浙江省温州市2021-2022学年高二上学期期末教学质量统一检测数学试题含解析

这是一份浙江省温州市2021-2022学年高二上学期期末教学质量统一检测数学试题含解析，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021学年第一学期温州市高二期末教学质量统一检测
数学试题（A卷）
选择题部分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出斜率，然后利用斜率与倾斜角的关系，得到倾斜角.
【详解】的斜率为-1，设倾斜角为，则，解得：.
故选：D
2. 已知空间向量，，，则（ ）
A. 4 B. -4 C. 0 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据空间向量平行求出x,y，进而求得答案.
【详解】因为，所以存在实数，使得，则.
故选：A.
3. 抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据抛物线方程和双曲线方程分别可知焦点坐标和渐近线方程，再利用点到直线的距离公式可得答案.
【详解】抛物线的焦点为， 双曲线的一条渐近线可设为，即，焦点到的距离为 .
故选：A.
4. 圆与的公共弦长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】已知两圆方程，可先让两圆方程作差，得到其公共弦的方程，然后再计算圆心到直线的距离，再结合勾股定理即可完成弦长的求解.
【详解】已知圆，圆，
两圆方程作差，得到其公共弦的方程为：：，
而圆心到直线的距离为，
圆的半径为，所以，所以.
故选：D.
5. 在等差数列中，为的前n项和，，，则无法判断正负的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据等差数列，，，可以求出，且，，，从而判断出，，的正负，选出正确答案.
【详解】设公差为，因为，，可知：，且，，所以，从而，不确定正负，，
故选：B
6. 四边形ABCD和ABEF都是正方形，且面面ABEF，M为线段AF上的点，当M从A向F运动时，点B到平面MEC的距离（ ）
A. 越来越大 B. 越来越小
C. 先增大再减小 D. 先减小再增大
【答案】A
【解析】
【分析】利用等体积法得出，设，利用余弦定理以及三角形的面积公式得出随着的增大，逐渐变小，进而得出点B到平面MEC的距离的变化.
【详解】设，，则，，，，，即，设点B到平面MEC的距离为，则，即，随着的增大，逐渐变小，则点B到平面MEC的距离越来越大.
故选：A

7. 如图，某绿色蔬菜种植基地在A处，要把此处生产的蔬菜沿道路或运送到形状为四边形区域的农贸市场中去，现要求在农贸市场中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路运送蔬菜较近，而另一侧的点沿道路运送蔬菜较近，则该界线所在曲线为（ ）

A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线
【答案】C
【解析】
【分析】设是界限上的一点，则，即，再根据双曲线的定义即可得出答案.
【详解】解：设是界限上的一点，
则，
所以，即，
在中，，
所以点的轨迹为双曲线，
即该界线所在曲线为双曲线.
故选：C.

8. 设椭圆的左、右焦点分别为，，P是椭圆上一点，，，则椭圆的离心率的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用椭圆的定义和余弦定理可表示出，从而可得，再利用换元法将转化为二次函数的形式，求出二次函数的最小值即可
【详解】设，令，则，，
所以，所以，
在中，，则由余弦定理得
，
所以，
所以，
令，由，可得，则
，
所以当，即时，取得最小值，
所以的最小值为
故选：A
二、选择题：本题共四小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 已知四面体，所有棱长均为2，点分别为棱的中点，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据异面直线的定义可判断A是错误的，BC选项为向量的数量积运算，关键是分解到合适的基向量来处理，D选项注意的两种不同的表达式的运用.
【详解】
平面，平面，且，由异面直线的定义可知，是异面直线，故A选项错误；
，于是，B选项正确；，
，C选项错误；
，注意到点分别为棱的中点，则，两式相加得，D选项正确.
故选：BD.
10. 函数的图象如图所示，则下列结论正确的有（ ）

