高考数学(理数)一轮精品复习：第5章《数列》讲与练(43页学生版)

这是一份高考数学(理数)一轮精品复习：第5章《数列》讲与练(43页学生版)，共43页。试卷主要包含了数列的通项公式；　2等内容，欢迎下载使用。

第五章 数列
第一节　数列的概念与简单表示
本节主要包括2个知识点：　1.数列的通项公式；　2.数列的性质.
突破点(一)　数列的通项公式　


1．数列的定义
按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第一项(通常也叫做首项)．
2．数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
3．数列的递推公式
如果已知数列{an}的第一项(或前几项)，且任何一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，即an＝f(an－1)(或an＝f(an－1，an－2)等)，那么这个式子叫做数列{an}的递推公式．
4．Sn与an的关系
已知数列{an}的前n项和为Sn，则an＝这个关系式对任意数列均成立．

1．判断题
(1)所有数列的第n项都能使用公式表达．(　　)
(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．(　　)
(3)若已知数列{an}的递推公式为an＋1＝，且a2＝1，则可以写出数列{an}的任何一项．(　　)
(4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(　　)
2．填空题
(1)已知数列{an}的前4项为1,3,7,15，则数列{an}的一个通项公式为________．
(2)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，则a2＝________.
(3)已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＝n2＋1，则数列{an}的通项公式是________________．




利用数列的前几项求通项
给出数列的前几项求通项时，需要注意观察数列中各项与其序号之间的关系，在所给数列的前几项中，先看看哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号间的关系．
[例1]　(1)数列1，－4,9，－16,25，…的一个通项公式是(　　)
A．an＝n2 B．an＝(－1)nn2
C．an＝(－1)n＋1n2 D．an＝(－1)n(n＋1)2
(2)把1,3,6,10,15，…，这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的圆点可以排成一个正三角形(如图所示)．

则第7个三角形数是(　　)
A．27 B．28
C．29 D．30

[方法技巧]
由数列的前几项求通项公式的思路方法
(1)分式形式的数列，分别求分子、分母的通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系．
(2)若第n项和第n＋1项正负交错，那么符号用(－1)n或(－1)n＋1或(－1)n－1来调控．
(3)对于较复杂数列的通项公式，其项与序号之间的关系不容易发现，这就需要将数列各项的结构形式加以变形，可使用添项、通分、分割等方法，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳．
[提醒]　根据数列的前几项写出数列的一个通项公式利用了不完全归纳法，其蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验．　
　







利用an与Sn的关系求通项
数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系为an＝通过纽带：an＝Sn－Sn－1(n≥2)，根据题目已知条件，消掉an或Sn，再利用特殊形式(累乘或累加)或通过构造成等差数列或者等比数列求解．
[例2]　已知数列{an}的前n项和为Sn.
(1)若Sn＝(－1)n＋1·n，求a5＋a6及an；
(2)若Sn＝3n＋2n＋1，求an.











[方法技巧]
已知Sn求an的三个步骤
(1)先利用a1＝S1求出a1.
(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式．
(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．　　


利用递推关系求通项
[例3]　(1)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋3n＋2，求数列{an}的通项公式．
(2)在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，求数列{an}的通项公式．
(3)在数列{an}中a1＝1，an＋1＝3an＋2，求数列{an}的通项公式．
(4)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，求数列{an}的通项公式．


[方法技巧]　　　典型的递推数列及处理方法
递推式
方法
示例
an＋1＝an＋f(n)
叠加法
a1＝1，an＋1＝an＋2n
an＋1＝anf(n)
叠乘法
a1＝1，＝2n
an＋1＝Aan＋B (A≠0,1，B≠0)
化为等比数列
a1＝1，an＋1＝2an＋1
an＋1＝
(A，B，C为常数)
化为等差数列
a1＝1，an＋1＝


1.在数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55，…中，x的值为(　　)
A．11 B．12
C．13 D．14
2.数列1，－，，－，…的一个通项公式是(　　)
A．an＝(－1)n＋1(n∈N*)
B．an＝(－1)n－1(n∈N*)
C．an＝(－1)n＋1(n∈N*)
D．an＝(－1)n－1(n∈N*)
3.已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2an－4，n∈N*，则an＝(　　)
A．2n＋1 B．2n
C．2n－1 D．2n－2
4.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an＝(　　)
A．2＋ln n B．2＋(n－1)ln n
C．2＋nln n D．1＋n＋ln n





突破点(二)　数列的性质　


数列的分类
分类标准
类型
满足条件
按项数分类
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
按项与项间的大小关系分类
递增数列
an＋1＞an
其中n∈N*
递减数列
an＋1＜an
常数列
an＋1＝an
按其他标准分类
有界数列
存在正数M，使|an|≤M
摆动数列
从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项


