高考数学(文数)一轮复习课时练习：8.4《直线与圆、圆与圆的位置关系》(教师版)

课时规范练

A组　基础对点练

1．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是(　　)

A．相切　　　　　　　 B．相交

C．相离  D．不确定

解析：由点M在圆外，得a2＋b2>1，∴圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝<1＝r，则直线与圆O相交，选B.

答案：B

2．过点(－2,3)的直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＝0相交于A，B两点，则|AB|取得最小值时l的方程为(　　)

A．x－y＋5＝0  B．x＋y－1＝0

C．x－y－5＝0  D．2x＋y＋1＝0

解析：由题意得圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，则圆心C(－1,2)．过圆心与点(－2,3)的直线l1的斜率为k＝＝－1.当直线l与l1垂直时，|AB|取得最小值，故直线l的斜率为1，所以直线l的方程为y－3＝x－(－2)，即x－y＋5＝0.

答案：A

3．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为(　　)

A．6－2  B．5－4

C.－1  D.

解析：圆C1关于x轴对称的圆C1′的圆心为C1′(2，－3)，半径不变，圆C2的圆心为(3,4)，半径r＝3，|PM|＋|PN|的最小值为圆C1′和圆C2的圆心距减去两圆的半径，所以|PM|＋|PN|的最小值为－1－3＝5－4.故选B.

答案：B

4．圆心在直线x－y－4＝0上，且经过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交点的圆的方程为(　　)

A．x2＋y2－x＋7y－32＝0

B．x2＋y2－x＋7y－16＝0

C．x2＋y2－4x＋4y＋9＝0

D．x2＋y2－4x＋4y－8＝0

解析：设经过两圆的交点的圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0，即x2＋y2＋x＋y－＝0，其圆心坐标为，又圆心在直线x－y－4＝0上，所以－＋－4＝0，解得λ＝－7，故所求圆的方程为x2＋y2－x＋7y－32＝0.

答案：A

5．已知圆O：x2＋y2＝4上到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点恰有3个，则实数a的值为(　　)

A．2  B.

C．－或  D．－2或2

解析：因为圆上到直线l的距离等于1的点恰好有3个，所以圆心到直线l的距离d＝1，

即d＝＝1，解得a＝±.故选C.

答案：C

6．在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为________．

解析：已知圆的圆心为(2，－1)，半径r＝2.

圆心到直线的距离d＝＝，

所以弦长为2＝2 ＝.

答案：

7．若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________．

解析：因为点(1,0)关于直线y＝x对称的点的坐标为(0,1)，所以所求圆的圆心为(0,1)，半径为1，于是圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1.

答案：x2＋(y－1)2＝1

8．在平面直角坐标系xOy中，以点(2,1)为圆心且与直线mx＋y－2m＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．

解析：直线mx＋y－2m＝0过定点(2,0)，则以点(2,1)为圆心且与直线mx＋y－2m＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的半径为1，

∴半径最大的圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.

答案：(x－2)2＋(y－1)2＝1

9．已知矩形ABCD的对角线交于点P(2,0)，边AB所在的直线方程为x＋y－2＝0，点(－1,1)在边AD所在的直线上．

(1)求矩形ABCD的外接圆方程；

(2)已知直线l：(1－2k)x＋(1＋k)y－5＋4k＝0(k∈R)，求证：直线l与矩形ABCD的外接圆相交，并求最短弦长．

解析：(1)依题意得AB⊥AD，∵kAB＝－1，

∴kAD＝1，

∴直线AD的方程为y－1＝x＋1，即y＝x＋2.

解得即A(0,2)．

矩形ABCD的外接圆是以P(2,0)为圆心，

|AP|＝2为半径的圆，方程为(x－2)2＋y2＝8.

(2)直线l的方程可整理为(x＋y－5)＋k(y－2x＋4)＝0，k∈R，

∴解得

∴直线l过定点M(3,2)．

又∵点M(3,2)在圆内，

∴直线l与圆相交．

∵圆心P与定点M的距离d＝，

最短弦长为2＝2.

10．已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，m为何值时，

(1)圆C1与圆C2外切；

(2)圆C1与圆C2内含．

解析：对于圆C1与圆C2的方程，经配方后得

C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9；

C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4.

