专题21 函数与几何的综合问题的常见压轴题-【聚焦压轴】2022届中考数学压轴大题专项训练1

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专题21 函数与几何的综合问题的常见压轴题
1．（2021·北京海淀·清华附中九年级月考）在平面直角坐标系xOy中，对于图形M和点P，若图形M上存在两个点E、F，使得EP+FP＝2，则称点P为图形M的“距2点”．

设A（﹣4，0），B（4，0），⊙O的半径为r．
（1）①点P1（1，0），P2（0，1），P3（﹣1，﹣）中，是线段AB的“距2点”的是 　 　．
②若P4（3，4）是⊙O的“距2点”，求r的取值范围；
（2）设⊙M的半径为2，圆心M是x轴上的动点，C（﹣4，8）．若折线段AC﹣CB上存在点⊙M的“距2点”，直接写出圆心M横坐标的取值范围．
【答案】（1）①和；②；（2）或．
【解题思路分析】（1）①到和的距离之和是2，，到轴的距离是，从而得出结果；
②从，进而求得；
（2），，，，，，进而求得．
【解析】解：（1）①如图，

到和的距离之和是2，
是线段的“距2点”，
，
不是线段的“距2点”，
到轴的距离是，
是线段的“距2点”，
故答案是和；
②如图2，

，
，
即；
（2）如图3，

设圆心的横坐标为，
，，
，
，
，
，，
，
，
综上所述：圆心横坐标的取值范围是或．
2．（2021·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级期末）定义：若抛物线的图象恒过定点，则称为抛物线L的“不动点”．已知：若抛物线．

（1）求抛物线L的不动点坐标；
（2）如图1，已知平面直角坐标系中、、，以点B为圆心，为半径作⊙B，点P为⊙B上一点，将点C绕点P逆时针旋转得到点，当点P在⊙B上运动时，求线段长度的最大值；
（3）在（2）的条件下，若抛物线L的对称轴是直线﹔
①求抛物线L的解析式；
②如图2，若直线交抛物线L于点、，交y轴于点Q，平面内一点H坐标为，记，当点P在⊙B上运动时，求的取值范围．
【答案】（1）（0,1）和（2,3）；（2）；（3）①②
【解题思路分析】（1）将函数关系式变形即可得出当=0时，值不受影响，求出定点坐标即可；
（2）用相似三角形得出的轨迹，然后分析得出最大值即可；
（3）①利用对称轴公式求解出的值，即可得出函数关系式；②根据点到直线的距离求出的取值范围，用表示出即可求解出取值范围；
【解析】解：（1）
当=0时，值不受影响
解得，
当时，
当时，
∴恒过定点（0,1）和（2,3）
即抛物线L的不动点坐标是（0,1）和（2,3）
故答案为（0,1）和（2,3）
（2）如图所示，过点B作BQ⊥轴，使
在⊙B取一点，作

则是直角三角形
∵，
又∵
∴∽
∴
∴
∴点是以Q为圆心，为半径的圆，
如图所示，共线时，最大

，
∴，
故答案为；
（3）①
∵对称轴为
∴
∴
∴
故答案为
②∵过点
∴设函数关系式为，则
∴
∴


当与⊙B相切时，点到直线的距离为1
∴，解得
∴的取值范围是


当时，，，
当时，
令，则或

∵或
∴
∴
∴
∴
∴
即
综上所述
故答案为
3．（2021·浙江温州·九年级月考）如图，抛物线y＝ax2+bx（a＞0）过点E（8，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左侧），点C、D在抛物线上，∠BAD的平分线AM交BC于点M，点N是CD的中点，已知OA＝2，且OA：AD＝1：3．