(1)已知函数f(x)＝，设an＝f(n)(n∈N*)，则{an}是________数列(填“递增”或“递减”)．
(2)数列{an}的通项公式为an＝－n2＋9n，则该数列第________项最大．
(3)现定义an＝5n＋n，其中n∈N*，则{an}是_______数列(填“递增”或“递减”)．
(4)对于数列{an}，“an＋1>|an|(n＝1,2，…)”是“{an}为递增数列”的____________条件．




数列的单调性
(1)数列的单调性与函数的单调性有所不同，其自变量的取值是不连续的，只能取正整数，所以在求数列中的最大(小)项时，应注意数列中的项可以是相同的，故不应漏掉等号．
(2)数列是自变量不连续的函数，不能对数列直接求导判断单调性．要先写出数列对应的函数，对函数进行求导，再将函数的单调性对应到数列中去．
[例1]　(1)已知数列{an}的通项公式为an＝nn，则数列{an}中的最大项为(　　)
A. B．
C. D．
(2)已知数列{an}的通项公式为an＝2n2＋tn＋1，若{an}是单调递增数列，则实数t的取值范围是(　　)
A．(－6，＋∞) B．(－∞，－6)
C．(－∞，－3) D．

[方法技巧]
1．判断数列单调性的两种方法
(1)作差比较法
an＋1－an>0⇔数列{an}是单调递增数列；an＋1－an<0⇔数列{an}是单调递减数列；an＋1－an＝0⇔数列{an}是常数列．
(2)作商比较法
an>0时
①>1⇔数列{an}是单调递增数列；
②<1⇔数列{an}是单调递减数列；
③＝1⇔数列{an}是常数列
an<0时
①>1⇔数列{an}是单调递减数列；
②<1⇔数列{an}是单调递增数列；
③＝1⇔数列{an}是常数列
2.求数列最大项或最小项的方法
(1)利用不等式组(n≥2)找到数列的最大项；
(2)利用不等式组(n≥2)找到数列的最小项．

数列的周期性
数列的周期性与函数的周期性相类似．求解数列的周期问题时，通常是求出数列的前n项观察规律．确定出数列的一个周期，然后再解决相应的问题．
[例2]　(1)已知数列{xn}满足xn＋2＝|xn＋1－xn|(n∈N*)，若x1＝1，x2＝a(a≤1，a≠0)，且xn＋3＝xn对于任意的正整数n均成立，则数列{xn}的前2 017项和S2 017＝(　　)
A．672 B．673
C．1 342 D．1 345
(2)数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，则a2 018＝(　　)
A．－2 B．－1
C．2 D．
[方法技巧]
周期数列的常见形式与解题方法
(1)周期数列的常见形式
①利用三角函数的周期性，即所给递推关系中含有三角函数；
②相邻多项之间的递推关系，如后一项是前两项的差；
③相邻两项的递推关系，等式中一侧含有分式，又较难变形构造出特殊数列．
(2)解决此类题目的一般方法
根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n项的和．　　


1.在数列{an}中，若对任意的n∈N*均有an＋an＋1＋an＋2为定值，且a1＝2，a9＝3，a98＝4，则数列{an}的前100项的和S100＝(　　)
A．132 B．299
C．68 D．99
2.已知数列，欲使它的前n项的乘积大于36，则n的最小值为(　　)
A．7 B．8
C．9 D．10
3.在数列{an}中，a1＝1，an＋1－an＝sin，记Sn为数列{an}的前n项和，则S2 018＝(　　)
A．0 B．2 018
C．1 010 D．1 009







[全国卷5年真题集中演练——明规律] 　　　　　　　　　　　　
1．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________.
2．数列 {an}满足 an＋1＝ , a8＝2，则a1 ＝________.
3．若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式是an＝________.
4．已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.
(1)求a2，a3；
(2)求{an}的通项公式．







[课时达标检测]
[小题对点练——点点落实]
对点练(一)　数列的通项公式
1．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，则是这个数列的(　　)
A．第6项 B．第7项
C．第8项 D．第9项
2．在数列{an}中，a1＝1，anan－1＝an－1＋(－1)n(n≥2，n∈N*)，则的值是(　　)
A. B． C. D．
3．数列{an}满足：a1＝1，且对任意的m，n∈N*，都有am＋n＝am＋an＋mn，则＋＋＋…＋＝(　　)
A. B．
C. D．




4．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝(　　)
A．2n－1 B．
C.n－1 D．n－1
5．在数列1,2，，，，…中2是这个数列的第________项．
6．已知数列{an}满足a1＝1，且an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则a3＝________，an＝________.
7．已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n＋1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________________．