A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】求出函数的导函数，根据函数的图像可知，将用表示，分析从而可得出答案.
【详解】解：，
由图可知，，
则，故C正确；
，，
两式相减得，即，
，则，
所以，则，所以，故AB正确；
则，故D错误.
故选：ABC.
11. 小明从家里到学校行走的路程S与时间t的函数关系表示如图，记t时刻的瞬时速度为，区间，，上的平均速度分别为，，，则下列判断正确的有（ ）

A.
B.
C. 对于，存在，使得
D. 整个过程小明行走的速度一直在加快
【答案】ABC
【解析】
【分析】可通过题意，分别表示出，，，再根据选项A、B进行比大小，即可确定；选项C可根据图像，曲线与直线的交点，即可判断，选项D，可以观察曲线在各点处的切线方程的斜率，即可判断.
【详解】由题意可知：，，，
有图像可知且，因此，而，所以，因此，此时，所以A选项正确；
由，可化为，故成立，选项B正确；
选项C，有图像可知，直线与曲线的交点为，故存在，使得，即当时，，故C选项正确；
选项D，t时刻瞬时速度为，判断平均速度的快慢，可以看整个曲线在各点处的切线方程的斜率，有图像可知，当时，切线方程的斜率最大，故而在此时，平均速度最快，因此，选项D不正确；
故选：ABC
12. 集合．记中的最大元素为，中的元素之和为，记集合A的元素个数为，则下列结论正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】求得，从而确定正确答案.
【详解】对于集合，元素如下：





的元素
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0.03125
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0
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0
0
1
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0
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1
0
0
0
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1
0
0
0
0
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0
0
0
1
1
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0
0
1
0
1
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0
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0
0
1
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1
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0
0
1
0.53125
0
0
1
1
0
0.1875
0
1
0
1
0
0.3125
1
0
0
1
0
0.5625
0
1
1
0
0
0.375
1
0
1
0
0
0.625
1
1
0
0
0
0.75
0
0
1
1
1
0.21875
0
1
0
1
1
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1
0
0
1
1
0.59375
0
1
1
0
1
0.40625
1
0
1
0
1
0.65625
1
1
0
0
1
078125
0
1
1
1
0
0.4375
1
0
1
1
0
0.6875
1
1
0
1
0
0.8125
1
1
1
0
0
0.875
0
1
1
1
1
0.46875
1
0
1
1
1
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1
1
0
1
1
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1
1
1
0
1
0.90625
1
1
1
1
0
0.9375
1
1
1
1
1
0.96875


所以，，，所以A错误，BC正确.
对于集合，元素如下：






的元素
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0.5
0
1
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0
0
0
0.25
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0
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0
0
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1
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0
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0
0
0
1
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0
0
0
1
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1
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0
0
0
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0
0
0.625
1
0
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1
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0
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0
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0
0
1
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0
1
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0
0
0
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1
0
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0
0
0.3125
0
1
0
0
1
0
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0
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0
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0
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0
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0.8125
1
1
0
0
1
0
0.78125
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0
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0
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1
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0
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1
0
0
1
1
0
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1
0
0
1
0
1
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0
0
0
1
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0
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0
0
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1
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0
1
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0
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0
0
1
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0
1
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1
1
0
0.34375
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1
0
1
0
1
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0
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0
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1
1
1
0
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1
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0
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0
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1
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1
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0
1
1
0
1
1
0.421875
0
1
1
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0
1
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0
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1
1
1
0
0.46875
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0
1
1
1
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1
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1
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1
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1
1
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1
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1
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1
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1
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1
0
0
1
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1
1
1
0
1
0
0.90625
1
1
1
1
0
0
0.9375
0
1
1
1
1
1
0.484375
1
0
1
1
1
1
0.734375
1
1
0
1
1
1
0.859375
1
1
1
0
1
1
0.921875
1
1
1
1
0
1
0.953125
1
1
1
1
1
0
0.96875
1
1
1
1
1
1
0.984375