（1）求抛物线的解析式；
（2）F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接M、N、G、F构成四边形MNGF，求四边形MNGF周长的最小值；
（3）在x轴下方且在抛物线上是否存在点P，使△ODP中OD边上的高为？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
【答案】（1）y＝x2﹣4x；（2）12；（3）存在，点P坐标为（6，﹣6）满足使△ODP中OD边上的高为
【解题思路分析】（1）由点在轴正半轴且点在线段上得到点在轴正半轴上，所以；由，且得．由于四边形为矩形，故有，所以点在第四象限，横坐标与的横坐标相同，进而得到点坐标．由抛物线经过点、，用待定系数法即求出其解析式．
（2）画出四边形，由于点、分别在轴、轴上运动，故可作点关于轴的对称点点，作点关于轴的对称点点，得、．易得当、、、在同一直线上时最小，故四边形周长最小值等于．根据矩形性质、抛物线线性质等条件求出点、、、坐标，即求得答案．
（3）因为可求，且已知中边上的高，故可求的面积．又因为的面积常规求法是过点作平行轴交直线于点，把拆分为与的和或差来计算，故存在等量关系．设点坐标为，用表示的长即列得方程．求得的值要讨论是否满足点在轴下方的条件．
【解析】解：（1）点在线段上，，，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
抛物线经过点、，
，
解得：，
抛物线的解析式为，
（2）如图1，作点关于轴的对称点点，作点关于轴的对称点点，连接、、，

，
抛物线对称轴为直线，
点、在抛物线上，且轴，，
，即点、关于直线对称，
，即，
，，
平分，，
，
，
，
点、关于轴对称，点在轴上，
，，
为中点，
，
点、关于轴对称，点在轴上，
，，
，
当、、、在同一直线上时，最小，
，
四边形周长最小值为．
（3）存在点，使中边上的高为．
过点作轴交直线于点，
，
，直线解析式为，
设点坐标为，，则点，
①如图2，

当时，点在点左侧，
，
···中边上的高，
·，
，
方程无解，
②如图3，

当时，点在点右侧，
，
-·-··-t
，
解得：（舍去），，
，
综上所述，点坐标为满足使中边上的高为．
4．（2021·重庆实验外国语学校九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A、B，交y轴于点C．
（1）求的面积；
（2）D为抛物线的顶点，连接，点P为抛物线上点C、D之间一点，连接，，过点P作交直线于点M，连接，求四边形面积的最大值以及此时P点的坐标：
（3）将抛物线沿射线方向平移个单位后得到新的抛物线），新抛物线与原抛物线的交点为E，在原抛物线上是否存在点Q，使得以B，E，Q为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标：若不存在，请说明理由．

【答案】（1）3；（2）最大，；（3）存在，或或或
【解题思路分析】（1）求出点A、B、C的坐标，即可求出AB、OC的长度，从而求出△ABC面积；
（2）设CD与x轴交于F，连接BP、过P作y轴平行线，交CD于G，交BD延长线于H，先求出S△BCD=，设P（t，），则G（t，−t+2），H（t，t−3），求出S四边形CPDB，由PM∥BD，得S△MDB=S△PDB，从而S四边形CPDM，当t=2时，S四边形CPDM最大=4，此时P（2，1）；
（3）由OC=2，OB=4，可得BC=，抛物线沿射线BC方向平移，即向左平移6个单位，向上平移3个单位，可求出新抛物线，然后可以求出点E，设Q（m，），则BE2=50，BQ2=（m4）2+（）2，EQ2=（m+1）2+（）2，直角三角形按直角分类，利用勾股定理逆定理列方程即可求出点Q坐标．
【解析】解：（1）当时，，
∴
当时，，
解得：，，
∴，
；
（2）设CD与x轴交于F，连接BP、过P作y轴平行线，交CD于G，交BD延长线于H，如图：

∵，
∴顶点D（，），
∵C（0，2），B（4，0），
∴直线CD解析式为，直线BD解析式为，
在中，令y=0得x=，
∴F（，0），
∴BF=，
∴S△BCD=BF•|yC-yD|=××（2+）=，
设P（t， ），则G（t，−），H（t，），
∴GP=，PH=
∴S△CPD=GP•|xD-xC|=××()＝；
S△PDB=PH•|xB-xD|=××()=；
∴S四边形CPDB=S△CPD+S△BCD=，
∵PM//BD，
∴S△MDB=S△PDB，
∴S△MDB=，
∴S四边形CPDM=S四边形CPDB-S△MDB=（）（）
=t2+4t=（t2）2+4，
∴当t=2时，S四边形CPDM最大=4，
此时P（2，1）；
（3）存在，理由如下：
∵OC=2，OB=4，
∴BC=，
抛物线沿射线BC方向平移，相当于抛物线向左平移6个单位，向上平移3个单位，
∵，
∴新抛物线解析式为：，
联立解析式得：

解得：，
∴交点E（-1，5），
设Q（m，），则BE2=50，BQ2=（m-4）2+（）2，EQ2=（m+1）2+（）2，
①当BQ为斜边，即∠QEB=90°时，如图：