对点练(二)　数列的性质
1．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)．则下列说法正确的是(　　)
A．这个数列的第10项为
B.是该数列中的项
C．数列中的各项都在区间内
D．数列{an}是单调递减数列
2．已知数列{an}中，a1＝，an＋1＝，则a2 018＝(　　)
A．－2 B．
C．－ D．3
3．已知数列{an}满足an＋1＝an－an－1(n≥2)，a1＝m，a2＝n，Sn为数列{an}的前n项和，则S2 017的值为(　　)
A．2 017n－m B．n－2 017m
C．m D．n
4．已知{an}中，an＝n2＋λn，且{an}是递增数列，则实数λ的取值范围是(　　)
A．(－2，＋∞) B．[－2，＋∞)
C．(－3，＋∞) D．[－3，＋∞)
5．数列{an}的通项为an＝(n∈N*)，若a5是{an}中的最大值，则a的取值范围是________．

[大题综合练——迁移贯通]
1．设数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn＝2Sn－n2，n∈N*.
(1)求a1的值；
(2)求数列{an}的通项公式．










2．已知Sn为正项数列{an}的前n项和，且满足Sn＝a＋an(n∈N*)．
(1)求a1，a2，a3，a4的值；
(2)求数列{an}的通项公式．







3．已知等比数列{an}是递增数列，a2a5＝32，a3＋a4＝12，又数列{bn}满足bn＝2log2an＋1，Sn是数列{bn}的前n项和．
(1)求Sn;
(2)若对任意n∈N*，都有≤成立，求正整数k的值．








第二节 等差数列及其前n项和
本节主要包括3个知识点：　
1.等差数列基本量的计算；
2.等差数列的基本性质及应用；
3.等差数列的判定与证明.
突破点(一)　等差数列基本量的计算　


1．等差数列的有关概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．
(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫做a，b的等差中项．
2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋d＝.

1．判断题
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　　)
(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　　)
(3)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．(　　)
(4)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．(　　)
2．填空题
(1)已知等差数列{an}，a5＝－20，a20＝－35，则an＝________.
(2)已知等差数列5,4，3，…，则该数列的第5项为________．
(3)等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6＝________.
(4)已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1＝6，a3＋a5＝0，则S6＝________.






等差数列基本量的计算

[典例]　(1)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为(　　)
A．1 B．2
C．4 D．8
(2)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均属章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知A，B，C，D，E五人分5钱，A，B两人所得与C，D，E三人所得相同，且A，B，C，D，E每人所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)．在这个问题中，E所得为(　　)
A.钱 B．钱
C.钱 D．钱
(3)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，S3＋S4＝S5.
①求数列{an}的通项公式；
②令bn＝(－1)n－1an，求数列{bn}的前2n项和T2n.









[方法技巧]
解决等差数列基本量计算问题的思路
(1)在等差数列{an}中，a1与d是最基本的两个量，一般可设出a1和d，利用等差数列的通项公式和前n项和公式列方程(组)求解即可．
(2)与等差数列有关的基本运算问题，主要围绕着通项公式an＝a1＋(n－1)d和前n项和公式Sn＝＝na1＋d，在两个公式中共涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，已知其中三个量，选用恰当的公式，利用方程(组)可求出剩余的两个量．


1．已知数列{an}是等差数列，a1＋a7＝－8，a2＝2，则数列{an}的公差d等于(　　)
A．－1 B．－2
C．－3 D．－4
2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则正整数m的值为________．
3．已知等差数列{an}的各项均为正数，其公差为2，a2a4＝4a3＋1.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求a1＋a3＋a9＋…＋a3n.











突破点(二)　等差数列的基本性质及应用　


等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(m∈N*)也是等差数列，公差为m2d.
(5)S2n－1＝(2n－1)an，S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)，遇见S奇，S偶时可分别运用性质及有关公式求解．
(6){an}，{bn}均为等差数列且其前n项和为Sn，Tn，则＝.
(7)若{an}是等差数列，则也是等差数列，其首项与{an}的首项相同，公差是{an}的公差的.

(1)在等差数列{an}中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a7＋a8＝________.
(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn，等差数列{bn}的前n项和为Tn，若＝，则＝________.
(3)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝10，S20＝30，则S30＝________.
(4)等差数列{an}中，已知a5>0，a4＋a7<0，则{an}的前n项和Sn的最大值为________．



等差数列的性质
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例1]　(1)已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m的值为(　　)
A．8 B．12
C．6 D．4
(2)在等差数列{an}中，2(a1＋a3＋a5)＋3(a8＋a10)＝36，则a6＝(　　)
A．8 B．6
C．4 D．3
(3)若等差数列{an}的前n项和Sn满足S4＝4，S6＝12，则S2＝(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．3
[方法技巧]
利用等差数列性质求解问题的注意点
(1)如果{an}为等差数列，m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．因此，若出现am－n，am，am＋n等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与am(或其他项)有关的条件；若求am项，可由am＝(am－n＋am＋n)转化为求am－n，am＋n或am＋n＋am－n的值．
(2)要注意等差数列通项公式及前n项和公式的灵活应用，如an＝am＋(n－m)d，d＝，S2n－1＝(2n－1)an，Sn＝＝(n，m∈N*)等．
[提醒]　一般地，am＋an≠am＋n，等号左、右两边必须是两项相加，当然也可以是am－n＋am＋n＝2am.　　



