2020-2021学年第二十二章 四边形综合与测试同步练习题

八年级数学下册第二十二章四边形综合训练

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，点A，B，C在同一直线上，且，点D，E分别是AB，BC的中点．分别以AB，DE，BC为边，在AC同侧作三个正方形，得到三个平行四边形（阴影部分）的面积分别记作，，，若，则等于（       ）

A． B． C． D．

2、如图，DE是的中位线，若，则BC的长为（　　　）

A．8 B．7 C．6 D．7.5

3、如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于A、B两点，C为线段OB上一点，过点C作轴交l于点D，若的顶点E恰好落在直线上，则点C的坐标为（       ）

A． B． C． D．

4、如图，点D，E分别是△ABC边BA，BC的中点，AC＝3，则DE的长为（       ）

A．2 B． C．3 D．

5、正方形具有而矩形不一定具有的性质是（       ）

A．四个角相等 B．对角线互相垂直

C．对角互补 D．对角线相等

6、如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，，，E是OB的中点，P是CD的中点，连接PE，则线段PE的长为（       ）

A． B． C． D．

7、若菱形的周长为8，高为2，则菱形的面积为（       ）

A．2 B．4 C．8 D．16

8、下列命题中是真命题的是（       ）．A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形

C．对角线相等的四边形是矩形 D．有一个角为直角的四边形是矩形

9、如图，在给定的正方形中，点从点出发，沿边方向向终点运动， 交于点，以，为邻边构造平行四边形，连接，则的度数的变化情况是（       ）

A．一直减小 B．一直减小后增大 C．一直不变 D．先增大后减小

10、在中，若，则的度数是（       ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，翠屏公园有一块长为12m，宽为6m的长方形草坪，绿化部门计划在草坪中间修两条宽度均为2m的石子路（两条石子路的任何地方的水平宽度都是2m），剩余阴影区域计划种植鲜花，则种植鲜花的面积为______m2．

2、如图，矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点．若MN＝4，则AC的长为__________．

3、如图，∠EAD和∠DCF是四边形ABCD的外角，∠EAD的平分线AG和∠DCF的平分线CG相交于点G．若∠B＝m°，∠D＝n°，则∠G＝______°．（用含m、n的代数式表示）

4、如图，在平行四边形中，是对角线，，点是的中点，平分，于点，连接．已知，，则的长为_______．

5、如图所示，是长方形地面，长，宽，中间竖有一堵砖墙高．一只蚂蚱从点爬到点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走______的路程．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、已知正方形与正方形，，．

(1)如图1，若点和点重合，点在线段上，点在线段的延长线上，连接、、，将阴影部分三角形的面积记作，则         （用含有、的代数式表示）．

(2)如图2，若点与点重合，点在线段上，点在线段的延长线上，连接、、，将阴影部分三角形的面积记作，则         （用含有、的代数式表示）．

(3)如图3，若将正方形沿正方形的边所在直线平移，使得点、在线段上（点不与点重合、点不与点重合），连接、、，设，将阴影部分三角形的面积记作，则         （用含有、、的代数式表示）．

(4)如图4，若将正方形沿正方形的边所在直线平移，使得点、在的延长线上，连接、、，设，将阴影部分三角形的面积记作，则         （用含有、、的代数式表示）．