∵BE2+EQ2=BQ2，
∴50+（m+1）2+（）2=（m-4）2+（）2，
∴50+（m+1）2-（m-4）2=（）2-（）2，
∴50+10m-15=（m2-5m-1）×5，
解得：m=8或m=-1（舍去），
∴Q（8，14）；
②BE为斜边，即∠BQE=90°时，如图：

∵QE2+BQ2=BE2，
∴（m-4）2+（）2+（m+1）2+（）2=50，
∴（m+1）（m-4）（m-2）（m-5）=0，
解得：m=-1（与E重合，舍去）或m=4（与B重合，舍去）或m=2或m=5，
∴Q（2，-2）或Q（5，2）；
③QE为斜边，即∠QBE=90°，如图：

∵BQ2+BE2=QE2，
∴（m-4）2+（）2+50=（m+1）2+（）2，
解得：m=3或m=4（与B重合，舍去），
∴Q（3，-1），
综上所述：或或或．
5．（2021·重庆市育才中学九年级开学考试）如图1，在平面直角坐标系中，直线：（）与轴，轴，交于、两点，点是的中点且．

（1）求直线的解析式；
（2）如图2，若点是直线的一动点，当时，求点的坐标．
（3）若点为直线上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为菱形，若存在，请选择一个点坐标写出详细的推理过程，其余的点的坐标请直接写出；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）直线的解析式为；（2）或；（3）点的坐标为或或或．
【解题思路分析】（1）根据题意先求出B点的坐标，且C是BO的中点可求点C的坐标，根据BO=2AO求点A的坐标，然后利用待定系数法可求解；
（2）设出点M的坐标，以BC为边，表示△BCM的面积，寻求△ABM，△ABC，△BCM的面积关系，分类讨论即可求解；
（3）分AC是菱形的边和AC是菱形的对角线两种情况，利用图象的平移和中点坐标公式分别求解即可．
【解析】解：（1）∵直线：（）与轴，轴，交于、两点，
∴，即，
∵，
∴，即，
∵点是的中点，
∴，
设直线的解析式为，把点A、C的坐标代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为；
（2）由（1）可知：，
∵点是的中点，，
∴，，
设，
①当点M在点C的右侧时，如图所示：

∵，
∴，解得：，
∴；
②当点M在点C的左侧时，如图所示：

∵，
∴，解得：，
∴；
综上所述：当时，或；
（3）存在，理由如下：点A、C、B的坐标分别为，
∴把点A的坐标代入直线：得：，解得：，
∴直线：，
设点E的坐标为，点，
①当AC是菱形的边时，如图所示：

则点A向右平移2个单位向上平移2个单位得到点C，同样点E（F）向右平移2个单位向上平2个单位得到点F（E），
即，且或且，
即或，
解得：或或（此时点E和点A重合，故舍去），
∴点F的坐标为或或；
②当AC是菱形的对角线时，如图所示：

由中点坐标公式得：，且EC=CF，
∴由EC=CF得：，
联立并解得，
∴点F的坐标为；
综上所述：当以点、、、为顶点的四边形为菱形，则点F的坐标为或或或．
6．（2021·沈阳市第四十三中学九年级月考）如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣2，0）、B（4，0），与y轴交于点C，点P为线段AB上一动点（不与点B重合），连接PC、AC、BC，将△BPC沿直线BC翻折得到．△BP'C，P'C交拋物线的另一点为Q，连接QB．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求四边形QCOB面积的最大值；
（3）当CQ：QP'＝1：2时，点N为抛物线上一点，直线NQ交y轴于点M，
①若△NQP'的面积为△MQC面积的8倍，点N的坐标为　 　；
②在①的条件下，点D在直线NQ上，点E在x轴负半轴上，当△ADE∽△ABC时，点E的横坐标为　 　．

【答案】（1）；（2）12；（3）①，或；②
【解题思路分析】（1）运用待定系数法即可求出答案；
（2）过点作轴交于点，运用待定系数法求出直线的解析式为：，设，则，根据，再运用二次函数性质即可得出答案；
（3）①过点作轴于点，过点作轴于点，由，得，根据，可得，即可得出，，过点作轴于点，由，，得出答案；
②延长交轴于点，先证明，运用待定系数法求出直线，的解析式，从而求出交点的坐标，再运用，求出点的横坐标．
【解析】解：（1）抛物线经过点，，与轴交于点，
，
解得：，
此抛物线的表达式为：；
（2）过点作轴交于点，如图1，
在中，令，得，
，
设直线的解析式为：，
，，
，
解得：，
直线的解析式为：，
交抛物线的另一点为，
设，则，
，
，
，
有最大值，且当时，的最大值；