等差数列前n项和最值问题
等差数列的通项an及前n项和Sn均为n的函数，通常利用函数法或通项变号法解决等差数列前n项和Sn的最值问题．
[例2]　等差数列{an}的首项a1>0，设其前n项和为Sn，且S5＝S12，则当n为何值时，Sn有最大值？










[方法技巧]
求等差数列前n项和Sn最值的两种方法
(1)函数法
利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．
(2)通项变号法
①a1>0，d<0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm；
②当a1<0，d>0时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.　　


1.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝54，则a2＋a4＋a9＝(　　)
A．9 B．15
C．18 D．36
2.等差数列{an}的前n项和为Sn，若m>1，且am－1＋am＋1－a＝0，S2m－1＝38，则m等于(　　)
A．38 B．20
C．10 D．9

3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a4＋a7＋a10＝9，S14－S3＝77，则使Sn取得最小值时n的值为(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S13<0，S12>0，则在数列中绝对值最小的项为(　　)
A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项


突破点(三)　等差数列的判定与证明　


等差数列的判定与证明
[典例]已知数列{an}满足a1＝2，n(an＋1－n－1)＝(n＋1)(an＋n)(n∈N*)．
(1)求证数列是等差数列，并求其通项公式；
(2)设bn＝－15，求数列{|bn|}的前n项和Tn.






[方法技巧]　　等差数列的判定与证明方法
方法
解读
适合题型
定义法
对于数列{an}，an－an－1(n≥2，n∈N*)为同一常数⇔{an}是等差数列
解答题中的证明问题
等差中项法
2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立⇔{an}是等差数列
通项公式法
an＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列
选择、填空题中的判定问题
前n项和公式法
验证Sn＝An2＋Bn(A，B是常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列
[提醒]　判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a2－a1＝d这一关键条件．

1．如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且|AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|，An≠An＋2，n∈N*，|BnBn＋1|＝|Bn＋1Bn＋2|，Bn≠Bn＋2，n∈N*(P≠Q表示点P与Q不重合)．若dn＝|AnBn|，Sn为△AnBnBn＋1的面积，则(　　)
　　　　　
A．{Sn}是等差数列 B．{S}是等差数列
C．{dn}是等差数列 D．{d}是等差数列
2．若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝.
(1)求证：成等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．












[全国卷5年真题集中演练——明规律]　　　　　 　　　　　　　　　
1．等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为(　　)
A．－24 B．－3
C．3 D．8
2．已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝(　　)
A．100 B．99 C．98 D．97
3．等差数列{an}的前n项和为Sn ，已知S10＝0，S15＝25，则nSn 的最小值为________．



4．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．
(1)证明：an＋2－an＝λ；
(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．











[课时达标检测]
[小题对点练——点点落实]
对点练(一)　等差数列基本量的计算
1．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sn＋2－Sn＝36，则n＝(　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
2．在等差数列{an}中，a1＝0，公差d≠0，若am＝a1＋a2＋…＋a9，则m的值为(　　)
A．37 B．36
C．20 D．19
3．在数列{an}中，若a1＝2，且对任意正整数m，k，总有am＋k＝am＋ak，则{an}的前n项和Sn＝(　　)
A．n(3n－1) B．
C．n(n＋1) D．
4．在单调递增的等差数列{an}中，若a3＝1，a2a4＝，则a1＝(　　)
A．－1 B．0
C. D．



对点练(二)　等差数列的基本性质及应用
1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S9＝18，an－4＝30(n>9)，若Sn＝336，则n的值为(　　)
A．18 B．19
C．20 D．21
2．设数列{an}是公差d<0的等差数列，Sn为其前n项和，若S6＝5a1＋10d，则Sn取最大值时，n等于(　　)
A．5 B．6
C．5或6 D．6或7
3．设{an}是等差数列，d是其公差，Sn是其前n项和，且S5S8，则下列结论错误的是(　　)
A．d<0
B．a7＝0
C．S9>S5
D．当n＝6或n＝7时Sn取得最大值
4．在等差数列{an}中，a3＋a5＋a11＋a17＝4，且其前n项和为Sn，则S17为(　　)
A．20 B．17
C．42 D．84
5．已知数列{an}为等差数列，a3＝7，a1＋a7＝10，Sn为其前n项和，则使Sn取到最大值的n＝________.
6．一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则该数列的公差d＝________.
7．在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前 n项和为Sn ，当且仅当n＝8 时Sn 取得最大值，则d 的取值范围为________．



对点练(三)　等差数列的判定与证明
1．若{an}是公差为1的等差数列，则{a2n－1＋2a2n}是(　　)
A．公差为3的等差数列
B．公差为4的等差数列
C．公差为6的等差数列
D．公差为9的等差数列

2．若数列{an}满足－＝1，且a1＝5，则数列{an}的前200项中，能被 5整除的项数为(　　)
A．90 B．80
C．60 D．40
3．若数列{an}满足a1＝，－＝5(n∈N*)，则a10＝________.

