2)=-f(n-1),∴f(n)=-f(n-3)=f(n-6)∴函数f(x)是周期函数,周期T=6,故f(2 020)=f(6×336+4)=f(4).又3f(x)·f(y)=f(x+y)+f(x-y),令x=1,y=0,得3f(1)·f(0)=f(1)+f(1)= ,∴f(0)= ,令x=y=1,得3[f(1)]2=f(2)+f(0),
则f(2)=- ,令x=2,y=1,得3f(2)·f(1)=f(3)+f(1),解得f(3)=- ,令x=3,y=1,得3f(3)·f(1)=f(4)+f(2),解得f(4)=- ,∴f(2 020)=- .故选C.
2.(2020安徽黄山期末)设函数f(x)是定义在R上的周期为2的周期函数,对任意 的实数x, f(x)-f(-x)=0恒成立,当x∈[-1,0]时, f(x)=x2,若g(x)=f(x)-lga(|x|+1)在R上 有且仅有五个零点,则a的取值范围为 (　　)A.[3,5]　　　    B.[2,4]　　　    C.(3,5)　　　    D.(2,4)