（3）①如图2，过点作轴于点，过点作轴于点，

，，
，
由翻折得：，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
即，
当时，，
，，
过点作轴于点，
，，
，
，
，
，
，
当时，，
，；
如图3，过点作轴于点，过点作轴于点，

，，
，
，，
，
，
，
，
，
当时，，
，
综上所述，点的坐标为，或；
故答案为：，或；
②当，时，点在直线上，在的负半轴上不存在点，使；
当时，如图4，延长交轴于点，

，
，，
在和中，
，
，
，
，
设直线解析式为，
，，
，
解得：，
直线解析式为，
同理，，，，
利用待定系数法得直线解析式为，
联立，解析式，得方程组，
解得：，
，，
，
，
，
，
，
点的横坐标为，
故答案为：．
7．（2021·北京市陈经纶中学分校九年级月考）对于给定的⊙M和点P，若存在边长为1的等边△PQR，满足点Q在⊙M上，且MP≥MR （规定当点R，M重合时，MR＝0），称点P为⊙M的“远圆点”．
（1）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为．
①在点A（，1），B（0，3），C（﹣，0），D（，），E（0，1﹣）中，⊙O的“远圆点”是　 　．
②已知直线l：y＝x+b（b＞0）分别交x轴，y轴于点F，G，且线段FG上存在⊙O的“远圆点“，直接写出b的取值范围．
（2）线段HI上的所有点都是以M （1，0）为圆心，以r为半径的⊙M的“远圆点“，已知H （﹣1，0），I（0，1），直接写出r的取值范围是　 　．
【答案】（1）①A，C，D；②；（2）
【解题思路分析】（1）①根据“远圆点”的定义即可作图，求出“远圆点”到圆心的距离范围，故可进行判断；
②找出满足条件的“远圆点”的分界点，即可求解；
（2）求出⊙M经过点时的半径，以及点是以为半径的⊙M的“远圆点”时半径的最大值，可得结论．
【解析】解：（1）①OA≥OG，OD=OI，OC≥OK，
可得：点A，C，D是⊙O的“远圆点”．


故答案为：A，C，D．
②如图，过点作于，交⊙O于，当点是⊙O的“远圆点”且，当是对应的等边三角形时，．

在中，，
，
，
如图，过点作，当，是⊙O的“关联三角形”时，四边形是菱形，此时，可得，

观察图像可知满足条件的的范围为：；
（2）如图中，当⊙M经过点时，线段上的所有的点是以为半径的⊙M的“远圆点”，此时．

如图中，当点是以为半径的⊙M的“远圆点”时，是等边三角形，边长为1，

连接交于，
，，
垂直平分线段，
，，，
，
观察图像可知，满足条件的半径的取值范围为：．
故答案为：．
8．（2021·重庆字水中学九年级三模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点C．
（1）求线段BC的长；
（2）点P为第三象限内抛物线上一点，连接BP，过点C作交x轴于点E，连接PE，求面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，以y轴为对称轴，将抛物线对称，对称后点P的对应点为点，点M为对称后的抛物线对称轴上一点，N为平面内一点，是否存在以点A、、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点N的坐标，若不存在，则请说明理由．

【答案】（1）（2）面积的最大值为4；此时P的坐标为．（3）或．
【解题思路分析】（1）由抛物线表达式，求出点B的坐标，当时求出点C的坐标，然后根据勾股定理即可求出BC的长度．
（2）由把的面积转化为△BPC的面积，作PF∥y轴交BC于点F，交x轴于点H，根据点B和点C的坐标求出BC所在直线的表达式，然后设出点P和F的坐标，表示出△BPC的面积，根据二次函数的最值求解即可．
（3）分A是菱形的边长或对角线时两种情况讨论，首先根据点A和点的坐标求出A的长度，然后设出点M的坐标，根据菱形的临边相等列出方程求出点M的坐标，最后根据菱形对角线互相平分，利用中点坐标公式列出方程即可求出点N的坐标．
【解析】（1）∵抛物线交x轴于点A、B，
∴当y=0时，即，
整理得：，
解得：．
∴A点坐标为，B点坐标为．
∴OB=4．
当时，y=-2，
∴C点坐标为，
∴OC=2．
∴．
（2）如图所示，连接PC，作PF∥y轴交BC于点F，交x轴于点H．

