2021年全国中考数学真题分类汇编--函数：函数与几何（压轴题1）（试卷版）

2021全国中考真题分类汇编（函数）

----函数与几何（1）

1. （2021•湖北省武汉市）抛物线y＝x2－1交x轴于A，B两点（A在B的左边）．

（1）□ACDE的顶点C在y轴的正半轴上，顶点E在y轴右侧的抛物线上．

①如图（1），若点C的坐标是(0，3)，点E的模坐标是，直接写出点A，D的坐标；

②如图（2），若点D在抛物线上，且□ACDE的面积是12，求点E的坐标；

（2）如图（3），F是原点O关于抛物线顶点的对称点，不平行y轴的直线l分别交线段AF，BF（不含端点）于G，H两点，若直线l与抛物线只有一个公共点，求证FG＋FH的值是定值．

2. （2021•湖南省衡阳市）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如（1，1），（2021，2021）…都是“雁点”．

（1）求函数y＝图象上的“雁点”坐标；

（2）若抛物线y＝ax2+5x+c上有且只有一个“雁点”E，该抛物线与x轴交于M、N两点（点M在点N的左侧）．当a＞1时．

①求c的取值范围；

②求∠EMN的度数；

（3）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），P是抛物线y＝﹣x2+2x+3上一点，连接BP，以点P为直角顶点，构造等腰Rt△BPC，是否存在点P，使点C恰好为“雁点”？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

3. （2021•怀化市）如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝2，OB＝4，OC＝8，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，与x轴交于点N．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）D为CO的中点，一个动点G从D点出发，先到达x轴上的点E，再走到抛物线对称轴上的点F，最后返回到点C．要使动点G走过的路程最短，请找出点E、F的位置，写出坐标，并求出最短路程．

（4）点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的等腰Rt△CQR？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

4. （2021•湖南省邵阳市）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C：y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（1，1）和（4，1）．

（1）求抛物线C的对称轴．

（2）当a＝﹣1时，将抛物线C向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线C1．

①求抛物线C1的解析式．

②设抛物线C1与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，连接BC．点D为第一象限内抛物线C1上一动点，过点D作DE⊥OA于点E．设点D的横坐标为m．是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

5. （2021•岳阳市）如图，抛物线经过，两点，与轴交于点，连接．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）如图2，直线：经过点A，点为直线上的一个动点，且位于轴的上方，点为抛物线上的一个动点，当轴时，作，交抛物线于点（点在点的右侧），以，为邻边构造矩形，求该矩形周长的最小值；

（3）如图3，设抛物线的顶点为，在（2）的条件下，当矩形的周长取最小值时，抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

6. （2021•株洲市）已知二次函数．

（1）若，，求方程的根的判别式的值；

（2）如图所示，该二次函数的图像与轴交于点、，且，与轴的负半轴交于点，点在线段上，连接、，满足 ，．

①求证：；

②连接，过点作于点，点在轴的负半轴上，连接，且，求的值．

7. （2021•江苏省连云港）如图，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知．

（1）求m的值和直线对应的函数表达式；

（2）P为抛物线上一点，若，请直接写出点P的坐标；

（3）Q为抛物线上一点，若，求点Q的坐标．

8. （2021•江苏省苏州市）如图，二次函数y＝x2﹣（m+1）x+m（m是实数，且﹣1＜m＜0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且在对称轴上，OD⊥BD，OC＝EC，连接ED并延长交y轴于点F

（1）求A、B、C三点的坐标（用数字或含m的式子表示）；

（2）已知点Q在抛物线的对称轴上，当△AFQ的周长的最小值等于时，求m的值．

9. （2021•宿迁市） 如图，抛物线与轴交于A(-1，0)，B(4，0)，与轴交于点C．连接AC，BC，点P在抛物线上运动．

(1)求抛物线的表达式；

(2)如图①，若点P在第四象限，点Q在PA的延长线上，当∠CAQ=∠CBA45°时，求点P的坐标；

(3)如图②，若点P在第一象限，直线AP交BC于点F，过点P作轴的垂线交BC于点H，当△PFH为等腰三角形时，求线段PH的长．

10. （2021•江苏省扬州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于点．、，与y轴交于点C．

（1）________，________；

（2）若点D在该二次函数的图像上，且，求点D的坐标；

（3）若点P是该二次函数图像上位于x轴上方的一点，且，直接写出点P的坐标．

11. （2021•山东省聊城市）如图，抛物线y＝ax2＋x＋c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已知A，C两点坐标分别是A（1，0），C（0，﹣2），连接AC，BC．

（1）求抛物线的表达式和AC所在直线的表达式；

（2）将ABC沿BC所在直线折叠，得到DBC，点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上，若点D在对称轴上，请求出点D的坐标；若点D不在对称轴上，请说明理由；

（3）若点P是抛物线位于第三象限图象上的一动点，连接AP交BC于点Q，连接BP，BPQ的面积记为S1，ABQ的面积记为S2，求的值最大时点P的坐标．

12. （2021•山东省泰安市）二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象经过点A（﹣4，0），B（1，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接BP、AC，交于点Q，过点P作PD⊥x轴于点D．