2、已知在与中，，点在同一直线上，射线分别平分．

(1)如图1，试说明的理由；

(2)如图2，当交于点G时，设，求与的数量关系，并说明理由；

(3)当时，求的度数．

3、如图所示，在每个小正方形的边长均为1的网格中，线段AB的端点A、B均在小正方形的顶点上．

(1)在图中画出等腰△ABC，且△ABC为钝角三角形，点C在小正方形顶点上；

(2)在（1）的条件下确定点C后，再画出矩形BCDE，D，E都在小正方形顶点上，且矩形BCDE的周长为16，直接写出EA的长为　   　．

4、在平面直角坐标系中，已知点，，，以点，，为顶点的平行四边形有三个，记第四个顶点分别为，，，如图所示．

(1)若，则点，，的坐标分别是（　　），（　　），（　　）；

(2)若△是以为底的等腰三角形，

①直接写出的值；

②若直线与△有公共点，求的取值范围．

(3)若直线与△有公共点，求的取值范围．

5、如图，已知平行四边形ABCD．

(1)用尺规完成以下基本作图：在CB上截取CE，使CE＝CD，连接DE，作∠ABC的平分线BF交AD于点F．（保留作图痕迹，不写作法）

(2)在（1）所作的图形中，证明四边形BEDF为平行四边形．

-参考答案-

一、单选题

1、B

【解析】

【分析】

设BE＝x，根据正方形的性质、平行四边形的面积公式分别表示出S1，S2，S3，根据题意计算即可．

【详解】

∵，

∴AB＝2BC，

又∵点D，E分别是AB，BC的中点，

∴设BE＝x，则EC＝x，AD＝BD＝2x，

∵四边形ABGF是正方形，

∴∠ABF＝45°，

∴△BDH是等腰直角三角形，

∴BD＝DH＝2x，

∴S1＝DH•AD＝，即2x•2x＝，

∴x2＝，

∵BD＝2x，BE＝x，

∴S2＝MH•BD＝（3x−2x）•2x＝2x2，

S3＝EN•BE＝x•x＝x2，

∴S2＋S3＝2x2＋x2＝3x2＝，

故选：B．

【点睛】

本题考查的是正方形的性质、平行四边形的性质，掌握正方形的四条边相等、四个角都是90°是解题的关键．

2、A

【解析】

【分析】

已知DE是的中位线，，根据中位线定理即可求得BC的长．

【详解】

是的中位线，，

，

故选：A．

【点睛】

此题主要考查三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半；掌握中位线定理是解题的关键．

3、D

【解析】

【分析】

设点 ，根据轴，可得点 ，再根据平行四边形的性质可得点轴， ，则， ，即可求解．

【详解】

解：设点 ，

∵轴，

∴点 ，

∵四边形是平行四边形，

∴轴， ，

∴点 ，

∴ ，

∵直线分别交y轴于B两点，

∴当 时， ，

∴点 ，

∴ ，

∴，解得： ，

∴ ，

∴点 ．

故选：D

【点睛】

本题主要考查了一次函数的图形和性质，平行四边形的性质，熟练掌握一次函数的图形和性质，平行四边形的性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．

4、D

【解析】

略

5、B

【解析】

略

6、A

【解析】

【分析】

取OD的中点H，连接HP，由菱形的性质可得AC⊥BD，AO＝CO＝4，OB＝OD＝6，由三角形中位线定理可得，，可得EH＝6，，由勾股定理可求PE的长．

【详解】

解：如图，取OD的中点H，连接HP

∵四边形ABCD是菱形

∴AC⊥BD，AO＝CO＝4，OB＝OD＝6

∵点H是OD中点，点E是OB的中点，点P是CD的中点

∴OH=3，OE=3，，

∴EH＝6，

在中，由勾股定理可得：

∴

故选：A

【点睛】

本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键．

7、B

【解析】

【分析】

根据周长求出边长，利用菱形的面积公式即可求解．

【详解】

∵菱形的周长为8，

∴边长=2，

∴菱形的面积=2×2=4，

故选：B．

【点睛】

此题考查菱形的性质，熟练掌握菱形的面积=底×高是解题的关键．

8、A

【解析】

【分析】

根据平行线四边形的性质得到对边相等，加上一组邻边相等，可得到四边都相等，根据菱形的定义对A、B进行判断；根据矩形的判定方法对C、D进行判断．

【详解】

解：A、平行四边形的对边相等，若有一组邻边相等，则四边都相等，所以该选项正确；

B、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，所以该选项不正确；

C、对角线互相平分且相等的四边形为矩形，所以该选项不正确；

D、有三个角是直角的四边形是矩形，所以该选项不正确．

故选：A．

【点睛】

本题考查了命题与定理：判断事情的语句叫命题；正确的命题叫真命题；经过证明其正确性的命题称为定理．也考查了平行四边形、矩形和菱形的判定与性质．

9、A

【解析】

【分析】

根据题意，作交的延长线于，证明是的角平分线即可解决问题．

【详解】

解：作交的延长线于，

 ∵四边形 是正方形，

 ∴，

，

 ∵，

 ∴，，

 ∴，

 ∴，

 ∴，

 ∵四边形是平行四边形，

 ∴，，

 ∵， ，

 ∴，

 ∵，．

 ∴，

 ∴，，

 ∴，

 ∴，

 ∵，

∴，

 ∴是的角平分线，

 ∴点的运动轨迹是的角平分线，

∵，

由图可知，点P从点D开始运动，所以一直减小，

故选：A ．

【点睛】

本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．

10、B

【解析】

【分析】

利用平行四边形的对角相等即可选择正确的选项．

【详解】

解：四边形是平行四边形，

，

，

，

故选：B．

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是记住平行四边形的性质，属于中考基础题．

二、填空题

1、48

【解析】

【分析】

利用长方形的面积减去石子路的面积，即可求解．

【详解】

解：根据题意得：种植鲜花的面积为 ．

故答案为：48

【点睛】

本题主要考查了求平行四边形的面积，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．

2、16

【解析】

略

3、

【解析】

【分析】

根据四边形的内角和定理可得 ，从而得到，再由∠EAD的平分线AG和∠DCF的平分线CG相交于点G．可得，进而得到，再根据 ，即可求解．

【详解】

解：∵∠B＝m°，∠D＝n°，

∴ ，

∵∠EAD和∠DCF是四边形ABCD的外角，

∴ ，

∵∠EAD的平分线AG和∠DCF的平分线CG相交于点G．

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ．

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了多边形的内角和定理，角平分线的应用，补角的应用，熟练掌握多边形的内角和定理是解题的关键．