∵，
∴△BPE和△BPC是同底等高的三角形，
∴，
∴求△BPE面积的最大值即求△BPC面积的最大值．
∵B，C，
∴设BC所在直线表达式为，
将B，C两点代入得：，
解得：．
∴BC所在直线表达式为．
∴设P点坐标为，F点坐标为，
∴．
∴，
即，
∴面积的最大值为4，
将m=-2代入得，
∴此时P点坐标为．
（3）∵抛物线表达式为，
∴对称轴，
∵以y轴为对称轴，将抛物线对称，
∴对称后的抛物线的对称轴．
∵对称后点P的对应点为点，点P的坐标为，
∴点的坐标为，
又∵A点坐标为，
∴．
设M点坐标为，
∴．
分两种情况，①当A是菱形的边长时，如图所示，

∵四边形AMNP是菱形，
∴，
∴，
解得：，
∴，．
∵四边形AMNP是菱形，
∴对角线AN和互相平分，
∴根据平面直角坐标系中中点坐标公式可得：，
代入可得：或，
解得：，，，
∴，．
②当A是菱形的对角线时，如图所示，

∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
解得：．
∴，
又∵，
∴此时M点在线段上，以点A、、M、N为顶点构不成菱形，
故此种情况不存在．
综上所述，N点的坐标为或．
9．（2021·哈尔滨德强学校九年级月考）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线交x轴的负半轴于点A，交x轴的正半轴点B，交y轴的正半轴于点C，且OB＝2OC．
（1）求a的值；
（2）如图1，点D、P分别在一、三象限的抛物线上，其中点P的横坐标为t，连接BP，交y轴于点E，连接CD、DE，设△CDE的面积为s，若，求点D的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，射线AE与射线FB交于点G，连接AP，若∠AGB＝2∠APB，求点P的坐标．

【答案】（1）；（2）；（3）
【解题思路分析】（1）根据已知条件求得点坐标，进而求得的长，将解析式变形为，进而求得的坐标，求得的长，根据，即可求得的值，进而求得解析式；
（2）根据已知二次函数解析式，由已知条件可得点P的横坐标为t，则设的横坐标为，设直线的解析式为，根据的坐标，的坐标，求得直线解析，进而求得点的坐标，求得△CDE的面积，根据已知条件，进而求得的横坐标，将横坐标代入二次函数解析式，即可求得的坐标；
（3）连接，过作轴与，根据已知条件求得是等腰直角三角形，根据旋转证明，延长至，使得，连接，证明，是等腰直角三角形，根据已知条件∠AGB＝2∠APB可推出，过点引坐标的两条垂线，垂足为，作直线关于轴对称的直线，交于点,过点作，证明，根据，根据（2）的结论，求得的坐标，进而求得根据的坐标和的坐标，求得列出比例式，解方程即可求得的值，进而求得的坐标．
【解析】（1）抛物线交x轴的负半轴于点A，交x轴的正半轴点B，交y轴的正半轴于点C，且，
令，则，则，
，
由，
则,，
，
，
即，
解得，
（2），
，
点P的横坐标为t，则，,，，
设的横坐标为，
设直线的解析式为，
则
解得
，
，
，
设△CDE的面积为s，
则，
，
，
解得，
，
将代入，
，
（3）如图，连接，过作轴与

,，,,,
,
，
是等腰直角三角形

将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，
,



,

延长至，使得，连接，
，

在与中


，，



即
是等腰直角三角形







过点引坐标的两条垂线，垂足为，作直线关于轴对称的直线，交于点,过点作，设关于轴对称的点为，


设，则，，
轴，是等腰直角三角形，


，

，轴，
，的横坐标为1，
直线的解析式为
令
解得




，


，，
，，
，
即，
整理得，
解得，
，
，
将代入，
．
10．（2021·湖南长沙·明德华兴中学九年级开学考试）已知抛物线上有不同的两点E（3，k）和F（，k）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，抛物线与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B，M为AB的中点，∠PMQ在AB的同侧以M为中心旋转，且∠PMQ=45°，MP交y轴于点C，MQ交x轴于点D，设AD的长为m（），BC的长为n，求n和m之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当m，n为何值时，∠PMQ的边过点F．