（1）求二次函数的表达式；

（2）连接BC，当∠DPB＝2∠BCO时，求直线BP的表达式；

（3）请判断：是否有最大值，如有请求出有最大值时点P的坐标，如没有请说明理由．

13. （2021•上海市）已知抛物线过点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点A在直线上且在第一象限内，过A作轴于B，以斜边在其左侧作等腰直角．

①若A与Q重合，求C到抛物线对称轴的距离；

②若C落在抛物线上，求C的坐标．

14. （2021•山西省中考）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，．

（1）求，，三点的坐标并直接写出直线，的函数表达式；

（2）点是直线下方抛物线上的一个动点，过点作的平行线，交线段于点．

①试探究：在直线上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；

②设抛物线的对称轴与直线交于点，与直线交于点．当时，请直接写出的长．

15. （2021•湖北省随州市）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点的坐标为．

（1）直接写出抛物线的解析式；

（2）如图1，若点在抛物线上且满足，求点的坐标；

（3）如图2，是直线上一个动点，过点作轴交抛物线于点，是直线上一个动点，当为等腰直角三角形时，直接写出此时点及其对应点的坐标

16. （2021•湖北省宜昌市）在平面直角坐标系中，抛物线y1＝﹣（x+4）（x﹣n）与x轴交于点A和点B（n，0）（n≥﹣4），顶点坐标记为（h1，k1）．抛物线y2＝﹣（x+2n）2﹣n2+2n+9的顶点坐标记为（h2，k2）．

（1）写出A点坐标；

（2）求k1，k2的值（用含n的代数式表示）

（3）当﹣4≤n≤4时，探究k1与k2的大小关系；

（4）经过点M（2n+9，﹣5n2）和点N（2n，9﹣5n2）的直线与抛物线y1＝﹣（x+4）（x﹣n），y2＝﹣（x+2n）2﹣n2+2n+9的公共点恰好为3个不同点时，求n的值．

17. （2021•山东省菏泽市）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，交y轴于点C．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）点P为第四象限内抛物线上一点，连接PB，过点C作CQ∥BP交x轴于点Q，连接PQ，求△PBQ面积的最大值及此时点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，将抛物线y＝ax2+bx﹣4向右平移经过点（，0）时，得到新抛物线y＝a1x2+b1x+c1，点E在新抛物线的对称轴上，在坐标平面内是否存在一点F，使得以A、P、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

18. 2021•四川省成都市）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a（x﹣h）2+k与x轴相交于O，A两点，顶点P的坐标为（2，﹣1）．点B为抛物线上一动点，连接AP，AB，过点B的直线与抛物线交于另一点C．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点B的横坐标与纵坐标相等，∠ABC＝∠OAP，且点C位于x轴上方，求点C的坐标；

（3）若点B的横坐标为t，∠ABC＝90°，请用含t的代数式表示点C的横坐标，并求出当t＜0时，点C的横坐标的取值范围．

19. （2021•广东省）已知二次函数的图象过点，且对任意实数，都有

 ．

 （1）求该二次函数的解析式；

 （2）若（1）中二次函数图象与轴的正半轴交点为，与轴交点为；点是（1）

  中二次函数图象上的动点．问在轴上是否存在点，使得以、、、   为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不                                          存在，请说明理由．

20. （2021•湖北省荆州市）小美打算买一束百合和康乃馨组合的鲜花，在“母亲节”祝福妈妈．已知买2支百合和1支康乃馨共需花费14元，3支康乃馨的价格比2支百合的价格多2元．

（1）求买一支康乃馨和一支百合各需多少元？

（2）小美准备买康乃馨和百合共11支，且百合不少于2支．设买这束鲜花所需费用为w元，康乃馨有x支，求w与x之间的函数关系式，并设计一种使费用最少的买花方案，写出最少费用．

21. （2021•四川省达州市）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A和C（1，0），交y轴于点B（0，3），抛物线的对称轴交x轴于点E

（1）求抛物线的解析式；

（2）将线段OE绕着点O沿顺时针方向旋转得到线段OE'，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接AE′，求BE′+AE′的最小值；

（3）M为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点N，使得以A，B，M，请直接写出点N的横坐标；若不存在

22. （2021•四川省广元市）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点的坐标值：

（1）求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标；

（2）是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P在点Q上方），求的最小值；

（3）如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作轴，垂足为F，的外接圆与相交于点E．试问：线段的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．

23. （2021•四川省乐山市）已知二次函数的图象开口向上，且经过点，．

（1）求的值（用含的代数式表示）；

（2）若二次函数在时，的最大值为1，求的值；

（3）将线段向右平移2个单位得到线段．若线段与抛物线仅有一个交点，求的取值范围．

24. （2021•四川省凉山州）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，，．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在第二象限内的抛物线上确定一点P，使四边形PBAC的面积最大．求出点P的坐标

（3）在（2）的结论下，点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点Q．使点P、B、M、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在．请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

25. （2021•泸州市）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与两坐标轴分别相交于A，B，C三点

（1）求证：∠ACB=90°

（2）点D是第一象限内该抛物线上的动点，过点D作x轴的垂线交BC于点E，交x轴于点F．

①求DE+BF的最大值；

②点G是AC的中点，若以点C，D，E为顶点的三角形与AOG相似，求点D的坐标．