[大题综合练——迁移贯通]
1．已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且a1＝2，S3＝12.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝an＋4n，求数列{bn}的前n项和Tn.










2．已知一次函数f(x)＝x＋8－2n.
(1)设函数y＝f(x)的图象与y轴交点的纵坐标构成数列{an}，求证：数列{an}是等差数列；
(2)设函数y＝f(x)的图象与y轴的交点到x轴的距离构成数列{bn}，求数列{bn}的前n项和Sn.











3．已知等差数列{an}的公差d>0.设{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S2·S3＝36.
(1)求d及Sn;
(2)求m，k(m，k∈N*)的值，使得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝65.









第三节 等比数列及其前n项和
本节主要包括3个知识点：　
1.等比数列基本量的计算；　2.等比数列的性质；　3.等比数列的判定与证明.

突破点(一)　等比数列基本量的计算　


1．等比数列的有关概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q.
(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab.
2．等比数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1qn－1.
(2)前n项和公式：Sn＝




1．判断题
(1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．(　　)
(2)G为a，b的等比中项⇔G2＝ab.(　　)
(3)若{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．(　　)
(4)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝.(　　)
2．填空题
(1)等比数列{an}中，a3＝12，a4＝18，则a6＝________.
(2)在等比数列{an}中，已知a1＝－1，a4＝64，则公比q＝________，S4＝________.
(3)设数列{an}是等比数列，前n项和为Sn，若S3＝3a3，则公比q＝________.
(4)在等比数列{an}中，若a1·a5＝16，a4＝8，则a6＝________.



等比数列基本量的计算
解决等比数列基本量计算问题的常用思想方法
(1)方程的思想：等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解．
(2)分类讨论的思想：等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝.

[典例]　(1)已知各项均为正数的等比数列{an}满足a1a5＝16，a2＝2，则公比q＝(　　)
A．4 B．
C．2 D．
(2)设数列{an}的前n项和Sn满足6Sn＋1＝9an(n∈N*)．
①求数列{an}的通项公式；
②若数列{bn}满足bn＝，求数列{bn}前n项和Tn.






1．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a3＝，a2＋a4＝，则＝(　　)
A．4n－1 B．4n－1
C．2n－1 D．2n－1
2．Sn是等比数列{an}的前n项和，若S4，S3，S5成等差数列，则{an}的公比q的值为(　　)
A. B．2
C．－ D．－2
3．若等比数列{an}的前n项和为Sn，且S2＝3，S6＝63，则S5＝(　　)
A．－33 B．15
C．31 D．－33或31
4．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且数列{Sn}是以2为公比的等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求a1＋a3＋…＋a2n＋1.






















突破点(二)　等比数列的性质　


(1)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N*.特别地，若2s＝p＋r，则apar＝a，其中p，s，r∈N*.对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝….
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*)．
(3)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}和(其中b，p，q是非零常数)也是等比数列．
(4)Sm＋n＝Sn＋qnSm＝Sm＋qmSn.
(5)当q≠－1或q＝－1且k为奇数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…是等比数列，其公比为qk.
(6)若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列．
(7)若数列{an}的项数为2n，S偶与S奇分别为偶数项与奇数项的和，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q.


(1)在等比数列{an}中，a3＝2，a7＝8，则a5＝________.
(2)在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则n＝________.
(3)在等比数列{an}中，若a7·a12＝5，则a8·a9·a10·a11＝________.
(4)已知等比数列{an}的各项均为正数，且a1＋2a2＝3，a＝4a3a7，则数列{an}的通项公式an＝________.