【答案】（1）；（2）（）；（3）或
【解题思路分析】（1）根据题意由点E与点F的纵坐标相同可知抛物线的对称轴为x=1，由抛物线的对称轴方程可求得b=1，则可得出答案；
（2）根据题意令x=0可求得y=4，令y=0可求得x=-2或x=4，从得到点A（4，0）、B（0，4），M（2，2），然后证明∠B=∠A=45°，∠BCM=∠AMD，从而可证明△BCM∽△AMD，由相似三角形的性质可得到n与m的函数关系式；
（3）由题意将x=-1代入抛物线的解析式可求得点F的坐标，然后依据待定系数法可求得MF的解析式，当PM过点F时，可求出OC的长，从而求得n的值，当MQ过点F时，可求出OD的长，故此可求得n的值，然后由即可求得m的值．
【解析】解：（1）∵点E（3，k），点F（-1，k），
∴抛物线的对称轴方程为x=1．
∵，
∴．
解得：b=1．
∴抛物线的解析式为．
（2）∵抛物线的解析式为．
将x=0代入得：y=4，
∴点B的坐标为（0，4）．
令y=0得：，
∴x1=-2，x2=4．
∴点A（4，0）．
∵M是AB的中点，
∴点M的坐标为（2，2）．
∵OA=OB，∠BOA=90°，
∴∠B=∠A=45°．
∴∠BCM+∠BMC=135°，MB=MA=AB=．
∵∠PMQ=45°，
∴∠BMC+∠AMD=135°．
∴∠BCM=∠AMD．
∴△BCM∽△AMD．
∴，
即．
∴（）．
（3）将x=-1代入抛物线的解析式得：．
∴点F的坐标为．
设直线MF的解析式为y=k1x+b1．
将点M和点F的坐标代入得：，
解得：k1=，b1=．
∴直线MF的解析式为y=x+．
直线MF与x轴交于点（14，0），与y轴交于点（0，），
当MP经过点F时，OC=，
∴BC=4-=，
∴n1=，
∴m1=＝，
当MQ经过点F时．OD=14，
∴AD=10，
∴n2=，
∴m2==10．
综上所述或．
11．（2021·山东日照·中考真题）已知：抛物线经过，，三点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点为直线上方抛物线上任意一点，连、、，交直线于点，设，求当取最大值时点的坐标，并求此时的值；
（3）如图2，点为抛物线对称轴与轴的交点，点关于轴的对称点为点．
①求的周长及的值；
②点是轴负半轴上的点，且满足（为大于0的常数），求点的坐标．
【答案】（1）y=-x2+2x+3；（2）k=，P（，）；（3）①，；②（0，）或（0，）
【解题思路分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）如图1，过点作轴交直线于点，则，进而可得，再运用待定系数法求得直线的解析式为，设点，则，从而得出，再利用二次函数性质即可得出答案；
（3）①如图2，过点作于点，则，利用配方法求得抛物线对称轴为直线，得出，运用勾股定理即可求得的周长；再证明是等腰直角三角形，利用三角函数求得，，即可求得答案；
②设，则，根据，求得、，再利用，求得，根据，可得，化简得，解方程即可求得答案．
【解析】解：（1）抛物线经过，，，
设，将代入，得，
解得：，
，
抛物线的解析式为；
（2）如图1，过点作轴交直线于点，

，
，
，，
，
设直线的解析式为，
，，
，
解得：，
直线的解析式为，
设点，则，
，
，
当时，取得最大值，此时，，；
（3）①如图2，过点作于点，则，

，
抛物线对称轴为直线，
，
，，
点关于轴的对称点为点，
，
，
，
，
，
，
的周长；
在中，，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
；
②设，则，
，
，

，
，
，
，
，
，，
，
，即，
，
，
，
整理得，，
，，
，即，
当△，即时，
，
或．
12．（2021·哈尔滨市虹桥初级中学校九年级模拟预测）直线与x轴交于A，与y轴交于C点，直线BC的解析式为，与x轴交于B．
（1）如图1，求点A的横坐标；
（2）如图2，D为BC延长线上一点，过D作x轴垂线于点E，连接CE，若，设的面积为S，求S与k的函数关系式；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接OD交AC于点F，将沿CF翻折得到，直线FG交CE于点K，若，求点K的坐标．