所以，D选项正确.
故选：BCD
非选择题部分
三、填空题：本题共四小题，每小题5分，共20分．
13. 已知直线与直线平行，则实数______．
【答案】
【解析】
【分析】分类讨论，两种情况，结合直线平行的知识得出实数.
【详解】当时，直线与直线垂直；
当时，，则且，解得.
故答案为：
14. 写出一个具有下列性质①②的数列的通项公式______，①；②单调递增．
【答案】n.（答案不唯一）
【解析】
【分析】先猜想数列是一个等差数列，进而根据性质①得到首项与公差的关系，然后根据性质②得到答案.
【详解】假设数列为等差数列，设其公差为d，由性质①可得： ，再根据②可知，显然满足题意.
故答案为：n.（答案不唯一）
15. 如图，一个小球从10m高处自由落下，每次着地后又弹回到原来高度的，若已知小球经过的路程为，则小球落地的次数为______．

【答案】4
【解析】
【分析】设小球从第（n-1）次落地到第n次落地时经过的路程为m，则由已知可得数列是从第2项开始以首项为，公比为的等比数列，根据等比数列的通项公式求得，再设设小球第n次落地时，经过的路程为，由等比数列的求和公式建立方程求解即可.
【详解】解：设小球从第（n-1）次落地到第n次落地时经过的路程为m，则
当时，得出递推关系，
所以数列是从第2项开始以首项为，公比为的等比数列，所以，且，
设小球第n次落地时，经过的路程为，所以


，
所以，解得，
故答案为：4.
16. 对任意，若不等式恒成立，则实数a的最大值为______．
【答案】
【解析】
【分析】可对原不等式进行变形，两边同除，提取同类项，即可化成有相同变量的函数关系，然后换元构造函数，通过求解函数的最小值，来确定实数a的取值范围，从而求解出答案.
【详解】原不等式，，可化为，
即，
设，其中，则，
所以上单调递减，在上单调递增，所以，
所以设，
①时，，在上单调递增，
所以的最小值为，符合题意；
②，在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，而，所以，与条件矛盾，故不成立；
所以实数a的最大值为e.
故答案为：e.
【点睛】如果在条件给的式子中出现了和或和这些项，我们可以将变成，然后利用对数的运算进行组合，通过换元，即可消掉，变换成只包含一个变量的函数关系，使得题目变得简单.
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 如图，已知圆C与y轴相切于点，且被x轴正半轴分成的两段圆弧长之比为1∶2．

（1）求圆C的方程；
（2）已知点，是否存在弦被点P平分？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）.
（2）.
【解析】
【分析】（1）由已知得圆心C在直线上，设圆C与x轴的交点分别为E、F，则有， ，圆心C的坐标为(2,1)，由此求得圆C的标准方程；
（2）假设存在弦被点P平分，有，由此求得直线AB的斜率可得其方程再检验，直线AB与圆C是否相交即可.
【小问1详解】
解：因为圆C与y轴相切于点，所以圆心C在直线上，
设圆C与x轴交点分别为E、F，由圆C被x轴分成的两段弧长之比为2∶1，得，
所以，圆心C的坐标为(2,1)，
所以圆C的方程为；
【小问2详解】
解：因为点，有，所以点P在圆C的内部，
假设存在弦被点P平分，则，又，所以，所以直线AB的方程为，即，
检验，圆心C到直线AB的距离为 ，所以直线AB与圆C相交，
所以存在弦被点P平分，此时直线的方程为.
18. 如图，三棱锥中，为等边三角形，且面面，．

（1）求证：；
（2）当与平面BCD所成角为45°时，求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取的中点，连接，则，由面面垂直的性质可得面，从而可得，再根据线面垂直的判定定理即可得证；
（2）取的中点，连接，易得两两垂直，由面，可得即为与平面BCD所成角的平面角，从而可得，以点为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案.
【小问1详解】
证明：取中点，连接，
因为为等边三角形，所以，
又因为面面，面面，面，
所以面，
又面，所以，
因为，，
所以平面，
因为平面，所以；
【小问2详解】
取的中点，连接，则，
因为，所以，
又面，
则即为与平面BCD所成角的平面角，
所以，所以，
又面，所以，
如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，
设，则，所以，
则，
则，
设平面的法向量，
则，可取，
设平面的法向量，
同理可取，
则，
所以二面角的余弦值为.