等比数列的性质
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[典例]　(1)(设Sn是等比数列{an}的前n项和，若＝3，则＝(　　)
A．2 B．
C. D．1或2
(2)设{an}是由正数组成的等比数列，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230，则a3·a6·a9·…·a30＝(　　)
A．210 B．220
C．216 D．215

[易错提醒]
(1)在等比数列{an}中，若am·an＝ap·aq(m，n，p，q∈N*)，则不一定有m＋n＝p＋q成立，如当数列{an}是非零常数列时，此结论不成立．
(2)当q＝－1且k为偶数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…不是等比数列．　　


1．已知各项不为0的等差数列{an}满足a6－a＋a8＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b2b8b11＝(　　)
A．1 B．2
C．4 D．8
2．在等比数列{an}中，若a4a5a6＝27，则a1a9＝(　　)
A．3 B．6
C．27 D．9
3．等比数列{an}的前n项和为Sn，若an>0，q>1，a3＋a5＝20，a2a6＝64，则S5＝(　　)
A．31 B．36 C．42 D．48
4．已知等比数列{an}的公比q>0，且a5·a7＝4a，a2＝1，则a1＝(　　)
A. B． C. D．2



突破点(三)　等比数列的判定与证明　


等比数列的判定与证明
　　等比数列的四种常用判定方法
定义法
若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列
中项
公式法
若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列
通项
公式法
若数列{an}的通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列
前n项和
公式法
若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列
　　　　　　　　　　　　　　　　　
[典例]已知Sn是数列{an}的前n项和，且满足Sn－2an＝n－4.
(1)证明：{Sn－n＋2}为等比数列；
(2)求数列{Sn}的前n项和Tn.














[易错提醒]
(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与中项公式法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．
(2)利用递推关系时要注意对n＝1时的情况进行验证．　　


1．设{an}是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai，ai＋1的矩形的面积(i＝1,2，…)，则{An}为等比数列的充要条件是(　　)
A．{an}是等比数列
B．a1，a3，…，a2n－1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列
C．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列
D．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同
2．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝4an－3(n∈N*)．
(1)证明：数列{an}是等比数列；
(2)若数列{bn}满足bn＋1＝an＋bn(n∈N*)，且b1＝2，求数列{bn}的通项公式．










　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[全国卷5年真题集中演练——明规律]
1．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯(　　)
A．1盏 B．3盏
C．5盏 D．9盏
2．已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝(　　)
A．21 B．42
C．63 D．84
3．等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S3 ＝ a2 ＋10a1 ，a5＝9，则a1＝(　　)
A. B．－ C. D．－

4．设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为________．

5．已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.
(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；
(2)若S5＝，求λ.









[课时达标检测]
[小题对点练——点点落实]
对点练(一)　等比数列基本量的计算
1．等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝2，S6＝18，则＝(　　)
A．－3 B．5
C．－31 D．33
2．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝a·3n－1＋b，则＝(　　)
A．－3 B．－1
C．1 D．3
3．在等比数列{an}中，a2a3a4＝8，a7＝8，则a1＝(　　)
A．1 B．±1
C．2 D．±2
4．已知在等比数列{an}中，a3＝2，a4a6＝16，则＝(　　)
A．2 B．4
C．8 D．16
5．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和为(　　)
A.或5 B．或5
C. D．
6．在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”意思是某人要走三百七十八里的路程，第一天脚步轻快有力，走了一段路程，第二天脚痛，走的路程是第一天的一半，以后每天走的路程都是前一天的一半，走了六天才走完这段路程．则下列说法错误的是(　　)
A．此人第二天走了九十六里路
B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里
C．此人第三天走的路程占全程的
D．此人后三天共走了四十二里路

对点练(二)　等比数列的性质
1．已知等比数列{an}中，a2＝2，a6＝8，则a3a4a5＝(　　)
A．±64 B．64
C．32 D．16
2．已知Sn是各项均为正数的等比数列{an}的前n项和，若a2·a4＝16，S3＝7，则a8＝(　　)
A．32 B．64
C．128 D．256
3．若项数为2m(m∈N*)的等比数列的中间两项正好是方程x2＋px＋q＝0的两个根，则此数列的各项积是(　　)
A．pm B．p2m
C．qm D．q2m
4．已知等比数列{an}共有10项，其中奇数项之积为2，偶数项之积为64，则其公比q为(　　)
A. B．
C．2 D．2
5．一个等比数列{an}的前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有(　　)
A．13项 B．12项
C．11项 D．10项

对点练(三)　等比数列的判定与证明
1．在数列{an}中，“an＝2an－1，n＝2,3,4，…”是“{an}是公比为2的等比数列”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．数列{an}中，a1＝p，an＋1＝qan＋d(n∈N*，p，q，d是常数)，则d＝0是数列{an}是等比数列的(　　)
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

[大题综合练——迁移贯通]
1．数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an(n∈N*)．
(1)证明数列是等比数列，并求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，若数列{bn}的前n项和是Tn，求证：Tn<2.









2．已知数列{an}满足a1＝5，a2＝5，an＋1＝an＋6an－1(n≥2)．
(1)求证：{an＋1＋2an}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．














3．设等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＋a2＋a3＝26，S6＝728.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求证：S－SnSn＋2＝4×3n.