(1)如果圆C1与圆C2外切，则有

＝3＋2，

(m＋1)2＋(－2－m)2＝25，

m2＋3m－10＝0，解得m＝－5或m＝2.

所以当m＝－5或m＝2时，圆C1与圆C2外切．

(2)如果圆C1与圆C2内含，则有

<3－2.

(m＋1)2＋(－2－m)2<1，

m2＋3m＋2<0，

解得－2<m<－1，

所以当－2<m<－1时，圆C1与圆C2内含．

B组　能力提升练

1．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是(　　)

A．[－3，－1]  B．[－1,3]

C．[－3,1]  D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)

解析：欲使直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，只需使圆心到直线的距离小于等于圆的半径即可，即≤，化简得|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.

答案：C

2．已知⊙M的圆心在抛物线x2＝4y上，且⊙M与y轴及抛物线的准线都相切，则⊙M的方程是(　　)

A．x2＋y2±4x－2y＋1＝0

B．x2＋y2±4x－2y－1＝0

C．x2＋y2±4x－2y＋4＝0

D．x2＋y2±4x－2y－4＝0

解析：抛物线x2＝4y的准线为y＝－1，设圆心M的坐标为(x0，y0)(y0>0)，则|x0|＝y0＋1，又x＝4y0，所以联立解得因此圆M的方程为(x±2)2＋(y－1)2＝22，展开整理得x2＋y2±4x－2y＋1＝0，故选A.

答案：A

3．已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1) 2＝1的位置关系是(　　)

A．内切　　　　　　 B．相交

C．外切  D．相离

解析：由题知圆M：x2＋(y－a)2＝a2，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝，所以2 ＝2，解得a＝2.圆M，圆N的圆心距|MN|＝，两圆半径之差为1，故两圆相交．

答案：B

4．已知圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，若a，b∈R且ab≠0，则＋的最小值为(　　)

A．2  B．4

C．8  D．9

解析：圆C1的标准方程为(x＋2a)2＋y2＝4，其圆心为(－2a,0)，半径为2；圆C2的标准方程为x2＋(y－b)2＝1，其圆心为(0，b)，半径为1.因为圆C1和圆C2只有一条公切线，所以圆C1与圆C2相内切，所以＝2－1，得4a2＋b2＝1，所以＋＝(4a2＋b2)＝5＋＋≥5＋

2 ＝9，当且仅当＝，且4a2＋b2＝1，即a2＝，b2＝时等号成立．所以＋的最小值为9.

答案：D

5．过点M(1,2)的直线l与圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝25交于A，B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程是________．

解析：验证得M(1,2)在圆内，当∠ACB最小时，直线l与CM垂直，又圆心为(3,4)，则kCM＝＝1，则kl＝－1，故直线l的方程为y－2＝－(x－1)，整理得x＋y－3＝0.

答案：x＋y－3＝0

6．圆x2＋y2＋2y－3＝0被直线x＋y－k＝0分成两段圆弧，且较短弧长与较长弧长之比为1∶3，求k值．

解析：由题意知，圆的标准方程为x2＋(y＋1)2＝4.较短弧所对圆心角是90°，所以圆心(0，－1)到直线x＋y－k＝0的距离为r＝.即＝，解得k＝1或－3.

7．已知方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0.

(1)若此方程表示圆，求实数m的取值范围；

(2)若(1)中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M，N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m的值；

(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程．

解析：(1)由D2＋E2－4F>0得(－2)2＋(－4)2－4m>0，解得m<5.

(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由x＋2y－4＝0得x＝4－2y；将x＝4－2y代入x2＋y2－2x－4y＋m＝0得5y2－16y＋8＋m＝0，∴y1＋y2＝，y1y2＝.

∵OM⊥ON，∴·＝－1，即x1x2＋y1y2＝0.

∵x1x2＝(4－2y1)(4－2y2)＝16－8 (y1＋y2)＋4y1y2，

∴x1x2＋y1y2＝16－8(y1＋y2)＋5y1y2＝0，即(8＋m)－8×＋16＝0，解得m＝.

(3)设圆心C的坐标为(a，b)，则a＝(x1＋x2)＝，b＝(y1＋y2)＝，半径r＝|OC|＝，

∴所求圆的方程为2＋2＝.