【答案】（1）；（2）；（3）．
【解题思路分析】（1）令，求x；
（2）过点D作y轴的垂线，先证明，再由K型全等，得E点坐标，即可求出S与k的函数关系式；
（3）由等腰直角三角形和四点共圆把已知条件转化为简单的等量关系，得出，再利用垂直平分线性质构造，通过解直角三角形求出求出k的值，再求点K的坐标．
【解析】解：（1）∵直线与x轴交于A，与y轴交于C点，
∵当时，；当时，，得：，∴，，
∴点A的横坐标为．
（2）过点D作轴于点H，

∵，，
∴，
∴，
对直线BC：当时，，当时，，
∴，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即：，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
（3）连接AD，过AD的中点N作交DE于点M，连接AM，

（3）连接，过的中点作交于点，连接，
，，
，
在四边形中，，，
点、、、四点共圆，为圆的直径，点为圆心，
，
是的中垂线，
，
，
，
，
，
，
又，
，
即：，
在中，，
，
设，则：，
，
，
解得：，
，
，
，
，即：，
解得：，
，，，
直线的解析式为：，
直线的解析式为：，
直线的解析式为：，
由，解得：，
点，，
点和点关于点对称，
，
直线的解析式为：，
由，解得：，
点的坐标为．
13．（2021·四川巴中·中考真题）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A(﹣2，0)、B(6，0)两点，与y轴交于点C(0，﹣3)．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当最大时，求点P的坐标及的最大值；
（3）在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使是直角三角形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2），；（3）或或或
【解题思路分析】（1）将、、代入即可求解析式；
（2）过点作轴交直线于点，过作轴交直线于点，由，可得，则求的最大值即可；
（3）分三种情况讨论：当时，过点作轴，过点作轴，与交于点，过点作轴，与交于点，可证明，求出；当时，过点作轴交于点，可证明，求出；当时，线段的中点，设，由，可求或．
【解析】解：（1）将点、、代入，
得，
解得，
；
（2）如图1，过点作轴交直线于点，过作轴交直线于点，

，
，
设直线的解析式为，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
当时，有最大值，
；
（3），点在上，
如图2，当时，

过点作轴，过点作轴，与交于点，过点作轴，与交于点，
，，
，
，
，即，
，
；
如图3，当时，

过点作轴交于点，
，，
，
，
，即，
，
；
如图4，当时，

线段的中点，，
设，
，
，
或，
或；
综上所述：是直角三角形时，点坐标为或或或．
14．（2021·江苏姑苏·九年级二模）如图1，已知二次函数的图像经过点点和点，连接，线段上有一动点P，过点P作的平行线交直线于点D，交抛物线于点E．

（1）求二次函数的解析式；
（2）移动点P，求线段的最大值；
（3）如图2，过点E作y轴的平行线交于点F，连接，若以点C、D、P为顶点的三角形和是相似三角形，求此时点P坐标．
【答案】（1）二次函数的解析式为：；（2）ED最大值为；（3）点P坐标为（0，0）或（，0）．
【解题思路分析】（1）用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（2）先待定系数法求BC的函数解析式为：，过点E作EF∥y轴交BC于点F，过点D作DG⊥EF于点G，证明△DFG～△BCO，再证△EDG∽△CAO，则DG=3k，EG=6k，ED=，ED=EF，要线段DE的最大，只要求EF的最大值．设点E坐标为（e，），则点F坐标为（e，），然后表示出EF，结合最值的性质，即可得到答案；
（3）△CPD与△DEF中，已有∠CDP=∠EDF，分两种情况讨论：①△DPC∽△DEF，易得P与O重合，点P坐标为（0，0）；
②△DCP∽△DEF先求tan∠DCP=tan∠ACO=，过点B作BQ⊥CB交CP于点Q，过点Q作QM⊥BO于点M，在Rt△CBQ中．，证明△OCB∽△MBQ，求出点Q坐标为（2，），用待定系数法求直线CQ的解析式为：y=+2，当y=0时，x=，即得点P坐标为（，0）．
【解析】解：（1）把点A（-1，0）点B（3，0）和点C（0，2）代入二次函数y=ax2+bx+c，得，
，解得，，
∴二次函数的解析式为：；
（2）设BC的函数解析式为：y=mx+n，
把点C（0，2）和B（3，0）代入，得，
，
解得，，
∴BC的函数解析式为：，
过点E作EF∥y轴交BC于点F，过点D作DG⊥EF于点G，