第四节 数列的综合问题
本节主要包括2个知识点：　1.数列求和；　2.数列的综合应用问题.
突破点(一)　数列求和　


1．公式法与分组转化法
(1)公式法
直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和．
(2)分组转化法
若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和后相加减．
2．倒序相加法与并项求和法
(1)倒序相加法
如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式就是用此法推导的．
(2)并项求和法
在一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.
3．裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
4．错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用错位相减法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．

(1)数列1，3，5，7，…，(2n－1)＋，…的前n项和Sn的值等于________．
(2)数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，则S17＝________.
(3)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列的前100项和为________．
(4)若an＝2n－1，则数列的前n项和Sn＝________.




分组转化求和
　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例1]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S4＝24，S7＝63.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝2an＋an，求数列{bn}的前n项和Tn.












[方法技巧]
分组转化法求和的常见类型
(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组转化法求{an}的前n项和．
(2)通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组转化法求和．　　


错位相减求和
[例2]已知{an}为等差数列，前n项和为Sn(n∈N*)，{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4.
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)求数列{a2nb2n－1}的前n项和(n∈N*)．






















[方法技巧]
错位相减法求和的策略
(1)如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解．
(2)在写“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．
(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．　　


裂项相消求和
几种常见的裂项方式
数列(n为正整数)
裂项方式
(k为非零常数)
＝

＝

＝－
(a>0，a≠1)
loga＝loga(n＋1)－logan
[例3]已知数列是递增的等比数列，且a1＋a4＝9，a2a3＝8.
(1)求数列的通项公式；
(2)设Sn为数列{an}的前n项和，bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.















[方法技巧]
用裂项法求和的裂项原则及规律
(1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止．
(2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．　　

1.已知函数f(x)＝xa的图象过点(4,2)，令an＝，n∈N*.记数列{an}的前n项和为Sn，则S2 017＝(　　)
A.－1　　　 B．－1
C.－1 D．＋1
2.已知数列{an}中，a1＝a2＝1，an＋2＝则数列{an}的前20项和为(　　)
A．1 121 B．1 122
C．1 123 D．1 124
3.已知数列{an}，{bn}满足a1＝5，an＝2an－1＋3n－1(n≥2，n∈N*)，bn＝an－3n(n∈N*)．
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)求数列{an}的前n项和Sn.









4.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q>0，S2＝2a2－2，S3＝a4－2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求{bn}的前n项和Tn.










突破点(二)　数列的综合应用问题　
1.等差、等比数列相结合的问题是高考考查的重点，主要有：(1)综合考查等差数列与等比数列的定义、通项公式、前n项和公式、等差(比)中项、等差(比)数列的性质；(2)重点考查基本量(即“知三求二”，解方程(组))的计算以及灵活运用等差、等比数列的性质解决问题.
2.数列与函数的特殊关系，决定了数列与函数交汇命题的自然性，是高考命题的易考点，主要考查方式有：(1)以数列为载体，考查函数解析式的求法，或者利用函数解析式给出数列的递推关系来求数列的通项公式或前n项和；(2)根据数列是一种特殊的函数这一特点命题，考查利用函数的性质来研究数列的单调性、最值等问题.
3.数列与不等式的综合问题是高考考查的热点.考查方式主要有三种：(1)判断数列问题中的一些不等关系，如比较数列中的项的大小关系等.(2)以数列为载体，考查不等式的恒成立问题，求不等式中的参数的取值范围等.(3)考查与数列问题有关的不等式的证明问题.



等差数列与等比数列的综合问题
　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例1]已知等比数列{an}满足an>0，a1a2a3＝64，Sn为其前n项和，且2S1，S3,4S2成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝log2a1＋log2a2＋…＋log2an，求数列的前n项和Tn.






[方法技巧]
等差数列、等比数列综合问题的两大解题策略
(1)设置中间问题：分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序．
(2)注意解题细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的．
[提醒]　在不能使用同一公式进行计算的情况下要注意分类讨论，分类解决问题后还要注意结论的整合．　　

数列与函数的综合问题
[例2]　已知数列{an}满足a1＝1，anan＋1＝2n，n∈N*.
(1)若函数f(x)＝Asin(2x＋φ)(A>0,0<φ<π)在x＝处取得最大值a4＋1，求函数f(x)在区间上的值域；
(2)求数列{an}的通项公式．









[方法技巧]
数列与函数问题的解题技巧
(1)数列与函数的综合问题主要有以下两类：
①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般是利用函数的性质、图象研究数列问题；
②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．
(2)解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此掌握递推数列的常用解法有助于该类问题的解决．　　


数列与不等式的综合问题
[例3]已知数列{an}为等差数列，其中a2＋a3＝8，a5＝3a2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记bn＝，设{bn}的前n项和为Sn.求最小的正整数n，使得Sn>.








