高中第二章　平面解析几何2.2 直线及其方程2.2.3 两条直线的位置关系学案

2.2.3　两条直线的位置关系

1．两条直线相交、平行与重合的条件

(1)几何方法判断

若两直线的斜率均存在，我们可以利用斜率和在y轴上的截距判断两直线的位置关系，其方法如下：

设l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，

①l1与l2相交⇔k1≠k2；

②l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2；

③l1与l2重合⇔k1＝k2且b1＝b2．

(2)向量方法判断

设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，

因为v1＝(A1，B1)是直线l1的一个法向量，v2＝(A2，B2)是直线l2的一个法向量．

①l1与l2相交(即只有一个交点)的充要条件是v1与v2不共线，即A1B2≠A2B1．

②l1与l2平行或重合的充要条件是v1与v2共线，即A1B2＝A2B1；

l1与l2重合的充要条件是，存在实数λ使得

思考：直线Ax＋By＋C1＝0与直线Ax＋By＋C2＝0，平行的充要条件是什么？重合呢？

[提示]　平行的充要条件是C1≠C2，重合的充要条件为C1＝C2．

2．两条直线垂直

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若两条直线斜率相等，则这两条直线平行． (　　)

(2)若l1∥l2，则k1＝k2．  (　　)

(3)若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交．  (　　)

(4)若两直线斜率都不存在，则两直线平行． (　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×

[提示]　(1)、(4)中两直线有可能重合，故(1)(4)错误；(2)可能出现两直线斜率不存在情况，故(2)错误；(3)正确．

2．已知A(2,0)，B(3,3)，直线l∥AB，则直线l的斜率为(　　)

A．－3　　　B．3　　　C．－　　　D．

B　[因为k＝kAB＝＝3，所以l的斜率为3．]

3．直线l1与l2的斜率是一元二次方程2 019x2－2 020x－2 019＝0的两根，则l1与l2的位置关系为        ．

垂直　[由题意知一元二次方程2 019x2－2 020x－2 019＝0的两根x1·x2＝－1，

∴直线l1、l2的斜率之积k1k2＝－1，∴直线l1⊥l2．]

4．若直线l：x＋ay＋2＝0平行于直线2x－y＋3＝0，则a＝        ．

－　[因为直线l：x＋ay＋2＝0平行于直线2x－y＋3＝0，所以1×(－1)－2a＝0，解得a＝－．]

5．经过点P(－2，－1)，Q(3，a)的直线与倾斜角为45°的直线垂直，则a＝        ．

－6　[由题意知＝－1，所以a＝－6．]

【例1】　已知两直线l1：x＋my＋6＝0；l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当m为何值时，直线l1与l2：(1)相交；(2)平行；(3)重合．

[思路探究]　可尝试根据两直线相交、平行、重合的等价条件，列出方程求参数的值．

[解]　∵直线l1：x＋my＋6＝0，

直线l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，

∴A1＝1，B1＝m，C1＝6，A2＝m－2，B2＝3，C2＝2m．

(1)若l1与l2相交，则A1B2－A2B1≠0，即1×3－m(m－2)≠0，

即m2－2m－3≠0，即(m－3)(m＋1)≠0，即m≠3，且m≠－1．

故当m≠3，且m≠－1时，直线l1与l2相交．

(2)若l1∥l2，则有

即即

即

∴m＝－1．

故当m＝－1时，直线l1与l2平行．

(3)若l1与l2重合，则有

即

∴∴m＝3．

故当m＝3时，直线l1与l2重合．

根据两直线的位置关系确定参数取值时，因为斜率是否存在不清楚，若使用斜率判定，两直线位置关系需分类讨论，但使用直线方程一般式的系数来判定两直线的位置关系不必讨论.因此使用直线方程一般式系数来判定两直线位置关系更简便易行.

1．l1：9x－y＋a＋2＝0；l2：ax＋(a－2)y＋1＝0．求当a为何值时，直线l1与l2：(1)相交；(2)平行；(3)重合．

[解]　由题意：A1＝9，B1＝－1，C1＝a＋2，A2＝a，B2＝a－2，C2＝1，

(1)若l1与l2相交，则A1B2－A2B1≠0，

即9(a－2)－a×(－1)≠0，∴a≠．

故当a≠时，直线l1与l2相交．

(2)若l1∥l2，则有

即∴

∴当a＝时，l1与l2平行．

(3)若l1与l2重合，则有

由(2)知不成立，∴直线l1与l2不重合．

综上所述：当a≠时，两直线相交，当a＝时，两直线平行，不论a为何值两直线不会重合．

【例2】　(1)l1经过点A(3,2)，B(3，－1)，l2经过点M(1,1)，N(2,1)，判断l1与l2是否垂直；

(2)已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2,3)，直线l2经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，若l1⊥l2，求a的值．

[思路探究]　(1)若斜率存在，求出斜率，利用垂直的条件判断；若一条直线的斜率不存在，再看另一条的斜率是否为0，若为0，则垂直；

(2)当两直线的斜率都存在时，由斜率之积等于－1求解；若一条直线的斜率不存在，由另一条直线的斜率为0求解．

[解]　(1)直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率为0，所以l1⊥l2．

(2)由题意，知l2的斜率k2一定存在，l1的斜率可能不存在．

当l1的斜率不存在时，3＝a－2，即a＝5，此时k2＝0，

则l1⊥l2，满足题意．

当l1的斜率k1存在时，a≠5，

由斜率公式，得

k1＝＝，k2＝＝．

由l1⊥l2，知k1k2＝－1，

即×＝－1，解得a＝0．

综上所述，a的值为0或5．

利用斜率公式来判定两直线垂直的方法

(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在；再看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直，若不相等，则进行第二步．