19. 一杯100℃的开水放在室温25℃的房间里，1分钟后水温降到85℃，假设每分钟水温变化量和水温与室温之差成正比．
（1）求分钟后的水温；
（2）当水温在40℃到55℃之间时（包括40℃和55℃），为最适合饮用的温度，则在水烧开后哪个时间段饮用最佳．（参考数据：）
【答案】（1），
（2）在水烧开后4到7分钟之间饮用最佳
【解析】
【分析】（1）根据题意先确定比例系数，再列出分钟后的水温和之间的递推关系式，构造等比数列，可求得.
（2）解关于n的不等式，利用所给，通过对数运算，可求得答案.
【小问1详解】
由每分钟水温变化量和水温与室温之差成正比，可设比例系数为k，
则 ，故 ，
设一分钟后的水温为 ，则 ，
设 分钟后的水温为 ，则 ， ，
即 ，所以 ，
则数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，
即 ，显然也适合该式，
故， .
【小问2详解】
由题意可令： ，
即 ，
两边取常用对数，则有，
即，
因为，故解得 ，
即在水烧开后4到7分钟之间饮用最佳.
20. 已知椭圆的离心率为，且过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆交于B，C两点，若面积为，求m．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意可得，求出即可得解；
（2）设，联立，消，利用韦达定理求得，再利用弦长公式求得，求出点到直线的距离，再根据，即可得出答案.
【小问1详解】
解：根据题意可知：
，解得，
所以椭圆的方程为；
【小问2详解】
解：设，
联立，消整理得，
则，解得，
，
则，
点到直线的距离，
则，解得，
所以若面积为，.
21. 如图，曲线在点处的切线交x轴于点，过作斜率为的直线交曲线于点；曲线在点处的切线交x轴于点，过作斜率为的直线交曲线于点，…依次重复上述过程得到一系列点：，；，；…；，，…；记点．

（1）求；
（2）求与的关系式；
（3）求证：．
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用导数得出直线的方程，求出坐标，联立直线的方程与，得出；
（2）利用导数得出直线的方程，求出坐标，联立直线的方程与，得出与的关系式；
（3）由得出，再结合求和公式证明不等式.
【小问1详解】
，则，故直线的方程为，即
直线的方程为，与联立得出
解得.
【小问2详解】
由（1）可得，则直线的方程为，即
直线的方程为与联立得出
即，故
【小问3详解】
由（2）可得，解得，即
则，，，，故
由可得
22. 已知函数．
（1）若是的极值点，求a的值；
（2）当时，求证：恰有两个零点，，且（其中是的极值点）．
【答案】（1）；
（2）证明过程见解析.
【解析】
【分析】（1）求导后，利用求出结果；（2）二次求导，先研究一阶导函数的单调性，再研究的单调性，结合隐零点，极值点之间的关系，进行证明.
【小问1详解】
函数的定义域为，，由题意得：，解得：，经验证符合要求.
【小问2详解】
证明：函数的定义域为，，，令得：，令得：，即在上单调递减，在上单调递增，且，当时，恒成立，故存在，使得，且当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，
因为，所以，
令（），，令得：，令得：，所以，所以，则，
故存在，，使得恰有两个零点，
接下来证明：，
因为，，消去得：，其中，所以，而，所以，故，证毕；
接下来证明：，即，因为在上单调递增，所以只需证，即①，因为，即，代入①中得：，即：，显然成立，结论得证；
综上：恰有两个零点，，且（其中是的极值点）.
【点睛】处理隐零点的问题，要充分考虑零点所在的区间范围，与关键点的大小关系，结合函数的单调性解决问题，有时候需要构造新的函数，或者消去某些变量，化为单变量解决问题.