[方法技巧]
数列与不等式相结合问题的处理方法
(1)如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等．
(2)如果是解不等式问题要使用不等式的各种不同解法，如列表法、因式分解法、穿根法等．
总之，解决这类问题，要把数列和不等式的知识巧妙结合起来，综合处理．　　


1.已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2an－a1，且a1，a2＋1，a3成等差数列，则a1＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
2.已知等差数列{an}的各项均为正数，a1＝1，且a3，a4＋，a11成等比数列．若p－q＝10，则ap－aq＝(　　)
A．14 B．15
C．16 D．17
3.已知数列{an}中，点(an，an＋1)在直线y＝x＋2上，且首项a1＝1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}中，b1＝a1，b2＝a2，数列{bn}的前n项和为Tn，请写出适合条件Tn≤Sn的所有n的值．
















4.已知函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)且f(1)＝.
(1)当n∈N*时，求f(n)的表达式；
(2)设an＝n·f(n)，n∈N*，求证：a1＋a2＋a3＋…＋an<2.

















[全国卷5年真题集中演练——明规律] 　　　　　　　　　　　　　　　
1．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20,21，再接下来的三项是20,21,22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是(　　)
A．440 B．330
C．220 D．110
2．设△AnBnCn的三边长分别为an，bn，cn，△AnBnCn的面积为Sn，n＝1,2,3，….若b1＞c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝，cn＋1＝，则(　　)
A．{Sn}为递减数列
B.{Sn}为递增数列
C．{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列
D．{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列

3．Sn为数列{an}的前n项和．已知an>0，a＋2an＝4Sn＋3.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和．










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[小题常考题点——准解快解]
1．已知数列{an}的通项公式为an＝5－n，其前n项和为Sn，将数列{an}的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{bn}的前3项，记{bn}的前n项和为Tn.若存在m∈N*，使对任意n∈N*，Sn≤Tm＋λ恒成立，则实数λ的取值范围是(　　)
A．[2，＋∞) B．(3，＋∞)
C．[3，＋∞) D．(2，＋∞)
2．已知数列{an}满足a1＝1，P(an，an＋1)(n∈N*)在直线x－y＋1＝0上，如果函数f(n)＝＋＋…＋(n∈N*，n≥2)，那么函数f(n)的最小值为(　　)
A. B．
C. D．
3．据统计测量，已知某养鱼场，第一年鱼的质量增长率为200%，以后每年的增长率为前一年的一半．若饲养5年后，鱼的质量预计为原来的t倍．下列选项中，与t值最接近的是(　　)
A．11 B．13
C．15 D．17



4．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：
第一步：构造数列1，，，，…，.①
第二步：将数列①的各项乘以，得到一个新数列a1，a2，a3，…，an.
则a1a2＋a2a3＋a3a4＋…＋an－1an＝(　　)
A. B．
C. D．
5．数列{an}满足a1＝，an＋1＝，若不等式＋＋…＋ A. B．
C. D．
6．已知数列{an}满足an＋2－an＋1＝an＋1－an，n∈N*，且a5＝，若函数f(x)＝sin 2x＋2cos2，记yn＝f(an)，则数列{yn}的前9项和为(　　)
A．0 B．－9
C．9 D．1
7．若f(x)＝xm＋ax的导函数为f′(x)＝2x＋1，则数列(n∈N*)的前n项和为(　　)
A. B．
C. D．
8．若数列{an＋1－an}是等比数列，且a1＝1，a2＝2，a3＝5，则an＝________.
9．已知Sn为数列{an}的前n项和，an＝2·3n－1(n∈N*)，若bn＝，则b1＋b2＋…＋bn＝________.

10．已知f(x)是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x，y∈R都有f(xy)＝xf(y)＋yf(x)成立，数列{an}满足an＝f(3n)(n∈N*)，且a1＝3，则数列{an}的通项公式an＝________.


[大题常考题点——稳解全解]
1．已知等比数列{an}的公比q>1，a1＝1，且2a2，a4,3a3成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记bn＝2nan，求数列{bn}的前n项和Tn.










2．已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1＋x2＝3，x3－x2＝2.
(1)求数列{xn}的通项公式；
(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1，1)，P2(x2,2)，…，Pn＋1(xn＋1，n＋1)得到折线P1P2…Pn＋1，求由该折线与直线y＝0，x＝x1，x＝xn＋1所围成的区域的面积Tn.


















3．在等比数列{an}中，an>0(n∈N*)，a1a3＝4，且a3＋1是a2和a4的等差中项，若bn＝log2an＋1.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)若数列{cn}满足cn＝an＋1＋，求数列{cn}的前n项和．












4．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝＋.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足bn＝an＋2－an＋，且数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn<2n＋.