∴∠GFD=∠BCO，
∵∠BOC=∠DGF，
∴△DFG～△BCO，
∴，
∵AC∥EP，DG∥AO，
∴∠GDE=∠OAC，
∵∠COA=∠EGD=90°，
∴△EDG∽△CAO，
∴，
设GF=2k，则DG=3k，EG=6k，
∴ED=，
∴ED=EF，
要线段DE的最大，只要求EF的最大值．
设点E坐标为（e，），则点F坐标为（e，），

∴EF=
=
=；
当时，EF最大=，
∴ED最大=EF=；
（3）∵△CPD与△DEF中，已有∠CDP=∠EDF，分两种情况讨论：
①△DPC∽△DEF，
∴点C与点F对应，∠PCD=∠EFD，
∴CP∥EF，即P与O重合，
∴点P坐标为（0，0）；
②△DCP∽△DEF，
∴点E与点C重合，
∴∠DEF=∠PCD，
∵∠DEF=∠ACO，
∴∠DCP=∠ACO，
∴tan∠DCP=tan∠ACO=；
过点B作BQ⊥CB交CP于点Q，过点Q作QM⊥BO于点M，

在Rt△CBQ中，，
∵∠CBO+∠MBQ=90°，∠CBO+∠OCB=90°，
∴∠MBQ=∠OCB，
∵∠COB=∠BMQ，
∴△OCB∽△MBQ，
∴，
∴BM=OC=1，MQ=BO=，
∴点Q坐标为（2，），
设CQ的关系为：
，
解得：，
∴直线CQ的解析式为：，
当y=0时，，
∴点P坐标为（，0），
综上，点P坐标为（0，0）或（，0）；
15．（2021·江苏工业园区·九年级月考）立志成为数学家的波波，根据黄金分割点的概念和勾股定理研究出如下定义：
如图1，点M，N在线段上，点M在点N的左侧，若线段，，满足，则称点M、N是线段的钻石分割点．

（1）（类比探究）如图2，D、E是、上两点，且，M、N是边的钻石分割点，连接、分别交于点G、H．求证：G、H是线段的钻石分割点．
（2）（知识迁移）如图3，点是反比例函数上的动点，直线与坐标轴分别交于A、B两点，过点P分别向x、y轴作垂线，垂足为C、D，且交线段于E、F．证明：E、F是线段的钻石分割点．
（3）（拓展应用）如图4，已知一次函数与坐标轴交于A、B两点，与二次函数交于C、D两点，若C、D是线段的钻石分割点，求m的值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【解题思路分析】（1）由DE∥AB证明△DCG∽△CAM，△CGH∽△CMN，△CHE∽△CNB，得到DG、GH、HE与AM、MN、NB之间的关系式，可证明DG2+HE2=GH2，从而证明G、H是线段DE的钻石分割点；
（2）可由直线y=-x+4与坐标轴分别交于A、B两点求出点A、B的坐标，用含a的代数式分别表示点P、E、F的坐标，再由两点的距离用含a的代数式分别表示AE2、FB2、EF2，证明AE2+FB2=EF2，从而证明E、F是线段AB的钻石分割点；
（3）由y=-2x+6与y=x2-4x+m联立成方程组并且解方程组，用含m的代数式分别表示点C、D的坐标，根据直线y=-2x+6与坐标轴交于A、B两点求出点A、B的坐标，由C、D是线段AB的钻石分割点列方程求m的值．
【解析】解：（1）证明：如图2，，
，，
，，
，
；
同理，
、是线段的钻石分割点，
，
，
、是线段的钻石分割点

（2）如图3，直线与坐标轴分别交于、两点，
，；
点在双曲线上，
，
，，，
，
，
，
，
，
、是线段的钻石分割点．

（3）如图4，直线与轴、轴分别交于、两点，
，；
由，得，整理，得，
直线与抛物线有两个交点，
△，
，
解得；
抛物线与轴的交点在点的上方，
，
的取值范围是；
解方程组，得，，
，，，，
、是线段的钻石分割点，
，
，
整理，得，
进一步整得，
解得，（不符合题意，舍去），
的值为．