(2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式．

(3)求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论．

提醒：若已知点的坐标含有参数，利用两直线的垂直关系求参数值时，要注意讨论斜率不存在的情况．

2．分别判断下列两直线是否垂直．

(1)直线l1的斜率为－10，直线l2经过点A(10,2)，B(20,3)．

(2)直线l1经过A(3,4)，B(3,7)，直线l2经过点P(－2,4)，Q(2,4)．

(3)直线l1的斜率为，直线l2与直线2x＋3y＋1＝0平行．

[解]　(1)直线l1的斜率为k1＝－10，直线l2的斜率为k2＝＝，k1·k2＝－10×＝－1．所以直线l1与l2垂直．

(2)直线l1的斜率不存在，故l1与x轴垂直，直线l2的斜率为0，故直线l2与x轴平行，所以l1与l2垂直．

(3)直线l1的斜率为k1＝，直线l2的斜率为k2＝－，k1·k2＝－≠－1，所以直线l1与l2不垂直．

[探究问题]

1．已知△ABC的三个顶点坐标A(5，－1)，B(1,1)，C(2,3)，你能判断△ABC的形状吗？

[提示]　如图，AB边所在的直线的斜率kAB＝－，BC边所在直线的斜率kBC＝2．由kAB·kBC＝－1，得AB⊥BC，即∠ABC＝90°．

∴△ABC是以点B为直角顶点的直角三角形．

2．若已知直角三角形ABC的顶点A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，你能求出m的值吗？

[提示]　若∠A为直角，则AC⊥AB，

所以kAC·kAB＝－1，即·＝－1，得m＝－7；

若∠B为直角，则AB⊥BC，所以kAB·kBC＝－1，

即·＝－1，得m＝3；

若∠C为直角，则AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1，

即·＝－1，得m＝±2．

综上可知，m＝－7或m＝3或m＝±2．

【例3】　如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0,0)，P(1，t)，Q              (1－2t,2＋t)，R(－2t,2)，其中t＞0．试判断四边形OPQR的形状．

[思路探究]　利用直线方程的系数关系，或两直线间的斜率关系，判断两直线的位置关系．

[解]　由斜率公式得kOP＝＝t，

kQR＝＝＝t，kOR＝＝－，

kPQ＝＝＝－．所以kOP＝kQR，kOR＝kPQ，从而OP∥QR，OR∥PQ．

所以四边形OPQR为平行四边形．

又kOP·kOR＝－1，所以OP⊥OR，

故四边形OPQR为矩形．

1．将本例中的四个点，改为“A(－4,3)，B(2,5)，C(6，3)，D(－3，0)，顺次连接A，B，C，D四点，试判断四边形ABCD的形状．”

[解]　由题意A，B，C，D四点在平面直角坐标系内的位置如图，

由斜率公式可得kAB＝＝，kCD＝＝，kAD＝＝－3，kBC＝＝－．

所以kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合，所以AB∥CD，由kAD≠kBC，所以AD与BC不平行．

又因为kAB·kAD＝×(－3)＝－1，

所以AB⊥AD，故四边形ABCD为直角梯形．

2．将本例改为“已知矩形OPQR中按逆时针顺序依次为O(0，0)，P(1，t)，Q(1－2t,2＋t)，试求顶点R的坐标．”

[解]　因为OPQR为矩形，所以OQ的中点也是PR的中点，设R(x，y)，

则由中点坐标公式知

解得所以R点的坐标是(－2t,2)．

1．利用两条直线平行或垂直判定几何图形的形状的步骤

2．判定几何图形形状的注意点

(1)在顶点确定的前提下，判定几何图形的形状时，要先画图，猜测其形状，以明确证明的目标．

(2)证明两直线平行时，仅仅有k1＝k2是不够的，还要注意排除两直线重合的情况．

(3)判断四边形形状，要依据四边形的特点，并且不会产生其他的情况．

1．本节课的重点是理解两条直线平行或垂直的判定条件，会利用斜率判断两条直线平行或垂直，难点是利用斜率判断两条直线平行或垂直．

2．本节课要重点掌握的规律方法

(1)判断两条直线平行的步骤．

(2)利用斜率公式判断两条直线垂直的方法．

(3)判断图形形状的方法步骤．

3．本节课的易错点是利用斜率判断含字母参数的两直线平行或垂直时，对字母分类讨论．

1．直线x＋ay－7＝0与直线(a＋1)x＋2y－14＝0平行，则a的值是(　　)

A．1　　　B．－2　　　C．1或－2　　D．－1或2

B　[由已知，得a(a＋1)－2＝0，

解得a＝－2或a＝1．当a＝1时，两直线重合，∴a＝－2．]

2．如图，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1⊥l2，则l2的斜率为(　　)

A．－   B．

C．－   D．

C　[∵k1＝tan 30°＝，

又l1⊥l2，∴k1·k2＝－1，

∴k2＝－．]

3．已知过点A(－2，m)和B(m,4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则m的值为(　　)

A．－8   B．0 

C．2   D．10

A　[由已知，得＝－2，∴m＝－8．]

4．已知直线l的倾斜角为45°，直线l2的斜率为k＝m2－3，若l1∥l2，则m的值为        ．

±2　[由题意知m2－3＝tan 45°，解得m＝±2．]

5．当m为何值时，过两点A(1,1)，B(2m2＋1，m－2)的直线：

(1)倾斜角为135°；

(2)与过两点(3,2)，(0，－7)的直线垂直；

(3)与过两点(2，－3)，(－4,9)的直线平行．

[解]　(1)由kAB＝＝tan 135°＝－1，

解得m＝－或m＝1．

(2)由kAB＝，且＝3．

则＝－，解得m＝或m＝－3．

(3)令＝＝－2，解得m＝或m＝－1．