4、##3.5##

【解析】

【分析】

延长AB、CF交于点H，由“ASA”可证△AFH≌△AFC，可得AC=AH=12，HF=CF，由三角形中位线定理可求解．

【详解】

解：如图，延长、交于点，

四边形是平行四边形，，，

，

平分，，

在和中，

，

，

，，

，

点是的中点，，

∴EF是△CBH的中位线，

，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．

5、

【解析】

【分析】

根据题意，将长方形底面和中间墙展开为平面图，并连接BD，根据两点之间直线段最短和勾股定理的性质计算，即可得到答案．

【详解】

将长方形底面和中间墙展开后的平面图如下，并连接BD

根据题意，展开平面图中的

∴一只蚂蚱从点爬到点，最短路径长度为展开平面图中BD长度

∵是长方形地面

∴

∴

故答案为：．

【点睛】

本题考查了立体图形展开图、矩形、两点之间直线段最短、勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握立体图形展开图、勾股定理的知识，从而完成求解．

三、解答题

1、 (1)

(2)

(3)

(4)

2、 (1)理由见解析

(2)，理由见解析

(3)

【解析】

【分析】

（1），，可知，进而可说明；

（2）如图1所示，连接并延长至点K，分别平分，则设，为的外角，，同理，

，得；又由（1）中证明可知，，进而可得到结果；

（3）如图2所示，过点C作，则，，可得，由（1）中证明可得，在中， ，即，进而可得到结果．

(1)

证明：

又

在和中

．

(2)

解：．

理由如下：如图1所示，连接并延长至点K

分别平分

则设

为的外角

同理可得

即

．

又由（1）中证明可知

由三角形内角和公式可得

即

．

(3)

解：当时，如图2所示，过点C作，则

，即

由（1）中证明可得

在中，根据三角形内角和定理有

即

即

即，解得：

故．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、三角形内角和定理、平行线的性质、角平分线的性质等知识，连接并延长，利用三角形外角性质证得是解题的关键．

3、 (1)见解析

(2)画图见解析，

【解析】

【分析】

（1）作出腰为5且∠ABC是钝角的等腰三角形ABC即可；

（2）作出边长分别为5，3的矩形ABDE即可．

(1)

解：如图，AB==BC，∠ABC>90°，所以△ABC即为所求；

(2)

解：如图，矩形BCDE即为所求．AE= ．

故答案为：．

【点睛】

本题考查作图-应用与设计作图，等腰三角形的判定，矩形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．

4、 (1)-3，3，1，3，-3，-1

(2)①-2；②

(3)或

【解析】

【分析】

（1）分别以、、为对角线，利用平行四边形以及平移的性质可得点，，的坐标；

（2）①根据平行公理得，、在同一直线上，、、在同一直线上，可得是等腰三角形△的中位线，求出，即可得的值；

②由①求得的的值可得，的坐标，分别求出直线过点，时的值即可求解；

（3）由题意用表示出点，，的坐标，画出图形，求出直线与△交于点，时的值即可求解．

(1)

解：，，

，轴．

以为对角线时，

四边形是平行四边形，

，，

将向左平移2个单位长度可得，即；

以为对角线时，

四边形是平行四边形，

，，

将向右平移2个单位长度可得，即；

以为对角线时，

四边形是平行四边形，

对角线的中点与的中点重合，

的中点为，，

．

故答案为：，，；

(2)

解：①如图，若△是以为底的等腰三角形，

四边形，，是平行四边形，

，，，

、、在同一直线上，、、在同一直线上，，

是等腰三角形△的中位线，

，，

，，，

，

；

②由①得，

，．

当直线过点时，，解得：，

当直线过点时，，解得：，

的取值范围为；

(3)

解：如图，，，，

，．

连接、交于点，

四边形是平行四边形，

点、关于点对称，

，

直线与△有公共点，

当直线与△交于点，，解得：，

时，直线与△有公共点；

当直线与△交于点，，解得：，

时，直线与△有公共点；

综上，的取值范围为或．

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，平移的性质，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征等知识，解题的关键是利用数形结合与分类讨论的思想进行求解．

5、 (1)见解析

(2)见解析

【解析】

【分析】

（1）延长CB到E使CE＝CD，然后作∠ABC的平分线交AD的延长线于F；

（2）先根据平行四边形的性质得到AD＝BC，AB＝CD，ADBC，则CE＝AB，再证明∠ABF＝∠F得到AB＝AF，然后证明BE＝DF，从而可判断四边形BEDF为平行四边形．

(1)

如图，DE、BF为所作；

(2)

证明：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD＝BC，AB＝CD，AD∥BC，

∵CE＝CD，

∴CE＝AB，

∵BF平分∠ABC，

∴∠ABF＝∠CBF，

∵AFBC，

∴∠CBF＝∠F，

∴∠ABF＝∠F，

∴AB＝AF，

∴CE＝AF，即CB＋BE＝AD＋DF，

∴BE＝DF，

∵BEDF，

∴四边形BEDF为平行四边形．

【点睛】

本题考查了作线段，作角平分线，平行四边形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．